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专题16：解三角形大题归类（解析版）
目录
一、热点题型归纳
【题型一】巧用“拆”面积法解决角平分线题型....................................................................................1
【题型二】角平分线的扩展结论................................................................................................................4
【题型三】中线的处理方法........................................................................................................................6
【题型四】三角形高的类型........................................................................................................................9
【题型五】三角形内心..............................................................................................................................11
【题型六】外接圆......................................................................................................................................14
【题型七】双三角形..................................................................................................................................16
【题型八】四边形......................................................................................................................................17
【题型九】四边形图形最值......................................................................................................................19
二、真题再现..............................................................................................................错误！未定义书签。
三、模拟检测..............................................................................................................错误！未定义书签。
【题型一】巧用“拆”面积法解决角平分线题型
【典例分析】
（2022·湖北·高三开学考试）在ABC
中，
2
AB
AC
，点D 在BC 边上，AD 平分
BAC
.
(1)若
15
cos
5
ACB
，求cos BAC
；
(2)若AD
AC
，且ABC
的面积为3 7
2
，求BC 的长.
【答案】(1) 2
3 6
10
(2)3 2
【分析】（1）在ABC
中，利用正弦定理可得
10
sin
10
ABC
，从而可得
3 10
cos
10
ABC
，再由
cos
cos
CAB
ABC
ACB
，展开即可求解；
（2）利用三角形的面积公式可得1
1
1
sin
sin
sin 2
2
2
2
AC AD
AB AD
AB AC
，从而解得
3
cos
4
，根据三角形
的面积求出
2
4
b ，再由余弦定理即可求解.
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（1）由
15
cos
5
ACB
，得
10
sin
5
ACB
，
在ABC
中，由正弦定理可得sin
sin
AB
AC
ACB
ABC
，
又
2
AB
AC
，所以
10
sin
10
ABC
，
AB
AC
，故
3 10
cos
10
ABC
，
所以
cos
cos
cos
CAB
ABC
ACB
ABC
ACB
，
即cos
sin
sin
cos
cos
CAB
ABC
ACB
ABC
ACB
，
所以
10
10
3 10
15
2
3 6
cos
10
5
10
5
10
CAB
.
（2）
由已知，设
2
2
AB
AC
t
，所以AD
AC
t
，另设
CAD
.
由
ABC
ACD
ABD
S
S
S
△
△
△
，可得1
1
1
2 sin2
sin
2
sin
2
2
2
t
t
t t
t t
，
所以
1
2sin
cos
sin
sin
2
，
因为sin
0
，所以
3
cos
4
，所以
2
1
cos2
2cos
1
8
，
又
2
3 7
0
2
,sin2
1 cos 2
8
，
又
2
3 7
1
3 7
2 sin2
2
2
8
ABC
S
t
t
t
，所以
2
4
t
，
所以
2
2
2
2
9
9
4
2
2 cos2
4
18
2
2
BC
t
t
t
t
t
，所以
3 2
BC
.
【提分秘籍】
基本规律
角平分线“拆”面积法：
ABC
ACD
ABD
S
S
S
△
△
△
【变式演练】
1.（2022·湖北·高三开学考试）已知ABC
的角
, ,
A B C 的对边分别为
, ,
a b c ，且
sin
( cos
cos
)
sin
sin
sin
A c
B
b
C
c
B
c
C
b
B
，
(1)求角A ;
(2)若AD 平分
BAC
交线段BC 于点D ，且
2,
2
AD
BD
CD
，求ABC
的周长.
【答案】(1)
2
3
A
(2)9
3 7
【分析】（1）先利用余弦定理化简cos
cos
c
B
b
C
，然后代入已知式子中利用正弦定理统一成边的形式，再利用余弦定
理可求出角A ，
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（2）由
ABC
BAD
CAD
S
S
S
结合AD 平分
BAC
，
2
3
A
可得
2
2
bc
b
c
，作AE
BC
于E ，则由
ABD
ACD
S
S
结合已知条件
可得
2
c
b
，解方程组可求得,b c ，再利用余弦定理可求出a ，从而可求出三角形的周长.
（1）由余弦定理得
2
2
2
2
2
2
cos
cos
2
2
a
c
b
a
b
c
c
B
b
C
c
b
a
ac
ab
所以sin
( cos
cos
)
sin
sin
sin
A c
B
b
C
c
B
c
C
b
B
可化为
sin
sin
sin
sin
a
A
c
B
c
C
b
B
再由正弦定理，得
2
2
2
a
cb
c
b
，得
2
2
2
c
b
a
bc
，
所以
2
2
2
1
cos
2
2
b
c
a
A
bc
.因为
(0, )
A
，所以
2
3
A
（2）因为AD 平分
BAC
，所以
3
BAD
CAD
.由
1
2
1
1
sin
sin
sin
2
3
2
3
2
3
ABC
BAD
CAD
S
S
S
b c
c AD
b AD
，
得
2
2
bc
b
c
.作AE
BC
于E ，则
1
1
sin
2
3
2
2
1
1
sin
2
3
2
ABD
ACD
c AD
BD AE
S
c
BD
S
b
DC
b AD
CD AE
.
由
2
2
2
bc
b
c
c
b
，解得
6,
3,
c
b
由余弦定理，得
2
2
2
2
cos
63
a
b
c
bc
A
=
+
-
=
，所以
3 7
a =
故ABC
的周长为9
3 7
2.（2022·江苏·盐城中学高三开学考试）在①
sin
sin
sin
sin
A
C a
b
c
B
C
，②
2
2
2
2
cos
2
a
b
c
a
c
B
a
，
③
sin
cos
6
a
B
C
B
b
这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．已知ABC
中，内角A，B，C 的对边
分别为a，b，c，且__________．
(1)求B
(2)若
13
b
，
ABC
的平分线交AC 于点D，且
4 3
5
BD
，求ABC
的面积．
【答案】(1)
= 3
B (2)
3
【分析】（1）若选条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；若选条件②，先用余弦定理将
边转化为角的关系，再利用正弦定理即可；若选条件③，先用三角形的内角之和为，再利用正弦定理即可；
（2）利用角平分线的性质得到
ABC
ABD
BCD
S
S
S
△
△
△
，结合余弦定理和三角形的面积公式即可
（1）
选择条件①：
根据正弦定理，可得：
a
c a
b c
b
c
可得：
2
2
2
a
c
b
ac
根据余弦定理，可得：
2
2
2
1
cos
2
2
a
c
b
B
ac
0,
,
= 3
B
B
选择条件②：
根据余弦定理，可得：
2
cos
(2
)cos
= cos
2
ab
C
a
c
B
b
C
a
根据正弦定理，可得：(2sin
sin
)cos
sin
cos
A
C
B
B
C
整理可得：2sin
cos
sin(
)
sin
A
B
B
C
A
。可得：
1
cos
2
B
0,
,
= 3
B
B
选择条件③：
易知：A
B
C
。可得：sin
cos(
)
6
a
A
B
b
根据正弦定理，可得：
sin
sin
cos(
)
sin
6
A
A
B
B
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可得：
3
1
sin
cos(
)
cos
sin
6
2
2
B
B
B
B
整理可得：tan
3
B
0,
,
= 3
B
B
（2）根据题意，可得：
ABC
ABD
BCD
S
S
S
△
△
△
可得：1
1
4 3
1
4 3
sin
sin
sin
2
3
2
5
6
2
5
6
ac
c
a
整理可得：
5
4
a
c
ac
根据余弦定理，可得：
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
ABC
可得：
2
2
13=a
c
ac
，即
2
(
)
3
13
a
c
ac
可得：
2
25(
)
48
208
0
ac
ac
解得：
4
ac
或
52
25
ac
（舍）故
1
=
sin
3
2
3
ABC
S
ac
△
【题型二】角平分线的扩展结论
【典例分析】
（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）在ABC
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，角A 的平分线AD 交BC 边于点
D.
(1)证明：AB
DB
AC
DC
，
2
AD
AB AC
DB DC
；
(2)若
1
AD ，
2
3
A
，求DB DC
的最小值.
【答案】(1)证明见解析(2)3
【分析】（1）根据题意得到sin
sin
BAD
CAD
，sin
sin
ADB
ADC
，由正弦定理得到sin
sin
AB
BD
ADB
BAD
，
sin
sin
AC
DC
ADC
CAD
，两式相除得到AB
DB
AC
DC
，进而得到
AB
BD
BC
AB
AC
，
AC
DC
BC
AB
AC
，根据余弦定理，
并代入化简，即可求解.
（2）根据
ABD
ACD
ABC
S
S
S
△
△
△
，得到b
c
bc
，结合基本不等式求得
4
bc
，进而求得
1
DB DC
bc
，即可求解.
(1)
解：在
ABD
△
和
BCD
△
中，可得
BAD
CAD
，
ADB
ADC
，
所以sin
sin
BAD
CAD
，sin
sin
ADB
ADC
，
由正弦定理，得sin
sin
AB
BD
ADB
BAD
，sin
sin
AC
DC
ADC
CAD
，
两式相除得AB
DB
AC
DC
，可得
AB
BD
BC
AB
AC
，
AC
DC
BC
AB
AC
，
又由cos
cos
ABD
ABC
，根据余弦定理得
2
2
2
2
2
2
2
2
AB
BD
AD
AB
BC
AC
AB BD
AB BC
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
BD
DC
BD
AD
AB
BD
AB
BC
AC
AB
AC
BD BC
BD
BC
BC
BC
代入可得
2
2
2
AC
AB
AD
AB
AC
BD DC
AB
AC
AB
AC
AB
AC
AB AC
BD DC
AB AC
BD DC
AB
AC
AB
AC
.
(2)解：由
1
AD ，
2
3
A
及
ABD
ACD
ABC
S
S
S
△
△
△
，可得b
c
bc
根据基本不等式得
2
bc
b
c
bc
，解得
4
bc
，当且仅当
2
b
c
时等号成立，
又由
1
AD ，
2
AD
AB AC
DB DC
，可得
1 3
DB DC
bc
，
所以DB DC
的最小值是3.
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【提分秘籍】
基本规律
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
AB
AC
BD
CD
【变式演练】
1.
.（2022·山东日照·高三开学考试）如图，已知在ABC
中，M 为BC 上一点，
2
AB
AC
BC
，
π
0, 2
B
且
15
sin
8
B
．
(1)若AM
BM
，求AC
AM 的值；
(2)若AM 为
BAC
的平分线，且
1
AC ，求
ACM
△
的面积．
【答案】(1) 7
8 (2) 15
12
【分析】（1）由
15
sin
8
B
求得
7
cos
8
B
，由
2
AB
AC
可得sin
2sin
C
B
，结合AM
BM
得
2
AMC
B
，利用正
弦定理即可求得答案；
（2）由余弦定理求得
2
BC
，根据角平分线性质定理可求得
2
3
CM
，再求得sinC ，由三角形面积公式可得答案.
（1）因为
15
sin
8
B
，
π
0, 2
B
,所以
2
7
cos
1 sin
8
B
B
，因为
2
AB
AC
，
所以由正弦定理知sin
2
sin
C
AB
B
AC
，即sin
2sin
C
B
，
因为AM
BM
，所以
2
AMC
B
，sin
sin2
2sin
cos
AMC
B
B
B
，
在AMC
中，
sin
2sin
cos
7
cos
sin
2sin
8
AC
AMC
B
B
B
AM
C
B
．
（2）由题意知
2
2
AB
AC
，设BC
x
，由余弦定理得
2
2
2
2
1
7
cos
4
8
x
B
x
，解得
2
BC
或
3
2
BC
．
因为2AC
BC
，所以
2
BC
，因为AM 为
BAC
的平分线，
BAM
CAM
所以
1
1
sin
2
2
1
1
sin
2
2
ABM
ACM
AB AM
BAM
BM
h
S
S
AC AM
CAM
CM
h
（h 为底边BC 的高）
所以
2
BM
AB
CM
AC
，故
1
2
3
3
CM
BC
，而由（1）知
15
sin
2sin
4
C
B
，
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所以
1
1
2
15
15
sin
1
2
2
3
4
12
ACM
S
AC CM
C
△
．
2.（2022·河南·模拟预测（文））在ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边为, ,
a b c ，已知
2,
4,2sin
3sin 2
b
c
A
C
.
(1)求a ；
(2)设A 的平分线与BC 交于点D ，求AD 的长.
【答案】(1)
3 2
a
(2)2
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理可得答案；（2）利用余弦定理、角平分线性质可得答案.
（1）由2sin
3sin2
A
C
得sin
3sin
cos
A
C
C
，再由正弦定理和余弦定理得
2
2
2
3
2
a
b
c
a
c
ab
把
2,
4
b
c
代入
2
4 16
3 4
2
2
a
a
a
得
2
2
3
12
a
a
所以
3 2
a
；
（2）由余弦定理可得
2
2
2
2
cos
2
4
a
b
c
C
ab
，因为AD 是角A 的平分线，
AB
AC
BD
CD
,
2
AB
AC
，
所以
2
BD
CD
，所以
2
CD
.
在
ACD
△
中，
2
2
2
2
cos
4
AD
AC
CD
AC CD
C
，
所以
2
AD
.
3.（2022·湖北·高三开学考试）已知ABC
的角
, ,
A B C 的对边分别为
, ,
a b c ，且
sin
( cos
cos
)
sin
sin
sin
A c
B
b
C
c
B
c
C
b
B
，
(1)求角A ;
(2)若AD 平分
BAC
交线段BC 于点D ，且
2,
2
AD
BD
CD
，求ABC
的周长
【题型三】中线的处理方法
【典例分析】
（2022·福建·三明一中模拟预测）已知ABC
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
2
2 cos
c
b
a
C
．
(1)求角A；
(2)若M 为BC 的中点，
3
AM
，求ABC
面积的最大值．
【答案】(1)
π
3
A
(2)
3
【分析】（1）解法一：根据正弦定理边化角求解即可；
解法二：利用余弦定理将cosC 用边表示再化简即可；
（2）解法一：根据基底向量的方法得
1 (
)
2
AM
AB
AC
，两边平方化简后可得
2
2
12
b
c
bc
，再结合基本不等式与
面积公式求面积最大值即可；
解法二：设BM
MC
m
，再分别在
ABM
，
ACM
△
和ABC
中用余弦定理，结合cos
cos
0
AMB
AMC
可得
2
2
12
b
c
bc
，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可
(1)解法一：因为
2
2 cos
c
b
a
C
，
由正弦定理得：sin
2sin
2sin
cos
C
B
A
C
，
所以sin
2sin(
)
2sin
cos
C
A
C
A
C
2sin
cos
2cos
sin
2sin
cos
2cos
sin
A
C
A
C
A
C
A
C
，
因为sin
0
C
，所以
1
2cos
1,cos
2
A
A
，为0
π
A
，所以
π
3
A
．
解法二：因为
2
2 cos
c
b
a
C
，由余弦定理得：
2
2
2
2
2
2
a
b
c
c
b
a
ab
，整理得
2
2
2
bc
b
c
a
，
即
2
2
2
a
b
c
bc
，又由余弦定理得
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
所以
1
2cos
1,cos
2
A
A
，
因为0
π
A
，所以
π
3
A
．
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(2)解法一：因为M 为BC 的中点，所以
1 (
)
2
AM
AB
AC
，
所以
2
2
2
1
2
4
AM
AB
AB AC
AC
，即
2
2
1
3
2
cos
4
3
c
b
bc
，
即
2
2
12
b
c
bc
，而
2
2
2
b
c
bc
，
所以12
2
bc
bc
即
4
bc
，当且仅当
2
b
c
时等号成立
所以ABC
的面积为
1
1
3
sin
4
3
2
2
2
ABC
S
bc
A
△
．即ABC
的面积的最大值为
3 ．
解法二：设BM
MC
m
，
在
ABM
中，由余弦定理得
2
2
3
2
3
cos
c
m
AMB
，①
在
ACM
△
中，由余弦定理得
2
2
3
2
3
cos
b
m
AMC
，②
因为
π
AMB
AMC
，所以cos
cos
0
AMB
AMC
所以①+②式得
2
2
2
6
2
b
c
m
．③
在ABC
中，由余弦定理得
2
2
2
4
2
cos
m
b
c
bc
A
，
而
π
3
A
，所以
2
2
2
4m
b
c
bc
，④
联立③④得：
2
2
2
2
2
2
12
b
c
b
c
bc
，即
2
2
12
b
c
bc
，而
2
2
2
b
c
bc
，
所以12
2
bc
bc
，即
4
bc
，当且仅当
2
b
c
时等号成立．
所以ABC
的面积为
1
1
3
sin
4
3
2
2
2
ABC
S
bc
A
△
．即ABC
的面积的最大值为
3 ．
【提分秘籍】
基本规律
中线的处理方法
1.向量法：
1 (
)
2
AD
AB
AC
2
2
2
1
2
4
AM
AB
AB AC
AC
2. 双余弦定理法（补角法）：
如图设BD
DC
，
在
ABD
中，由余弦定理得
2
2
2
2
cos
AB
AD
BD
AD
BD
ADB
，①
在
ACD
△
中，由余弦定理得
2
2
2
2
cos
AC
AD
DC
AD
DC
ADC
，②
因为
π
AMB
AMC
，所以cos
cos
0
ADB
ADC
所以①+②式即可
3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形
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4.中线分割的俩三角形面积相等
【变式演练】
1.（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且sin
sin
2
B
C
b
a
B
.
(1)求角A 的大小；
(2)若D 为BC 边中点，且
2
AD
，求a 的最小值.
【答案】(1) π
3 (2) 4 3
3
【分析】（1）利用三角恒等变形及正弦定理即可求解；（2）利用余弦定理及基本不等式即可求解.
(1)∵sin
sin
2
B
C
b
a
B
，∴
π
sin
sin
2
A
b
a
B
，即cos
sin
2
A
b
a
B
.
由正弦定理得
cos
sin
sin
2
sin
A
B
A
B
.∵sin
0
B
，∴cos
sin
2sin
cos
2
2
2
A
A
A
A
.
∵cos
0
2
A
，∴
1
sin 2
2
A
，又∵
π
0
2
2
A
,
∴
π
2
6
A
，∴
π
3
A
；
(2)∵D 为BC 边中点，∴2AD
AB
AC
uuur
uuur
uuur ，即
2
2
4
(
)
AD
AB
AC
,
∵
2
AD
，∴
2
2
16
2
cos
c
b
bc
A
，∴
2
2
16
b
c
bc
,
∴
2
2
2
16
bc
b
c
bc
，即
16
3
bc
, 当且仅当
4 3
3
b
c
时取等号,
∵
2
2
2
2
2
2
cos
16
2
a
b
c
bc
A
b
c
bc
bc
，
∴
2
16
16
16
2
3
3
a
，即
4 3
3
a
.故a 的最小值为4 3
3
.
2.（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）如图，在ABC
中，
2,
6 2, ,
AB
AC
E F
分别是
,
BC AC 的中点．从条件
①
4
BAC
；②
10
BF
中选择一个作为已知条件，完成以下问题：
(1)求
ACB
的余弦值；
(2)若
,
AE BF 相交于点G ，求
EGF
的余弦值．
（注：若两个条件都选择作答，则按第一个条件作答内容给分）
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【答案】(1)条件选择见解析，5 26
26
(2)条件选择见解析，13 10
50
【分析】（1）若选择条件①：由余弦定理计算BC ，再由余弦定理计算
ACB
的余弦值；若选择条件②：由余弦定理得
出
π
4
BAF
，BC ，再由余弦定理计算
ACB
的余弦值；
（2）若选择条件①：由余弦定理得出BF ，AE ，再由
ABG
EFG
△
∽△
得出
1
5
3
3
GE
AE
，
1
10
3
3
GF
BF
，最后由余弦
定理得出
EGF
的余弦值；若选择条件②：由余弦定理得出AE ，再由
ABG
EFG
△
∽△
得出
1
5
3
3
GE
AE
，
1
10
3
3
GF
BF
，
最后由余弦定理得出
EGF
的余弦值；
(1)若选择条件①：
在ABC
中，由余弦定理可求得
2
2
2
2
(6 2)
2 2 6 2
2 13
2
BC
，
72
52
4
5 26
cos
26
2
2 13
6 2
ACB
．
若选择条件②：
在ABF
中，
2
3 2
AB
AF
，
，
10
BF
，由余弦定理可求得
4
18 10
2
2
2
2 3
o
2
c s
BAF
，
所以
π
4
BAF
，在ABC
中，由余弦定理可求得
2
2
2
2
(6 2)
2 2 6 2
2 13
2
BC
．
72
52
4
5 26
cos
26
2
2 13
6 2
ACB
．
(2)若选择条件①：在ABF
中，由余弦定理可求得
2
2
2
2
(3 2)
2 2 3 2
10
2
BF
，
由于E
F
，分别是BC
AC
，
的中点，所以EF
AB
∥
，则
3π
4
EFA
，
1
EF ，
3 2
AF
，
在AEF
中，由余弦定理可得
2
2
2
(3 2)
1
2 3 2 1
5
2
AE
．
连接EF ，由EF
AB
∥
，可得
ABG
EFG
△
∽△
，则
1
2
GE
GF
EF
AG
GB
AB
．
所以
1
5
3
3
GE
AE
，
1
10
3
3
GF
BF
，在
EGF
△
中，余弦定理求得
25
10
1
13 10
9
9
cos
50
5
10
2
3
3
EGF
．
若选择条件②：
由于E
F
，分别是BC
AC
，
的中点，所以EF
AB
∥
，
则
3π
4
EFA
，
1
EF ，
3 2
AF
，在AEF
中，由余弦定理可得
2
2
2
(3 2)
1
2 3 2 1
5
2
AE
．
连接EF ，由EF
AB
∥
，可得
ABG
EFG
△
∽△
，则
1
2
GE
GF
EF
AG
GB
AB
．所以
1
5
3
3
GE
AE
，
1
10
3
3
GF
BF
，
在
EGF
△
中，余弦定理求得
25
10
1
13 10
9
9
cos
50
5
10
2
3
3
EGF
．
【题型四】三角形高的类型
【典例分析】
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（2022·安徽蚌埠·一模）记ABC
内角
, ,
A B C 的对边为, ,
a b c ，已知sin
sin sin ,
C
A
B CD
AB
于D .
(1)证明：CD
c
；
(2)若
2
2
5
a
b
ab
，求sinC 的值.
【答案】(1)证明见解析(2)
5
5
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合正弦值的计算公式列方程即可；
（2）由面积公式得
2
sin
c
ab
C
，利用余弦定理和辅助角公式化简即可.
（1）根据正弦定理和题设可得
sin
sin
sin
C
c
B
A
a
，又sin
CD
B
a
，所以CD
c
.
（2）由三角形的面积公式可得
2
1
1
1
sin
2
2
2
S
ab
C
AB CD
c
，
所以
2
sin
c
ab
C
又由余弦定理
2
2
2
2
cos
5
2
cos
c
a
b
ab
C
ab
ab
C
因此
sin
5
2
cos
ab
C
ab
ab
C
，得
sin
2cos
5sin
5
C
C
C
其中θ为锐角，且tan
2
，于是
2
C
，所以
5
sin
sin
cos
2
5
C
【提分秘籍】
基本规律
高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如
2
1
1
1
sin
2
2
2
S
bc
A
BC
AD
c
2.三角函数法：
cos
,
sin
,
BCD
BD
AB
ABD AD
AB
ABD
在
中，
【变式演练】
1.（2022·河南安阳·高三开学考试（理））已知ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
sin
sin
3
sin
0
a
b
A
B
c
a
C
.
(1)求角B 的大小；
(2)若BC 边上的高为b
c
，求sin A .
【答案】(1) 6
(2)
3
2 2
6
【分析】（1）先根据式子形式采取角化边，然后利用余弦定理的推论即可解出；
（2）先根据锐角三角函数的定义可知，
π
sin 6
b
c
c
，得出,b c 关系，再根据sin
b
c
C
b
可求出sinC ，然后根据三角
形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦公式化简sin
sin π
sin
6
6
A
C
C
，即可解出．
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（1）
由
sin
sin
3
sin
0
a
b
A
B
c
a
C
，得
3
0
a
b
a
b
c
a c
，即
2
2
2
3
a
c
b
ac
，
∴
2
2
2
3
cos
2
2
a
c
b
B
ac
，∵0
π
B
，∴
π
6
B
.
（2）
∵
π
6
B
，且BC 边上的高为b
c
，∴
π
sin 6
b
c
c
，∴
2
3
c
b
，
∴
1
sin
3
b
c
C
b
.∵c
b
，∴C 为锐角，∴
2 2
cos
3
C
，
∴
π
π
3
2 2
sin
sin π
sin
sin
cos
cos
sin
6
6
6
6
6
A
C
C
C
C
.
2.（2023·全国·高三专题练习）记ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且cos
cos
2 cos
b
C
c
B
a
A
.
(1)求A 的大小；
(2)若BC 边上的高为
3
2
，且A 的角平分线交BC 于点D ，求AD 的最小值.
【答案】(1)
π
3
A
(2)
3
2
【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，结合三角恒等变换整理；（2）根据等面积可得bc
a
，利用余弦定理得
2
2
2
2
b c
b
c
bc
和基本不等式可得
1
bc ，根据面积得
3bc
AD
b
c
，整理分析．
（1）由正弦定理得sin
cos
sin
cos
2sin
cos
B
C
C
B
A
A
，得
sin
sin
2sin
cos
B
C
A
A
A
，因为
0,π
A
，所以
1
cos
2
A
，
即
π
3
A
.
（2）因为
1
1
3
sin
2
2
2
ABC
S
bc
A
a
△
，所以bc
a
.由余弦定理得
2
2
2
a
b
c
bc
，得
2
2
2
2
b c
b
c
bc
bc
≥
（当且仅
当
1
b
c
时，等号成立），即
1
bc .因为
1
1
π
1
π
sin
sin
sin
2
2
6
2
6
ABC
S
bc
A
b AD
c AD
△
，所以
3bc
AD
b
c
.因为
2
2
2
3
b c
bc
b
c
，所以
2
2
2
2
2
3
3
3
3
1
b c
AD
b c
bc
bc
.因为函数
3
3
1
f
x
x
在
1,上单调递增，所以
3
1
4
f x
f
≥
，
所以
2
3
4
AD ≥
，即
3
2
AD≥
.故AD 的最小值为
3
2
.
【题型五】三角形内心
【典例分析】
（2022·全国·模拟预测）在ABC
中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，
3
a
，
2
b
，sin A
m
．
(1)若ABC
唯一确定，求m 的值；
(2)设I 是ABC
的内切圆圆心，r 是ABC
内切圆半径，证明：当
2
1
c
r
时，IC
IA IB
．
【答案】(1)1(2)证明见解析
【分析】（1）若0
1
m
，根据sin A
m
，b
a
，可知A 可以为锐角，也可以为钝角，ABC
有两种情况，若
1
m ，
则三角形为直角三角形，ABC
有唯一解.
（2）由
2
1
c
r
可推导出ABC
为直角三角形，故可计算出
,
,
IC IA IB 的值，即得证.
(1)
设AB 边上的高为
ch ，则
sin
2
0
ch
b
A
m
．
当
1
m 时，由勾股定理，若A 为锐角，则
2
2
9
4
c
c
c
h
h
；若A 为钝角，则
2
2
9
4
c
c
c
h
h
，所以ABC
存
在两种情况，不能被唯一确定．
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当
1
m 时，ABC
为直角三角形，其中A 为直角顶点，
2
2
5
c
a
b
可以唯一确定，即ABC
唯一确定，故m 的
值为1．
(2)当
2
1
c
r
时，由余弦定理，
2
2
2
2
3
cos
2
3
a
b
c
r
r
C
ab
，故由同角三角函数的关系可得
2
2
2
2
1
sin
1 cos
3
9
C
C
r
r
r
r
，
所以ABC
的面积
2
2
1
sin
6
2
S
ab
C
r
r
r
r
．
另一方面，
1
3
2
S
a
b
c r
r r
，所以有
2
2
2
6
3
r
r
r
r
r r
，两边平方可得
2 1
3
r
r
r r
，
解得
5
1
2
r
（负值舍去），
2
1
5
c
r
，所以ABC
是以A 为直角顶点的直角三角形．因此有
2
2
2
5
1
5
1
2
9
3 5
2
2
IC
，
30
6
9
3 5
2
IC
；
2
2
2
5
1
5
1
3
5
2
2
IA
，
10
2
3
5
2
IA
；
2
2
2
5
1
5
1
5
3
2
2
IB
，
3
IB
．所以有IC
IA IB
成立．
【提分秘籍】
基本规律
内切圆：等面积构造法求半径
2
1
2
S
S
a
b
c r
r
a
b
c
【变式演练】
1.（2022·云南省下关第一中学高三开学考试）在ABC
中a，b，c 分别为内角A，B，C，的对边，已知
(
)(sin
sin
)
(sin
sin
)
a
b
A
B
c
C
B
．
(1)求角A；
(2)若
2
a
，且ABC
的内切圆半径
3
4
r
，求ABC
的面积．
【答案】(1)
3
A
(2)11 3
16
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【分析】（1）将已知式子利用正弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理可求出角A；
（2）先利用面积法可求得
2
2
b
c
bc
，再结合（1）得到的式子可求出bc ，从而可求出三角形的面积.
（1）
由已知及正弦定理得：(
)(
)
(
)
a
b a
b
c
b c
，即
2
2
2
b
c
a
bc
，
所以
2
2
2
1
cos
2
2
b
c
a
A
bc
，又因为
(0, )
A
，故
3
A
．
（2）由已知得1
3
1
3
(2
)
2
4
2
2
b
c
bc
，即
2
2
b
c
bc
，
又因为
2
2
4
b
c
bc
，即
2
(
)
3
4
b
c
bc
，所以
2
(2
2)
3
4
bc
bc
，解得
11
4
bc
，或
0
bc
（舍去），
所以ABC
的面积为
1
3
11 3
2
2
16
ABC
S
bc
．
2.（2021·河南南阳·高三期末（理））在 ABC
V
中，
sin
sin
3sin
cos
sin
B
C
C
C
A
.
(1)求A；
(2)若 ABC
V
的内切圆半径
2
r
，求
AB
AC 的最小值.
【答案】(1)
3
A
；(2)8 3 .
【分析】（1）根据已知条件、三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，再结合解三角方程即可求解.
（2）由题意可知，利用三角形的等面积法ABC
1
1
sin
(
)
2
2
ABC
S
bc
A
a
b
c r
△
及余弦
定理得出含有b
c
和bc 的关系式，再利用基本不等式的变形即可求得
AB
AC 的最小值.
(1)在 ABC
V
中,
sin
sin
3sin
cos
sin
B
C
C
C
A
，
整理得3sin
sin
sin
cos
sin
sin
sin(
)
sin
C
A
A
C
B
C
A
C
C
，即
sin
sin
sin
cos
sin
cos
cos
sin
sin
C
A
A
C
A
C
A
C
C
3
，于是
所以
3sin
sin
cos
sin
sin
C
A
A
C
C
，
因为sin
0
C
，所以
3 sin
cos
1
A
A
，即
3
1
1
sin
cos
2
2
2
A
A
，
所以
1
sin
6
2
A
，又因为0
A
，所以
,
π
π
π
A
5
6
6
6
，
所以
6
6
A
，解得
3
A
.所以
3
A
.
(2)令
,
,
BC
a AB
c AC
b
，（1）知
3
A
.由
1
1
sin
(
)
2
2
ABC
S
bc
A
a
b
c r
△
，得
(
)
bc
a
b
c
3
2
2
，即
bc
b
c
a
3
4
，由余弦定理及（1）知
3
A
，得
2
2
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
b
c
bc
，所以
(
)
bc
b
c
b
c
bc
b
c
bc
2
2
2
2
3
3
4
，
即
(
)
(
)
(
)
(
)
bc
b
c
bc b
c
b
c
bc
2
2
2
3
3
3
16
2
，于是
(
)
bc
b
c
3
3
3
16
2
(
)
b
c
b
c
bc
2
3
3
3
3
2
16
16
2
-
当且仅当b
c
时取等号
所以
(
)
(
)
b
c
b
c
2
3
32
64 3 0
. ，
(
) (
(
)
b
c
b
c
8 3
3
8
0
.
b
c 8 3
.
或b
c
3
8 ，
-
又 ABC
V
的内切圆半径
2
r
，
3
A
，
tan
b
c >
2
2
4 3
6
，
b
c 8 3
.
，
AB
AC 的最小值为8 3 .
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【题型六】外接圆
【典例分析】
（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）在ABC
中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c．已知ABC
的外接圆半径
2
R
，且
2 sin
tan
tan
cos
A
B
C
C
．
(1)求B 和b 的值；
(2)求ABC
面积的最大值．
【答案】(1)
4
B
，b=2；(2)1
2
【分析】（1）利用同角三角函数间的关系切化弦得sin
sin
2 sin
cos
cos
cos
B
C
A
B
C
C
，再由正弦的和角公式化简可求得B，再利
用正弦定理可求得b；
（2）由余弦定理得
2
2
4
2
a
c
ac
，利用基本不等式得
2(2
2)
ac
，由三角形的面积公式可求得答案.
（1）解：因为
2 sin
tan
tan
cos
A
B
C
C
，所以sin
sin
2 sin
cos
cos
cos
B
C
A
B
C
C
，
cos
cos
sin
2sin
s
cos
in
C
B
C
A
B
B
，即sin(
)
2 sin
cos
B
C
A
B
，
因为A
B
C
，所以
2sin
c
sin
os
A
B
A
，
又sin
0
A
，所以
2
cos
2
B
，所以
4
B
，
又ABC
的外接圆半径
2
R
，所以由正弦定理
2
sin
b
R
B
得
2
2
2
2
2
b
；
（2）解：由余弦定理
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
得
2
2
4
2
a
c
ac
，
由基本不等式得
2
2
2
2
2
4
a
c
ac
ac
ac
（当且仅当a
c
时取等号），所以
4
2(2
2)
2
2
ac
（当且仅当a
c
时取等号），所以
1
2
2
sin
2 2
2
1
2
2
4
4
ABC
S
ac
B
ac
（当且仅当a
c
时取等号），
故ABC
面积的最大值为1
2
．
【提分秘籍】
基本规律
外接圆：
1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在
三角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
2.正弦定理：a
sin A＝b
sin B＝
c
sin C＝2R，其中R 为外接圆半径
【变式演练】
1.（2022·山东聊城·高一期末）在ABC
中，a，b，c 分别为角A，B，C 的对边，且
2
2
2
3 sin
2
a
b
c
c
A
b
c
b
.
(1)求角A；
(2)若ABC
是钝角三角形，且
2
b
c
，求ABC
外接圆半径的取值范围.
【答案】(1) 3
(2) 2 3 ,2
3
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【分析】（1）先利用余弦定理化简已知条件得
3 sin
cos
c
A
a
C
b
c
，再利用正弦定理边化角，然后由
sin
sin
sin
cos
cos
sin
B
A C
A
C
A
C
及辅助角公式化简可得
1
sin
6
2
A
，最后确定角的范围即可求解；
（2）由（1）知
3
A
，利用余弦定理有
2
2
2
a
b
c
bc
，又
2
b
c
，可得
2
2
2
4
a
c
c
①，由ABC
是钝角三角形，
且
2
b
c
，可知角B 为钝角，可得
2
4
4
a
c
②，由①②可得0
2
c
，进而可得2
2 3
a
，最后利用正弦定理即
可求解.
(1)解：由余弦定理得
2
2
2
2
cos
a
b
c
ab
C
，所以
3 sin
cos
c
A
a
C
b
c
，
由正弦定理得
3sin sin
sin cos
sin
sin
C
A
A
C
B
C
，又
sin
sin
sin
cos
cos
sin
B
A C
A
C
A
C
，sin
0
C
，
所以
3sin
cos
1
A
A
，即
1
sin
6
2
A
，因为
5
6
6
6
A
，所以
6
6
A
，即
3
A
；
(2)解：由（1）知
3
A
，所以
2
2
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
b
c
bc
，
又
2
b
c
，所以
2
2
2
2
2
2
2
4
a
c
c
c
c
c
c
①，
因为ABC
是钝角三角形，由
2
b
c
，可知角B 为钝角，
所以
2
2
2
a
c
b
，即
2
2
2
2
a
c
c
，得
2
4
4
a
c
②，
由①②可得
2
2
4
4
4
c
c
c
，解得
2
c
，所以0
2
c
，
由
2
2
2
2
4
1
3
a
c
c
c
，得
2
4
12
a
，即2
2 3
a
.
设ABC
外接圆半径为R，由正弦定理知
4 3
2
,4
sin
3
a
R
A
，
所以ABC
外接圆半径的取值范围是
2 3 ,2
3
.
2.（2022·四川省绵阳南山中学高一阶段练习）已知ABC
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
(2 sin
3 )sin
3( sin
sin
)
c
B
a
A
c
C
b
B
.
(1)求角B 的大小；
(2)若ABC
为钝角三角形，___________，求ABC
外接圆的半径R 的取值范围.请在下列两个条件中选择一个作为条件
补充在横线上，并解决问题.①
3
a
c
；②
3
a
c
.
【答案】(1) 3
(2)答案见解析
【分析】（1）由正弦定理的边角互化结合余弦定理得出角B 的大小；
（2）选择条件①：由正弦定理得出
3
2
sin
sin
R
A
C
，再结合三角函数的性质得出
3 3
sin
sin
,
2
2
A
C
，进而得出
ABC
外接圆的半径R 的取值范围；选择条件②：由余弦定理证明
(0,3)
c
，
(3,3 3)
b
，再由正弦定理得出ABC
外
接圆的半径R 的取值范围；
(1)因为(2 sin
3 )sin
3( sin
sin
)
c
B
a
A
c
C
b
B
，由正弦定理可得
2
2
2
2
sin
3
3
3
ac
B
a
c
b
，
即
2
2
2
2
sin
3
ac
B
c
a
b
，所以2
sin
2 3
cos
ac
B
ac
B
，
可得sin
3 cos
B
B
，即tan
3
B
，由B 为内角可得
3
B
.
(2)若选择条件①
由正弦定理，
3
2
sin
sin
sin
sin
sin
sin
a
c
a
c
R
A
C
A
C
A
C
，
而
2
3
3
sin
sin
sin
sin
cos
3 sin
3
2
2
6
sin
C
A
A
A
A
A
A
，因为ABC
为钝角三角形，
则
2
0,
,
6
2
3
A
，则
2
5
,
,
6
6 3
3
6
A
，
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1
3
sin
,
6
2
2
A
，故
3 3
sin
sin
,
2
2
A
C
，
ABC
外接圆的半径为
3
(1, 3)
2(sin
sin
)
R
A
C
.
若选择条件②
因为ABC
为钝角三角形，由
3
a
c
及
3
B
知角A 必为钝角，即
2
2
2
0
b
c
a
（*），
由余弦定理得
2
2
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
a
c
ac
，
代入(*) 式得
2
2
0
c
ac
，故
2
a
c
.所以3
a
c
c
，得
(0,3)
c
，
故
2
2
2
2
2
(
)
9
(
3)
3
9
(9,27)
b
a
c
ac
a
c
ac
c
c
c
c
，
可得
(3,3 3)
b
，由正弦定理得
1
( 3,3)
2sin
3
b
R
b
B
.
【题型七】双三角形
【典例分析】
（2023·全国·高三专题练习）ABC
的内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且3(
cos
)
sin
a
b
C
c
B
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
3,
2
a
c
，D 为BC 边上一点，
1
5
CD
DB
，求
2
cos
BDA
的值．
【答案】(1)
3
B
(2) 3
7
【分析】（1）根据正弦定理，边化角即可求解.
（2）在
ABD
△
中由余弦定理和正弦定理求解.
（1）因为3(
cos
)
sin
a
b
C
c
B
，
3
3 cos
sin
a
b
C
c
B
，由正弦定理得
3sin
3sin
cos
sin
sin
A
B
C
C
B
，
3sin(
)
3sin
cos
sin
sin
B
C
B
C
C
B
，化简得
3 cos
sin
sin
sin
B
C
C
B
，又因为sin
0
B
，sin
0
C
，所以
3 cos
sin
B
B
即tan
3
B
，因为
(0, )
B
，所以
3
B
.
（2）因为
3
a
，
1
5
CD
DB
，所以
1
5
,
2
2
CD
DB
，在
ABD
△
中由余弦定理得
2
2
2
5
5
1
21
2
( )
2
2
2
2
2
4
AD
，所以
21
2
AD
.由正弦定理得sin
sin
AD
AB
B
BDA
,
2 7
sin
7
BDA
.所以
2
2
3
cos
1 sin
7
BDA
BDA
.
【变式演练】
1.（2022·辽宁·高三期末）在①
3
3 cos
sin
b
c
A
a
C
，②
1 tan
1
2 tan
a
C
b
B
，③sin
sin
sin
sin
A
C
A
B
b
a
c
，这三个条
件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题，在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求C；
(2)若△ABC 的面积为
3 ，D 在边AC 上，且CD= 1
3 CA，求BD 的最小值．
【答案】(1)
3
C
(2) 2 3
3
【分析】（1）方案一：选条件①．结合正弦定理与两角和的正弦公式求解即可；方案二：选条件②．由正弦定理及同
角三角函数的基本关系式化简求解即可；方案三：选条件③．由正弦余弦定理化简求解即可.
（2）根据面积公式可得
4
ab
，再根据余弦定理结合基本不等式求解最值即可.
(1)方案一：选条件①．
由
3
3 cos
sin
b
c
A
a
C
，可得
3
cos
sin
3
b
c
A
a
C
，由正弦定理得
3
sin
sin
cos
sin
sin
3
B
C
A
A
C
，
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因为
(
)
B
A
C
，所以sin
sin(
)
B
A
C
，所以
3
sin
cos
cos
sin
sin
cos
sin
sin
3
A
C
A
C
C
A
A
C
，
故
3
sin
cos
sin
sin
3
A
C
A
C
，又sin
0
A
，于是sin
3 cos
C
C
，即tan
3
C
，
因为
(0, )
C
，所以
3
C
．
方案二：选条件②．
因为
1 tan
1
2 tan
a
C
b
B
，所以由正弦定理及同角三角函数的基本关系式得sin
1 sin
cos
1
sin
2 cos
sin
A
C
B
B
C
B
，即
sin
sin
cos
cos
sin
sin(
)
sin
2cos
sin
2cos
sin
A
C
B
C
B
C
B
B
C
B
C
B
，因为A
B
C
，所以
,sin(
)
sin
B
C
A
B
C
A
，
又sin
0,sin
0
A
B
所以
1
cos
2
C
，因为
(0, )
C
，所以
3
C
．
方案三：选条件③．
sin
sin
sin
sin
A
C
A
B
b
a
c
，由正弦定理得a
c
a
b
b
a
c
，
即
2
2
2
a
c
ab
b
，∴
2
2
2
a
b
c
ab
，∴由余弦下定得
2
2
2
1
cos
2
2
a
b
c
C
ab
．
又
(0, )
C
，所以
3
C
．
(2)由题意知
1
1
3
sin
3
2
2
2
ABC
S
ab
C
ab
△
，得
4
ab
．
由余弦定理得
2
2
2
2
2
1
1
1
4
2
cos
2
9
3
9
3
3
3
3
3
b
b
b
b
BD
a
a
C
a
ab
a
ab
ab
，
当且仅当
1
3
a
b
且
4
ab
，即
2 3 ,
2 3
3
a
b
时取等号，所以BD的最小值为2 3
3
．
2.（2022·全国·高三专题练习）设ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且cos
2 sin ,
2
c
A
a
B c
b
．
(1)求A；
(2)设D 是AB 边上靠近A 的三等分点，
5
CD
，求ABC
的面积．
【答案】(1)
π
4
A
；(2) 9
2 .
【分析】（1）根据给定条件，再利用正弦定理边化角，借助同角公式计算作答.
（2）利用余弦定理求出b ，再利用三角形面积公式计算作答.
(1)
在ABC
中，由cos
2 sin ,
2
c
A
a
B c
b
得：
cos
sin
b
A
a
B
，由正弦定理得sin
cos
sin
sin
B
A
A
B
，
而0
π
B
，即sin
0
B
，则tan
1
B ，又0
π
A
,所以
π
4
A
.
(2)依题意
1
2
3
3
AD
AB
b
，在
ACD
△
中，由余弦定理得：
2
2
2
2
cos
CD
AC
AD
AC AD
A
，
即
2
2
2
2
2
2
5
5
2
9
3
2
9
b
b
b
b
b
，解得
3
b
，
所以ABC
的面积
2
1
2
π
9
sin
sin
2
2
4
2
ABC
S
bc
A
b
.
【题型八】四边形
【典例分析】
（2021·山东·高三开学考试）在梯形ABCD 中，
/ /
AB
CD ，
3
BC
AD
，
2
BAD
BCD
．
(1)求
BCD
；
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(2)若AB=AD=2，求梯形ABCD 的面积．
【答案】(1)
30
BCD
(2)3 3
【分析】（1）连接BD，在梯形ABCD中可得
ABD
BDC
，利用正弦定理结合二倍角的正弦公式可得cos
BCD
的
值，即可求解
BCD
的值；
（2）根据（1）的结论，结合已知条件可判断
ABD
△
为等边三角形，进而得到BD的值，利用勾股定理求解CD 的值，
利用三角形面积公式求解
,
ABD BCD
的面积，即可得到梯形的面积.
（1）
解：连接BD，在
ABD
△
中，由正弦定理得sin
sin
BD
AD
BAD
ABD
，
在
BCD
△
中，由正弦定理得sin
sin
BD
BC
BCD
BDC
，
因为
ABD
BDC
，
所以sin
sin
BAD
BC
BCD
AD
，
又
3
BC
AD
，
2
BAD
BCD
，
所以sin 2
3
sin
BCD
BCD
，化简得
3
cos
2
BCD
．
因为0
180
BCD
，所以
30
BCD
．
（2）解：因为
2
60
BAD
BCD
，
2
AB
AD
．
所以
ABD
△
为等边三角形，且
2
BD
，
180
60
30
90
DBC
，且CD
2
2
2
2
2
(2 3)
4
BD
BC
，
又
3
2 3
BC
AD
所以
ABD
△
的面积为
1
sin
3
2
ABD
S
AB AD
BAD
，
BCD
△
的面积为
1
sin
2 3
2
BCD
S
BC DC
BCD
，
所以梯形ABCD 的面积为
3 3
ABD
BCD
S
S
S
.
【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB
4
，
2 3
AC
，
1
cos
3
ACB
，
2
D
B
.
(1)求sin
B
；
(2)若
4
AB
AD
，求CD 的长.
【答案】(1)
6
sin
3
B
(2)3
【分析】（1）先求出sin
ACB
，在ABC
中结合正弦定理求解即可；
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（2）根据题中
2
D
B
条件运用二倍角公式求出cos
D
的值，然后在
ADC
中结合余弦定理求解即可.
（1）因为
1
cos
3
ACB
，
0,
ACB
，所以
2
1
2 2
sin
1
3
3
ACB
，
在ABC
中，根据正弦定理知，sin
sin
AC
AB
B
ACB
，即
2 3
4
sin
2 2
3
B
，解得
6
sin
3
B
.
（2）因为AB
4
且
4
AB
AD
，所以
1
AD .因为
2
D
B
，
所以
2
2
1
cos
cos2
1 2sin
1 2
3
3
D
B
B
，
在
ADC
中，由余弦定理知，
2
2
2
cos
2
AD
CD
AC
D
AD CD
，即
2
1
12
1
3
2 1
CD
CD
，
所以
2
3
2
33
0
CD
CD
，即
3
3
11
0
CD
CD
，
解得
3
CD
或
11
3
CD
（舍去），所以CD 的长为3.
2.
（2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试）如图，在圆内接四边形ABCD 中，
120
B
，
2
AB
，
2 2
AD
，ABC
的面积为
3 .
(1)求AC；
(2)求
ACD
.
【答案】(1) 2 3 (2) 45
【分析】（1）根据面积公式可得
2
BC
，再根据余弦定理求解可得
2 3
AC
；
（2）根据内接四边形可得
60
D
，再根据正弦定理求解即可
（1）
因为ABC
面积为
3 ，所以1
sin
3
2 AB BC
B
.
又因为
120
B
，
2
AB
，所以
2
BC
.
由余弦定理得，
2
2
2
cos
AC
AB
BC
AB BC
B
，
2
2
2
2
2
2
2
2cos120
AC
12
，所以
2 3
AC
.
（2）因为ABCD 为圆内接四边形，且
120
B
，所以
60
D
.又
2 2
AD
，由正弦定理可得，sin
sin
AD
AC
ACD
D
，
故
sin
sin
AD
D
ACD
AC
2 2 sin 60
2 3
2
2
.因为AC
AD
，所以0
60
ACD
，所以
45
ACD
.
【题型九】四边形图形最值
【典例分析】
（2023·全国·高三专题练习）在三角形ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且2
3
S
BA BC
，作AB⊥AD，
使得四边形ABCD 满足
3
ACD
，
3
AD
，
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(1)求B；
(2)设
BAC
，
BC
f
，求函数
f 的值域．
【答案】(1)
2
3
B
(2)
0,2
【分析】（1）由三角形面积公式和向量数量积公式，代入2
3
S
BA BC
计算可得
1
2
sin
3
cos
2 ac
B
ac
B
，化简
即可得解；
（2）首先找到各个角之间的关系，
2
CAD
，
6
CDA
，再由正弦定理可得
sin
2sin
sin
6
AD
ADC
AC
ACD
，
再在三角形ABC 中，由正弦定理得sin
sin
AC
BC
B
，
所以
sin
4 sin
sin
sin
6
3
AC
BC
f
B
，利用三角函数求最值即可得解.
(1)
由2
3
S
BA BC
，可得
1
2
sin
3
cos
2 ac
B
ac
B
，
即sin
3 cos
B
B ，可得tan
3
B
，因为
0,
B
，所以
2
3
B
，
(2)
∵
BAC
，则
2
CAD
，
6
CDA
，在三角形ACD 中，由正弦定理得sin
sin
AC
AD
ADC
ACD
，
可得
3 sin
sin
6
2sin
sin
6
sin 3
AD
ADC
AC
ACD
，在三角形ABC 中，由正弦定理得sin
sin
AC
BC
B
，
可得
2sin
sin
sin
4
6
sin
sin
2
sin
6
3
sin 3
AC
BC
f
B
2
4
3
1
4
3
1
sin
cos
sin
sin
sin
cos
2
2
2
2
3
3
2
1
1
1 cos2
2 3sin
2sin
cos
2 3
sin 2
2
3
3
1
2 3
sin 2
3 cos 2
1
sin 2
1
3
3
3
，因为
π
0
θ
3
<
<
，
可得
2
3
3
3
，当2
3
3
时，即
3
，可得2 3 sin
1
2
3
3
，
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当
2
3
3
时，即
0
，可得
2 3 sin
1
0
3
3
，所以
f 的值域为
0,2 ．
【变式演练】
1.（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））如图，平面四边形ABCD中，AB
BD
DA
，
1
BC ，
3
CD
，BCD
.
(1)若
π
2
，求AC
BD
的值；
(2)试问为何值时，平面四边形ABCD的面积最大？
【答案】(1)2
7
(2) 2 3
【分析】(1)根据题意可知
3
DBC
，在ABC
中利用余弦定理计算求得AC ，进而得出结果；
(2)在
BCD
△
中根据余弦定理可得
2
4
2 3 cos
BD
，利用三角形面积公式求出
ABD
BCD
S
S
、
，进而求出
ABCD
S四边形
，结
合三角函数的性质即可得出结果.
(1)若
π
2
，
1
3
BC
CD
，
，所以
2
BD
，得
2
AB
，
3
sin
2
DBC
，由0
ABC
DBC
，
得
3
DBC
，所以
2π
3
ABC
，在ABC
中，由余弦定理得
2
2
2
2
cos
7
AC
AB
BC
AB BC
ABC
，所以
2
7
AC
BD
；
(2)
BCD
，在
BCD
△
中，由余弦定理得
2
2
2
2
cos
4
2 3 cos
BD
BC
CD
BC CD
，
所以
2
1
3
sin
(4
2 3 cos )
2
3
4
ABD
S
BD
△
，
1
3
sin
sin
2
2
BCD
S
BC CD
△
，
所以
π
3sin
3
3
ABD
BC
A CD
D
B
S
S
S
四边形
，
当
5π
6
时，
ABCD
S四边形
取到最大值2 3 .
2.（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，
2,
2 3
AB
BC
CD
AD
.
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(1)证明：1 cos
3
cos
C
A
；
(2)记
ABD
△
与
BCD
△
的面积分别为
1S 和
2
S ，求
2
2
1
2
S
S
的最大值.
【答案】(1)证明见解析(2)14
【分析】（1）分别在
ABD
△
和
BCD
△
中，利用余弦定理表示BD，然后联立求解；
（2）结合（1）得到
2
2
1
2
S
S
2
3
24 cos
14
6
A
，利用二次函数的性质求解.
(1)证明：在
ABD
△
中，由余弦定理得
2
4
12
8 3 cos
16
8 3 cos
BD
A
A
，
在
BCD
△
中，由余弦定理得
2
4
4
8cos
8
8cos
BD
C
C
，
∴16
8 3cos
8
8cos
A
C
，所以
3cos
cos
1
A
C
，即1 cos
3
cos
C
A
.
(2)
1
1
2 2 3sin
2 3sin
2
S
A
A
，
2
1
2 2sin
2sin
2
S
C
C
，
则
2
2
2
2
2
2
1
2
12sin
4sin
16
12cos
4cos
S
S
A
C
A
C
由（1）知：
3 cos
1
cos
A
C
，
代入上式得
2
2
2
2
1
2
16 12cos
4
3 cos
1
S
S
A
A
，
2
24cos
8 3cos
12
A
A
，
2
3
24 cos
14
6
A
，
∴当
3
cos
6
A
时，
2
2
1
2
S
S
取到最大值14.
1.（2021·全国·高考真题）记ABC
是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知
2
b
ac
，点D 在边AC 上，
sin
sin
BD
ABC
a
C
.
（1）证明：BD
b
；
（2）若
2
AD
DC
，求cos
ABC
.
【答案】（1）证明见解析；（2）
7
cos
12
ABC
.
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有
ac
BD
b
，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边a 与c的关系，然后利用余弦定理即可求得cos
ABC
的值.
【详解】（1）设ABC
的外接圆半径为R，由正弦定理，
得
sin
sin
,
2
2
b
c
R
ABC
C
R
，
因为
sin
sin
BD
ABC
a
C
，所以
2
2
b
c
BD
a
R
R
，即BD b
ac
．
又因为
2
b
ac
，所以BD
b
．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为
2
AD
DC
，如图，在ABC
中，
2
2
2
cos
2
a
b
c
C
ab
，①
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在
BCD
△
中，
2
2
2
( )
3
cos
2
3
b
a
b
b
a
C
．②
由①②得
2
2
2
2
2
2
3
( )
3
b
a
b
c
a
b
，整理得
2
2
2
11
2
0
3
a
b
c
．
又因为
2
b
ac
，所以
2
2
6
11
3
0
a
ac
c
，解得
3
c
a
或
3
2
c
a
，
当
2
2
,
3
3
c
c
a
b
ac
时，
3
3
3
c
c
a
b
c
（舍去）．
当
2
2
3
3
,
2
2
c
c
a
b
ac
时，
2
2
2
3
3
(
)
7
2
2
cos
3
12
2 2
c
c
ABC
c
c
c
．
所以
7
cos
12
ABC
．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知
2
AD
DC
，则
2
3
ABD
ABC
S
S
△
△
，
即
2
1
2
2
1
sin
sin
2
3
3
2
b
ac
AD
A
B
BC
，
而
2
b
ac
，即sin
sin
ADB
ABC
，
故有
ADB
ABC
，从而
ABD
C
．
由
2
b
ac
，即b
c
a
b
，即CA
BA
CB
BD
，即
ACB
ABD
∽
，
故AD
AB
AB
AC
，即
2
3
b
c
c
b
，
又
2
b
ac
，所以
2
3
c
a
，
则
2
2
2
7
cos
2
12
c
a
b
ABC
ac
．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知BD
b
AC
，再由
2
AD
DC
得
2
1
,
3
3
AD
b CD
b
．
在
ADB
△
中，由正弦定理得sin
sin
AD
BD
ABD
A
．
又
ABD
C
，所以
s
3
sin
n
2
i
C
b
A
b
，化简得
2
sin
sin
3
C
A
．
在ABC
中，由正弦定理知
2
3
c
a
，又由
2
b
ac
，所以
2
2
2
3
b
a
．
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在ABC
中，由余弦定理，得
2
2
2
2
2
2
2
4
2
7
9
3
cos
2
2
12
2
3
a
a
a
a
c
b
ABC
ac
a
．
故
7
cos
12
ABC
．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作DE
AB
∥
，交BC 于点E，则
DEC
ABC
△
∽△
．
由
2
AD
DC
，得
2
,
,
3
3
3
c
a
a
DE
EC
BE
．
在BED
中，
2
2
2
2
(
)
( )
3
3
cos
2
3
2
3
BED
a
c
b
a c
．
在ABC
中
2
2
2
cos
2
a
a
BC
c
A
b
c
．
因为cos
cos
ABC
BED
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
(
)
( )
3
3
2
2
2
3
3
a
c
b
a
c
b
a c
ac
，
整理得
2
2
2
6
11
3
0
a
b
c
．
又因为
2
b
ac
，所以
2
2
6
11
3
0
a
ac
c
，
即
3
c
a
或
3
2
a
c
．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为
2
AD
DC
，所以
2
AD
DC
uuur
uuur ．
以向量
,
BA BC
为基底，有
2
1
3
3
BD
BC
BA
．
所以
2
2
2
4
4
1
9
9
9
BD
BC
BA BC
BA
，
即
2
2
2
4
4
1
cos
9
9
9
b
a
c
c
ABC
a
，
又因为
2
b
ac
，所以
2
2
9
4
4
cos
ac
a
ac
ABC
c
．③
由余弦定理得
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
ABC
，
所以
2
2
2
cos
ac
a
c
ac
ABC
④
联立③④，得
2
2
6
11
3
0
a
ac
c
．
所以
3
2
a
c
或
1
3
a
c
．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，过点D 垂直于AC 的直线为y 轴，
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DC 长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则
0,0 ,
2,0 ,
1,0
D
A
C
．
由（1）知，
3
BD
b
AC
，所以点B 在以D 为圆心，3 为半径的圆上运动．
设
,
3
3
B x y
x
，则
2
2
9
x
y
．⑤
由
2
b
ac
知，
2
BA
BC
AC
，
即
2
2
2
2
(
2)
(
1)
9
x
y
x
y
．⑥
联立⑤⑥解得
7
4
x
或
7
3
2
x
（舍去），
2
95
16
y
，
代入⑥式得
3 6
|
|
,
|
|
6,
3
2
a
BC
c
BA
b
，
由余弦定理得
2
2
2
7
cos
2
12
a
c
b
ABC
ac
．
2．（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
3,
2,
45
a
c
B
．
（1）求sinC 的值；
（2）在边BC 上取一点D，使得
4
cos
5
ADC
，求tan
DAC
的值．
【答案】（1）
5
sin
5
C
；（2）
2
tan
11
DAC
.
【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sinC .
（2）方法一：根据cos
ADC
的值，求得sin
ADC
的值，由（1）求得cosC 的值，从而求得sin
,cos
DAC
DAC
的值，
进而求得tan
DAC
的值.
【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法
由余弦定理得
2
2
2
2
2
cos
9
2
2 3
2
5
2
b
a
c
ac
B
，所以
5
b
.
由正弦定理得
sin
5
sin
sin
sin
5
c
b
c
B
C
C
B
b
.
[方法二]【最优解】：几何法
过点A 作AE
BC
，垂足为E．在Rt
ABE
△
中，由
2,
45
c
B
=
=
°，可得
1
AE
BE
，又
3
a
，所以
2
EC
．
在Rt ACE
中，
2
2
5
AC
AE
EC
，因此
1
5
sin
5
5
C
．
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（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
由于
4
cos
5
ADC
，
,
2
ADC
，所以
2
3
sin
1 cos
5
ADC
ADC
.
由于
,
2
ADC
，所以
0, 2
C
，所以
2
2 5
cos
1 sin
5
C
C
.
所以
sin
sin
DAC
DAC
sin
ADC
C
sin
cos
cos
sin
ADC
C
ADC
C
3
2 5
4
5
2 5
5
5
5
5
25
.
由于
0, 2
DAC
，所以
2
11 5
cos
1 sin
25
DAC
DAC
.
所以
sin
2
tan
cos
11
DAC
DAC
DAC
.
[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法
在（1）的方法二的图中，由
4
cos
5
ADC
，可得
4
cos
cos(
)
cos
5
ADE
ADC
ADC
，从而
4
sin
4
sin
cos
,tan
5
cos
3
DAE
DAE
ADE
DAE
DAE
．
又由（1）可得tan
2
EC
EAC
AE
，所以
tan
tan
2
tan
tan(
)
1
tan
tan
11
EAC
EAD
DAC
EAC
EAD
EAC
EAD
．
[方法三]：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得
1,
2,
5
AE
CE
AC
．
在Rt
ADE
△
中，
4
5,
cos
sin
3
AE
AD
ED
AD
ADE
ADE
，
所以
2
3
CD
CE
DE
．
在
ACD
△
中，由正弦定理可得
2 5
sin
sin
25
CD
DAC
C
AD
，
由此可得
2
tan
11
DAC
．
[方法四]：构造直角三角形法
如图，作AE
BC
，垂足为E，作DG
AC
，垂足为点G．
在（1）的方法二中可得
1,
2,
5
AE
CE
AC
．
由
4
cos
5
ADC
，可得
2
4
3
cos
,sin
1
cos
5
5
ADE
ADE
ADE
．
在Rt
ADE
△
中，
2
2
5
4
2
,
,
sin
3
3
3
AE
AD
DE
AD
AE
CD
CE
DE
ADE
．
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由（1）知
5
sin
5
C
，所以在Rt
CDG
△
中，
2
2
2 5
4 5
sin
,
15
15
DG
CD
C
CG
CD
DG
，从而
11 5
15
AG
AC
CG
．在Rt ADG
中，
2
tan
11
DG
DAG
AG
．所以
2
11
DAC
．
3．（·福建·高考真题（文））如图，在等腰直角OPQ
中，
0
90
POQ
，
2 2
OP
，点M 在线段PQ 上.
(Ⅰ) 若
5
OM
，求PM 的长；
（Ⅱ）若点N 在线段MQ 上，且
0
30
MON
，问：当
POM
取何值时，OMN
的面积最小？并求出面积的最小值.
【答案】(Ⅰ)
1
MP 或
3
MP
（Ⅱ）当
30
POM
时，
OMN
的面积的最小值为8
4 3
【详解】解:(1)在△OMP 中,∠OPM=45°,OM=
5 ,OP=2
5 ,
由余弦定理得,OM2=OP2+MP2-2OP·MP·cos45°,得MP2-4MP+3=0,解得MP=1 或MP=3.
(2)设∠POM=α,0°≤α≤60°,在△OMP 中,由正弦定理,得sin
OM
OPM
= sin
OM
OPM
,所以OM=
sin 45
sin 45 +
OP
。
。
,
同理ON=
sin 45
sin 45 +
OP
。
。
.故S△OMN=
1
2 OM·ON·sin∠MON=
1
2 ×
2
2
sin 45
sin 45 +
sin 75 +
OP
。
。
。
=
1
sin 45 +
sin 45 +
30
。
。
。=
1
3
1
sin 45 +
sin 45 +
cos 45 +
2
2
。
。
。
=
2
1
3
1
sin
45 +
sin 45 +
cos 45 +
2
2
。
。
。
=
1
3
1
1
cos 90 +2
sin 90 +2
4
4
。
。
=
1
3
3
1
sin 2
cos2
4
4
4
=
1
3
1 sin 2
30
4
2
。.因为0°≤α≤60°,
30°≤2α+30°≤150°,所以当α=30°时,sin(2α+30°)的最大值为1,
此时△OMN 的面积取到最小值.
即∠POM=30°时,△OMN 的面积的最小值为8-4
3 .
4．（2018·北京·高考真题（理））在△ABC 中，a=7，b=8，cosB= – 1
7 ．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC 边上的高．
【答案】(1) ∠A= π
3
(2) AC 边上的高为3 3
2
【详解】分析：（1）先根据平方关系求sinB ,再根据正弦定理求sinA ，即得
A
；（2）根据三角形面积公式两种表示形
式列方程1
1
sin
2
2
ab
C
hb
，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sinC ，解得AC 边上的高．
详解：解：（1）在△ABC 中，∵cosB=– 1
7 ，∴B∈（π
2 ，π），∴sinB=
2
4 3
1 cos
7
B
．由正弦定理得sin
sin
a
b
A
B
7
sinA =
8
4 3
7
，∴sinA=
3
2
．∵B∈（π
2 ，π），∴A∈（0，π
2 ），∴∠A= π
3 ．
（2）在△ABC 中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=
3
1
1
4 3
2
7
2
7
= 3 3
14
．
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如图所示，在△ABC 中，∵sinC= h
BC ，∴h=
sin
BC
C
=
3 3
3 3
7
14
2
，∴AC 边上的高为3 3
2
．
5．（2017·全国·高考真题（理））ABC
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, , ,
a b c 已知sin
3cos
0,
2 7,
2
A
A
a
b
.
（1）求角A 和边长c；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD
AC
,求
ABD
的面积.
【答案】（1）2
3
，4 ；（2）
3 .
【详解】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出tan
3
A
从而可得A 的值，再根据余弦定理列方程即可
求出边长c的值；（2）先根据余弦定理求出cosC ，求出CD 的长，可得
1
2
CD
BC
，从而得到
1
2
ABD
ABC
S
S
，进而可
得结果.
试题解析：（1）
sin
3cos
0,
tan
3
A
A
A
，
2
0
,
3
A
A
，由余弦定理可得
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
，即
2
1
28
4
2 2
2
c
c
，即
2
2
24
0
c
c
，解得
6
c （舍去）或
4
c
，故
4
c
.
(2)
2
2
2
2
cos
c
b
a
ab
C
Q
，
16
28
4
2
2 7
2 cosC
，
2
2
cos
,
7
2
cos
7
7
AC
C
CD
C
，
1
2
CD
BC
，
1
1
3
4 2
2 3
2
2
2
ABC
S
AB AC sin BAC
，
1
3
2
ABD
ABC
S
S
.
6．（2015·全国·高考真题（文））△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分BAC,BD=2DC．
（Ⅰ）求sin
sin
B
C
；
（Ⅱ）若
60
BAC
,求
B
.
【答案】（Ⅰ）
1
2 ；（Ⅱ）30.
【详解】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理转化得：sin
1.
sin
2
B
DC
C
BD
（Ⅱ）由诱导公式可得
3
1
sin
sin
cos
sin
.
2
2
C
BAC
B
B
B
由（Ⅰ）知2sin
sin
B
C
,
所以
3
tan
,
30 .
3
B
B
试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得
,
,
sin
sin
sin
sin
AD
BD
AD
DC
B
BAD
C
CAD
因为AD 平分BAC,BD=2DC,所以
sin
1.
sin
2
B
DC
C
BD
.
（Ⅱ）因为
180
,
60 ,
C
BAC
B
BAC
所以
3
1
sin
sin
cos
sin
.
2
2
C
BAC
B
B
B
由（I）知2sin
sin
B
C
,
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所以
3
tan
,
30 .
3
B
B
1.（2022·江苏·华罗庚中学三模）在
ABC
中，已知
5
4
5 cos
7
AB
AC
B
=
=
=
，
，
.
(1)求sin A 的值；
(2)若AD 是
BAC
的角平分线，求AD 的长．
【答案】(1) 2 6
5
(2) 8 10
9
【分析】（1）先利用余弦定理求出边BC 的长，再利用正弦定理求出sin A （2）利用三角形的面积公式及面积关系
ABC
ABD
ACD
S
S
S
，建立关于AD 边的关系式求解即可得到答案
(1)
在ABC
中，由余弦定理
2
2
2
2
cos
AC
AB
BC
AB BC
B
整理得
2
7
40
63
0
BC
BC
解得
7
BC
或
9
7
BC =-
由于
0
BC
，所以
7
BC
因为
(0, )
B
，所以sin
0
B
，所以
2
2 6
sin
1
cos
7
B
B
=
-
=
由正弦定理得：sin
sin
AC
BC
B
A
，故
2 6
7
sin
2 6
7
sin
5
5
BC
B
A
AC
´
×
=
=
=
(2)
设
BAD
，AD
x
由
ABC
ABD
ACD
S
S
S
及三角形的面积公式可得：
1
1
1
4 5 sin 2
4
sin +
5
sin
2
2
2
x
x
q
q
q 整理得
20sin 2
40cos
9sin
9
x
q
q
q
=
=
在ABC
中，由余弦定理
2
2
2
16
25
49
1
cos
2
40
5
AB
AC
BC
A
AB AC
+
-
+
-
=
=
= -
×
由
2
cos
cos2
2cos
1
A
q
q
=
=
- 得
10
cos
5
则
8 10
9
AD
x
=
=
2.（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）设ABC
中角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c，
sin
sin2
A
B
c
b
A
a
.
(1)求角A ；
(2)若
2
c
，ABC
的面积
3
2
ABC
S
，
ACB
的平分线交AB 于点D ，求线段CD 的长．
【答案】(1) 3
(2) 3 2
6
2
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合两角和差的正弦公式化简可得
1
cos
2
A
，从而得解；
（2）由面积公式
1
b ，在ABC
中，利用余弦定理，求出
3
a
，可得
90
ACB
，进而知
45
ACD
，再在
ACD
△
中，由正弦定理，即可得解．
(1)
解：由正弦定理及sin(
)
sin2
A
B
c
b
A
a
，知sin(
)
sin
sin
2sin
cos
sin
A
B
C
B
A
A
A
，
所以sin(
)
2cos
(sin
sin
)
A
B
A
C
B
，
所以sin
cos
cos
sin
2cos
sin
2cos
sin
A
B
A
B
A
C
A
B
，
即sin
cos
cos
sin
sin(
)
sin
2cos
sin
A
B
A
B
A
B
C
A
C
，
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因为sin
0
C
，所以
1
cos
2
A
，又
0,
A
，所以
3
A
．
(2)解：因为
2
c
，ABC
的面积
3
2
ABC
S
，所以
1
3
sin
2
2
ABC
S
bc
A
，所以
1
b ，
在ABC
中，由余弦定理知，
2
2
2
1
2
cos
1 4
2 1 2
3
2
a
b
c
bc
A
，所以
3
a
，
因为
2
2
2
c
a
b
，所以ABC
为直角三角形，且
90
ACB
，
因为
ACB
的平分线交AB 于点D ，所以
1
45
2
ACD
ACB
，
所以
2 1
3
2( 3
1)
sin
sin(
)
sin(45
60 )
(
)
2
2
2
4
ADC
ACD
A
，
在
ACD
△
中，由正弦定理知，sin
sin
AC
CD
ADC
A
，即
1
2( 3
1)
3
4
2
CD
，解得
3 2
6
2
CD
．
3.（2023·全国·高三专题练习）在①2 sin
3 cos
sin
b
C
c
B
c
B
，②cos
cos
2
B
b
C
a
c
两个条件中任选一个，补充在下面的
问题中，并解答该问题.在ABC
中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c，且________.
(1)求角B ；
(2)若
3
a
c
，点D 是AC 的中点，求线段BD的取值范围.
【答案】(1)条件选择见解析，
3
B
(2)
3
3
4
2
,
【分析】（1）选①，由正弦定理化简可得tan B 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；
选②，由正弦定理结合两角和的正弦公式可求得cos B 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；
（2）由平面向量的线性运算可出2BD
BA
BC
uuur
uur
uuur ，结合平面向量数量积的运算性质可得出
2
2
2
4
3
3
BD
a
c
ac
a
a
，求出a 的取值范围，结合二次函数的基本性质可求得BD的取值范围.
(1)
解：选①，由2 sin
3 cos
sin
b
C
c
B
c
B
及正弦定理可得2sin
sin
3 sin
cos
sin
sin
B
C
C
B
C
B
，
所以，sin
sin
3 sin
cos
C
B
C
B
，
因为B 、
0,
C
，所以，sin
0
C
，则sin
3 cos
0
B
B
，
所以，tan
3
B
，
3
B
；
选②，由cos
cos
2
B
b
C
a
c
及正弦定理可得
sin
cos
2sin
sin
cos
B
C
A
C
B
，
所以，
2sin
cos
sin
cos
cos
sin
sin
sin
A
B
B
C
B
C
B
C
A
，
A
、
0,
B
，
sin
0
A
，所以，
1
cos
2
B
，则
3
B
.
(2)解：因为
3
a
c
，所以，0
3
a
，
由已知AD
DC
，即BD
BA
BC
BD
，所以，2BD
BA
BC
uuur
uur
uuur ，
所以，
2
2
2
2
4
2
BD
BA
BC
BA
BC
BA BC
，
即
2
2
2
2
2
2
4
2
cos
3
3
3
BD
c
a
ac
c
a
ac
a
c
ac
a
a
2
2
3
9
9
3
3
,3
2
4
4
a
a
a
，所以，3
3
4
2
BD
.
4.（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a，b，c，S 为△ABC 的面积，且2
3
0
S
AB AC
．
(1)求A 的大小；
(2)若
7
a
、
1
b ，D 为直线BC 上一点，且AD
AB
，求△ABD 的周长．
【答案】(1)
2
3
A
；(2)10
2 3
4 7
5
.
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【分析】（1）利用三角形面积公式及向量数量积的定义可得tan
3
A
，进而即得；
（2）利用余弦定理可得
2
c
，再利用正弦定理结合条件即得.
(1)∵2
3
0
S
AB AC
，∴
1
2
sin
3
cos
0
2 b c
A
b c
A
，又
0
b c
，∴sin A
cos A
3
0 ，即tan
3
A
又
0,
A
，∴
2
3
A
；
(2)在ABC
中，由余弦定理得：
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
，又
7
a
、
1
b ，
2
3
A
，
∴
2
6
0
c
c
，又
0
c
，∴
2
c
，在ABC
中，由正弦定理得
21
sin
14
B
，
又a
b
，∴B 为锐角，∴
2
1 si
5 7
co
1
n
s
4
B
B
，在Rt△ABD 中，
cos
AB
B
BD
，
∴
4 7
5
BD
，
4 7
21
2 3
sin
5
14
5
AD
BD
B
，∴
ABD
△
的周长为
2 3
4 7
10
2 3
4 7
2
5
5
5
．
5.（2021·全国·三模）已知ABC
的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，且
2 cos
a
b
C
．
（1）判断ABC
的形状并证明；
（2）若
30
C
，ABC
的面积
2 3
S
，求ABC
的内切圆半径r ．
【答案】（1）ABC
是等腰三角形；证明见解析；（2）
2 6
3 2
r
．
【分析】（1）方法一：由
2 cos
a
b
C
，及正弦定理知sin
2sin
cos
A
B
C
，通过恒等变换得到sin(
)
0
B
C
，从而有B
C
，
ABC
是等腰三角形．方法二：利用余弦定理，由
2 cos
a
b
C
得
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
a
b
ab
a
，化简得到b
c
，故
ABC
是等腰三角形．
（2）由三角形面积公式
1
sin
2
S
bc
A
，结合（1）中结论，求得三角形三个边，然后根据内切圆半径与面积，周长间的
关系求得内切圆半径.
【详解】（1）ABC
是等腰三角形．下面证明：方法一：因为
2 cos
a
b
C
，所以sin
2sin
cos
A
B
C
所以sin(
)
2sin
cos
B
C
B
C
，即sin
cos
cos
sin
2sin
cos
B
C
B
C
B
C
所以cos
sin
sin
cos
B
C
B
C
，所以sin(
)
sin
cos
cos
sin
0
B
C
B
C
B
C
．
在ABC
中，
,
B C
，所以
0
B
C
，故B
C
，所以ABC
是等腰三角形．
方法二：因为
2 cos
a
b
C
，所以
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
a
b
c
a
b
ab
a
所以
2
2
0
b
c
，所以b
c
，故ABC
是等腰三角形．
（2）因为
30
C
，所以
30
B
，且有b
c
，
120
A
。所以
1
sin
2 3
2
S
bc
A
，
即
3
2 3
4 bc
，所以
8
bc
，故
2 2
b
c
．又
2
2
2
2
cos
24
a
b
c
bc
A
，所以
2 6
a
．
又
1
2
S
a
b
c
r
，所以
2 2
6
2 3
r
，所以
2 6
3 2
r
．
6.（2021·全国·模拟预测）已知ABC
的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且满足
sin
sin
sin
cos 90
c
B
C
a
A
b
B
．
(1)求角A ；
(2)若D 为边AC 的中点，
2
AB
CD
，记
ABD
△
内切圆的面积为
1S ，
BCD
△
外接圆的面积为
2
S ，求
1
2
S
S ．
【答案】(1)
60
A
(2) 1
12
【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理求出角A；
（2）先判断出
ABD
△
为等边三角形，即可求出
ABD
△
的内切圆半径r；利用正弦定理求出
BCD
△
的外接圆半径R ，即
可求出
1
2
S
S ．
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(1)因为
sin
sin
sin
cos 90
c
B
C
a
A
b
B
，所以
sin
sin
sin
sin
c
B
C
a
A
b
B
，
由正弦定理得
2
2
c b
c
a
b
，即
2
2
2
b
c
a
bc
，由余弦定理可得
2
2
2
1
cos
2
2
2
b
c
a
bc
A
bc
bc
，
又0
180
A
，所以
60
A
．
(2)由（1）知
60
A
，因为D 为边AC 的中点，
2
AB
CD
，所以
2
AD
，
所以
ABD
△
为等边三角形，所以
ABD
△
的内切圆半径
1
3
1
3
3
2
3
2
3
2
3
r
AB
．因为
180
60
120
BDC
，
且
2
BD
CD
，所以
180
120
30
2
C
，所以
BCD
△
的外接圆半径
2
2
2sin
2sin30
BD
R
C
，
所以
2
2
2
1
2
2
3
π
1
3
π
2
12
S
r
r
S
R
R
．
7.（2022·江西九江·高一期末）在ABC 中，三内角A，B，C 对应的边分别为a，b，c，a＝6．
(1)求bcosC＋ccosB 的值；
(2)若O 是ABC 的外心，且
3
2
0
OA OB
OC
，求ABC 外接圆的半径．
【答案】(1)6；(2)3 2 .
【分析】（1）直接利用余弦定理化简即得解；
（2）把
3
2
0
OA OB
OC
两边平方，再利用正弦定理得解.
(1)
解：
2
2
2
2
2
2
cos
cos
2
2
a
b
c
c
a
b
b
C
c
B
b
c
ab
ca
2
2
2
2
2
2
2
2
6
2
2
a
b
c
c
a
b
a
a
a
a
.
(2)
解：设ABC 外接圆的半径是R．
2
2
2
3
2
0
3
2
3
2
2 2
OA OB
OC
OA
OC OB
OC OB
R
R
R
2
0
cos
0
.
2
4
R
BOC
BO
A
OC OB
C
因此
6
2
6 2,
3 2.
sin
sin 45
a
R
R
A
8.在ABC
中，
2
BC
，
2
AC
，
π
4
A
，点M､N 是边AB 上的两点，
π
6
MCN
.
(1)求ABC
的面积；
(2)当
3
BN
，求MN 的长.
【答案】(1)
3
1
2
(2)
3
3
【分析】（1）利用正弦定理sin
sin
BC
AC
A
B
，可求得
1 π
6
B
，根据
sin
sin
C
A
B
结合面积公式求解；（2）在
BCN
△
中
利用余弦定理求
1
CN ，在直角
CMN
△
中根据
tan
MN
MCN
CN
求解．
(1)在ABC
中，BC
AC
，则A
B
由正弦定理得：sin
sin
BC
AC
A
B
，
2
2
sin
sin 4
B
，则
1
sin
2
B
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因为
(0,π)
B
，则
1 π
6
B
或
5 π
6
B
（不合题意，舍去），
则
6
2
sin
sin
sin
cos
cos
sin
4
C
A
B
A
B
A
B
。ABC
的面积为
1
3
1
sin
2
2
ABC
S
CB CA
C
△
(2)在
BCN
△
中，
2
BC
，
3
BN
，
π
6
B
由余弦定理可得
2
2
2
cos
4
3
6
1
6
CN
BC
BN
BC BN
则有
2
2
2
BC
BN
CN
，所以CN
AB
在直角
CMN
△
中，
1
CN ，
π
6
MCN
π
3
tan 6
3
MN
CN
，则
3
3
MN
9.（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））如图，在平面四边形ABCD 中，已知BC＝2，
3
cos
5
BCD
.
(1)若
45
CBD
，求BD 的长；
(2)若
5
cos
5
ACD
，且AB＝4，求AC 的长.
【答案】(1)8 2
(2) 2 5
【分析】（1）由和角的正弦公式及正弦定理化简求解（2）由差角的余弦公式及余弦定理化简求解.
(1)
∵
3
cos
5
BCD
，∴
2
4
sin
1 cos
5
BCD
BCD
.
又∵
45
CBD
，所以
2
2
sin
sin
45
sin
cos
2
10
CDB
BCD
BCD
BCD
，
∴在
BCD
△
中，由正弦定理sin
sin
BC
BD
CDB
BCD
，可得
8 2
BD
，即BD 的长为8 2 .
(2)
3
5
4
2 5
5
cos
cos
5
5
5
5
5
ACB
BCD
ACD
，
∴
5
cos
5
ACB
.∵在ABC
中，BC＝2，AB＝4，∴
2
2
2
2
cos
AB
BC
AC
BC AC
ACB
，
可得
2
5
16
4
2 2
5
AC
AC
，解得
2 5
AC
.∴AC 的长为2 5 .
10.（2022·湖北·模拟预测）在ABC
中，若2
3
ABC
S
BA BC
.
(1)求
B
Ð 的值；
(2)如图，若AB
AC
，D 为ABC
外一点，且
3
DA
，
2
DC
，
ADC
，求
ABCD
S四边形
的最大值及相应的.
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【答案】(1) 3
；(2)
5
15 3
6
4
，
.
【分析】（1）利用三角形面积公式及向量数量积的定义可得；
（2）利用余弦定理及面积公式可得
ABCD
S四边形
7 3
2 3 sin
4
3
，然后利用三角函数的性质即得.
(1)∵2
3
ABC
S
BA BC
，由条件知
1
2
sin
3
cos
2 AB
BC
B
AB
BC
B
，
∴tan
3
B
，
0,
B
，∴
3
B
.
(2)若AB
AC
60
B
，所以ABC
为等边三角形，在
ADC
中，
3
DA
，
2
DC
，
ADC
，
∴
2
3
4
2
3
2 cos
AC
，故
2
7
4 3cos
AC
，∴
2
3
7 3
3cos
4
4
ABC
S
AC
△
，
1
3
2 sin
3sin
2
ADC
S
△
，∴
7 3
3sin
3cos
4
ABCD
S
四边形
7 3
2 3 sin
4
3
7 3
15 3
2 3
4
4
，当且仅当
3
2
，即
5
6
取等号，
所以
5
6
时，
ABCD
S四边形
的最大值为15 3
4
.
