高中数学解三角形大题归类
一、题型归纳....................................................................................2
【题型一】巧用“拆”面积法解决角平分线题型......................................... 2
【题型二】角平分线的扩展结论......................................................................3
【题型三】中线的处理方法..............................................................................4
【题型四】三角形高的类型..............................................................................5
【题型五】三角形内心......................................................................................6
【题型六】外接圆.............................................................................................. 7
【题型七】双三角形..........................................................................................8
【题型八】四边形.............................................................................................. 8
【题型九】四边形图形最值..............................................................................9
二、真题演练..................................................................................10
三、各地模拟...........................................................................12
【题型一】巧用“拆”面积法解决角平分线题型
【例题剖析】
（2022·湖北·高三开学考试）在ABC
中，
2
AB
AC
，点D 在BC 边上，AD 平分
BAC
.
(1)若
15
cos
5
ACB
，求cos BAC
；
(2)若AD
AC
，且ABC
的面积为3 7
2
，求BC 的长.
【提分笔记】
基本规律
角平分线“拆”面积法：
ABC
ACD
ABD
S
S
S
△
△
△
【举一反三】
1.（2022·湖北·高三开学考试）已知ABC
的角
,
,
A B C 的对边分别为
, ,
a b c ，且
sin
( cos
cos
)
sin
sin
sin
A c
B
b
C
c
B
c
C
b
B
，
(1)求角A ;
(2)若AD 平分
BAC
交线段BC 于点D ，且
2,
2
AD
BD
CD
，求ABC
的周长.
2.（2022·江苏·盐城中学高三开学考试）在①
sin
sin
sin
sin
A
C a
b
c
B
C
，
②
2
2
2
2
cos
2
a
b
c
a
c
B
a
，③
sin
cos
6
a
B
C
B
b
这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并
解答．已知ABC
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且__________．
(1)求B
(2)若
13
b
，
ABC
的平分线交AC 于点D，且
4 3
5
BD
，求ABC
的面积．
【题型二】角平分线的扩展结论
【例题剖析】
（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）在ABC
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，角A 的平分线AD 交
BC 边于点D.
(1)证明：AB
DB
AC
DC
，
2
AD
AB AC
DB DC
；
(2)若
1
AD ，
2
3
A
，求DB DC
的最小值.
【提分笔记】
基本规律
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
AB
AC
BD
CD
【举一反三】
1..（2022·山东日照·高三开学考试）如图，已知在ABC
中，M 为BC 上一点，
2
AB
AC
BC
，
π
0, 2
B
且
15
sin
8
B
．
(1)若AM
BM
，求AC
AM 的值；
(2)若AM 为
BAC
的平分线，且
1
AC ，求
ACM
△
的面积．
2.（2022·河南·模拟预测（文））在ABC
中，角
,
,
A B C 所对的边为, ,
a b c ，已知
2,
4,2sin
3sin 2
b
c
A
C
.
(1)求a；
(2)设A 的平分线与BC 交于点D ，求AD 的长.
【题型三】中线的处理方法
【例题剖析】
（2022·福建·三明一中模拟预测）已知ABC
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
2
2 cos
c
b
a
C
．
(1)求角A；
(2)若M 为BC 的中点，
3
AM
，求ABC
面积的最大值．
【提分笔记】
基本规律
中线的处理方法
1.向量法：
1 (
)
2
AD
AB
AC
2
2
2
1
2
4
AM
AB
AB AC
AC
2. 双余弦定理法（补角法）：
如图设BD
DC
，
在
ABD
中，由余弦定理得
2
2
2
2
cos
AB
AD
BD
AD
BD
ADB
，①
在
ACD
△
中，由余弦定理得
2
2
2
2
cos
AC
AD
DC
AD
DC
ADC
，②
因为
π
AMB
AMC
，所以cos
cos
0
ADB
ADC
所以①+②式即可
3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形
4.中线分割的俩三角形面积相等
【举一反三】
1.（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
sin
sin
2
B
C
b
a
B
.
(1)求角A 的大小；
(2)若D 为BC 边中点，且
2
AD
，求a 的最小值.
2.（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）如图，在ABC
中，
2,
6 2,
,
AB
AC
E F
分别是
,
BC AC 的中点．从
条件①
4
BAC
；②
10
BF
中选择一个作为已知条件，完成以下问题：
(1)求
ACB
的余弦值；
(2)若
,
AE BF 相交于点G ，求
EGF
的余弦值．
（注：若两个条件都选择作答，则按第一个条件作答内容给分）
【题型四】三角形高的类型
【例题剖析】
（2022·安徽蚌埠·一模）记ABC
内角
,
,
A B C 的对边为, ,
a b c ，已知sin
sin sin ,
C
A
B CD
AB
于D .
(1)证明：CD
c
；
(2)若
2
2
5
a
b
ab
，求sinC 的值.
【提分笔记】
基本规律
高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如
2
1
1
1
sin
2
2
2
S
bc
A
BC
AD
c
2.三角函数法：
cos
,
sin
,
BCD
BD
AB
ABD AD
AB
ABD
在
中，
【举一反三】
1.（2022·河南安阳·高三开学考试（理））已知ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
sin
sin
3
sin
0
a
b
A
B
c
a
C
.
(1)求角B 的大小；
(2)若BC 边上的高为b
c
，求sin A .
2.（2023·全国·高三专题练习）记ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a，b ，c ，且
cos
cos
2 cos
b
C
c
B
a
A
.
(1)求A 的大小；
(2)若BC 边上的高为
3
2
，且A 的角平分线交BC 于点D ，求AD 的最小值.
【题型五】三角形内心
【例题剖析】
（2022·全国·模拟预测）在ABC
中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，
3
a
，
2
b
，sin A
m
．
(1)若ABC
唯一确定，求m 的值；
(2)设I 是ABC
的内切圆圆心，r 是ABC
内切圆半径，证明：当
2
1
c
r
时，IC
IA IB
．
【提分笔记】
基本规律
内切圆：等面积构造法求半径
2
1
2
S
S
a
b
c r
r
a
b
c
【举一反三】
1.（2022·云南省下关第一中学高三开学考试）在ABC
中a，b，c 分别为内角A，B，C，的对边，已知
(
)(sin
sin
)
(sin
sin
)
a
b
A
B
c
C
B
．
(1)求角A；
(2)若
2
a
，且ABC
的内切圆半径
3
4
r
，求ABC
的面积．
2.（2021·河南南阳·高三期末（理））在
ABC
V
中，
sin
sin
3 sin
cos
sin
B
C
C
C
A
.
(1)求A；
(2)若
ABC
V
的内切圆半径
2
r
，求
AB
AC 的最小值.
【题型六】外接圆
【例题剖析】
（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）在ABC
中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c．已
知ABC
的外接圆半径
2
R
，且
2 sin
tan
tan
cos
A
B
C
C
．
(1)求B 和b 的值；
(2)求ABC
面积的最大值．
【提分笔记】
基本规律
外接圆：
1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在
三角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
2.正弦定理：a
sin A＝b
sin B＝
c
sin C＝2R，其中R 为外接圆半径
【举一反三】
1.（2022·山东聊城·高一期末）在ABC
中，a，b，c 分别为角A，B，C 的对边，且
2
2
2
3 sin
2
a
b
c
c
A
b
c
b
.
(1)求角A；
(2)若ABC
是钝角三角形，且
2
b
c
，求ABC
外接圆半径的取值范围.
2.（2022·四川省绵阳南山中学高一阶段练习）已知ABC
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
(2 sin
3 )sin
3( sin
sin )
c
B
a
A
c
C
b
B
.
(1)求角B 的大小；
(2)若ABC
为钝角三角形，___________，求ABC
外接圆的半径R 的取值范围.请在下列两个条件中选择
一个作为条件补充在横线上，并解决问题.①
3
a
c
；②
3
a
c
.
【题型七】双三角形
【例题剖析】
（2023·全国·高三专题练习）ABC
的内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且
3(
cos
)
sin
a
b
C
c
B
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
3,
2
a
c
，D 为BC 边上一点，
1
5
CD
DB
，求
2
cos
BDA
的值．
【举一反三】
1.（2022·辽宁·高三期末）在①3
3 cos
sin
b
c
A
a
C
，②
1 tan
1
2 tan
a
C
b
B
，③sin
sin
sin
sin
A
C
A
B
b
a
c
，
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题，在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，
b，c，且满足
．
(1)求C；
(2)若△ABC 的面积为
3 ，D 在边AC 上，且CD= 1
3 CA，求BD 的最小值．
2.（2022·全国·高三专题练习）设ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且cos
2 sin
,
2
c
A
a
B c
b
．
(1)求A；
(2)设D 是AB 边上靠近A 的三等分点，
5
CD
，求ABC
的面积．
【题型八】四边形
【例题剖析】
（2021·山东·高三开学考试）在梯形ABCD 中，
/ /
AB
CD ，
3
BC
AD
，
2
BAD
BCD
．
(1)求
BCD
；
(2)若AB=AD=2，求梯形ABCD 的面积．
【举一反三】
1.（2022·全国·高三专题练习）如图，在四边形ABCD 中，AB
4
，
2 3
AC
，
1
cos
3
ACB
，
2
D
B
.
(1)求sin
B
；
(2)若
4
AB
AD
，求CD 的长.
2.（2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试）如图，在圆内接四边形ABCD 中，
120
B
，
2
AB
，
2 2
AD
，
ABC
的面积为
3 .
(1)求AC；
(2)求
ACD
.
【题型九】四边形图形最值
【例题剖析】
（2023·全国·高三专题练习）在三角形ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且2
3
S
BA BC
，
作AB⊥AD，使得四边形ABCD 满足
3
ACD
，
3
AD
，
(1)求B；
(2)设
BAC
，
BC
f
，求函数
f 的值域．
【举一反三】
1.（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））如图，平面四边形ABCD 中，AB
BD
DA
，
1
BC ，
3
CD
，
BCD
.
(1)若
π
2
，求AC
BD
的值；
(2)试问为何值时，平面四边形ABCD 的面积最大？
2.（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，
2,
2 3
AB
BC
CD
AD
.
(1)证明：1
cos
3
cos
C
A
；
(2)记
ABD
△
与
BCD
△
的面积分别为
1S 和
2S ，求
2
2
1
2
S
S
的最大值.
1.（2021·全国·高考真题）记ABC
是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知
2
b
ac
，点D 在边AC
上，
sin
sin
BD
ABC
a
C
.
（1）证明：BD
b
；
（2）若
2
AD
DC
，求cos
ABC
.
2．（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
3,
2,
45
a
c
B
．
（1）求sin C 的值；
（2）在边BC 上取一点D，使得
4
cos
5
ADC
，求tan
DAC
的值．
3．（·福建·高考真题（文））如图，在等腰直角OPQ
中，
0
90
POQ
，
2 2
OP
，点M 在线段PQ 上.
(Ⅰ) 若
5
OM
，求PM 的长；
（Ⅱ）若点N 在线段MQ 上，且
0
30
MON
，问：当
POM
取何值时，OMN
的面积最小？并求出面
积的最小值.
4．（2018·北京·高考真题（理））在△ABC 中，a=7，b=8，cosB= – 1
7 ．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC 边上的高．
5．（2017·全国·高考真题（理））ABC
的内角
,
,
A B C 的对边分别为, , ,
a b c 已知
sin
3cos
0,
2 7,
2
A
A
a
b
.
（1）求角A 和边长c ；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD
AC
,求
ABD
的面积.
6．（2015·全国·高考真题（文））△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分BAC,BD=2DC．
（Ⅰ）求sin
sin
B
C
；
（Ⅱ）若
60
BAC
,求
B
.
1.（2022·江苏·华罗庚中学三模）在
ABC
中，已知
5
4
5 cos
7
AB
AC
B
=
=
=
，
，
.
(1)求sin A 的值；
(2)若AD 是
BAC
的角平分线，求AD 的长．
2.（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）设ABC
中角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，
sin
sin2
A
B
c
b
A
a
.
(1)求角A ；
(2)若
2
c
，ABC
的面积
3
2
ABC
S
，
ACB
的平分线交AB 于点D ，求线段CD 的长．
3.（2023·全国·高三专题练习）在①2 sin
3 cos
sin
b
C
c
B
c
B
，②cos
cos
2
B
b
C
a
c
两个条件中任选一个，补
充在下面的问题中，并解答该问题.在ABC
中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且________.
(1)求角B ；
(2)若
3
a
c
，点D 是AC 的中点，求线段BD 的取值范围.
4.（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a，b，c，S 为△ABC 的面积，且
2
3
0
S
AB AC
．
(1)求A 的大小；
(2)若
7
a
、
1
b ，D 为直线BC 上一点，且AD
AB
，求△ABD 的周长．
5.（2021·全国·三模）已知ABC
的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且
2 cos
a
b
C
．
（1）判断ABC
的形状并证明；
（2）若
30
C
，ABC
的面积
2 3
S
，求ABC
的内切圆半径r ．
6.（2021·全国·模拟预测）已知ABC
的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足
sin
sin
sin
cos 90
c
B
C
a
A
b
B
．
(1)求角A ；
(2)若D 为边AC 的中点，
2
AB
CD
，记
ABD
△
内切圆的面积为
1S ，
BCD
△
外接圆的面积为
2S ，求
1
2
S
S ．
7.（2022·江西九江·高一期末）在ABC 中，三内角A，B，C 对应的边分别为a，b，c，a＝6．
(1)求bcosC＋ccosB 的值；
(2)若O 是ABC 的外心，且3
2
0
OA OB
OC
，求ABC 外接圆的半径．
8.在ABC
中，
2
BC
，
2
AC
，
π
4
A
，点M､N 是边AB 上的两点，
π
6
MCN
.
(1)求ABC
的面积；
(2)当
3
BN
，求MN 的长.
9.（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））如图，在平面四边形ABCD 中，已知BC＝2，
3
cos
5
BCD
.
(1)若
45
CBD
，求BD 的长；
(2)若
5
cos
5
ACD
，且AB＝4，求AC 的长.
10.（2022·湖北·模拟预测）在ABC
中，若2
3
ABC
S
BA BC
.
(1)求
B
Ð 的值；
(2)如图，若AB
AC
，D 为ABC
外一点，且
3
DA
，
2
DC
，
ADC
，求
ABCD
S四边形
的最大值及相
应的
