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交大附中高二摸底考数学试卷
2024.09
一､填空题
1. 已知 ，则 __________.
2. 设复数 满足 ，则 的虚部是_________．
3. 已知向量 ，若 ，则实数 __________.
4. 焦点在 轴上，焦距为 ，且经过点 的椭圆的标准方程为__________.
y=f (x)
的
5. 幂函数 图像经过点 ，则 的值为______.
6. 已知 为任意实数，直线 的倾斜角的范围是______.
7. 不等式 的解集为______.
8. 已知 ，若 对一切 成立，则 __________.
9. 函数 的对称中心是 ，则 ______.
10. 给出下列命题：
①“ ”是“ ”的充分非必要条件；
②“函数 的最小正周期为 ”是“ ”的充要条件；
③“平面向量 与 的夹角是锐角”的充要条件是“ ”.
其中正确命题的序号是__________（把所有正确命题的序号都写上）
11. 在正方形 所在平面上有点 ，使得 都是等腰三角形.那么具有这样
性质的点 共有__________个
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学科网（北京）股份有限公司12. 已知 ，若数列 为严格增数列，则实数 的取值范围是__________.
二､选择题
13. 若 ，且 则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
14. 在ΔABC中,若 ,且 ,则ΔABC是
A. 等边三角形 B. 等腰三角形,但不是等边三角形
C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形,但不 是等腰三角形
15. 若复数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. 3 B. 2 C. D. 1
16. 已知 ，对关于 的方程 的实数解情况进行讨论，下面的结论中错误的是（
）
A. 至多有三个实根
B. 至少有一个实根
.
C 当且仅当 时有实根
在
D. 存 ，使原方程有三个实根
三､解答题
17. 已知 且 .
（1）求 的值；
（2）求 的大小.
18. 已知 ，集合 ，
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学科网（北京）股份有限公司（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值.
19. 如图，在平面直角坐标系中，方程为 的圆 的内接四边形 的对角线
和 互相垂直，且 分别在 轴负半轴和正半轴上， 分别在 轴负半轴和正半轴上.
（1）试用平面解析几何的方法证明： ；
（2）设四边形 的一条边 的中点为 ，试用平面解析几何的方法证明： .
20. 已知数列 为等差数列，数列 为等比数列，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ；
（3）记 ，是否存在正整数 ，使得 ？若存在，求出所有符合条件的正整数
；若不存在，请说明理由.
21. 对定义在区间 上的函数 ，若存在闭区间 和常数 ，使得对任意的 都
有 ，则称函数为区间 上的“ 函数”.
（1）判断：函数 与 是否是 上的“ 函数”，其中 ， ；
的
（2）对于（1）中 函数 ，若不等式 对一切的 恒成立，求实数 的取
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学科网（北京）股份有限公司值范围；
（3）若函数 是区间 上的“ 函数”，求实数 和 的值.
【附加题】
22. 已知实数 且 ，数列 满足： ， ，
试判断数列 的单调性.
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