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专题1.2 三角形中的中线、角平分线和高线问题
目录
知识梳理..................................................2
1.
为中线（定比分点）..............................................................................................2
2.
为角平分线..............................................................................................................2
3.
为高线......................................................................................................................2
典例分析..................................................3
一、中线问题....................................................................................................................3
二、定比分点问题............................................................................................................3
三、角平分线问题............................................................................................................4
巩固练习..................................................5
知识梳理
1.
为中线（定比分点）
①向量法：若
，则
.
②双余弦（互补角或相同角）
互补角：利用
；
相同角：利用
和
的同一个角
使用余弦定理.
③中线利用平行四边形法则：平行四边形四边和的平方等于两条对角线的平方和.
2.
为角平分线
①角平分线定理：
；
②面积法：
.
特别的，当
时，
.
3.
为高线
①面积法
②直角三角形边角关系
注：很多方法都是通用的，例如：向量法，双余弦法，面积法等
典例分析
一、中线问题
【例1】在
中，内角
的对边分别为
，且
，
（1）求角
；
（2）若
，且
边上的中线
，求
的面积.
（双余弦法（邻角、同角）、向量法、倍长中线法、平行四边形法则）
【详解】
（1）由
，得
，即
.
（2）法一：（向量法）由余弦定理
，即
.
而
，得
，
即
，解得
.
故
.
法二：（倍长中线法）延长中线至点
，使得
.
在
中，
，
由余弦定理得
，
即
，余下同法一.
法三：（平行四边形法则）平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
即
，即
.余下同法一.
法四：（双余弦法）由
，利用余弦定理得
，
即
，即
.余下同法一.
【分析】无论是那种方法均可得到两个等式，一个是余弦定理所得的等式，另一个是
不同方式骏可得到同一个等价的式子，通过两个方程解
.
二、定比分点问题
【例2】在
中，内角
的对边分别为
，且
，
（1）求角
；
（2）若
，且
边上的
满足
，
，求
的面积.
【详解】
（1）由例1 得
.
（2）法一：（向量法）由余弦定理
，即
.
而
，得
，
即
，解得
.
故
.
法二：（双余弦法）由
，利用余弦定理得
，
即
，即
.余下同法一.
【分析】中点问题是定比分点的特例，因此两个问题的通性通法为向量法和双余弦法.
三、角平分线问题
【例3】在
中，内角
的对边分别为
，且
，
（1）求角
；
（2）若
，
的平分线交边
于点
，且
，求
的面积.
【详解】
（1）由例1 得
.
（2）由余弦定理
，即
.
利用
，即
化简得
.
计算可得
，故
.
巩固练习
1．在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，.已知
，
，
.
(1)分别求出角
，边的长度；
(2)求
的角平分线
长度.
【答案】(1)
，
；
(2)
.
【分析】（1）由正弦定理化边为角求出
；由余弦定理列出方程求得.
（2）由（1）中信息，利用三角形面积公式列式求出
.
【详解】（1）在
中，由
及正弦定理，得
，
而
，则
，由
，所以
；
由余弦定理
及
得，
，
整理得
，而
，解得
，所以
.
（2）由（1）知
，
，
，而
平分
，
由
，得
，
因此
，所以
.
2．在
中，角
、
、
的对边分别为
，
，，向量
，
，且
.
(1)求角
的值；
(2)若
，
是
边上的中线，
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解
，
（2）利用向量法结合中线长公式求出边
的值，再利用三角形面积公式求解
【详解】（1）因为
，所以
，所以
，
所以
，由正弦定理得
，即
，
且
，则
，可得
，
因为
，所以
，
（2）由题意得
，则
，
即有
，且
，解得：
，所以
，
故
的面积为
.
3．在
中，内角
的对边分别为
，且
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
边上中线的长．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）通过移项整理原式，结合正弦定理将角的关系转化为边的关系，再由余
弦定理求出角
；
（2）利用正弦定理将边的比例转化为角的二倍角关系，求出角
的可能值，分情况计
算边长后，通过余弦定理求得
边上的中线长.
【详解】（1）由原式
，
将右边的
移至左边，得
，
由正弦定理得
，
整理得
，
由余弦定理，
，将
代入，得
.
因
是
的内角，即
，故
.
（2）由
，结合正弦定理
，得
，即
.
而
，则
.
因
是
的内角，故
，因此
或
，解得
或
.
①当
时，由三角形内角和
，得
.
已知
，由正弦定理
，得
；
同理，
，得
.
设
的中点为
，则
.
在
中，由余弦定理
，
代入
，
，
，
得：
，故
.
②当
时，由三角形内角和
，得
，
故
为等边三角形，因此
.
设
的中点为
，则
.
在
中，由余弦定理
，代入
，
，
，
得：
，故
.
所以
边上中线的长为
或
.
4．已知锐角三角形
的内角
所对的边分别为
，若向量
，
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若点
在边
上，
平分
，
，试求
的最大值.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）由向量共线的坐标公式计算，逆用和角的余弦公式化简，结合锐角三角
形，即可求得角
；
（2）设
，利用余弦定理和面积相等求出
，通过两次换元，最后根据二
次函数的性质即可求得
长的最大值.
【详解】（1）因
，
，且
，
则
，所以
，
所以
，
所以
，所以
，
因
为锐角三角形，则
，
，故
.
（2）由余弦定理
，即
，
则得
①，
设
，因
，可得
，
整理得
，令
，
设
，由①可得，
，解得
，
当且仅当
时等号成立，故
，则
，
再令
，则
，
，
故当
时，
取得最小值
，
此时
取得最大值为9，即
长的最大值为3.
5．在
中，角
的对边分别是
，且
.
(1)求角
；
(2)若
的中线
长为
，求
的最大值.
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，由此求得
.
（2）根据向量运算列方程，结合基本不等式求得
的最大值.
【详解】（1）由
，知
，
化简得
，所以
，
，
由余弦定理知，
，
因为
，所以
.
（2）由
是
的中线，
，
所以
，即
，
所以
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最大值为8.
6．在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
.
(1)求角
；
(2)若
的角平分线交边
于
，且
，
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式、诱导公式、辅助角公式，
化简可得
，根据角C 的范围，即可得答案.
（2）根据余弦定理，可得
，根据等面积法，结合面积公式，可得
，联立解得
，代入面积公式，即可得答案.
【详解】（1）由于
，结合正弦定理得
，
又因为
，
代入上式，可得
，
，
，
，即
，
.
又
，则
，
，即
.
（2）由余弦定理可得
，即
，
又
是角
的角平分线，
，
即
，化简得
，
所以
，
所以
，解得
，
所以
.
7．在
中，内角
所对的边分别为
，已知
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
，记
边上的高为，求的最大值．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）由正弦定理化简得
，再由余弦定理即可得解；
（2）由三角形面积公式可得
，结合正弦定理及三角恒等变换得
，即可得解.
【详解】（1）根据正弦定理可得
，化简整理得
，
由余弦定理得
，因为
，故
；
（2）由
，得
，又
，
所以
，
在三角形
中
，故
，
当
，即
时，
.
8．在
中，内角
所对的边分别是
且
.
(1)求
；
(2)已知
的角平分线
交
于点
.若
，
.求
面积及
的
长.
【答案】(1)
(2)
，
【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到
，
求得
，进而求得
的值；
（2）根据题意，利用余弦定理，求得
，结合三角形的面积公式，求得
的
面积，再由
，结合面积公式，化简求得
的长.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得
，
又因为
，
所以
，
因为
，可得
，
所以
，可得
，
又因为
，所以
.
（2）由（1）知
，又
，
利用余弦定理
，可得
，
因为
，所以
，
所以
的面积为
，
又因为
的角平分线
交
于点
，
所以
，
可得
，
整理得
.
9．
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求；
(2)若D 为AB 中点，
，
，求
的面积.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角后，再利用两角和的正弦公式及
，得到
，再得出的值；
（2）将已知条件转化成
，利用余弦定理得出
，化简得
，再代入面积公式求解即可.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理可得
，
则
，所以
，
因为在
中，
，所以
.
（2）因为
，所以
，
由
及
得
.
在
中，利用余弦定理得
，
所以
，所以
，
所以
的面积为
.
10．在
中，内角
，
，
的对边分别是
，
，，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
为
的角平分线并与
交于点
，且
，求
面积的最小
值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理把边化为角，再结合三角恒等变换即可求解；
（2）利用角平分线性质得到
，再由面积公式与基本不等式求解即
可.
【详解】（1）因为
，
所以
.
因为
，
所以
.
因为
，所以
，即
.
又因为
，所以
.
（2）如图，作出符合题意的图形，
由题意得
为
的角平分线，
且由（1）得
，得到
.
由
，得
，
所以
，得
，当且仅当
时，等号成立，
.
故
面积的最小值为
.
11．在
中，角
所对的边分别是
，且
.
(1)求
；
(2)若
是边
上靠近
的三等分点，
，
，求
的面积；
(3)若
为锐角三角形，且
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理将等式化简，结合和差倍角的正弦公式即可求得
.
（2）先用基底向量将
表示出
，然后两边进行平方，并利用向量数
量积的定义求出，最后根据三角形面积公式求出面积.
（3）利用正弦定理求出
的表达式，然后根据锐角三角形的角的范围求出结果即
可.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理可得
，
所以
，
所以
，又因为
，所以
，
所以
，又因为
，所以
，
所以
，故
；
（2）因为
是边
上靠近
的三等分点，
所以
，
所以
，
又因为
，
，
，
所以
，化简得
，
即
，解得
或
（舍去），
所以
；
（3）由正弦定理可得
，
所以
，
所以
，
因为
为锐角三角形，所以
，解得
，·
所以
，所以
，
所以
，所以
的取值范围
.
12．记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
(1)求
；
(2)若
的平分线与BC 交于点
，求AD.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和两角和差的正弦公式即可求解；
（2）根据余弦定理求出
三边长，再利用
即可求解.
【详解】（1）由条件及正弦定理可得
，
则
，
又因为
，所以
，故
；
（2）由余弦定理得
，
将
代入，得
，所以
，
因为
为
的平分线，
，
得
，
解得
.
13．已知
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
．
(1)求角
的值；
(2)若
的面积为
，
的平分线
交
于
，求线段
的最大值．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，求得
，进而求得
.
（2）利用三角形的面积公式列方程，求得
，再根据面积列方程，利用基本不等式求
得
的最大值.
【详解】（1）由正弦定理
，及
，
得
，即
，
由余弦定理得
，
，所以
．
（2）如图所示，因为
，所以
，
因为
为
的平分线，
，
所以
，
，
当且仅当
时，等号成立，所以线段
的最大值为
．
14．记
的内角
的对边分别为
，且
.
(1)求角
；
(2)若
，
，
为
边的中点，求
的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式可得答案；
（2）解法一：由余弦定理求出
，再由勾股定理可得答案；解法二：对
两边平方可得答案.
【详解】（1）因为
，由正弦定理得
，
因为
，所以
，
代入上式得
，
因为
，所以
，所以
，即
，
又
，所以
；
（2）解法一：由余弦定理，
，
因为
，即
，所以
，
所以
；
解法二：因为
为边
的中点，所以
，
故
，
，
，
，
的夹角为
，
所以
，即
.
15．在
中，角
，
，
所对的边分别是
，
，，且
.
(1)求
；
(2)若
是边
的中点，
，
，求
的面积；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式与同角三角函数基
本关系计算即可得；
（2）借助向量模长与数量积的关系计算可得，再利用面积公式计算即可得.
【详解】（1）由
，则
，
又
，
则有
，
即
，又
，故
，
则
，即
，又
，则
；
（2）由
是
的中点，则
，
则
即
，则
，
解得
或
（负值，舍去），
则
.
16．在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，.已知
，
，
.
(1)求；
(2)设
为
边上一点，且
，求
的面积.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）利用余弦定理计算即可；
（2）利用正弦定理结合三角形面积公式计算即可.
【详解】（1）由
，可知
，
又
，所以
，
由余弦定理可知
，解之得
；
（2）由（1）及正弦定理可知
，解得
，
易知
，所以
，
，即D 为
的中点，
所以
.
17．记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)证明：
；
(2)记
的中点为
，若
，且
，求
的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）应用正弦边角关系及三角恒等变换、三角形内角和性质化简已知条件为
，即可证；
（2）应用余弦定理及
，进而得
，结合已知
（1）结论求边长，即可得.
【详解】（1）设
的外接圆半径为
，
由正弦定理，得
，
所以
，
，
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
，故
；
（2）由（1）及已知有
，又
，
在
中，由余弦定理得
，
在
中，由余弦定理得
，
显然有
，则
，
整理得
，即
，又
，
所以
，从而
，
的周长为
.
