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第十五章 轴对称
知识点一 轴对称图形
1. 基础概念
1)
轴对称图形
单个图形沿一条直线对折，直线两侧部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫对
称轴。
例：圆、等腰三角形、正方形、角、线段。
2)
两个图形成轴对称
两个独立图形，沿某条直线折叠后能够完全重合，称这两个图形关于这条直线对称。
2. 核心性质
① 对称点连线被对称轴垂直平分；
② 对称线段相等、对称角相等，对称的两个图形全等；
③ 若两条对称线段相交，交点一定落在对称轴上。
3. 画轴对称图形步骤
① 标出原图顶点、拐点等关键点；
② 过每个关键点作对称轴垂线，延长截取等长，得到对称点；
③ 按原图顺序依次连接所有对称点，得到对称图形。
知识点二 线段垂直平分线
1. 定义
既垂直于线段，又平分该线段的直线，叫做线段的垂直平分线（中垂线）。
2. 性质定理
若点在线段垂直平分线上，则该点到线段两个端点的距离相等。
用途：直接证明两条线段相等。
3. 判定定理
若一个点到一条线段两个端点距离相等，则这个点一定在这条线段的垂直平分线上。
用途：证明直线是垂直平分线、证明点共线。
4. 拓展
任意三角形三条边的垂直平分线交于同一点，叫外心；外心到三角形三个顶点距离相等，是外接圆圆
心。
知识点三 等腰三角形
1. 定义
两边长度相等的三角形称为等腰三角形；
相等两边：腰；第三条边：底边；
两腰夹角：顶角；腰与底边夹角：底角。
2. 两大核心性质
1)
等边对等角：等腰三角形两底角度数相等；
2)
三线合一：等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是同一条直线，这条直线也是等腰
三角形唯一对称轴。
3. 判定方法
1)
定义判定：有两边相等的三角形是等腰三角形；
2)
等角对等边：三角形中两个内角相等，则这两个角所对的边长相等，三角形为等腰三角形。
4. 特殊等腰三角形——等边三角形
1.
性质：三边全部相等，三个内角都是 60∘；三条对称轴，同样满足三线合一；
2.
判定：
① 三边都相等；
② 三个内角都相等；
③ 有一个内角是 60∘ 的等腰三角形。
知识点四 最短路径（将军饮马）
1.核心原理
两点之间线段最短；垂线段最短。
基础模型 1：直线同侧两点，求直线上一点使 𝑷𝑨+ 𝑷𝑩 最小
解题方法：作点 𝐴 关于直线 𝑙 的对称点 𝐴′，连接 𝐴′𝐵，与直线 𝑙 交点即为所求 𝑃，此时 𝑃𝐴+ 𝑃𝐵
最小。
原理：𝑃𝐴= 𝑃𝐴′，𝑃𝐴+ 𝑃𝐵= 𝐴′𝐵，两点之间线段最短。
基础模型 2：直线两侧两点
直接连接两点，线段与直线交点即为最短点，无需作对称。
2.拓展模型
1.
造桥选址：两条平行线间搭建垂直桥梁，平移端点转化为将军饮马；
2.
周长最小问题：三角形、四边形周长最小，需作两次对称，拼接线段求最短；
易错点1 求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错
易错提醒
易错点总结
1. 已知等腰三角形两边长，直接默认谁是腰、谁是底，不分类讨论。
2. 求出边长后忘记检验三边关系，出现“两短边之和小于第三边”的无效三角形，不舍去错解。
3. 只算一种情况，漏掉另一组合法周长，导致答案不完整。
注意事项总结
1. 等腰三角形边长未知时，必须分两类讨论：① 已知长为腰；② 已知长为底。
2. 每一种情况必须检验三边关系，不满足“两边之和大于第三边”直接舍去。
3. 最终只保留合法图形的周长，杜绝无效解。
【对点训练】1．已知等腰三角形ABC 的底边BC 长为10cm，AC 上的中线BD 把其周长分为差是6cm 的两
部分，求等腰三角形ABC 的周长．
【答案】42cm
【分析】本题考查了三角形的周长求解，三角形中线的性质以及三角形三边的关系，分类讨论两部分是哪
一部分减哪一部分是解决本题的关键．
根据中线的性质可得AD
CD
=
，再分类讨论求出另外两边长度，结合三角形三边的关系进行取舍即可．
【详解】解：
BD
Q
为ABC
V
的边AC 上的中线，
AD
CD
\
=
．
分两种情况讨论：
①当
6cm
AB
AD
BD
BC
CD
BD
+
+
-
+
+
=
时，
即
6cm
AB
BC
-
=
．
10cm
BC =
Q
，
10
6
16 cm
AB
\
=
+
=
，
\周长为
16 16 10
42 cm
AB
AC
BC
+
+
=
+
+
=
；
②当
6cm
BC
CD
BD
AB
AD
BD
+
+
-
+
+
=
时，
即
6cm
BC
AB
-
=
．
10cm
BC =
Q
，
10
6
4 cm
AB
\
=
-
=
，
当
4cm
AB =
时，三边长分别为4cm 4cm10cm
,
,
，
而4
4
10
+
<
，不能构成三角形，故舍去．
综上，等腰三角形ABC 的周长为42cm ．
易错点2 当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错
易错提醒
易错点总结
1. 题目只给一个内角度数，不区分该角是顶角还是底角，直接单解作答。
2. 忽略底角必须是锐角，出现“底角≥90°“的错误角度，不会排除。
3. 角度计算后不验证内角和为 180°，出现逻辑错误。
注意事项总结
1. 已知一个内角求等腰三角形角度，固定分两种情况：该角为顶角 / 该角为底角。
2. 严格遵守规则：等腰三角形最多一个钝角或直角（只能是顶角）。
3. 算出角度后必须验证：三个角和为 180°、底角必须为锐角，不合理解舍去。
【对点训练】2．若等腰三角形的一个角是110°，则它的一个底角是______．
【答案】35°
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由题意可得，等腰三角形的顶角为110°，再
根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：若110°为底角时，
由于110
110
220
180
°+
° =
° >
°，
∴110°不可能为底角，
∴等腰三角形的顶角为110°，
∴等腰三角形的底角为
180
110
2
35
°-
° ¸
=
° ，
故答案为：35°．
易错点3 求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错
易错提醒
易错点总结
1.题干只说“等腰三角形”，未明确腰、顶点、位置，学生习惯性默认一种图形，漏多解。
2.动点、找点构造等腰三角形时，不讨论哪两条边相等，导致答案不全。
3.不会三种分类模型，经常少 1～2 种情况丢分。
注意事项总结
1.构造等腰三角形必须三分类：
① PA=PB ② AP=AB ③ BP=AB
2.只要题目没有固定腰和底，一律默认多解，绝不只写一个答案。
3.每种分类单独计算，最后统一舍去不成立、超范围的解。
【对点训练】3．等腰三角形周长为21cm ，若有一边长为9cm ，则等腰三角形其它两边长为____．
【答案】6cm ，6cm 或9cm ，3cm
【分析】根据已知周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，分两种情况进行分析求解即可．
【详解】当9cm 为腰长时，则另一腰长为9cm ，
∴底边长为：21 9
9
3cm
- -
=
，
∵9
3
9
+
>
，
∴能构成三角形；
当9cm 为底边时，则腰长为：21 9
6cm
2
-
=
，
∵6
6
9
+
>
，
∴能构成三角形．
则等腰三角形其他两边长分别为6cm ，6cm 或9cm ，3cm ．
故答案为：6cm ，6cm 或9cm ，3cm ．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是利用三角形三边关系进行
检验．
易错点4 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错
易错提醒
易错点总结
1. 题干只说“三角形高线”，默认是锐角三角形的高，忽略钝角三角形高在外部。
2. 高线位置不确定，不区分高在形内、形外，导致角度、边长计算完全错误。
3. 等腰三角形一腰上的高，不会区分顶角锐角、顶角钝角两种图形。
注意事项总结
1. 无图题、形状不明题，必须双分类：锐角三角形（高在内部）、钝角三角形（高在外部）。
2. 等腰三角形腰上的高：顶角锐角→高在形内；顶角钝角→高在形外。
3. 有高线参与的角度、长度计算，必须画图辅助，避免思维定式。
【对点训练】4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，它的底角为________．
【答案】
65°或25°
【分析】需分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，分别计算即可得到结果．
【详解】解：分两种情况讨论：当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，设等腰三角形
AB
AC
=
，BD 为AC 边上的高，
BD
AC
^
Q
，
90
ADB
\Ð
=
°，
40
ABD
Ð
=
°
Q
，
90
40
50
A
\Ð
=
°-
° =
°，
AB
AC
=
Q
，
180
180
50
65
2
2
A
ABC
C
°- Ð
°-
°
\Ð
= Ð
=
=
=
°；
当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，设等腰三角形AB
AC
=
，BD 为AC 延长线上的高，
BD
AC
^
Q
，
90
ADB
\Ð
=
°，
40
ABD
Ð
=
°
Q
，
90
40
50
BAD
\Ð
=
°-
° =
° ，
180
50
130
BAC
\Ð
=
°-
° =
°，
AB
AC
=
Q
，
180
180
130
25
2
2
BAC
ABC
C
°- Ð
°-
°
\Ð
= Ð
=
=
=
° ；
综上所述，该等腰三角形的底角为65°或25°．
易错点5 等腰三角形中与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错
易错提醒
易错点总结
1. 遇到新定义（优美三角形、倍角三角形、特征三角形等），只会套常规等腰模型，不会结合新定义分类。
2. 不清楚新定义对应的边、角关系，盲目计算，漏多种符合条件的情况。
3. 忽略新定义限制条件，算出不符合题意的解不剔除。
注意事项总结
1. 新定义题型第一步：先翻译定义，列出边角关系，再结合等腰三角形分类讨论。
2. 严格按照“腰底不明、角度不明、位置不明”三原则全面分类。
3. 所有解必须双重检验：符合等腰性质 + 符合题目新定义要求。
【对点训练】5．定义：经过三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个三角形是
等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分
割线”．
(1)如图1，Rt
ABC
△
，
90
C
Ð
=
° ，
30
B
Ð
=
° ，请在图中画出“和谐分割线”，与Rt
ABC
△
一边交于点D ，则
_________是等腰三角形，底角为______度．
(2)如图2，在ABC
V
中，线段CD是ABC
V
的“和谐分割线”，若ACD
V
是等腰三角形，
42
A
Ð
=
° ，求
B
Ð 的度
数．
【答案】(1)
；ADB
V
；30°
(2)
B
Ð 的度数为54°或27°．
【分析】
（1）作
CAB
Ð
的平分线AD 交BC 于点D ，根据三角形内角和得到
30
CAD
DAB
Ð
= Ð
=
° ，可知ACD
V
的三个内角与ABC
V
的三个内角相等，根据
DAB
B
Ð
= Ð 可知ABD
V
是等腰三角形，则AD 是“和谐分割线”；
（2）分三种情况根据“和谐分割线”的定义计算即可．
【详解】（1）解：作
CAB
Ð
的平分线AD 交BC 于点D ，图略；
90
C
Ð
=
°
Q
，
30
B
Ð
=
° ，
60
CAB
\Ð
=
° ，
30
CAD
DAB
\Ð
= Ð
=
° ，
在Rt ACD
V
中，
60
ADC
Ð
=
° ，
ACD
\V
的三个内角与ABC
V
的三个内角相等，
30
DAB
B
Ð
= Ð
=
°
Q
，
∴AD
BD
=
，
ABD
\△
是等腰三角形，
AD
\
是“和谐分割线”；
（2）解：如图，分三种情况：
①当DA
DC
=
时，
42
ACD
A
Ð
= Ð
=
° ，
∵CD是ABC
V
的“和谐分割线”，
∴
42
42
84
ACB
BDC
Ð
= Ð
=
°+
° =
°
∴
180
42
84
54
B
Ð
=
°-
°-
° =
° ；
②当DA
AC
=
时，
∵
42
A
Ð
=
° ，
∴
69
ACD
ADC
Ð
= Ð
=
°，
∵CD是ABC
V
的“和谐分割线”，
∴
42
BCD
A
Ð
= Ð
=
° ，
则
69
42
111
ACB
Ð
=
°+
° =
°，
∴
27
B
Ð
=
°；
③当AC
DC
=
时，
42
ADC
A
Ð
= Ð
=
°，则
180
42
138
BDC
ACB
Ð
=
°-
° =
° = Ð
，
那么
180
42
138
0
B
Ð
=
°-
°-
° = °（舍去），
故
B
Ð 的度数为54°或27°．
一、单选题
1．一个等腰三角形的底角是50°，则它的顶角为（ ）°
A．50°
B．80°
C．50°或80°
D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及内角和；
等腰三角形两个底角相等，已知底角为50°，结合三角形内角和180°，可求顶角．
【详解】解：∵ 等腰三角形两底角相等，且底角为50°，
∴ 两底角之和为50
50
100
° +
° =
° ，
∴ 顶角
180
100
80
=
°-
° =
°，
故选：B．
2．如果等腰三角形有一个角是40°，则它的顶角是（ ）
A．40°
B．100°
C．140°
D．40°或100°
【答案】D
【分析】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．等腰三角形中，
已知角可能是顶角或底角，需分情况讨论顶角．
【详解】解：∵等腰三角形有一个角是40°，
∴当40°为顶角时，顶角为40°；
当40°为底角时，另一个底角也为40°，顶角为180
40
40
100
°-
°-
° =
° ．
∴顶角为40°或100°，
故选D．
3．一个等腰三角形的一个内角为70°，则它的顶角为（ ）
A．70°
B．40°
C．70°或40°
D．110°
【答案】C
【分析】已知内角没有说明是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论计算．
【详解】分两种情况讨论：情况1：当70°的内角为顶角时，顶角就是70°；
情况2：当70°的内角为底角时，
∴ 顶角为180
2 70
40
°- ´
° =
°；
综上，该等腰三角形的顶角为70°或40°．
4．如图，在等腰ABC
V
中，
,
60 ,
90 ,
AB
BC
ACB
E
D
AE
CD
=
Ð
=
° Ð
= Ð
=
°
=
，则
EAD
Ð
的值为（ ）
A．120°
B．135°
C．145°
D．150°
【答案】D
【分析】先证明ABC
V
为等边三角形，得出AB
AC
=
，
60
BAC
Ð
=
° ，再证明
Rt
Rt
HL
ABE
CAD
V
V
≌
，得
出
CAD
ABE
Ð
= Ð
，求出
90
CAD
BAE
Ð
+ Ð
=
° ，即可得出答案．
【详解】解：∵
,
60
AB
BC
ACB
=
Ð
=
°，
∴ABC
V
为等边三角形，
∴AB
AC
=
，
60
BAC
Ð
=
° ，
∵
90 ,
E
D
AE
CD
Ð
= Ð
=
°
=
，
∴
Rt
Rt
HL
ABE
CAD
V
V
≌
，
∴
CAD
ABE
Ð
= Ð
，
∵
180
90
90
ABE
BAE
Ð
+ Ð
=
°-
° =
°，
∴
90
CAD
BAE
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
90
60
150
EAD
CAD
BAE
BAC
Ð
= Ð
+ Ð
+ Ð
=
°+
° =
°．
5．如图，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
5,
15,
C
AC
AB
AD
Ð
=
°
=
=
平分
BAC
Ð
交BC 于点D，过点D 作DE
AD
^
交AB
于点E，点P 是DE 上的动点，点Q 是BD 上的动点，则BP
PQ
+
的最小值为（ ）
A．5
B．10
C．15
D．20
【答案】B
【分析】过点D 作DH
AB
^
于H，并延长DH ，先判断出
AAS
ADH
ADC
V
V
≌
，再判断出
BDE
HDE
Ð
= Ð
，
在DH 上取一点Q¢，使DQ
DQ
¢ =
，连接PQ
BQ
¢
¢
，
，进而判断出
SAS
QDP
Q DP
¢
V
V
≌
，得出PQ
PQ¢
=
，即
可判断出BQ
DH
¢ ^
时，BP
PQ
+
最小，即可求出答案．
【详解】解：如图，过点D 作DH
AB
^
于H，并延长DH ，
∴
90
AHD
C
Ð
=
° = Ð
，
∵AD 是
BAC
Ð
的平分线，
∴
DAH
DAC
Ð
= Ð
，
∵AD
AD
=
，
∴
AAS
ADH
ADC
V
V
≌
，
∴
5
ADH
ADC
AH
AC
Ð
= Ð
=
=
，
，
∴
15
5
10
BH
AB
AC
=
-
=
-
=
，
∵DE
AD
^
，
∴
90
ADE
Ð
=
°，
∴
90
ADC
BDE
ADH
EDH
Ð
+ Ð
=
° = Ð
+ Ð
，
∴
BDE
HDE
Ð
= Ð
，
在DH 上取一点Q¢，使DQ
DQ
¢ =
，连接PQ
BQ
¢
¢
，
，
∵DP
DP
=
，
∴
SAS
QDP
Q DP
¢
V
V
≌
，
∴PQ
PQ¢
=
，
∴BP
PQ
BP
PQ
BQ
¢
¢
+
=
+
³
，当点B、P、Q¢ 共线时取等号，
∵点Q 是动点，
∴当BQ
DH
¢ ^
时，即点Q¢与点H 重合，BP
PQ
+
的值最小，最小值为
10
BH =
．
二、填空题
6．如图，将两个全等的等腰三角形ABC
V
和ADE
V
的顶角顶点A 重合，且
120
BAC
DAE
Ð
= Ð
=
° ．点A 、D
分别在BC 的两侧，AD 与BC 交于点M ，DE 分别与BC 、AC 交于点O 、N ．当
DOM
△
为等腰三角形时，
BAD
Ð
的度数为______．
【答案】30°或75°
【分析】先得出
30
B
C
D
E
Ð
= Ð
= Ð
= Ð
=
° ，AB
AC
AE
AD
=
=
=
，再分三种情况：①OM
DM
=
，②
OD
DM
=
和③OM
OD
=
，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵在两个全等的等腰三角形ABC
V
和ADE
V
中，
120
BAC
DAE
Ð
= Ð
=
° ，
∴
180
120
30
2
B
C
D
E
°-
°
Ð
= Ð
= Ð
= Ð
=
=
° ，AB
AC
AE
AD
=
=
=
，
①如图1，当OM
DM
=
时，
DOM
△
为等腰三角形，
∴
30
DOM
D
Ð
= Ð
=
°，
∴
180
120
DMO
DOM
D
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°，
∴
120
AMB
DMO
Ð
= Ð
=
° ，
∴
180
30
BAD
AMB
B
Ð
Ð
- Ð
-
=
=
°
° ；
②如图2，当OD
DM
=
时，
DOM
△
为等腰三角形，
∴
180
75
2
D
DMO
DOM
°- Ð
Ð
= Ð
=
=
° ，
∴
75
AMB
DMO
Ð
= Ð
=
° ，
∴
180
75
BAD
AMB
B
Ð
Ð
- Ð
-
=
=
°
° ；
③如图3，当OM
OD
=
时，
DOM
△
为等腰三角形，
∴
30
DMO
D
Ð
= Ð
=
° ，
∴
30
AMB
DMO
Ð
= Ð
=
° ，
∴
8
120
1 0
AMB
BAD
B
BAC
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
° = Ð
，此时AD 与AC 重合，不符合题意，舍去；
综上，
BAD
Ð
的度数为30°或75°．
7．等腰三角形的两边长a、b 满足
2
4
8
0
a
b
-
+
-
=
，则该等腰三角形的周长是________．
【答案】
20
【分析】根据非负数的性质求出a ，b 的值，分情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否
构成三角形，进而计算周长.
【详解】解：
2
(
4)
8
0
a
b
-
+
-
=
Q
，且
2
(
4)
0
a -
³
，
8
0
b -
³
，
4
0,
8
0
a
b
\ -
=
-
=
，解得
4,
8
a
b
=
= ，
Q该三角形是等腰三角形，
\三边长为4,4,8 或8,8,4 ，
4
4
8
+
=
Q
，不满足三角形三边关系，该情况不合题意，舍去，
\等腰三角形的周长为8
8
4
20
+ +
=
．
8．如图，在ABC
V
中，AB
AC
=
，
120
BAC
Ð
=
° ，D 为BC 边上一点，将ABD
V
沿AD 折叠，点B 落在点E
处，AB 的对应边AE 与线段BC 相交于点F ，若DEF
V
为等腰三角形，则
ADB
Ð
的度数为______________．
【答案】127.5°或105°
【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出
30
B
C
Ð
= Ð
=
° ，由折叠的性质得出
30
B
E
Ð
= Ð
=
° ，
ADB
ADE
Ð
= Ð
，
DAB
DAF
Ð
= Ð
，
设
0
DAB
DAF
a a
Ð
= Ð
=
¹
，由角的和差关系以及三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质等知识表
示出
,
,
E
DFE
FDE
Ð
Ð
Ð
，再根据等腰三角形的定义分三种情况求解即可．
【详解】解：∵AB
AC
=
，
120
BAC
Ð
=
° ，
∴
1 180
30
2
B
C
BAC
Ð
= Ð
=
°- Ð
=
°
由折叠的性质可知：
30
B
E
Ð
= Ð
=
° ，
ADB
ADE
Ð
= Ð
，
DAB
DAF
Ð
= Ð
，
设
0
DAB
DAF
a a
Ð
= Ð
=
¹
，
∴
180
150
ADB
ADE
B
DAB
a
Ð
= Ð
=
°- Ð - Ð
=
°-
，
2
BAF
a
Ð
=
，
30
ADF
DAB
B
a
Ð
= Ð
+ Ð
=
°+
，
∴
150
30
120
2
FDE
ADE
ADF
a
a
a
Ð
= Ð
- Ð
=
°-
-
°+
=
°-
，
30
2
AFC
B
FAB
a
Ð
= Ð + Ð
=
°+
，
∴
30
2
AFC
DFE
a
Ð
= Ð
=
°+
，
当DF
DE
=
时，
则
E
DFE
Ð
= Ð
，即30
30
2a
° =
°+
，
解得
0
a =
，不符合题意，舍去．
当
=
DF
EF 时，
则
FDE
E
Ð
= Ð
，即120
2
30
a
°-
=
°，
解得
45
a =
°，
∴
150
105
ADB
a
Ð
=
°-
=
° ，
当DE
EF
=
时，
则
FDE
DFE
Ð
= Ð
，即120
2
30
2
a
a
°-
=
°+
，
解得
22.5
a =
°，
∴
150
127.5
ADB
a
Ð
=
°-
=
° ．
综上：
ADB
Ð
的度数为127.5°或105°．
9．如图，等腰ABC
V
的底边AB 的长为4 ，面积为12，BC 的垂直平分线MN 分别交BC ，AC 于点M ，
N ，若点D 为AB 的中点，P 为线段MN 上一动点，则PBD
V
的周长的最小值为___________．
【答案】8
【分析】连接CD，PBD
V
的周长为BD
BP
DP
+
+
，DB为定值，要使PBD
V
的周长最小，则BP
DP
+
的值
最小，BC 的垂直平分线为MN ，得到BP
CP
=
，说明BP
DP
CP
DP
CD
+
=
+
³
，当
,
,
C P D 三点共线时，
CP
DP
CD
+
=
，最小，进行求解即可．
【详解】解：∵PBD
V
的周长为BD
BP
DP
+
+
，DB为定值，
∴当BP
DP
+
的值最小时，PBD
V
的周长最小，
连接CD
PC
，
，
∵BC 的垂直平分线为MN ，
∴BP
CP
=
，
∴BP
DP
CP
DP
CD
+
=
+
³
，
∴当
,
,
C P D 三点共线时，CP
DP
CD
+
=
，
∵点D 为AB 的中点，AC
BC
=
，
∴CD
AB
^
，
1
2
2
BD
AB
=
=
，
∴
1
1
4
12
2
2
ABC
S
AB CD
CD
=
×
=
´ ´
=
V
，
∴
6
CD =
，
∴PBD
V
的周长的最小值为：
2
6
8
BD
BP
DP
BD
CD
+
+
=
+
=
+
=
．
10．如图，在ABC
V
中，
120
BAC
Ð
=
° ，AB 的垂直平分线交AB 于点E，交BC 于点F，AC 的垂直平分线
交AC 于点G，交BC 于点H．则
FAH
Ð
= ____________．
【答案】
60°
【分析】根据三角形内角和定理求出
B
C
Ð
Ð
+
的度数，利用线段垂直平分线的性质得出
FAB
B
Ð
= Ð
，
HAC
C
Ð
Ð
=
，最后利用角的和差关系求解．
【详解】解： 在ABC
V
中，
120
BAC
Ð
=
o ，
根据三角形内角和定理，得
180
180
120
60
B
C
BAC
Ð
Ð
Ð
+
=
-
=
-
=
o
o
o
o
EF
Q
是AB 的垂直平分线，
FA
FB
\
=
.
FAB
B
\Ð
= Ð
同理可得HA
HC
=
，
HAC
C
Ð
Ð
=
BAC
FAB
FAH
HAC
Ð
Ð
Ð
Ð
=
+
+
Q
，
(
)
FAH
BAC
FAB
HAC
Ð
Ð
Ð
Ð
\
=
-
+
(
)
FAH
BAC
B
C
Ð
Ð
Ð
Ð
\
=
-
+
120
60
60
FAH
Ð
\
=
-
=
o
o
o ．
三、解答题
11．如图，已知：E 是
AOB
Ð
的平分线上一点，EC
OB
^
，ED
OA
^
，C 、D 是垂足，连接CD，且交OE
于点F ．
(1)求证：OE 是CD的垂直平分线．
(2)若
60
AOB
Ð
=
°，请你探究线段OF 与线段EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．
【答案】(1)
E
Q
是
AOB
Ð
的平分线上一点，EC
OB
^
，ED
OA
^
，
DE
CE
\
=
，
∵OE
OE
=
，
Rt
Rt
(HL)
ODE
OCE
\
≌
V
V
，
OD
OC
\
=
，
DOC
\△
是等腰三角形，
OE
Q
是
AOB
Ð
的平分线，
OE
\
是CD的垂直平分线；
(2)
OE
Q
是
AOB
Ð
的平分线，
60
AOB
Ð
=
°，
30
AOE
BOE
\Ð
= Ð
=
°，
EC
OB
^
Q
，ED
OA
^
，
2
OE
DE
\
=
，
60
ODF
OED
Ð
= Ð
=
°，
30
EDF
\Ð
=
°，
2
DE
EF
\
=
，
4
OE
EF
\
=
，
3
OF
EF
\
=
．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出Rt
Rt
(HL)
ODE
OCE
≌
V
V
，OD
OC
=
，确定DOC
V
是等腰三角形，
再由等腰三角形的性质即可证明；
（2）根据题意得出
30
AOE
BOE
Ð
= Ð
=
°，确定
2
OE
DE
=
，
60
ODF
OED
Ð
= Ð
=
°，确定
4
OE
EF
=
，即可
证明．
【详解】（1）略
（2）略
12．（1）如图1，线段OA的一个端点O 在直线l 上，且与直线l 所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三
角形，并且使另一个顶点P 在直线l 上，这样的等腰三角形能画 个．
（2）如图1，如果OA与直线l 所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并使另一个顶点P 在直线l
上，这样的等腰三角形能画 个．
想一想：如图2，ABC
V
中，
20
50
A
B
Ð
=
°
Ð
=
°
，
，过顶点C 作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的
直线最多可以画 条．
算一算：如图3，在ABC
V
中，
10
BAC
Ð
=
° ，若存在过点C 的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角
形，试求∠B 的度数．
【答案】（1）4；（2）2；想一想：5；算一算：5°或20°或80°或140°或42.5°．
【分析】（1）根据等腰三角形的定义，两条边相等的三角形是等腰三角形即可得到结论；
（2）同（1）原理，理论上可以画4 个，但是
2
3
4
P
P
P
、、
重合，由此即可得到答案；
想一想：分五种情况：①当AC
AF
=
，②当BC
BE
=
，③当CB
CG
=
，④当AD
CD
=
，⑤CH
BH
=
时，
于是得到结论；
算一算：如图3，当AD
CD
=
，分三种情况：①当CD
BD
=
时；②当CD
BC
=
时；③当BD
BC
=
时；如图
4，当AC
AE
CE
BE
=
=
，
时；如图5，当AC
CE
CE
BE
=
=
，
时，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）如图1，①
1
AO
OP
=
，②
2
AO
AP
=
；③
3
AO
OP
=
，④
4
4
AP
OP
=
，这样的等腰三角形能
画4 个．
故答案为：4；
（2）同（1）可知满足题意的点有4 个，
∵OA与直线l 所成的锐角为60°，
∴
2
3
4
AOP
AOP
AOP
△
、△
、△
都是等边三角形，
∴
2
3
4
P
P
P
、、
三点重合，
∴满足题意的点只有2 个，
故答案为：2；
想一想：①当AC
AF
=
，②当BC
BE
=
，③当CB
CG
=
，④当AD
CD
=
，⑤CH
BH
=
时，过顶点C 作
一条直线，能分割出一个等腰三角形，
∴过顶点C 作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画5 条，
故答案为：5；
算一算：如图3，当AD
CD
=
时，
∴
10
ACD
A
Ð
= Ð
=
°，
∴
20
CDB
ACD
A
Ð
=
+
=
°
∠
∠
，
∴①当CD
BD
=
时，
180
80
2
CDB
B
BCD
° -
Ð
= Ð
=
=
°
∠
；
②当CD
BC
=
时，
20
B
CDB
Ð
= Ð
=
° ；
③当BD
BC
=
时，
180
20
20
140
B
Ð
=
° -
° -
° =
°；
如图4，①当AC
AE
=
，CE
BE
=
时，
∵
10
A
Ð =
° ，
∴
180
85
2
A
ACE
AEC
° - Ð
Ð
= Ð
=
=
° ，
∴
1
42.5
2
B
BCE
AEC
Ð
= Ð
=
=
°
∠
，
如图5 所示，当AC
CE
CE
BE
=
=
，
时，
∴
10
CEA
A
=
=
°
∠
∠
，
∴
1
5
2
B
BCE
AEC
Ð
= Ð
=
= °
∠
综上所述，存在过点C 的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，∠B 的度数为5°或20°或80°或140°
或42.5°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与定义，三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质是解题的
关键．
13．【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对
位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．
【材料理解】（1）如图1，ABC
V
与ADE
V
都是等腰三角形，AB
AC
=
，AD
AE
=
，且
BAC
DAE
Ð
= Ð
，证
明：BD
CE
=
．
【深入研究】（2）ABC
V
与ADE
V
都是等腰三角形，AB
AC
=
，AD
AE
=
，且
90
BAC
DAE
Ð
= Ð
=
°，证明：
BD
CE
^
；
【深化模型】（3）如图3，AB
BC
=
，
60
ABC
BDC
Ð
= Ð
=
°，
16
7
BD
CD
=
=
，
，求AD 的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）9
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等知识，综合性强，难度较大．
（1）证明
BAD
CAE
Ð
= Ð
，进而证明
ABD
ACE SAS
V
V
≌
，即可得到BD
CE
=
；
（2）证明
CAE
BAD
Ð
= Ð
，进而证明
ABD
ACE SAS
V
V
≌
，得到
ABD
ACE
Ð
= Ð
，根据
BPC
ABD
BAC
ACE
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
得到
90
BPC
BAC
Ð
= Ð
=
°，问题得证；
（3）在BD 上截取
7
DE
DC
=
=
，连接
,
EC AC ，则
16
7
9
BE
BD
DE
=
-
=
-
=
．先证明ABC
V
，DEC
V
都是
等腰三角形，得到
,
,
60
BC
AC EC
DC
BCA
ECD
=
=
Ð
= Ð
=
° ，进而证明
BCE
ACD SAS
V
V
≌
，即可求出
9
BE
AD
=
=
．
【详解】解：（1）∵
BAC
DAE
Ð
= Ð
，
∴
BAC
DAC
DAE
DAC
Ð
- Ð
= Ð
- Ð
，
即
BAD
CAE
Ð
= Ð
，
在ABD
V
和
ACE
△
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
ABD
ACE SAS
V
V
≌
，
∴BD
CE
=
；
（2） ∵
90
BAC
DAE
Ð
= Ð
=
°，
∴
BAC
BAE
DAE
BAE
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，
∴
CAE
BAD
Ð
= Ð
，
在ABD
V
和
ACE
△
中，
AB
AC
BAD
CAE
AD
AE
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
∴
ABD
ACE SAS
V
V
≌
，
∴
ABD
ACE
Ð
= Ð
，
∵
BPC
ABD
BAC
ACE
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，
∴
90
BPC
BAC
Ð
= Ð
=
°，
∴BD
CE
^
；
（3）如图，在BD 上截取
7
DE
DC
=
=
，连接
,
EC AC ，则
16
7
9
BE
BD
DE
=
-
=
-
=
．
∵AB
BC
=
，DE
DC
=
，
60
ABC
BDC
Ð
= Ð
=
°，
∴ABC
V
，DEC
V
都是等腰三角形，
∴
,
,
60
BC
AC EC
DC
BCA
ECD
=
=
Ð
= Ð
=
° ，
∴
BCA
ACE
ECD
ACE
Ð
- Ð
= Ð
- Ð
，
即
BCE
ACD
Ð
= Ð
．
在BCE
V
和ACD
V
中，
BC
AC
BCE
ACD
EC
DC
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
∴
BCE
ACD SAS
V
V
≌
，
∴
9
BE
AD
=
=
．
14．阅读与思考
下面是小明同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
内嵌共边等腰三角形组【概念理解】
如果两个等腰三角形有一条公共边，且其中较小的等腰三角形的另一个顶点落在外侧较
大等腰三角形的某一边上，那么称二者为内嵌共边等腰三角形组．
例如，图1 中的ABC
V
和CBD
V
均为等腰三角形，AB
AC
=
，CD
CB
=
，且CBD
V
的顶点D
在ABC
V
的边AB 上，我们称图1 中ABC
V
和CBD
V
为内嵌共边等腰三角形组．
【问题解决】
问题1：在如图1 中，若CD平分
ACB
Ð
，则
A
Ð
= __________°．
问题2：如图2，ABC
V
中，
30
ACB
Ð
=
o，点E 为平面内ABC
V
外一点（与点A 不重合），
连接AE ，CE ，CE
AC
=
．作CE 的垂直平分线FG ，垂足为G ，交直线BC 于F ，当点
F 在直线AE 上时，求
AEC
Ð
的度数．
在研究过程中，小明同学利用图形的旋转得到满足条件的图形，如图3．
任务：
(1)问题1 中的
A
Ð
= __________°；
(2)求出图3 中
AEC
Ð
的度数；
(3)补全问题2 的情况，在草稿纸上画出图形并在答题纸上直接写出
AEC
Ð
的度数．
【答案】(1)36
(2)70o
(3)
50
AEC
Ð
=
o 或10o
【分析】（1）设
ACD
x
Ð
=
，根据角平分的意义和等腰三角形两底角相等，可以用x 的代数式表示其它的角，
再根据三角形内角和等于180°即可列出方程，求出答案；
（2）设
AEC
x
Ð
=
，由垂直平分线的性质，可到等腰三角形，再根据等腰三角形两底角相等，可以用x 的
代数式表示其它的角，再利用角的等量关系列方程求解即可；
（3）分两种情况，情况一：当E 在BC 下方，F 落在C 点左侧，情况二：当E 在BC 下方，F 落在C 点右
侧，画出对应图形，利用角之间的数量关系列方程求解即可．
【详解】（1）
CD
Q
平分
ACB
Ð
，
\设
ACD
BCD
x
Ð
= Ð
=
，
AC
AB
=
Q
，
2
B
ACB
x
\Ð
= Ð
=
，
CD
BC
=
Q
，
2
CDB
B
x
\Ð
= Ð
=
，
180
CDB
B
BCD
\Ð
+ Ð + Ð
=
°，
2
2
180
x
x
x
\
+
+
=
° ，
36
x
\
=
° ，
72
ACB
B
\Ð
= Ð
=
° ，
180
36
A
ACB
B
\Ð
=
°- Ð
- Ð
=
° ．
（2）设
AEC
x
Ð
=
，
AC
CE
=
Q
，
EAC
AEC
x
Ð
Ð
\
=
=
，
180
2
ACE
x
Ð
\
=
°-
，
30
ACB
Ð
=
°
Q
，
180
2
30
210
2
ECF
x
x
Ð
\
=
°-
+
° =
°-
，
FG
Q
是EC 的垂直平分线，
FC
FE
\
=
，
ECF
AEC
Ð
Ð
\
=
，
210
2x
x
\
°-
=
，
70
x
°
\
=
，
即
70
AEC
Ð
=
° ．
（3）解：当E 在BC 下方，F 落在C 点左侧时，如图所示
设
EAC
x
Ð
=
.
AC
CE
=
Q
，
E
x
\Ð
=
，
FG
Q
是EC 的垂直平分线，
EF
CF
\
=
，
BCE
E
x
\Ð
= Ð
=
，
30
ACE
ACB
BCE
x
\Ð
= Ð
+ Ð
=
°+
，
180
E
ACE
EAC
\Ð
+ Ð
+ Ð
=
° ，
30
180
x
x
x
\ +
°+
+
=
，
50
x
\
=
° ，
50
AEC
\Ð
=
°，
当E 在BC 下方，F 落在C 点右侧时，如图所示，
设
AEC
x
Ð
=
，
AC
CE
=
Q
，
CAE
x
Ð
\
=
，
FG
Q
垂直平分CE ，
CF
EF
\
=
，
FCE
AEC
x
Ð
Ð
\
=
=
，
2
AFC
AEC
FCE
x
Ð
Ð
Ð
\
=
+
=
，
3
ACB
CAE
AFC
x
Ð
Ð
Ð
\
=
+
=
，
3
30
x
\
=
°，
10
x
\
=
° ，
10
AEC
Ð
\
=
°，
50
AEC
Ð
\
=
°或10°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，解决第三小题的关键是根据条件进行分类讨
论并画出对应的图形．
15．【理解问题】
如图1，在ABC
V
和DBC
V
中，AB
AC
=
，DB
DC
=
，点A ，D 在底边BC 的同侧．我们把具有这种位置关
系的两个等腰三角形．叫做美好等腰三角形，在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连
接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1 中
ABD
Ð
和
ACD
Ð
是腰角，线段AD 是轴线．
(1)【拟定计划】
小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在
的直线垂直平分底边．小颖利用图1 给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明．
已知：如图1，ABC
V
和DBC
V
是美好等腰三角形，连接AD ．求证：ABD
ACD
Ð
= Ð
，AD 所在直线是线段BC
的垂直平分线．
(2)【实施计划】
如图2，在ABC
V
中，AB
AC
=
，点D 在AB 上，
45
ACD
Ð
=
° ，AE
CD
^
，垂足为E ，AE 的延长线与BC
交于点F ，点G 在线段DC 上，且EG
EF
=
，连接BG ．求证：ABC
V
和GBC
V
是美好等腰三角形．
(3)【回顾反思】小颖反思证明思路，在图2 的基础上继续探究：分别连接DF ，FG ，若DF
FG
=
，请直
接写出
BAC
Ð
的度数．
【答案】(1)证明：
ABC
QV
和DBC
V
是美好等腰三角形，
AB
AC
\
=
，DB
DC
=
，
DBC
DCB
\Ð
= Ð
，
B
ABC
AC
= Ð
∠
，
ABC
DBC
ACB
DCB
\Ð
- Ð
= Ð
- Ð
，即
ACD
ABD
Ð
= Ð
．
AB
AC
=
∵
，
\点A 在线段BC 的垂直平分线上．
DB
DC
=
Q
，
\点D 在线段BC 的垂直平分线上，
ABD
ACD
Ð
Ð
\
=
，AD 所在直线是线段BC 的垂直平分线；
(2)证明：如图，作射线AG 交BC 于点H ．
AE
CD
^
Q
，
90
AEG
CEF
\Ð
= Ð
=
°．
90
GAE
AGE
\Ð
+ Ð
=
°.
45
ACE
Ð
=
°
Q
，
90
45
CAE
ACE
\Ð
=
°- Ð
=
° ．
CAE
ACE
\Ð
= Ð
．
AE
CE
\
=
．
EF
EG
=
Q
，
SAS
AEG
CEF
\V
V
≌
．
FCE
GAE
\Ð
= Ð
．
Ð
= Ð
Q
CGH
AGE ，
90
\Ð
+ Ð
=
°
FCE
CGH
．
180
90
GHC
CGH
FCE
\Ð
=
-Ð
-Ð
=
°
°．
AH
BC
\
^
．
AB
AC
=
∵
，
BH
CH
\
=
．
GB
GC
\
=
．
\点G 在线段DC 上，且EG
EF
=
，则ABC
V
和GBC
V
是美好等腰三角形
(3)
60
BAC
Ð
=
°
【分析】（1）利用美好等腰三角形的性质得
,
AB
AC DB
DC
=
=
，得
ABC
ACB
Ð
Ð
=
，DBC
DCB
Ð
= Ð
，从而有
ABD
ACD
Ð
= Ð
；再由
,
AB
AC DB
DC
=
=
，结合线段垂直平分线的判定即可证明；
（2）作射线AG 交BC 于点H ．由已知
CAE
ACE
Ð
= Ð
，则AE
CE
=
．再证明
AEG
CEF
≌
△
△
得
GAE
FCE
Ð
= Ð
，
即可得证；
（3）证明AF 垂直平分DG 得AD
AG
=
，从而
DAE
GAE
Ð
= Ð
，设
DAE
GAE
a
Ð
= Ð
=
，根据
45
CAE
Ð
=
°
可求出
15
a =
°，进而可求出
BAC
Ð
的度数.
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：如图3，
∵AE
CD
^
，
∴FE
DG
^
，
∵EG
EF
=
，
∴
45
EGF
EFG
Ð
= Ð
=
° ．
∵DF
FG
=
，FE
DG
^
，
∴AF 垂直平分DG ，
∴AD
AG
=
，
∴
DAE
GAE
Ð
= Ð
．
设
DAE
GAE
a
Ð
= Ð
=
．
∵AB
AC
=
，AH
BC
^
，
∴
2
CAH
BAH
a
Ð
= Ð
=
．
∵
45
CAE
Ð
=
° ，
∴
2
45
a
a
+
=
°，
∴
15
a =
°，
∴
4 15
60
BAC
Ð
=
´
° =
°.
