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第二十八章 旋转
一、图形的旋转
1. 旋转定义
在平面内，将一个图形绕着一个_______按照某个______转动一个______，这样的图形运动叫做图形的
旋转。
• 定点：______
• 转动角度：______
• 旋转方向：____________、____________
2. 旋转三要素（缺一不可）
旋转______、旋转______、旋转______
3. 旋转的基本性质
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1. 旋转前、后的两个图形____________，图形形状、大小完全不变，仅位置改变；
2. 对应点到旋转中心的距离______；
3. 任意一组对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于______；
4. ____________相等，____________相等。
4. 旋转作图步骤
① 确定旋转______、旋转______、旋转______；
② 找出原图形所有关键顶点；
③ 依次作出每个关键点绕中心旋转后的对应点；
④ 按照原图顺序顺次连接各对应点，得到旋转后的图形。
二、中心对称
1. 中心对称（两个图形）
定义：把一个图形绕着某一点旋转____________，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图
形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做______。
2. 中心对称的性质
1. 成中心对称的两个图形____________；
2. 对称点所连线段都经过对称中心，并且被______平分；
3. 对应线段平行（或共线）且相等。
3. 中心对称图形（单个图形自身属性）
定义：一个图形绕自身中心点旋转______后，能和原来的图形互相重合，这个图形叫做中心对称图形。
常见中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、正偶数边形
不是：等边三角形、等腰梯形、正五边形
4. 中心对称 vs 中心对称图形区别
1. 中心对称：描述两个图形之间的位置关系；
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2. 中心对称图形：描述一个图形自身具备的特征。
三、平面直角坐标系中点绕原点旋转规律
设点坐标 𝑃(𝑥, 𝑦)，绕坐标原点旋转：
1. 逆时针旋转 90∘：𝑃1(______,______)
2. 顺时针旋转 90∘：𝑃2(______,______)
3. 旋转 180∘（顺、逆时针结果一致）：𝑃3(______, ______)
四、旋转经典几何模型（大题高频考点）
1. 手拉手全等模型
适用：共顶点的两条相等线段（______三角形、____________三角形、____________）
核心：将其中一个图形绕公共顶点旋转，构造出一对全等三角形，实现边角转移。
2. 正方形半角模型
正方形内部含 ______ 角，通过旋转将分散两条线段拼接，证明线段和差等式。
3. 构造旋转解题通用思路
题目出现：邻边相等的图形（等边△、等腰Rt△、正方形）、线段求和求最值、分散边角条件
解题技巧：利用旋转把分散的边、角集中到同一个三角形中，结合勾股定理、全等求解。
易错点1 利用旋转的性质求解
易错提醒
易错点总结
1. 不会找准旋转角，误把任意夹角当成旋转角，导致角度计算全部错误。
2. 忽略旋转前后对应点到中心距离相等，不会构造等腰三角形求边长、角度。
3. 误以为旋转改变图形大小，忘记旋转属于全等变换，边长、角度不变。
4. 多角叠加题型，漏找隐藏的等角、余角、补角，角度推导不完整。
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注意事项总结
1. 旋转角唯一找法：对应点与旋转中心连线的夹角，全部相等。
2. 看到旋转立刻锁定三性质：边相等、角相等、旋转角相等。
3. 旋转一定全等，只求位置变化，不求大小变化。
4. 求角度优先找：公共角、旋转角、等角替换，不要盲目目测。
【对点训练】1．如图，将ABC
绕点C 顺时针旋转90得到
EDC
△
．若点A，D ，E 在同一条直线上，且
20
ACB
=
，求
CAE
及
EDC
的度数．
易错点2 利用旋转的性质证明
易错提醒
易错点总结
1. 证明全等时条件写不全，只写一组边相等，遗漏旋转角相等关键条件。
2. 手拉手模型不会用，看不出旋转产生的 SAS 全等，卡题、不会推导。
3. 证明线段相等、垂直、共线时跳步，逻辑不严谨扣分。
4. 混淆旋转前后对应边、对应角，对应关系错乱导致证明错误。
注意事项总结
1. 旋转证明万能套路：找共顶点等线段 → 找旋转角相等 → 证 SAS 全等。
2. 所有旋转证明必须写明：由旋转得 对应角相等，对应边相等。
3. 手拉手模型必考：共顶点双等腰必出一对全等三角形。
4. 严格找准对应顶点，不随意调换边角顺序。
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【对点训练】2．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，AD为斜边上的高，点E、F 分别在AB
AC
、
上，AED
经过旋转到了
CDF
△
的位置．
(1) BED
和AFD
之间可以看成是经过怎样的变换得到的？
(2) AD与EF 相交于点G，试判断
AED
∠
与
AGF
的大小关系，并说明理由．
易错点3 中心对称与坐标系中点的坐标问题
易错提醒
易错点总结
1. 混淆90∘、180∘旋转坐标公式，正负号写反，坐标直接算错。
2. 把中心对称（180∘旋转）和轴对称坐标弄混，公式乱用。
3. 题目绕非原点旋转，仍套用原点公式，导致全盘错误。
4. 判断中心对称图形、轴对称图形判断错误，概念混淆。
注意事项总结
1. 原点旋转口诀牢牢背熟：
①逆时针90：(-y,x)
②顺时针90∘：(y,-x)
③旋转180∘：(-x,-y)
2. 非原点旋转不能套公式，必须画图平移推导。
3. 中心对称：旋转180∘重合；轴对称：翻折重合，完全不同。
4. 做题先看清：顺时针还是逆时针，避免方向看反。
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【对点训练】3．如图，在边长为1 的正方形网格中，ABC
的顶点均在格点上
(1)画出把ABC
向下平移4 个单位长度后得到的
1
1
1
A B C
△
（A、B、C 的对应点分别为
1A 、
1
B 、
1
C ）
(2)画出ABC
关于原点O 成中心对称的
2
2
2
A B C
△
（A、B、C 的对应点分别为
2
A 、
2
B 、
2
C ）
(3)画出ABC
绕点A 逆时针旋转90后得到的
3
3
AB C
（A、B、C 的对应点分别为A、
3
B 、
3
C ）
易错点4 旋转中的规律问题
易错提醒
易错点总结
1. 不会找旋转周期，不知道正方形、三角形旋转周期规律。
2. 求第 n 次旋转位置，直接硬算，不会用余数法快速判断。
3. 周期判断错误：把周期 4 当成周期 2，导致所有规律答案错位。
4. 落点坐标、运动路程、扫过面积规律不会推导。
注意事项总结
1. 常见固定周期：
①90∘ 旋转图形：周期 4
②120∘ 旋转图形：周期 3
③180∘ 旋转图形：周期 2
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2. 第 n 次位置万能法：n÷周期，看余数定位置。
3. 余数为 0 代表回到周期最后一个位置。
4. 规律题必须先写出前 3–4 次位置，确认周期再计算。
【对点训练】4．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角OAB
位置如图，
90
OBA
=
，点B 的坐标为(
)
1,0 ，
每一次将OAB
绕点O 逆时针旋转90，同时每边扩大为原来的2 倍，第一次旋转得到
1
1
OA B
，第二次旋转
得到
2
2
OA B
△
，…，以此类推，则点
2022
A
的坐标是（ ）
A．(
)
2022
2022
2
,2
B．(
)
2021
2021
2
,2
−
C．(
)
2021
2021
2
,2
D．(
)
2022
2022
2
, 2
−
−
易错点5 旋转与几何综合应用
易错提醒
易错点总结
1. 不会利用旋转转移线段、转移角度，条件分散无法解题。
2. 旋转后出现直角三角形、等腰三角形，不会结合勾股定理求边长。
3. 半角模型、手拉手模型看不出旋转结构，完全卡题。
4. 求旋转扫过面积时，分不清扇形半径、圆心角，面积公式代入错误。
5. 多解问题不分类讨论旋转方向（顺/逆时针），漏解扣分。
注意事项总结
1. 综合题看见共顶点等边、等腰、正方形，优先考虑旋转构造全等。
2. 旋转核心思想：把分散边角集中到一个三角形中。
3 扫过面积 = 扇形面积，严格找准：圆心角 = 旋转角、半径 = 旋转中心到顶点距离。
4. 无图旋转题一定要讨论：顺时针、逆时针两种情况，防止漏解。
5. 旋转综合必结合：全等、勾股、扇形面积、等腰三角形性质。
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【对点训练】5．在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：如图①，在ABC
中，
90
BAC
=
，AB
AC
=
，点D ，E 在边BC 上，且
45
DAE
=
，
3
BD =
，
4
CE =
，求DE 的长．
解：如图②，将ABD
绕点A逆时针旋转90得到
ACD
△
，连接ED．
(1)【问题解决】将上述解题过程补充完整．
(2)刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能
以不变应万变．
【知识迁移】如图③，在正方形ABCD中，点E ，F 分别在边BC ，CD上，满足CEF
的周长等于正方形
ABCD的周长的一半，连接AE ，AF ，分别与对角线BD交于M ，N 两点．探究BM ，MN ，DN 的数量
关系并证明．
(3)【拓展应用】如图④，在矩形ABCD中，点E ，F 分别在边BC ，CD上，且
45
EAF
CEF
=
=
．探
究BE，EF ，DF 的数量关系：（直接写出结论，不必证明）．
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一、单选题
1．如图，在ABC
中，
90
BAC
=
，
45
B
=
，P 是BC 的中点，EP
PF
⊥
，交AB 于点E，交AC 于点F，
现给出以下四个结论：（1）AE
CF
=
；（2）EPF
是等腰直角三角形；（3）
1
2
ABC
AEPF
S
S
=
四边形
△
；（4）当
EPF
在ABC
内绕顶点P 旋转时始终有EF
AP
=
．（点E 不与A，B 重合）．上述结论中始终正确的结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．如图，等腰Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
1
AC
BC
=
= ，且AC 边在直线a 上，将ABC
绕点A顺时针旋
转到位置①可得到点
1P ，此时
1
1
2
CP = +
；将位置①的三角形绕点
1P 顺时针旋转到位置②，可得到点
2P ，
此时
2
2
2
CP =
+
；将位置②的三角形绕点
2P 顺时针旋转到位置③，可得到点
3P ，此时
3
3
2
CP =
+
…，按
此规律继续旋转，直至得到点
2015
P
为止．则
2015
CP
=（ ）
A．1342
671
+
2 B．1343 672
+
2
C．1344 672
+
2
D．1344 673
+
2
3．如图，O 是等边ABC
内一点，
6
OA =
，
8
OB =
，
10
OC =
，将线段BO绕点B 逆时针旋转60得到线段
BO，下列结论：
①
8
OO=
； ②
150
AOB
=
； ③
24 16 3
AOBO
S
=
+
四边形
； ④
24
25 3
AOC
COB
S
S
+
=
+
．
其中正确的结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
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4．如图，将Rt
ADE
△
绕点A 逆时针旋转一定的角度得到Rt
ABC
△
，点D 的对应点B 恰好落在CD的延长
线上，若
3cm
AE =
，
60
B
=
，则CD的长为（ ）
A．0.5cm
B．1.5cm
C．3cm
D．1cm
二、填空题
5．如图，已知ABC
中，
150
ACB
=
，
5
AC =
，
3
BC = ，将ABC
绕点B 顺时针方向旋转60到EBD
的
位置，连接CE ，则CE 的长为_______．
6．如图，在平面直角坐标系中，将ABO
绕点A顺时针旋转到
1
1
AB C
△
的位置，点B 、O分别落在点
1
B 、
1
C
处，点
1
B 在x 轴上，再将
1
1
AB C
△
绕点
1
B 顺时针旋转到
1
1
2
ABC
的位置，点
2
C 在x 轴上，将
1
1
2
ABC
绕点
2
C 顺
时针旋转到
2
2
2
A B C
△
的位置，点
2
A 在x 轴上，依次进行下去．若点
3 ,0
2
A
，
(
)
0,2
B
，则点
2016
B
的坐标
为______．
7．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
BAC
=
，将ABC
绕点A顺时针旋转得到ADE
，当点E 落在边BC 上时，
2
CE =
，
3
BE =
，此时四边形ADEC 的面积为________．
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8．如图，D 为等边三角形ABC 内的一点，
5
DA = ，
4
DB = ，
3
DC =
，将线段AD以点A为旋转中心逆时
针旋转60得到线段AD．下列结论：①
ACD
△
可以由ABD
绕点A逆时针旋转60得到；②
150
ADC
=
；
③点D到C D
的距离为3；④直线BD与直线CD相交所形成的锐角是60；⑤
25
6
3
4
ADCD
S
=
+
四边形
．其
中正确的是________（只填序号）．
三、解答题
9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点O为坐标原点，ABC
中三个顶点的坐标为
(
)
3,4
A
，(
)
1,1
B
，(
)
0,3
C
．
(1)请画出与ABC
关于原点O成中心对称的图形
1
1
1
A B C
△
（A，B ，C 的对应点分别为
1A ，
1
B ，
1
C ）；
(2)将ABC
以点O为旋转中心顺时针旋转90得到的图形为
2
2
2
A B C
△
（A，B ，C 的对应点分别为
2
A ，
2
B ，
2
C ），请画出
2
2
2
A B C
△
，并写出
2
C 的坐标．
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10．【特例感知】
(1)如图1，在
ABC
△
中，
90
ACB
=
，将
ABC
△
绕点A 顺时针旋转得到
ADE
△
，且满足点A、C、D 三点
共线，延长BC 交DE 于点F，连接AF ．求证：
BFA
EFA
=
；
【类比迁移】
(2)如图2，在
ABC
△
中，
90
CAB
=
，将
ABC
△
绕点A 顺时针旋转得到
ADE
△
，旋转角为α，当90
180
时，延长BC 与DE 交于点F，连接AF ．请猜想
BFA
与
EFA
具有怎样的数量关系？并说明理由；
【拓展提升】
(3)如图3，在
ABC
△
中，
30
B
=
，将
ABC
△
绕点A 顺时针旋转90得到
ADE
△
，延长BC 分别与AD、DE
交于M、N 两点，连接AN ．请问MN
AN 的值是否为定值？若是，请求出MN
AN 的值；若不是，请说明理由．
11．【初步探究】
(1)如图1，在ABC
中，
45
ABC
ACB
=
=
，在ABC
外作线段AD（点B、A、D 不在同一条直线上），
将线段AD绕点A 逆时针旋转90得到线段AE ，连接DE
EC
BD
、
、
，猜想EC 与BD之间的数量关系，并说
明理由；
【实践应用】
(2)某校数学兴趣小组开展了几何图形探究与设计实践活动，组员们利用四边形和等边三角形的组合性质，
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设计了一个几何探究图形如图2，在四边形ABCD中，
,
AC BD 是对角线，ABC
是等边三角形，小组在测
量和研究中发现
30
ADC
=
，
3
AD = ，对角线
5
BD =
，为了完整确定这个探究图形的所有边长，兴趣小组
需要求出CD的长，请你运用几何知识帮他们完成探究计算．
12．如图，在正方形ABCD中，将边BC 绕点B 逆时针旋转至BF ，作
CBF
的平分线交对角线AC 于点E ，
连结EF ，AF ．
(1)若
135
=
，①求证：EC
BF
；②求证：AF
DE
∥
．
(2)如图2，在（1）的条件下，连接FD，交AC 于点O，若
1
AB = ，求FO．
(3)如图3，当90
180
时，求证：
AFE
ADE
=
．
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14 /
13．将矩形ABCD绕点A顺时针旋转度（0
360
），得到矩形AEFG ．
(1)如图1，当点E 在BD上时，EF 与AD交于点M ，求证：
①EM
DM
=
；
②C 、D 、F 在同一条直线上；
(2)当CG
BG
=
时，求的大小．
14．【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形ABCD
是正方形，M ，N 分别在边CD，BC 上，且
45
MAN
=
，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问
题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图1，将
ADM
△
绕点A顺时针旋转90，点D 与点B 重合，得到ABE
，连接MN ．用等
式写出线段DM ，BN ，MN 的数量关系：________．
(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2 ，点M ，N 分别在正方形ABCD的边CD，BC
的延长线上，
45
MAN
=
，连接MN ，用等式写出线段MN ，DM ，BN 的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形ABCD中，AB
AD
=
，
120
BAD
=
，
180
B
D
+
=
，点N ，M 分别在边BC ，CD上，
60
MAN
=
，用等式写出线段BN ，DM ，MN 的数
量关系，并说明理由．
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15．在ABC
中，AB
AC
=
，D 是边BC 上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE 的位置，使得
180
DAE
BAC
+
=
．
(1)如图1，当
90
BAC
=
时，连接EC ，连接BE交AC 于点F ．若BE平分
ABC
，
2
BD =
．
①求证：
90
BCE
=
；
②求AF 的长．
(2)如图2，连接BE，取BE的中点G ，连接AG ．猜想AG 与CD存在的数量关系，并证明你的猜想．
