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2026-2027 学年九年级上册数学单元自测(内蒙古专用)
第二十五章 一元二次方程（参考答案）
一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
D
A
D
B
D
A
二、填空题（本大题共4 小题，每小题3 分，共12 分）
9． 2
10． −3
2
11. 6
12. 2025
三、解答题（共6 小题，共64 分）
13．（10 分）
【详解】
解:(x-2)(x+6)=0,...............2 分
x-2=0 或x+6=0,................3 分
∴x1=2,x2=-6. ....................5 分
(2)3x2-11x+9=0,............................2 分
Δ=(−11)2-4×3×9=13>0...............3 分
∴x1=11+√ 13
6
,x2=11−√ 13
6
. .................5 分
14．（7 分）
【详解】
(1)设进馆人次的月平均增长率为x,.............................1 分
由题意得120+120(1+x)+120(1 + x)2=570,....................2 分
整理得x2+3x-1.75=0,
解得x1=0.5=50%,x2=-3.5(舍去)......................................3 分
答:进馆人次的月平均增长率为50%.............................4 分
(2)学校图书馆不能接纳11 月份的进馆人次................5 分
理由:由(1)得进馆人次的月平均增长率为50%,
∴10 月份的进馆人次为120× (1 + 50%)2=270,
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∴11 月份的进馆人次为270×(1+50%)=405,....................6 分
∵405>400,
∴学校图书馆不能接纳11 月份的进馆人次.....................7 分
15．（10 分）
【详解】
解:根据题意,得Δ=1+12k>0 且k≠0,..............................3 分
∴k 的取值范围为k>- 1
12且k≠0. ...................................5 分
(2)由根与系数的关系,得x1+x2=-1
k,x1x2=-3
k...................6 分
∵(x1 −x2)2+5x1x2=4,
∴(x1 + x2)2+x1x2=(−1
k)2+(-3
k)=4...................................7 分
即4k2+3k-1=0.................................................................8 分
∴(4k-1)(k+1)=0,
解得k=1
4或k=-1...............................................................9 分
经检验,k=1
4,k=-1 都是原分式方程的解.
由(1),可得k>- 1
12且k≠0,
∴k=1
4................................................................................10 分
16．（12 分）
【详解】
(1)证明:∵Δ=(−2m)2-4(m2-1)=4>0,...................................................4 分
∴对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根...........................6 分
(2)将x=2 代入原方程中,得4-4m+m2-1=0,.......................................8 分
即m2-4m=-3,.........................................................................................10 分
∴-3m2+12m+21=-3(m2-4m)+21=-3.......................................................12 分
17．（12 分）
【详解】
(1) ∵▱ABCD 是菱形，
∴AB＝AD，...........................................................................1 分
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∴Δ＝（－4m）2－4×4×（2m－1）＝0，...........................3 分
解得m＝1．...........................................................................4 分
∴当m＝1 时，▱ABCD 是菱形．
当m＝1 时，原方程为4x2－4x＋1＝0，
解得x1 = x2 = 1
2，....................................................................5 分
菱形 ABCD 的边长是1
2． .....................................................6 分
(2)把x＝2 代入4x2－4mx＋2m－1＝0，
得4×22－4×2m＋2m－1＝0，................................................7 分
解得m = 5
2．.............................................................................8 分
把m = 5
2代入原方程，得4 x2－10x＋4＝0，........................9 分
解得x1＝2，x2 = 1
2．...............................................................10 分
∴AD = 1
2．...............................................................................11 分
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴▱ABCD 的周长是2 × (2 + 1
2) = 5． .................................12 分
18．（13 分）
【详解】
【答案】(1)3x2+5√ 2x+4=0(答案不唯一)..................................3 分
(2)∵-1 是“勾系一元二次方程”ax2+√ 2cx+b=0 的一个根,
∴a-√ 2c+b=0,......................4 分
∴a+b=√ 2c.........................5 分
∵△ABC 的面积是25,
∴1
2ab=25,
解得ab=50.......................6 分
∵a2+b2=c2,
∴(a + b)2-2ab=c2,..........................7 分
∴(√ 2c)2-2×50=c2,.......................8 分
∴c2=100,
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解得c1=10,c2=-10(舍),.......................10 分
∴a+b=10√ 2,........................................11 分
∴四边形ACDE 的周长为
2a+2b+√ 2c=2(a+b)+√ 2c=20√ 2+10√ 2=30√ 2.......................13 分
