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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 22 2026-2027 学年九年级上册数学单元自测(福建专用) 第二十八章 旋转 建议用时：120 分钟，满分：150 分 一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分） 1．各学科的图形都蕴含着对称美，下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．如图， 是由 绕点O 顺时针旋转 后得到的图形，若点D 恰好落在 上，且 的度 数为 ，则 的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 是由 绕点O 顺时针旋转 后得到的图形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 22 3．如图，在 中， ，将 绕顶点B 顺时针旋转到 ，当 首次经过顶点C 时， 旋转角为（ ）度． A．34 B．36 C．44 D．46 【答案】B 【详解】解：∵在 中， ， ∴ ， 由旋转得， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴旋转角为36 度． 4．如图， 是由 旋转后得到的，下列说法正确的是（ ） A．旋转中心不是点 B． C．旋转方向是顺时针 D． 【答案】D 【详解】解： 是由 旋转后得到的， 旋转中心为点A， ，旋转方向可以是顺时针，也可以是逆时针，旋转角为 ， 故选：D． 5．如图，在 中， ， ； ，将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ， 此时点 恰好在 边上，则点 与点 之间的距离为（ ） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 22 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接 ，如图所示： 由旋转性质可得 ， 在等腰 中， ，则 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形，则 ， 在 中， ， ，则 ， ， ，则由勾股定理可得 ， 则 ，即点 与点 之间的距离为 ． 6．有一个正 边形绕旋转中心旋转 后与自身重合，则 的值可能为（ ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】D 【详解】解： 正方形绕旋转中心旋转 后与自身重合， 由正多边形性质可知，当一个正 边形的边数 是 的整数倍时，正 边形绕旋转中心旋转 后与自 身重合， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 22 正 边形满足题意， 故选：D． 7．如图，在 的方格纸中，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，格点三角形甲经过旋转后得 到格点三角形乙，则其旋转中心最可能是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：如图，连接N 和两个三角形的对应点；发现两个三角形的对应点到点N 的距离相等，因此 格点N 就是所求的旋转中心； 故选：B． 8．如图， 的顶点 ， 都在坐标轴上，已知 ， ， ，且 轴，将 绕 点 顺时针旋转，每次旋转 ，第 次旋转后，点 的对应点 的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 22 在 中， ， ∵ ，且 轴， ∴点 的坐标为 ， ∵ ， ∴每旋转四次，点 对应点的坐标循环出现， ∵ ， ∴点 的坐标与点 的坐标相同， 将 绕点 顺时针旋转 ，如图所示， 分别过点 和点 作 轴的垂线，垂足分别为 和 ，由旋转可知， ， ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 22 ∴点 的坐标为 ， ∴点 的坐标为 ， 故选： ． 9．如图，在 中， ，将 绕顶点C 逆时针旋转得到 ，M 是 的中点，P 是 的中点，连接 ．若 ， ，则线段 的最大值是（ ） A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：连接 ． ∵ ， ， ， ∴ ． ∵点M 是 的中点， ∴ ． ∵将 绕顶点C 逆时针旋转得到 ， ∴ ， ， ∴点P 是 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ 的最大值为3． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 22 10．如图，正方形 的面积为2， 是以 为圆心， 为半径的弧 上的一动点，连接 ， ， 将线段 绕点 顺时针旋转 后得到线段 ，连接 ．则 的最大面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ， ， ， ， ， 由旋转得： ， ， ， ， ， 即当点 在点 处时， 的值最大，最大值为 的长， 正方形 的面积为2， ， ， ， 的最大面积是 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 22 二、填空题（本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分） 11．在平面直角坐标系中，点 与点 关于原点对称，则 的值为_____． 【答案】 / 【详解】∵点 与点 关于原点对称， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 12．如图，将 绕点 按逆时针方向旋转后到达 的位置，设 与 ， 分别交于点 ，．若 旋转角为 ，则边 与 的夹角为______度． 【答案】 或120 【详解】解：∵将 绕点 按逆时针方向旋转后到达 的位置，旋转角为 ， ∴ ， 又∵ ∴ 即边 与 的夹角为 度或120 度． 故答案为： 或120． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 22 13．在平面直角坐标系中，正方形 的对称中心是坐标原点，顶点 、 的坐标分别是 ， 将正方形 沿 轴向右平移3 个单位长度，则顶点 的对应点 的坐标是_____． 【答案】 【详解】解：在正方形 中， ∵对称中心是坐标原点，顶点 、 的坐标分别是 ， ∴ ， 将正方形 沿 轴向右平移3 个单位长度， ∴ ， 故答案为： ． 14．如图，在 中， ， ，将 绕点 逆时针旋转 角度 得到 ， 若 ，则 ______度． 【答案】60 【详解】解：由旋转的性质得： ， ， ， ， ，即旋转角为 ， ， 故答案为：60． 15．如图，正方形 的边长为， 为 边上一点， ． 绕着点 逆时针旋转后与 重合，连结 ，则 ___________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / 【答案】 【详解】解：∵正方形 的边长为3， 为 边上一点， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ 绕着点 逆时针旋转后与 重合， ∴ ， ， ∴ ,即 ， ∴ ， 故答案为： ． 16．如图，四边形 是正方形， 为 上一点，将 绕点 顺时针旋转 至 ，连接 ， 作 交 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则 的长为____________． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接 ， 由旋转可知 ， ， ， ， ， 点 、 、 三点共线， 是等腰直角三角形， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 / ， ， 为 的中点， 是等腰直角三角形， 垂直平分 ， ， ， ， 正方形 的边长为， 设 ，则 ， ， 在 中， ， 即 ， 解得 ， ， ， 在 中， ， 在 中， ， ， ． 三、解答题（本大题共9 小题，共86 分） 17．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，已知 的顶点的坐标分别是 ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12 / (1)在图中作出 ，使 和 关于x 轴对称． (2)直接写出点B 关于点A 的对称点的坐标． 【答案】(1) 解：如图 为所求： (2) 【详解】（1）略 （2）解：如图，点 是点 关于点 的对称点，由图可知 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 13 / 18．（8 分）如图，在 中， ， ，D，E 是斜边 上的两点，且 ， 将 绕点A 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，求证： ． 【答案】 【详解】解：∵将 绕点A 顺时针旋转 ，得到 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 19．（8 分）如图，在长方形 中， ， ，将长方形 绕点 顺时针旋转 后得到长 方形 ，连接 、 、 ， 交 于点 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 14 / (1)求 的面积； (2)求 的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵在长方形 中， ， ，将长方形 绕点 顺时针旋转 后得 到长方形 ， ∴ ∴ （2）解：设 ， ∵ ∴ 解得： ， 即 的长为 ． 20． （8 分）如图，D 是等边三角形 内一点，将线段 绕点A 顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ， ． (1)求证： ； (2)连接 ，若 ，求 的度数． 【答案】(1) 证明：∵ 是等边三角形， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 15 / ∴ ， 由旋转的性质得： ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ； (2) 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接 ， 由旋转得， ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． 21．（8 分）如图，在 中， ，将 绕点A 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ， ． (1)判断 的形状； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 16 / (2)求证： 平分 ． 【答案】(1)等边三角形； (2) 证明：∵ 绕点A 逆时针旋转 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ 为等边三角形， ∴ ， ∴ 垂直平分 ， ∴ 平分 ． 【详解】（1）解：∵ 绕点A 逆时针旋转 ， ∴ ， ， ∴ 为等边三角形； （2）略 22．（10 分） 中， ， ，将 绕点A 逆时针旋转 后至 ． (1)求 的度数； (2)若 ，线段 与 ， 分别交于 、 ，求 的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴ ， 由旋转知： ， ∴ ； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 17 / （2）解：如图，过点 作 于点 ，作 于点 ， 由旋转知 ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ， ∴ ， 得： ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 23．（10 分）如图1，在 中， ， ，D 为 边上一点（不与点B，C 重合），将线 段 绕点A 逆时针旋转 得到 ，连接 ，则： (1) 的度数是 ，线段 ， ， 之间的数量关系是 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 18 / 拓展探究： (2)如图2，在 中， ， ，D 为 边上一点（不与点B，C 重合），将线段 绕点A 逆时针旋转 得到 ，连接 ，请写出线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) ； (2) 【详解】（1）解：∵在 中， ， ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ， ∵线段 绕点A 逆时针旋转 得到 ， ∴ ， ， ∴ ，即 ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ； 故答案为： ； ． （2）解： ，理由如下， ∵在 中， ， ， ∴ ， 同（1）可证， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∵线段 绕点A 逆时针旋转 得到 ， ∴ ， ， ∴ ，即 ， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19 / 24．（12 分）小轩家有一个如图1 所示的正方体家用医药箱，其侧面是如图2 所示的正方形 ，在打开 医药箱的过程中，矩形 （箱盖）可以绕点 逆时针旋转，落在 的位置，且 ， ． (1)如图2，当旋转角为 时，求点 与点 之间的距离． (2)若矩形 在旋转过程中，可旋转的最大角度是 ，求点 到 的最大距离．（参考数据： ， ， ） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图，连接 、 、 ， 四边形 是正方形，四边形 是矩形， ， ， ， ， ， 由旋转可得： ， ， 是等边三角形， ， 即点 与点 之间的距离为 ； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 20 / （2）过点 作 于点，交 于 点， 四边形 是正方形，四边形 是矩形， ， ， 四边形 是矩形， ， ， 由旋转可得： ，矩形 在旋转过程中，可旋转的最大角度是 ， ， ， 到 的最大距离为 ． 25．（14 分）如图，△ABC 与△CDE 是等边三角形，连接AD，取AD 的中点P，连接BP 并延长至点M， 使PM=BP，连接AM，EM，AE，将△CDE 绕点C 顺时针旋转． （1）观察猜想 在图1 中，当点D 在BC 上，点E 在AC 上时，AE 与AM 的数量关系是________，∠MAE=________； （2）探究证明 将△CDE 绕点C 顺时针旋转至图2 的位置，（1）中的结论是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立， 请说明理由； （3）拓展应用 若CD= BC，将△CDE 由图1 位置绕点C 顺时针旋转α（0°＜α＜360°），当ME= CD 时，请直接 写出α的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 21 / 【答案】 （1）结论：AM=AE，∠MAE=60°． 理由：如图1 中， ∵AP=PD，BP=PM， ∴四边形ABDM 是平行四边形， ∴AM∥BC， ∴∠MAE=∠C=60°，∠MDC=∠ABC=60° ∴△MAE 和△CDE 为等边三角形， ∴MA=AE． 故答案为AM=AE，60°． （2）如图2 中，连接BD，DM，BD 交AC 于点O，交AE 于G． ∵△ABC 与△CDE 是等边三角形，， ∴BC=AC，CD=CE， ∵∠ACB=∠DCE=60°， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 22 / ∴∠BCD=∠ACE， ∴△BCD △ACE， ∴BD=AE，∠CBD=∠CAE， ∴∠ABD+∠CAE=∠CBD+∠ABD =∠ABC=60°， ∴∠BAC+∠HAC +∠ABH =60°+60°=120°， ∴∠AHB=60° ∵AP=PD，BP=PM， ∴四边形ABDM 是平行四边形， ∴AM∥BD，AM=BD， ∴∠MAE=∠BHA=60°，AM=AE， （3）拓展应用：60°或300° 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）结合（1）的结论，当CD= ，0°＜α＜360°时，ME= ，如图3， ∴ME= ， 又ME=AE， ∴△AEC 为直角三角形， ∴∠ACE=60°， ∴α的值可能为60°或300° 综上所述，满足条件的α的值为60°或300°． 小学 初中
