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1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 2026 年秋季七年级开学分班·学情自测卷 数学•全解全析 一、选择题（本大题有10 个小题，每小题3 分，共30 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．如果水库的水位升高0.06 米时水位变化记作 米，那么水位下降0.05 米时水位变化记作（ ） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 【答案】A 【详解】解：∵水位升高 米时水位变化记作 米，说明升高用正数表示， ∴与升高意义相反的下降应用负数表示， 因此水位下降 米时水位变化记作 米． 2．在 ， ， ， ， 中，负数有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【详解】解： ，是正数； ，是负数； ，是负数； ，是正数； ，是负数； 综上，负数共有个． 3．2022 年2 月4 日，北京第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在国家体育场隆重举行，中国大陆地区 观看人数约 亿人．用科学记数法表示 亿是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 亿 ． 4．如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（ ） 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱 B．正方体，圆锥，四棱锥，圆柱 C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 【答案】D 【详解】解：根据几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为：正方体，圆锥，圆柱， 三棱柱． 5．下列说法正确的是（ ） A．单项式 的次数是2 B．多项式 是一次二项式 C．单项式 的系数是 D．多项式 的次数是3 【答案】B 【详解】解：A、单项式 的次数为 ，不是 ，故A 错误； B、多项式 包含 和 两个单项式，两项的次数都为，是一次二项式，故B 正确； C、单项式 的系数为 ，故C 错误； D、多项式 中最高次项为 ，次数为 ，不是，故D 错误． 6．已知 ，则代数式 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ， 将 代入，得 ． 7．如图，正方体纸盒的三个侧面分别印有文字“铜”、“陵”、“市”，现在沿着它的棱剪开，展开成 一个平面图形，这个正方体的平面展开图可以是（ ） A． B． C． D． 3 / 12 学科网（北京）股份有限公司 【答案】A 【详解】 解：把四个选项的展开图折叠，能复原的是 ． 8．图1 是长为a，宽为b（ ）的小长方形纸片，将6 张如图1 的纸片按图2 的方式不重叠地放在长方 形 内，已知 的长度固定不变， 的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别 表示为 ， ，若 ， ，则 的值是（ ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【详解】解：设 ， 根据题意， ， ， ∴ ． 9．一条数轴上有点A、B，点C 在线段 上，其中点A、B 表示的数分别是 ，6，现以点C 为折点，将 数轴向右对折，若点 落在射线 上，并且 ，则C 点表示的数是（ ） A．1 B． C．1 或 D．1 或 【答案】D 【详解】解：当点 在线段 上时， ∵点B 表示的数为6， ， ∴点 表示的数为 ， ∵点A 表示的数为 ， ∴点C 表示的数为 ； 当点 在 的延长线上时， ∵点B 表示的数为6， ， 4 / 12 学科网（北京）股份有限公司 ∴点 表示的数为 ， ∵点A 表示的数为 ， ∴点C 表示的数为 ； 综上所述，点C 表示的数为 或1． 10．已知整式 ： ，其中 ， ， 均为非负整数， ，且满足 ， ．下列说法： ①满足条件的整式 中，有4 个是二次二项式； ②当 时，所有满足条件的整式 的和为 ； ③满足条件的整式 共有16 个； 其中正确的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】解：①判断二次二项式个数：∵ ，故 ，二次二项式只能是 或 ， 若 ，则 ，得 ，此时 ，无符合条件的非负整数 ； 若 ，则 ，得 或 ， 时 共2 个， 时 共2 个，合计4 个，故 ①正确． ②当 时：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 所有满足条件的整式为： ， ， ， ， 求和得： ，故②错误． ③按 分类枚举所有可能： ：仅 ，共个， ： 、 、 ，共个， ： 、 ，共 个， ： 、 ，共 个， ： 、 ，共 个， 总个数： ，③正确． 综上，正确的说法共2 个． 5 / 12 学科网（北京）股份有限公司 二、填空题（本大题有6 个小题，每小题3 分，共18 分） 11．定义新运算 ，则 ______________． 【答案】 【详解】解： ． 12．单项式 的次数为___________． 【答案】 【详解】解：单项式 中 π 是常数，不是字母，字母 的指数为，字母 的指数为 ， 因此该单项式的次数为 . 13．若 、 互为相反数，、 互为倒数，则 =___________． 【答案】 【详解】解： 、 互为相反数，、 互为倒数， ， 原式 ． 14．若有理数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中： ① ② ③ ④ ⑤ 其中正确的说法有________（填序号）． 【答案】④ 【详解】解：根据题意，得 ， ， ， ， ， ， ， 故①②③⑤错误；④正确； 15．如图，一个正方体的六个面上标着连续的整数，若相对面上所标数字之和相等，则这六个数之和是 _____________． 6 / 12 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 【详解】解：根据题意分析可得：六个面上分别写着六个连续的整数， 故六个整数可能为 ， ，，， ， 或 ，，， ， ， ； 且每个相对面上的两个数之和相等， ， ，（7 与10 相邻，不合题意，舍去） ， ， 故可能为 ，，， ， ， ，其和为 ． 故答案为： ． 16．当 =______时，关于 的多项式 中不含有 项． 【答案】 【详解】解：对多项式 合并同类项得： ， 多项式不含有 项， 项的系数为 ，即 ， 解得 ． 三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题， 每题12 分；共9 小题，共72 分） 17．计算： (1) ； (2) ； (3) ． 【详解】（1）解：原式 ；................................................................................................................................................................2 分 7 / 12 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：原式 ；................................................................................................................................................................4 分 （3）解：原式 ．..................................................................................................................................................................6 分 18．画出数轴，并解答下列问题： (1)画出数轴，在数轴上表示下列各数： ； (2)在数轴上标出表示 的点 ，直接写出将点 沿数轴向右平移4 个单位长度后得到的点所表示的数． 【详解】（1）解： ， 数轴如图： ........................................................3 分 （2） 解：点 的位置如图： ......................................4 分 将点 沿数轴向右平移4 个单位长度后得到的点所表示的数是 ．.............................................6 分 19．如图，是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体从上面看到的图形，图中所示数字为该位置小正 方体的个数． (1)请画出这个几何体从正面看和从左面看得到的形状图； (2)若小正方体的棱长为 ，求该几何体的体积． 【详解】(1) 如图所示 .............................................................................................................4 分 8 / 12 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：该几何体的小正方体个数为 个， 故该几何体的体积为 ．............................................................................................................6 分 20．已知 ， 满足 ， ；其中 表示不大于 的最大整数， 表示 的小数 部分，即 ，求 ， 的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 为整数， ∴ 为整数， ∴ ，...........................................................................................................................................3 分 ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 的值为 ， 的值为 ．................................................................................................................6 分 21．已知多项式 是关于x，y 的五次三项式，且单项式 的次数与该多项式的次数相 同． (1)填空： ， ； (2)当 ， 时，求多项式 的值． 【详解】（1）解：∵多项式 是关于x，y 的五次三项式， ∴ 且 ， ∴ 且 ，..............................................................................................................................................2 分 ∵单项式 的次数与该多项式的次数相同， ∴ ， ∴ ， 故答案为：2，3；..............................................................................................................................................4 分 （2）解：∵ ， ， ∴这个多项式为 ， 当 ， 时， 9 / 12 学科网（北京）股份有限公司 ．..................................................................................................................................................................8 分 22．据调查，很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮 挡而不能直接观察到的部分区域．在一次普及“交通安全知识”的综合实践活动中，七年级学生们对货车 的盲区面积进行探究，得到货车盲区的部分分布图（如图）．已知盲区A 的面积是 ，盲区B，C 的面 积相同，都比盲区A 的面积多 ，盲区D 的面积比盲区A 面积的4 倍少 ． (1)用含a，b 的代数式表示图中盲区的总面积； (2)若 ， ，求图中盲区的总面积． 【详解】（1）解：根据题意，得： 盲区B，C 的面积都是 ，盲区D 的面积是 ．................................................2 分 所以图中盲区的总面积为 ．...............................................4 分 （2）解：当 ， 时， ． 所以图中盲区的总面积为 ．...................................................................................................................8 分 23．近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明 家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续 天记录了每天行驶的路程（如表）．以 为标准，多于 的记为“+”，不足 的记为“-”，刚好 的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（ ） (1)这7 天里路程最多的一天比最少的一天多走______ ； (2)请求出小明家的新能源汽车这7 天一共行驶了多少千米? (3)已知汽油车每行驶 需用汽油 升，汽油价 元/升，而新能源汽车每行驶 耗电量为 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 度，每度电为 元，请估计小明家换成新能源汽车后这 天的行驶费用比原来节省多少钱? 【详解】（1）解： ∵ 7 天的路程偏差中，最大值为 ，最小值为 ， ∴ 路程最多的一天比最少的一天多走 ．..............................................................2 分 （2）解：∵ 7 天的路程偏差总和为 ， 7 天的标准总路程为 ， ∴ 七天总行驶路程为 ．................................................................................................4 分 （3）解：汽油车行驶 的费用为 （元）， 新能源车行驶 的费用为 （元）， 节省的费用为 （元）； 答：这7 天的行驶费用比原来节省146.8 元．...............................................................................................8 分 24．三角形是最简单的多边形，任意一个多边形都能分割成三角形，把一个多边形用连接它的不相邻顶点 的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．下图1 给出了七 边形的三角剖分的两种方法。 (1)将一个四边形进行三角剖分，则有______种剖分方法； (2)在图2 中给出五边形的三角剖分的一种方法； (3)瑞士数学家欧拉归纳得出了n 边形的不同三角剖分方法数（ ）的公式：当 时， ，其 中规定 ．请根据公式，计算七边形的三角剖分方法数 ． 【详解】（1）如图， 将一个四边形进行三角剖分，则有 种剖分方法；.....................2 分 （2） .......................................................................................................................4 分 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 （3）由题意得， ， ∵ 时， ， 时， ，......................................................................................................................6 分 ∴ ， 时， ，.....................................................................................................................8 分 ∴ ， 时， ，..................................................................................................................10 分 ∴ ， 时， ， ∴ ．...............................................................................................................................12 分 25．同学们知道， 表示与的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数与数两点间的距离．试探 索： (1) 表示数轴上数 与数_____________两点间的距离； (2) 的最小值是_____________； (3)计算 的最小值． 【详解】（1）解：由题意得： 表示数轴上数 与数 两点间的距离； 故答案为： ；.................................................................................................................................................2 分 （2）解：当 时， ，即 ； 当 时， ； 当 时， ，即 ；.........................................................................5 分 综上： 的最小值是； 故答案为：；...................................................................................................................................................7 分 （3）解： 共 项， 根据绝对值的几何意义， 取中间项时，原式的值最小， 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 即：当 时，.................................................................................................................................9 分 原式 ， ∴ 的最小值为： ．......................................................................12 分
