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2026-2027 学年九年级上册数学单元自测(内蒙古专用)
第二十五章 一元二次方程
建议用时：90 分钟，满分：100 分
一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. x2 + 2y = 1
B. x3 −2x = 3
C. x2 + 1
x2 = 5
D. x2 = 0
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，
然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.
【详解】解：A、x2 + 2y = 1是二元二次方程，故A 错误；
B、x3 −2x = 3是一元三次方程，故B 错误；
C、x2 + 1
x2 = 5是分式方程，故C 错误；
D、x2 = 0是一元二次方程，故D 正确；
2.若关于x的一元二次方程(4 −a)x2 + a2x = 16x + 1化为一般形式后不含一次项，则a的值为( )
A. 0
B. ±4
C. 4
D. −4
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程一般式的概念，判断一元二次方程的二次项、一次项、常数项，即可解
答。
【详解】解：原方程可整理为(4 −a)x2 + (a2 −16)x −1 = 0，
∵该一元二次方程不含一次项，∴a2 −16 = 0, 4 −a ≠0，
解的：a=−4 故选：D．
3．用配方法解一元二次方程x2 −6x + 3 = 0时，将它化为(x + m)2 = n的形式，则m + n的值为( )
A. −6
B. −3
C. 0
D. 3
【答案】D
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的解题过程即可解答。
【详解】解：配方得x2 −6x + 9 = −3 + 9
即(x −3)2 = 6，
∴m = −3，n = 6，则m + n = −3 + 6 = 3.故选：D．
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4.一元二次方程(x + 1)(x −1) = 2x + 3的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 无实数根
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程实数根的情况，利用判别式与0 的关系，即可解答。
【详解】解：原方程可化为x2 −2x −4 = 0，∴a = 1，b = −2，c = −4，
∴Δ = (−2)2 −4 × 1 × (−4) = 20 > 0，
∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．
5.关于x的一元二次方程kx2 −4x + 1 = 0有两个实数根，则k的取值范围是( )
A. k > 4
B. k ⩽4
C. k < 4且k ≠0
D. k ⩽4且k ≠0
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一
隐含条件．
【详解】解：∵方程有两个实数根，
∴根的判别式△= b2 −4ac = 16 −4k ≥0，
即k ≤4，且k ≠0．
故选：D．
若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△= b2 −4ac ≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还
要注意二次项系数不为0．
6.如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条竖直方向的小路与一条水平方向的小路(小路的宽度相
同)，余下部分作为草地，若草地面积为468m2，则小路的宽度为( )
A. 1m
B. 2m
C. 3m
D. 4m
【答案】B
【分析】本题考查了利用一元二次方程解决实际问题，利用等量关系建立一元二次方程，即可解答。
【详解】小路的宽度为x m，由题意得(30 −2x)(20 −x) = 468，
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整理得x2 −35x + 66 = 0，解得x1 = 2，x2 = 33(舍去).故选B．
7.有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下
列结论不正确的是( )
A. 第一轮后有(x + 1)个人患了流感
B. 第二轮后又增加了x(x + 1)个人患流感
C. 依题意可列方程x + 1 + x(x + 1) = 144
D. 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共1000人患流感
【答案】D
【分析】本题考查了利用一元二次方程解决流感传染问题，利用等量关系建立一元二次方程，即可解答。
【详解】∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮后有(x + 1)个人患了流感;
第二轮后又增加了x(x + 1)个人患流感;
第二轮传染后共有[x + 1 + x(x + 1)]个人患了流感，
可得方程x + 1 + x(x + 1) = 144，
解得x1 = 11，x2 = −13(舍去)，
∴按照这样的传染速度，经过三轮传染后共144 + 144 × 11 = 1728(人)患流感．
故A，B，C选项结论正确，D选项结论错误.故选D．
8.已知m是一元二次方程x2 −x −3 = 0的一个根，则2026 −m2 + m的值为( )
A. 2023
B. 2022
C. 2021
D. 2024
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程整体思想；
【详解】∵m是x2 −x −3 = 0的一个根，
∴m2 −m −3 = 0，即m2 = m + 3．
∴原式= 2026 −(m + 3) + m = 2026 −3 = 2023.故选A．
二、填空题：本题共4 小题，每小题3 分，共12 分。
9.若x = 1是方程x2 −3x + a = 0的一个根，则a = ．
【答案】2
【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解定义，本题属于基础题型．
【详解】解：由题意可知：x = 1代入方程x2 −3x + a = 0中，
得到：1 −3 + a = 0，
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∴a = 2，
故答案为：2．
根据题意将x = 1代入方程中即可求出答案．
10.若一元二次方程a(x −1)2 + b(x −1) + c = 0化为一般形式后为2x2 −3x −1 = 0，则a+b
c 的值为 ．
【答案】−3
2
【分析】本题考查一元二次方程的一般式
【详解】解：原方程可化为ax2 −(2a −b)x + a −b + c = 0，
由题意，得a = 2k，2a −b = 3k，a −b + c = −k.
解得a = 2k，b = k，c = −2k．
∴a + b
c
= −3
2.
11.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相
同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了利用一元二次方程解决实际问题
【详解】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得1 + x + x2 = 43，
解得x1 = 6，x2 = −7(舍去)．
12.已知a是方程x2 −2026x + 1 = 0的一个根，则a2 −2025a + 2026
a2+1的值为 ．
【答案】2025
【分析】本题考查了一元二次方程整体思想；
【详解】∵a是方程x2 −2026x + 1 = 0的一个根，
∴a2 −2026a + 1 = 0，
∴a2 + 1 = 2026a，a2 −2025a = a −1，
∴a2 −2025a + 2026
a2 + 1
= a −1 + 2026
2026a
= a + 1
a −1
= a2 + 1
a
−1
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= 2026a
a
−1
=2026−1
= 2025．
三、解答题（共6 小题，共64 分）
13.（10 分）用适当的方法解方程：
(1)x2 + 4x −12 = 0．
(2) (x −2)(3x −5) = 1．
【答案】
(1) 解:(x-2)(x+6)=0,
x-2=0 或x+6=0,
∴x1=2,x2=-6.
(2)3x2-11x+9=0,
Δ=(−11)2-4×3×9=13>0.
∴x1=11+√ 13
6
,x2=11−√ 13
6
.
14.(7分)
读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.某校为响应全民阅读活动，利用节假
日面向社会开放学校图书馆.据统计，8月份进馆120人次，进馆人次逐月增加，到10月份累计进馆570人次，
若进馆人次的月平均增长率相同．
(1)求进馆人次的月平均增长率．
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不能超过400人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，学
校图书馆能否接纳11月份的进馆人次?说明理由．
【答案】(1)设进馆人次的月平均增长率为x,
由题意得120+120(1+x)+120(1 + x)2=570,
整理得x2+3x-1.75=0,
解得x1=0.5=50%,x2=-3.5(舍去).
答:进馆人次的月平均增长率为50%.
(2)学校图书馆不能接纳11 月份的进馆人次.
理由:由(1)得进馆人次的月平均增长率为50%,
∴10 月份的进馆人次为120× (1 + 50%)2=270,
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∴11 月份的进馆人次为270×(1+50%)=405,
∵405>400,
∴学校图书馆不能接纳11 月份的进馆人次.
15.(10 分)
已知关于x的一元二次方程kx2 + x −3 = 0有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围;
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足(x1 −x2)2 + 5x1x2 = 4，求k的值．
【答案】(1)解:根据题意,得Δ=1+12k>0 且k≠0,
∴k 的取值范围为k>- 1
12且k≠0.
(2)由根与系数的关系,得x1+x2=-1
k,x1x2=-3
k.
∵(x1 −x2)2+5x1x2=4,
∴(x1 + x2)2+x1x2=(−1
k)2+(-3
k)=4.
即4k2+3k-1=0.
∴(4k-1)(k+1)=0,
解得k=1
4或k=-1.
经检验,k=1
4,k=-1 都是原分式方程的解.
由(1),可得k>- 1
12且k≠0,
∴k=1
4.
16.(10分)
已知关于x的方程x2 −2mx + m2 −1 = 0．
(1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根;
(2)若2是该方程的一个根，求代数式−3m2 + 12m + 21的值．
【答案】
(1)证明:∵Δ=(−2m)2-4(m2-1)=4>0,
∴对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根.
(2)将x=2 代入原方程中,得4-4m+m2-1=0,
即m2-4m=-3,
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∴-3m2+12m+21=-3(m2-4m)+21=-3×(-3)+21=30.
17.(12 分)
已知▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程4x2 −4mx + 2m −1 = 0的两个实数根．
(1)当m为何值时，▱ABCD是菱形？并求出此时菱形ABCD的边长．
(2)若AB的长为2，则▱ABCD的周长是多少？
【答案】
(1) ∵▱ABCD 是菱形，
∴B＝AD，
∴Δ＝（－4m）2－4×4×（2m－1）＝0，
解得m＝1．
∴当m＝1 时，▱ABCD 是菱形．
当m＝1 时，原方程为4x2－4x＋1＝0，
解得x1 = x2 = 1
2，菱形 ABCD 的边长是1
2．
(2)把x＝2 代入4x2－4mx＋2m－1＝0，
得4×22－4×2m＋2m－1＝0，
解得m = 5
2．
把m = 5
2代入原方程，
得4 x2－10x＋4＝0，
解得x1＝2，x2 = 1
2．
∴AD = 1
2．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴▱ABCD 的周长是2 × (2 + 1
2) = 5．
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18.(13 分)
如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的图形，a，b，c是Rt △ABC和Rt △BED的边长，易知AE = √ 2c，
这时我们把关于x的形如ax2 + √ 2cx + b = 0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
(1)写出一个“勾系一元二次方程”: ;
(2)若−1是“勾系一元二次方程”ax2 + √ 2cx + b = 0的一个根，且△ABC的面积是25，求四边形ACDE的周长．
【答案】(1)3x2+5√ 2x+4=0（答案不唯一）
(2)∵-1 是“勾系一元二次方程”ax2+√ 2cx+b=0 的一个根,
∴a-√ 2c+b=0,∴a+b=√ 2c.
∵△ABC 的面积是25,
∴1
2ab=25,解得ab=50.
∵a2+b2=c2,∴(a + b)2-2ab=c2,
∴(√ 2c)2-2×50=c2,
∴c2=100,解得c1=10,c2=-10(舍),
∴a+b=10√ 2,
∴四边形ACDE 的周长为
2a+2b+√ 2c=2(a+b)+√ 2c=20√ 2+10√ 2=30√ 2.
