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… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________
2026-2027 学年九年级上册数学单元自测(广东专用)
第二十五章 一元二次方程
建议用时：120 分钟，满分：120 分
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．一元二次方程
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．关于
的一元二次方程
化为一般形式后不含一次项，则
的值为（ ）
A．0
B．
C．4
D．
4．某次女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间都赛1 场），单循环比赛共进行
了45 场，则参加比赛的队伍有（ ）
A．8 支
B．10 支
C．7 支
D．9 支
5．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新
能源汽车的月销售量由一月份的8000 辆增加到三月份的12000 辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月
增长率为x，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图是一个简单的程序计算器，如果输出的数值为
，则输入x 的值为（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
7．根据表格，判断关于x 的方程
的一个解的范围是（ ）
x
1.1
1.2
1.3
1.4
0.84
2.29
3.76
A．
B．
C．
D．
8．等腰三角形的两边长分别是方程
的两个根，则这个三角形的周长为（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
9．已知甲方程为
，乙方程为
，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列正确的是（ ）
A．甲有两个不相等的解，乙无解
B．甲、乙都有两个不相等的解
C．甲有两个相等的解，乙无解
D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解
10．定义运算：
，例如
，
时，
．若关于
的方程
有两个不相等的实数根，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共5 小题，每小题3 分，共15 分）
11．关于x 的方程
是一元二次方程，则m 为__________．
12．若
是关x 的方程
的解，则
的值为___________．
13．已知一个关于x 的一元二次方程的两个根分别是
和3，它的二次项系数是1，写出符合条件的方程：
_______________（写方程的一般形式）．
14．已知关于
的方程
的解为
，
，则关于
的方程
的解
为______．
15．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵
爽弦图”，它是由4 个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直
角边长为a、b，斜边长为c，若
，则每个直角三角形的面积为________．
三、解答题（一）（本大题共3 小题，每小题8 分，共24 分）
16．用指定方法解下列方程：
(1)
；（配方法） (2)
；（公式法）
17．已知关于x 的一元二次方程
有两个不相等的实数根．
(1)求m 的取值范围；
(2)当
时，求
的值．
18．列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚
下，围一块面积为600m2 的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，
另外三面用69m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m 宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．
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………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线………………○………………
此
卷
只
装
订
不
密
封
………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线………………○………………
四、解答题（二）（本大题共3 小题，每小题9 分，共27 分）
19．某服装店发现：进货价为每件50 元，销售价为每件90 元的某品牌服装，平均每天可售出20 件．现
服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装每降价2 元，
那么平均每天就可多售出3 件．
(1)若要求销售这种服装平均每天盈利1000 元，同时要使顾客得到较多的实惠，那么售价应该定为多少元？
(2)平均每天盈利能否达到1250 元？请说明理由．
20．数学课上，老师在黑板上书写了
两个整式；
，
．
(1)比较
的大小；
(2)若
，证明：
不可能小于0．
21．如图所示，在四边形
中，
，
，
，动点
从点
出发沿AD 方向向点
以
的速度运动，动点
从点
开始沿着
方向向点
以
的速度运
动．点
分别从点
和点
同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
(1)当运动秒时，线段
_____
_____
（用含有t 的代数式表示）
(2)经过多长时间，四边形
是矩形？
(3)经过多长时间，PQ 的长为
？
五、解答题（三）（本大题共2 小题，每小题12 分，共24 分）
22．阅读下列材料：
解方程
，
解：设
，则原方程化为
，
解得
，
．
当
时，
，解得：
；
当
时，
，解得
．
原方程的解为：
，
，
，
．
以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的
转化思想．
(1)请用上述方法解下列方程：
；
(2)已知实数
，
满足
，求
的值．
23．配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等
问题．
【材料一】我们定义：一个整数能表示成
(a，b 是整数)的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5
是“完美数”，理由：因为
，再如，
，(x，y 是整数)，所以
也是“完美数”．
【材料二】例如，把二次三项式
进行配方，可求其最值．
解：
；
当
时，
的最小值为2．
请通过阅读以上材料，解决以下问题∶
【解决问题】
(1)下列各数中，“完美数”有 (只填序号)；
①
； ②
； ③
．
【探究问题】
(2)若
可配方成
，
为正整数），则
的值为 ；
(3)已知
，
是整数，
是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一
个
值，并说明理由；
【拓展应用】
(4)已知实数
，
均满足
，求代数式
的最小值．
