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… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________
2026-2027 学年九年级上册数学单元自测(内蒙古专用)
第二十五章 一元二次方程
建议用时：90 分钟，满分：100 分
一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. x2 + 2y = 1
B. x3 −2x = 3
C. x2 + 1
x2 = 5
D. x2 = 0
2.若关于x的一元二次方程(4 −a)x2 + a2x = 16x + 1化为一般形式后不含一次项，则a的值为( )
A. 0
B. ±4
C. 4
D. −4
3.用配方法解一元二次方程x2 −6x + 3 = 0时，将它化为(x + m)2 = n的形式，则m + n的值为( )
A. −6
B. −3
C. 0
D. 3
4.一元二次方程(x + 1)(x −1) = 2x + 3的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 无实数根
5.关于x的一元二次方程kx2 −4x + 1 = 0有两个实数根，则k的取值范围是( )
A. k > 4
B. k ⩽4
C. k < 4且k ≠0
D. k ⩽4且k ≠0
6.如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条竖直方向的小路与一条水平方向的小路(小路的宽度
相同)，余下部分作为草地，若草地面积为468m2，则小路的宽度为( )
A. 1m
B. 2m
C. 3m
D. 4m
7.有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则
下列结论不正确的是( )
A. 第一轮后有(x + 1)个人患了流感
B. 第二轮后又增加了x(x + 1)个人患流感
C. 依题意可列方程x + 1 + x(x + 1) = 144
D. 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共1000人患流感
8.已知m是一元二次方程x2 −x −3 = 0的一个根，则2026 −m2 + m的值为( )
A. 2023
B. 2022
C. 2021
D. 2024
二、填空题（本大题共4 小题，每小题3 分，共12 分）
9.若x = 1是方程x2 −3x + a = 0的一个根，则a = ．
10.若一元二次方程a(x −1)2 + b(x −1) + c = 0化为一般形式后为2x2 −3x −1 = 0，则a+b
c 的值为 ．
11.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相
同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 ．
12.已知a是方程x2 −2026x + 1 = 0的一个根，则a2 −2025a + 2026
a2+1的值为 ．
三、解答题（共6 小题，共64 分）
13(10 分).用适当的方法解方程：
(1) x2 + 4x −12 = 0． (2) (x −2)(3x −5) = 1．
14.(7 分)读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.某校为响应全民阅读活动，
利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，8月份进馆120人次，进馆人次逐月增加，到10月份累计进馆
570人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
(1)求进馆人次的月平均增长率．
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不能超过400人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，
学校图书馆能否接纳11月份的进馆人次?说明理由．
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15.(10分)已知关于x的一元二次方程kx2 + x −3 = 0有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围;
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足(x1 −x2)2 + 5x1x2 = 4，求k的值．
16.( 12分)已知关于x的方程x2 −2mx + m2 −1 = 0．
(1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根;
(2)若2是该方程的一个根，求代数式−3m2 + 12m + 21的值．
17.( 12分)
已知▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程4x2 −4mx + 2m −1 = 0的两个实数根．
(1)当m为何值时，▱ABCD是菱形？并求出此时菱形ABCD的边长．
(2)若AB的长为2，则▱ABCD的周长是多少？
18.( 13分)
如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的图形，a，b，c是Rt △ABC和Rt △BED的边长，易知AE = √ 2c，
这时我们把关于x的形如ax2 + √ 2cx + b = 0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
(1)写出一个“勾系一元二次方程”: ;
(2)若−1是“勾系一元二次方程”ax2 + √ 2cx + b = 0的一个根，且△ABC的面积是25，求四边形ACDE的周
长．
