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学科网（北京）股份有限公司
……………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线………………○………………
……………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线………………○………………
… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________
2026-2027 学年九年级上册数学单元自测(福建专用)
第二十五章 一元二次方程
建议用时：120 分钟，满分：150 分
一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分）
1．一元二次方程
2
2
3
x
x
+
=
的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．1，2
B．1，3
C．1，2
−
D．1，3
−
2．若关于x 的一元二次方程
2
2
0
x
x
m
+
−
=
有一个根为1，则m 的值为（ ）
A．3
B．0
C．2
−
D．3
−
3．关于x 的一元二次方程
2
4
2
0
x
x
+
−
=
中，则该一元二次方程根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法判断
4．用配方法解方程
2
4
11
0
x
x
+
−
=
时，若将方程变形为(
)
2
x
m
n
+
=
，则m
n
+
= （ ）
A．18
B．20
C．19
D．17
5．已知
1
2
,
x x 是方程
2
2
1
0
x
x
−
−=
的两个实数根，则下列说法正确的是（ ）
A．
1
2
1
2
2,
1
x
x
x x
+
= −
= −
B．
1
2
1
2
2,
1
x
x
x x
+
=
=
C．
1
2
1
2
2,
1
x
x
x x
+
= −
=
D．
1
2
1
2
2,
1
x
x
x x
+
=
= −
6．若关于x 的一元二次方程
2
3
0
x
x
c
+
+
=
有两个不相等的实数根，则实数c 的取值范围是（ ）
A．
4
9
c
B．
9
4
c −
C．
9
4
c
D．
9
4
c
7．某种商品原来每件售价为144 元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为100 元设平均每次降价的
百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．
(
)
2
144 1
100
x
−
=
B．
(
)
144 1
100
x
−
=
C．
(
)
2
144 1
100
x
−
=
D．
(
)
144 1
2
100
x
−
=
8．若一个一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根是另一个的2 倍，则称这个方程为“倍根方程”，
关于x 的一元二次方程
2
3
4
0
x
mx
n
−
+
= （其中
0
m
，
0
n
）是“倍根方程”，则m 与n 应满足的关系式为（ ）
A．
2
2
n
m
=
B．
2
2
m
n
=
C．
2
2
n
m
=
D．
2
2
m
n
=
9．如图，一块矩形铁片的长是宽的2 倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无
盖的盒子，已知盒子的容积是
3
240cm ，若设原铁皮的宽为x ，则可列方程（ ）
A．(
)(
)
6
2
6
240
x
x
−
−
=
B．(
)(
)
3
6
2
6
240
x
x
−
−
=
C．(
)(
)
2
3
6
240
x
x
−
−
=
D．(
)(
)
3
3
2
3
240
x
x
−
−
=
10．已知正实数a，b，c 满足a
b
c
（均不为整数），且6
7
c
a
−
．在a，b 之间所有的整数依次记为
1p ，
2
p ，
3p ，…，
m
p ；在b，c 之间所有的整数依次记为
1q ，2
q ，3q ，…，n
q ，其中m，n 为正整数，且
,
3
m n
．下
列说法：
①当
1
2
a =
时，c 的取值范围为：13
15
2
2
c
，且
7
c
；
②a，c 之间共有6 个整数；
③若
1
k
b
k
+ （k 为正整数），
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
2
3
m
n
p
p
p
p
q
q
q
q
+
+
+
+
=
+
+
+
+
，则
25
k =
．
其中正确的个数是（ ）．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
二、填空题（本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分）
11．已知一元二次方程(
)(
)
2
3
0
x
x
−
+
=
，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是________．
12．关于x 的方程
2
(
)
0
a x
m
b
+
−
=
的解是
1
2
x =
，
2
3
x = （a，m，b 均为常数，
0
a
），则方程
2
(
2)
a x
m
b
+
−
=
的解是______．
13．新定义定义新运算：
2
2
a
b
a
ab
=
−
※
，例如：
2
2
3
2
2 2 3
8
=
−= −
※
，则方程
1
0
x
=
※
的解为_________．
14．黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文
创销量节节攀升．某文创店1月“东方白鹳”挂件销量为1万件，3月销量达1.21万件．若每月的增长率相同，
则这款挂件销量的月平均增长率为________．
15．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相
同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是________．
16．如图，在正方形ABCD中，E 为CD上一点，连接BE，过点A作AF
BE
⊥
于点F ，若
4 2
DE =
，
2
4
BF
DE
=
，则CE = ________．
三、解答题（本大题共9 小题，共86 分）
17．（8 分）解方程：
2
2
5
1
0
x
x
−
−=
．
18．（8 分）已知关于x 的一元二次方程
2
1
0
x
x
m
−
+
+
=
有两个不相等的实数根．
(1)求m 的取值范围；
(2)若
2
m = −，该方程的两个实数根分别为
1
2
,
x x ，求
1
2
1 2
x
x
x x
+
−
的值．
19．（8 分）已知关于x 的一元二次方程
(
)
2
2
2
0
mx
m
x
−
+
+
=
(1)证明：该方程总有实数根；
(2)当m 为何值时，方程的两个根互为相反数？
20．（8 分）已知关于x 的一元二次方程
2
2
0
x
x
k
+
+
=
有两个实数根
1x 和
2x ．
试题 第3 页（共4 页） 试题 第4 页（共4 页）
………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线………………○………………
此
卷
只
装
订
不
密
封
………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线………………○………………
(1)求实数k 的取值范围；
(2)若两个实数根
1x 和
2x 满足
1
2
1 2
0
x
x
x x
+
−
=
，求k 的值．
21．（8 分）如图，一面靠墙（墙的长度不限），另三面用篱笆围成了一个矩形场地，篱笆总长为32m．
(1)若围成一个面积为
2
56m 的矩形场地，求矩形场地的长和宽；
(2)能围成一个面积为
2
130m 的矩形场地吗？如果能，请求出矩形场地的长和宽；如果不能，请说明理由．
22．（10 分）【阅读材料】
材料1：一元二次方程
(
)
2
2
0
0
4
0
ax
bx
c
a
b
ac
+
+
=
−
，
的两个根
1
2
x
x
、
有如下的关系：
1
2
1
2
b
c
x
x
x x
a
a
+
= −
=
，
．
材料2：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方
程的有关知识将其解决．
下面介绍两种基本构造方法：
方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m
n
、满足
2
2
1
0
1
0
m
m
n
n
−
−=
−
−=
、
，且m
n
，则可将m
n
、
看作是方程
2
1
0
x
x
−
−=
的两个不相等的实数根．
方法2：利用根与系数的关系逆向构造．例如，如果实数a
b
、满足
3
2
a
b
ab
+
=
=
、
，则可以将a
b
、看作是
方程
2
3
2
0
x
x
−
+
=
的两实数根．
根据上述材料解决下面问题：
(1)已知一元二次方程
2
5
10
1
0
x
x
−
+ =
的两根
1
2
x
x
、
，则
1
2
x
x
+
= ___________，
1
2
x
x
= ___________；
(2)已知实数m
n
、满足
2
2
3
2
0 3
2
0
，
m
m
n
n
−
−
=
−
−
=
，且m
n
，求n
m
m
n
+
的值；
(3)已知实数a
b
t
、、满足
16
5
5
，
a
b
t
ab
t
+
= −
=
−，且
5
t
，求t 的最大值．
23．（10 分）如图，在ABC
中，
90
B
=
，
5
AB
cm
=
，
7
BC
cm
=
，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1
/
cm s
的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2
/
cm s 的速度移动．若P，Q 两点同时出发，当点Q 运动到
点C 时，P，Q 两点同时停止运动．
求：
(1)几秒后，PBQ
的面积等于
2
4cm ？
(2) PBQ
的面积能否等于
2
7cm ？说明理由．
24．（12 分）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次
三项式
2
4
5
x
x
+
+ 最小值．
解：
(
)
2
2
2
4
5
4
4 1
2
1
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+
+ =
+
+ ，
(
)
(
)
2
2
2
0,
2
1 1
x
x
+
+
+
，
2
4
5
1
x
x
+
+
，即
2
4
5
x
x
+
+ 的最小值是1．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)已知代数式
2
2
4
5
x
x
−
+
−，求它的最大值．
(2)比较代数式
2
2
3
5
x
x
+
−与
2
3
1
x
x
−
+ 的大小，并说明理由．
(3)知识迁移：
如图，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
8cm,
6cm
C
AC
BC
=
=
=
，点P 在AC 边上以2cm / s的速度从点A 向C 移动，
点Q 在CB 边上以1cm / s 的速度从点C 向点B 移动．若点
,
P Q 同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也
随之停止，设四边形APQB 的面积为
2
cm
S
，运动时间为t 秒，求S 的最小值．
25．（14 分）如图是南昌市外国语学校九龙湖初中部行政楼后自行车车库的示意图，其中一边是长为60m的
后墙，其他的边用总长70m的不锈铜栅栏围成．左右两侧各开一个1m的出口，不锈钢栅栏状如“山”字形．另
外，在距离后墙8m 以南，还规划有机动车停车位．
(1)若设自行车车库的宽度AB 为xm，则车库的长度BC 为________m；
(2)设自行车车库面积为(
)
2
m
S
，垂直于墙的车库宽度AB 为(
)
m
x
，求S 与x 之间的函数关系式，并求出自变
量x 的取值范围；
(3)学校调研教职工及学生的需求后，现决定对车库进行改建．在后墙不动的情况下，若扩建后车库面积刚好
等于
2
405m ，是否有必要改动机动车停车位的位置规划？但机动车停车位EF 向南最多移动2m，如有必要，
请给出具体方案；如无必要，请说明理由．
