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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 4 2026-2027 学年九年级上册数学单元自测(内蒙古专用) 第二十五章 一元二次方程 建议用时：90 分钟，满分：100 分 一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分） 1.下列方程是一元二次方程的是( ) A. x2 + 2y = 1 B. x3 −2x = 3 C. x2 + 1 x2 = 5 D. x2 = 0 2.若关于x的一元二次方程(4 −a)x2 + a2x = 16x + 1化为一般形式后不含一次项，则a的值为( ) A. 0 B. ±4 C. 4 D. −4 3.用配方法解一元二次方程x2 −6x + 3 = 0时，将它化为(x + m)2 = n的形式，则m + n的值为( ) A. −6 B. −3 C. 0 D. 3 4.一元二次方程(x + 1)(x −1) = 2x + 3的根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 5.关于x的一元二次方程kx2 −4x + 1 = 0有两个实数根，则k的取值范围是( ) A. k > 4 B. k ⩽4 C. k < 4且k ≠0 D. k ⩽4且k ≠0 6.如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条竖直方向的小路与一条水平方向的小路(小路的宽度 相同)，余下部分作为草地，若草地面积为468m2，则小路的宽度为( ) A. 1m B. 2m C. 3m D. 4m 7.有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下 列结论不正确的是( ) A. 第一轮后有(x + 1)个人患了流感 B. 第二轮后又增加了x(x + 1)个人患流感 C. 依题意可列方程x + 1 + x(x + 1) = 144 D. 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共1000人患流感 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 4 8.已知m是一元二次方程x2 −x −3 = 0的一个根，则2026 −m2 + m的值为( ) A. 2023 B. 2022 C. 2021 D. 2024 二、填空题（本大题共4 小题，每小题3 分，共12 分） 9.若x = 1是方程x2 −3x + a = 0的一个根，则a = ． 10.若一元二次方程a(x −1)2 + b(x −1) + c = 0化为一般形式后为2x2 −3x −1 = 0，则a+b c 的值为 ． 11.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相 同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 ． 12.已知a是方程x2 −2026x + 1 = 0的一个根，则a2 −2025a + 2026 a2+1的值为 ． 三、解答题（共6 小题，共64 分） 13. (10 分)用适当的方法解方程： (1)x2 + 4x −12 = 0． (2) (x −2)(3x −5) = 1． 14.(7 分)读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.某校为响应全民阅读活动， 利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，8月份进馆120人次，进馆人次逐月增加，到10月份累计进馆 570人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率． (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不能超过400人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下， 学校图书馆能否接纳11月份的进馆人次?说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 4 15.(10分)已知关于x的一元二次方程kx2 + x −3 = 0有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围; (2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足(x1 −x2)2 + 5x1x2 = 4，求k的值． 16.( 12分)已知关于x的方程x2 −2mx + m2 −1 = 0． (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根; (2)若2是该方程的一个根，求代数式−3m2 + 12m + 21的值． 17.( 12分) 已知▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程4x2 −4mx + 2m −1 = 0的两个实数根． (1)当m为何值时，▱ABCD是菱形？并求出此时菱形ABCD的边长． (2)若AB的长为2，则▱ABCD的周长是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 4 18.(13分) 如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的图形，a，b，c是Rt △ABC和Rt △BED的边长，易知AE = √ 2c， 这时我们把关于x的形如ax2 + √ 2cx + b = 0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． (1)写出一个“勾系一元二次方程”: ; (2)若−1是“勾系一元二次方程”ax2 + √ 2cx + b = 0的一个根，且△ABC的面积是25，求四边形ACDE的周长．
