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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 24 第二十九章 圆 知识点一 圆的相关概念 1. 圆的两种定义 ① 动态定义：在平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的封闭曲 线叫做圆；固定端点为圆心，线段长度为半径。 ② 静态定义：平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的集合。 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 2. 圆中基础线段 弦：连接圆上任意两点的线段； 直径：经过圆心的弦，是圆内最长的弦，直径 𝑑= 2𝑟； 弦心距：圆心到一条弦的垂线段长度。 3. 弧的分类 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧： 劣弧：小于半圆的弧，用两个字母表示； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 24 半圆：直径分圆所得弧，度数 180∘； 优弧：大于半圆的弧，必须用三个字母表示； 等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧；半径不等的圆不存在等弧。 4. 等圆：半径相等的两个圆叫做等圆，圆心不同、半径相同可互相重合。 5. 点与圆的位置关系 设圆半径为 𝑟，点到圆心距离为 𝑑： 𝑑> 𝑟 ⇒ 点在圆外 𝑑= 𝑟 ⇒ 点在圆上 𝑑< 𝑟 ⇒ 点在圆内 知识点二 圆的有关性质 1. 垂径定理及其推论 • 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 • 推论：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 • 做题常用辅助线：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，结合勾股定理计算弦长、半径。 2. 圆心角、弧、弦、弦心距四组量关系 前提：同圆或等圆中 圆心角相等 ⇔ 所对弧相等 ⇔ 所对弦相等 ⇔ 弦心距相等；一组量全部相等，其余三组量全部对应相等。 3. 圆周角定理及推论 （1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半。 （2）推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； （3）推论2：直径所对的圆周角是直角（90∘）；90∘ 的圆周角所对的弦是直径。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 24 4. 圆内接四边形性质 四个顶点都在圆上的四边形叫作圆内接四边形： ① 对角互补； ② 任意一个外角等于它的内对角。 知识点三 弧长和扇形面积 设：圆半径 𝑟，圆心角度数 𝑛∘ 1. 弧长公式 𝑙= 𝑛𝜋𝑟 180 含义：圆心角 𝑛∘ 对应的圆弧长度。 2. 扇形面积两个公式 ① 𝑆扇形= 𝑛𝜋𝑟2 360 （依靠圆心角、半径计算） ② 𝑆扇形= 1 2 𝑙𝑟（依靠弧长、半径计算，计算更便捷） 3. 圆锥相关计算（拓展必考） 圆锥构成：底面圆形、侧面曲面（侧面展开图是扇形） 参数定义： 𝑟：圆锥底面半径 𝑙：圆锥母线长（侧面展开扇形的半径） ℎ：圆锥的高 三者满足勾股关系：𝐥𝟐= 𝐫𝟐+ 𝐡𝟐 圆锥侧面积：𝑆侧= 𝜋𝑟𝑙 圆锥全面积：𝑆全= 𝜋𝑟𝑙+ 𝜋𝑟2（侧面积 + 底面圆面积） 关键关系：侧面展开扇形的弧长 = 圆锥底面圆周长 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 24 易错点1 垂径定理及其应用 易错提醒 易错点总结 1. 乱用推论：忽略推论前提，直接说“平分弦的直径垂直弦”，忘记必须排除「弦是直径」的情况，造 成定理误用。 2. 漏分情况：一条弦对应两条弧（优弧、劣弧），做题只算一种，导致角度、长度漏解。 3. 不会构造直角三角形：遇弦长计算，不做“圆心向弦作垂线”，无法利用勾股定理，列式失败。 4. 概念混淆：分不清弦、弦心距、半径，代入数值混乱，计算出错。 注意事项总结 1. 定理严格背诵：垂直于弦的直径平分弦和弧；推论必须加条件：平分非直径的弦才垂直。 2. 弦的题型万能辅助线：过圆心作弦的垂线，形成「半径、半弦长、弦心距」直角三角形，用勾股定 理计算。 3. 一条弦对应两个弧、两种圆心角、圆周角，无图题必须分类讨论，防止漏解。 4. 已知弦长优先除以2，用“半弦长”参与计算，不要直接用整弦长。 【对点训练】1．苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融， 核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由 ABC ，线段CD，DE ， EA四部分构成，AE ，CD分别垂直于地面l ．经测量，该月洞门的最高点B 到地面的距离为21分米， 3 AE CD = = 分米， 12 DE = 分米，则 ABC 所在圆的半径为_________分米． 【答案】10 【分析】连接AC ，过点B 作BH DE ⊥ 于点H，交AC 于点F，设 ABC 所在圆的圆心为点O，连接CO，则 21 BH = ， 3 FH CD = = ， 12 AC DE = = ，BF AC ⊥ ，设 O 的半径为r，则CO BO r = = ， 18 OF r − = ，根 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 24 据垂径定理求出CF ，进而在Rt COF △ 中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：连接AC ，过点B 作BH DE ⊥ 于点H，交AC 于点F，设 ABC 所在圆的圆心为点O，连接CO， 由题意可得 21 BH = ，四边形ACDE ，四边形AFHE 都是矩形， ∴ 3 FH CD = = ， 12 AC DE = = ，BF AC ⊥ ， 设 O 的半径为r，则CO BO r = = ， ∴ 21 3 18 OF BH BO FH r r − − −− − = = = ， ∵BF 过圆心O，且BF AC ⊥ ， ∴ 1 1 12 6 2 2 CF AC = = = ， ∵在Rt COF △ 中， 2 2 2 CF OF CO + = ， ∴ ( ) 2 2 2 6 18 r r − + = ，解得 10 r = ， ∴ ABC 所在 O 的半径为10 分米． 易错点2 圆周角定理及其推论 易错提醒 易错点总结 1. 角度倍数搞反：误把“圆周角是圆心角的一半”记成圆心角是圆周角的一半，角度全部算反。 2. 看错对应弧：不同弧对应的角乱套用，非同弧的圆心角、圆周角乱换算。 3. 忽略直径推论：看到直径不会自动联想直角，无法构造直角三角形解题。 4. 圆内接四边形性质乱用：忘记对角互补、外角等于内对角，角度推导错误。 注意事项总结 1. 铁律：同弧所对，圆周角 = ½ 圆心角，必须认准「同一段弧」才可换算。 2. 看到直径立刻构造直角三角形，是圆几何题第一万能思路。 3. 同弧圆周角相等、等弧圆周角相等，做题优先找公共弧、等弧。 4. 圆内接四边形：对角和 180^∘，外角=内对角，角度计算优先使用。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 24 【对点训练】2．点A、B 、C 是 O 上不同的三点，已知 210 AOB ACB + = ，则 AOB =____度． 【答案】140 或60 【分析】分两种情况：当点C 在优弧ACB 上时，当点C 在劣弧AB 上时，然后分别进行计算即可解答． 【详解】根据圆周角定理，可知一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，因此得 解：分两种情况： 如图，当点C 在优弧ACB 上时， ∵ 1 2 ACB AOB = ， 210 AOB ACB + = ， ∴ 1 210 2 AOB AOB + = ， ∴ 140 AOB = ； 如图，当点C 在劣弧AB 上时， ∵1 2 ACB = ，1 360 AOB + = ， ∴2 360 ACB AOB + = ， ∵ 210 AOB ACB + = ， ∴ 150 ACB = ， ∴ 210 60 AOB ACB = − = ； 综上所述： AOB 的度数为140或60． 易错点3 扇形与圆锥的相关计算 易错提醒 易错点总结 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 24 1. 公式记混：弧长公式、扇形面积公式混淆，π 位置、分母 180/360 乱用。 2. 圆锥两个半径混淆：把底面小圆半径 r 和侧面母线 l 弄混，代入公式错误。 3. 求全面积忘记加底面积：只算侧面积，漏掉底面圆面积扣分。 4. 核心等量关系遗忘：不会用「圆锥底面周长 = 侧面扇形弧长」求圆心角。 5. 忘记母线、半径、高的勾股关系：2 2 2 l r h = + ，无法换算边长。 注意事项总结 1. 熟记必考公式：弧长 180 n r l = ；扇形面积 2 1 360 2 n r S lr = = 2. 圆锥区分：r 是底面半径，l 是母线（扇形半径），绝不混用。 3. 看清题目：求侧面积不加底，求全面积必须加一个底面圆面积。 4. 圆锥求圆心角题型，唯一突破口：底面周长 = 扇形弧长，列方程求解。 【对点训练】3．如图，圆锥的高AO 为12，母线AB 长为13，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】65π 【分析】先求出底面圆的半径，再由圆锥的侧面积公式计算． 【详解】解：圆锥的高AO 为12，母线AB 长为13， 圆锥的底面圆的半径 2 2 2 2 13 12 5 OB AB OA = − = − = ， 该圆锥的侧面积为π π 5 13 65π OB AB = = ． 易错点4 不规则图形的相关计算 易错提醒 易错点总结 1. 不会割补法：不规则阴影图形不会拆分、拼接，直接硬算导致出错。 2. 重复、漏算面积：重叠区域多算、空白区域没扣除。 3. 平移、旋转等全等变换不会使用，不会等面积替换。 4. 扇形、三角形、四边形组合图形，公式套用混乱。 注意事项总结 1. 不规则图形面积万能思路：割补法、和差法。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 24 阴影面积 = 整体规则图形面积 − 空白部分面积或阴影面积=几部分规则图形面积相加 2. 利用旋转、平移、轴对称进行等面积转化，把零散阴影拼成规则图形。 3. 组合图形分步计算：先算扇形、再算三角形，最后做加减，不混算。 4. 杜绝目测估算，所有面积必须用公式严谨计算。 【对点训练】4．如图，ABC 中， 3 AB = ，将ABC 绕点A逆时针旋转60得到 1 1 AB C △ ， 1 AB 恰好经过点C ．则 阴影部分的面积为_______． 【答案】3 π 2 【分析】根据旋转的性质可知 1 1 ABC ABC ≌ △ △ ，则 1 1 ABC AB C S S = △ △ ，结合图形可得阴影部分的面积等于扇形 1 ABB 的面积，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由旋转的性质得： 1 1 ABC ABC ≌ △ △ ， 1 60 BAB = ， 1 1 ABC AB C S S = ， 1 1 1 1 AB C ABC ABB ABB S S S S S = + − = 阴影 扇形 扇形 ， 1 ABB S S = 阴影 扇形 ． 3 AB = ， 1 60 BAB = ， 2 60π 3 3 π 360 2 S = = 阴影 ． 易错点5 圆锥侧面上最大路径问题 易错提醒 易错点总结 1. 不会将圆锥曲面沿母线剪开摊成平面扇形，依旧在曲面上画图找线段，无法求解最短距离。 2. 展开扇形后，两点之间线段最短不会应用，错误沿着圆锥母线、底面圆周绕行计算路程。 3. 展开后圆心角度数算错，等腰三角形顶角数值出错，无法用勾股定理、余弦定理求弦长。 4. 分不清起点、终点位置，展开图标注点位混乱。 注意事项总结 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 24 1. 圆锥表面最短路径解题唯一套路：沿母线剪开，把曲面展开为平面扇形。 2. 平面内两点之间线段最短，连接起点与终点的线段长度即为最短路径。 3. 先利用底面周长=扇形弧长算出展开图圆心角，确定顶角大小。 4. 根据扇形顶角、母线长，构造三角形，利用勾股定理或三角函数计算线段长度。 5. 看清动点起点终点，准确在展开图上标注对应点位。 【对点训练】5．已知圆锥的底面半径为2，母线长 8 SA= ，现有一只小虫从圆锥底面圆上A 点出发，沿着 圆锥侧面绕行到母线SA的中点B，则它所走的最短路程是__． 【答案】4 5 【分析】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公 式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之 间线段最短是解题的关键．根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解圆心角；再画出展开 图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为n， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： π 2π 180 n l r = ， 又∵ 2, 8 r l = = ． 8π 2 2π 180 n = ， 解得： 90 n = ． ∴它的侧面展开图的圆心角是90； 根据侧面展开图的圆心角是90，画出展开图如下： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / 根据两点之间，线段最短可知AB 为最短路径， 8 SA = ，B 为SA的中点， 4 SB = 由（1）知 90 ASA = ∴ 2 2 4 5 AB SA SB = + = ∴它所走的最短路线长是4 5 ． 故答案为：4 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 / 一、单选题 1．如图，AB 是 O 的直径，弦CD AB ⊥ 垂足为点M ，连接OC ，DB．如果OC DB ∥ ， 4 OC = ，那么图 中阴影部分的面积是（ ） A．8 3 B．2 C．5 3 D．4 【答案】A 【分析】根据平行线的性质和垂径定理，证明OCM BDM ≌ ，从而推出这两个三角形的面积相等，即可 知道三角形的面积即是扇形OCB 的面积，利用平行线的性质和圆周角定理推出 2 COB OCD = ，即可知道 COB 度数，最后利用扇形面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解： OC DB ∥ ， OCD BDC = ， CD AB ⊥ ∵ ， CM DM = ， 90 CMO DMB = = ， OCM BDM ≌ ， S S OCM BDM = ． 阴影部分的面积为S OCB 扇形 ． OCD BDC = ， 2 COB BDC = ， 2 COB OCD = ， 90 CMO = ， 60 COB = ， 4 OC = ， 阴影部分的面积为 2 2 60 4 8 S 360 360 3 OCB n r = = = 扇形 ． 2．如图， 50 A = ， 60 ABC = ，BD是 O 的直径，则 AEB 等于（ ） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12 / A．70 B．110 C．90 D．120 【答案】B 【分析】由三角形内角和求出 70 ACB = ，再根据直径得到 90 BCD = ，求出 20 ACD = ，根据圆周角定 理得到 20 ABD ACD = = ，最后根据三角形内角和求 AEB 即可． 【详解】解：∵ 50 A = ， 60 ABC = ， ∴ 70 ACB = ， ∵BD是 O 的直径， ∴ 90 BCD = ， ∴ 20 ACD = ， ∴ 20 ABD ACD = = ， ∴ ( ) ( ) 180 180 50 20 110 AEB BAE ABE = − + = − + = ． 3．如图，点A、B、C、D 为 O 上的点，四边形AOBC 是菱形，则 ADB 的度数是（） A．30 B．45 C．50 D．60 【答案】D 【分析】连接OC ，根据菱形的性质和圆的半径相等，可证得AOC 和BOC 均为等边三角形，从而求出圆 心角 AOB 的度数，最后利用圆周角定理即可求得 ADB 的度数． 【详解】解：连接OC ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 13 / 四边形AOBC 是菱形， OA AC BC OB = = = ， OA OB OC = = ， OA AC OC = = ，OB BC OC = = ， AOC 和BOC 均为等边三角形， 60 AOC BOC = = ， 120 AOB AOC BOC = + = ， ADB 与 AOB 分别是弧AB 所对的圆周角和圆心角， 1 60 2 ADB AOB = = ． 4．如图，点A B C 、、 均在 O 上， 50 OBC = ，则 A 的大小为（ ） A．30 B．35 C．40 D．45 【答案】C 【分析】利用等腰三角形性质求出圆心角，再利用圆周角定理求解． 【详解】解： OB OC = ， 50 OCB OBC = = ， 180 50 50 80 BOC = − − = ， A 与 BOC 是同弧所对的圆周角与圆心角， 1 40 2 A BOC = = ． 5．如图，BC 为直径， 25 ABC = ，则 D 的度数为（ ） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 14 / A．35 B．45 C．55 D．65 【答案】D 【分析】先根据直径所对的圆周角等于90求出 ACB 的度数，再由三角形内角和定理求出 CAB 的度数， 最后根据同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】解：∵BC 为 O 直径， ∴ 90 BAC = ， ∵ 25 ABC = ， ∴ 90 25 65 ACB = − = ， ∴ 65 D ACB = = ． 二、填空题 6．如图，ABC 内接于 O ，AB BC = ，AD是 O 的直径．设 DAB = ， DBC = ，则与的关系 是 _______． 【答案】 2 90 = − 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到 90 ABD = ，则可求出 90 C D = = − ∠ ∠ ，由等边对等角得到 90 BAC C = = − ∠ ∠ ，则可求出 2 90 DAC = − ∠ ，再由 DAC DBC = = ∠ ∠ 可得 2 90 = − ． 【详解】解：∵AD是 O 的直径， ∴ 90 ABD = ， ∴ 90 90 D DAB = − = − ∠ ∠ ， ∴ 90 C D = = − ∠ ∠ ， ∵AB BC = ， ∴ 90 BAC C = = − ∠ ∠ ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 15 / ∴ ( ) 90 2 90 DAC DAB BAC = − = − − = − ∠ ∠ ∠ ， 又∵ DAC DBC = = ∠ ∠ ， ∴ 2 90 = − ． 7．如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为3km ，母线长为4 3km ，欲从A 处修一条最近的盘山公路到景 点B（B 位于母线PA的中点处），那么这条盘山公路的长度是______km． 【答案】2 15 【分析】此题考查了圆锥的计算，勾股定理的应用，熟练掌握圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解题 关键．将圆锥沿母线展开，根据两点之间线段最短可知：AB 即为盘山公路的长度；设展开图的圆心角为n， 根据圆锥的底面周长是展开的扇形的弧长，可得π 4 3 2 3π 180 n = ，从而求得n 的值；再利用勾股定理即可 求得AB 的长，从而完成解答． 【详解】解：如图，将圆锥展开得展开图，B 为 1 PA 的中点，连接AB ，则AB 是这条盘山公路的长度，设展 开图的圆心角为n． ∴ 1 1 2 3km 2 PB PA = = ， ∵圆锥的底面半径是3 ， ∴ 1 AA 的长为2π 3 2 3π = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 16 / ∴π 4 3 2 3π 180 n = ， 解得： 90 n = ， ∴ ( ) ( ) 2 2 4 3 2 3 2 15(km) AB = + = ， 故答案为：2 15 ． 8．如图，有一种竹编斗笠，外形是圆锥，它的母线长为40cm ，底面直径为60cm，则该斗笠的侧面展开图 的圆心角大小为_______． 【答案】270 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算及扇形圆心角的计算，先根据题意利用圆锥的侧面积公式计算其侧 面积，再设侧面展开图的圆心角的度数为n，利用扇形圆心角的公式列出方程，求得n 的值即为所求． 【详解】解：由题意知，底面直径为60cm ， ∴底面半径为 ( ) 1 60 30 2 cm = ， ∴ ( ) 2 π π 30 40 1200π cm S rl = = = 圆锥侧 ， 设侧面展开图的圆心角的度数为n， ∴ 2 π 1200π 360 n l = ， 即π 1600 1200π 360 n = ，解得 270 n = ， 即该斗笠的侧面展开图的圆心角大小为270， 故答案为：270． 9．如图，在边长为2 的正方形ABCD中，对角线AC 与BD的交点为O，分别以A、C 为圆心，以AO 的长 为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积为________（结果保留π ）． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 17 / 【答案】 1 2 2 − 【分析】根据图形可得阴影部分面积等于正方形面积减去两个扇形面积的一半，由正方形的性质可求得对 角线长及扇形半径，利用扇形面积公式求出扇形的面积，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：由图可知， ( ) 1 2 2 ABCD S S S = − 阴影 正方形 扇形， 2 2 4 ABCD S = = 正方形 ． ∵四边形ABCD是正方形，边长为2， ∴ 2 2 2 2 2 2 AC = + = ，OA OC = ， 90 BAD ABC BCD = = = ， ∴ 1 2 2 OA AC = = ∴扇形的半径为2 ，圆心角为90， ∴ ( ) 2 90 2 360 2 S = = 扇形 ∴ 1 1 4 2 2 2 2 2 S = − = − 阴影 ． 10．如图，四边形ABCD是 O 的内接四边形，BE是 O 的直径，连接CE ，若 104 BAD = ， DCE = ________． 【答案】 14 【分析】根据圆内接四边形的性质求出 76 BCD = ，根据直径所对的圆周角是直角得出 90 BCE = ，然后 根据 DCE BCE BCD = − 计算即可. 【详解】解：∵四边形ABCD是 O 的内接四边形， ∴ 180 BAD BCD + = ， 又 104 BAD = ， ∴ 76 BCD = ， ∵BE是 O 的直径， ∴ 90 BCE = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 18 / ∴ 14 DCE BCE BCD = − = . 三、解答题 11．如图，四边形ABCD是 O 的内接四边形，AB 是 O 的直径，点E 在AB 的延长线上，连接 , , 2 OC CE DCB ABC = ． (1)如图①，求证：AD OC ∥ ； (2)如图②，若 4, 3 BC BE AE BE = = = ，求BC 的长． 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是 O 的内接四边形， ∴ 180 A DCB + = ， ∵OC OB = ， ∴ OCB ABC = ， ∵ 180 COB OCB ABC + + = ， ∴ 2 180 COB ABC + = ， ∵ 2 DCB ABC = ， ∴ 180 COB DCB + = ， ∴ A COB = ， ∴AD OC ； (2) 4 3 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得出 180 A DCB + = ，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和 定理得出 180 COB DCB + = ，根据补角的性质得出 A COB = ，最后根据平行线的判定即可得出结论； （2）先证明 4 OC OB BC = = = ，得出 OBC △ 为等边三角形，根据等边三角形的性质得出 60 BOC = ，最 后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ 3 AE BE = ，AE AB BE = + ， ∴ 2 AB BE = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19 / ∵ 1 2 AO BO CO AB = = = ， ∴BO CO BE = = ， ∵ 4 BC BE = = ， ∴ 4 OC OB BC = = = ， ∴ OBC △ 为等边三角形， ∴ 60 BOC = ， ∴ 60π 4 4 180 3 BC l = = ． 12．如图，在ABC 中，AB AC = ，以AB 为直径的 O 交BC 于点D，交AC 于点E，连接BE． (1)求证：BD CD = ； (2)若 4 AB = ， 30 BAC = ，连接BE，求图中阴影部分的面积．（用含π 的式子表示运算结果） 【答案】(1)证明：如图，连接AD． AB 为 O 的直径， 90 ADB = ． AD BC ⊥ ． 又 AB AC = ∵ ， BD CD = ． (2)阴影部分的面积为 4π 3 3 + 【分析】（1）连接AD．利用直径对的圆周角是直角及等腰三角形三线合一的性质即可证明； （2）连接OE ．由题意可求得 O 的半径及 AOE 的度数，BE AE 、 的长度，由 1 2 ABE AOE S S S = + △ 阴影 扇形 即 可求解． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 20 / 【详解】（1）解：略 （2）解：如图，连接OE ． AB 为 O 的直径， 90 AEB = ． 4 AB = ， 30 BAC = ， 2 OA OB OE = = = ， 60 ABE = ， 120 AOE = ． 在Rt AEB △ 中， 1 2 2 BE AB = = ， 2 2 2 2 4 2 2 3 AE AB BE = − = − = ． OBE AOE S S S = + △ 阴影 扇形 1 2 ABE AOE S S = + △ 扇形 2 1 1 120π 2 2 3 2 2 2 360 = + 4π 3 3 = + ， 即阴影部分的面积为 4π 3 3 + ． 13．如图，AB 为 O 的直径，C ，D 为圆上的两点，OC BD ∥ ，OC 交AD于点E ． (1)求证： AOC COD = ； (2)若 16 AD = ， 4 CE = ，求 O 的半径． 【答案】(1)∵AB 是 O 的直径， ∴ 90 ADB = ． 又∵OC BD ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 21 / ∴ 90 AEO ADB = = ， 即OC AD ⊥ ． ∴ AC CD = ． ∴ AOC COD = ． (2)10 【分析】（1）由直径所对的圆周角 ADB 为直角与 // OC BD，得OC 垂直于AD，根据垂径定理可得OC 平 分弧AD，进而可证对应圆心角 AOC COD = ． （2）设圆O 半径为r，则OE 长度可表示为 4 r − ；由垂径定理可知E 为AD中点，得AE 长度为AD的一半； 在Rt OAE 中，根据勾股定理列关于r 的方程，求解即可得到半径． 【详解】（1）略 （2）解：设 O 的半径为r ， ∵ 4 CE = ， ∴ 4 OE OC CE r − − = = ． ∵ 16 AD = ， 由（1）知，OC AD ⊥ ， ∴ 1 8 2 AE AD = = ． 在Rt AOE 中，由勾股定理 2 2 2 AE OE OA + = ， 代入得 2 2 2 8 ( 4) r r − + = ， 解得 10 r = ． 因此， O 的半径为10． 14．如图，在 O 中，直径AB 与弦CD相交于点P， 40 CAB = ， 66 APD = ． (1)求 B 的大小； (2)已知圆心O 到BD的距离为4，求AD的长． 【答案】(1)26 (2)8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 22 / 【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得 40 CAB CDB = = ，根据三角形外角性质求解即可； （2）过点O 作OE BD ⊥ 于点E，则 4 OE = ，根据垂径定理以及三角形中位线定理即可求解． 【详解】（1）解：根据同弧所对的圆周角相等可得到 40 CAB CDB = = ， ∵ 66 APD = ， APD B CDB = + ， ∴ 66 40 26 B − = = ； （2）解：过点O 作OE BD ⊥ 于点E，则圆心O 到BD的距离 4 OE = ，BE DE = ， ∵O 是AB 的中点， ∴OE 是ABD 的中位线， ∴ 2 8 AD OE = = ． 15．已知，如图： O 的半径 5 2 R = ，弦 14 AB = ．点C 在AB 上CD AB ⊥ 交 O 于点D ． (1)若 4 BC = ，求线段CD的长． (2)若点C 在弦AB 上运动，则AC CD + 的最大值________． 【答案】(1) 41 1 + (2)18 【分析】 （1）过点O作OE AB ⊥ 于点E ，作OF CD ⊥ 于点F ，连接OA，OD ，用垂径定理得到 7 AE BE = = ， 算出CE 长，在Rt AOE 中利用勾股定理求出OE ，由三个直角判定四边形OECF 为矩形，得到OF 、CF 长 度，再在Rt ODF 利用勾股定理求出DF ，最后由CD DF CF = + 求得CD； （2）沿用（1）的辅助线与矩形结论，设CE a = ，DF b = ，将AC CD + 整理为 ( ) 8 a b + + ，由勾股定理得到 2 2 50 a b + = ，利用完全平方公式( ) 2 0 a b − 推出a b + 的最大值，即可得出AC CD + 的最大值． 【详解】（1）解：如图，过点O作OE AB ⊥ 于点E ，作OF CD ⊥ 于点F ，连接OA，OD ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 23 / ∵OE AB ⊥ ， ∴ 1 7 2 AE BE AB = = = ， ∴ 7 4 3 CE BE BC = − = − = ， 在Rt AOE 中， ( ) 2 2 2 2 5 2 7 1 OE OA AE = − = − = ， ∵OE AB ⊥ ，OF CD ⊥ ，CD AB ⊥ ， ∴ 90 OEC OFC ECF = = = ， ∴四边形OECF 是矩形， ∴ 1 CF OE = = ， 3 OF CE = = ， 在Rt OFD 中， ( ) 2 2 2 2 5 2 3 41 DF OD OF = − = − = ， ∴ 41 1 CD DF CF = + = + ； （2）解：如图，过点O作OE AB ⊥ 于点E ，作OF CD ⊥ 于点F ，连接OA，OD ， 同（1）得 7 AE = ， 1 CF = ，四边形OECF 是矩形， 设CE a = ，DF b = ，则OF CE a = = ， ∴ ( ) 7 1 8 AC CD AE CE CF DF a b a b + = + + + = + + + = + + ， 故求AC CD + 的最大值，只需求a b + 的最大值， 在Rt OFD 中， 2 2 2 OF DF OD + = ，即 ( ) 2 2 2 5 2 50 a b + = = ， ∵( ) 2 0 a b − ，即 2 2 2 0 a ab b − + ， ∴50 2 0 ab − ，即2 50 ab ， ∴50 2 100 ab + ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 24 / ∴( ) 2 2 2 2 50 2 100 a b a ab b ab + = + + = + ，即 10 a b + ， ∴当且仅当a b = 时，a b + 取得最大值，最大值为10， ∴AC CD + 的最大值为 ( ) 8 8 10 18 a b + + = + = ．
