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第二十九章 视图与投影（压轴题专练）
1．如图，是由27个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个视图是 的正方形，若拿掉若干个小立方
块（几何体不倒掉），其三个视图仍都为 的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
【答案】C
【分析】拿掉若干个小立方块后保证几何体不倒掉，且三个视图仍都为3 3的正方形，所以最底下一层必
须有9个小立方块，这样能保证俯视图仍为3 3的正方形，为保证主视图与左视图也为3 3的正方形，所
以上面两层必须保留底面上一条对角线方向的三个立方块，即可得到最多能拿掉小立方块的个数.
【详解】根据题意，拿掉若干个小立方块后，三个视图仍都为3 3的正方形，
则最多能拿掉小立方块的个数为6 +6 = 12个，
故选：C.
【点睛】此题考查简单组合体的三视图，空间想象能力，能依据立体图形想象出拿掉小立方块后的三视图
是解题的关键.
2．由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，组成这个几何体的小正方体
的个数可能是（ ）
A．4个或5个 B．5个或6个 C．6个或7个 D．7个或8个
【答案】B
【分析】这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由主视图可得第二层小正方体的个
数，相加即可．
【详解】由俯视图易得最底层有4个小正方体，第二层左侧一列有1个或2个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体为4+1=5个或4+2=6个．
故选：B．
【点睛】考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果
掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
3．由n个相同的小正方体堆成的一个几何体，其主视图和俯视图如图所示，则n的最大值是( )．
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】D
【分析】结合主视图，俯视图，逐行确认小正方体个数，最后计算即可.
【详解】解：∵由主视图可知最左边最多有3 个小正方体，中间最多有 个小正方体，最右边
最多有 个小正方体，
∴n的最大值为6+6+9=21.
故选：D
【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，侧重对空间想象考查.一般依据“长对正，高平齐，宽相
等”来确定其立体图形.
4．用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如下，则组成这样的几何体需要的立方块个
数为( )
A．最多需要8块，最少需要6块 B．最多需要9块，最少需要6块
C．最多需要8块，最少需要7块 D．最多需要9块，最少需要7块
【答案】C
【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可知第一层正方体的个数为4，由主视图可知第二层最少为2
块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，相加即可.
【详解】由主视图可得：这个几何体共有3层，
由俯视图可知第一层正方体的个数为4，由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，
第三层只有一块，
故：最多为3+4+1=8个
最少为2+4+1=7个
故选C
【点睛】本题考查由三视图判断几何体，熟练掌握立体图形的三视图是解题关键.
5．在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体
的小正方体的最少个数为m，最多个数为n，下列正确的是（ ）
A．m＝5，n＝13 B．m＝8，n＝10 C．m＝10，n＝13 D．m＝5，n＝10
【答案】A
【详解】由主视图和左视图可以确定：正方体堆成的几何体由两层组成，其底面最多有9个相同的正方体
组成，恰好构成了边长为3个小正方体棱长的正方形，上面一层最多在这个正方形的4个顶点处各放1个
相同的正方体．因此最多有正方体n=9＋4＝13个；底层正方体最少的个数应是3个，第二层正方体最少的
个数应该是2个，因此这个几何体最少有m=2+3=5个小正方体组成．
故选：A．
点睛：当一个几何体已知两个视图时，它的形状不能确定．应分为最多和最少各有多少，来判断，解题关
键是利用“主视图”疯狂盖，利用“左视图”拆违章，找到正方体的个数，比较复杂，求最少时容易出错，
应该吧中间的向后移一行，最右边向后移2行即可.
6．（2023·浙江·一模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，
古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹
角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在
日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时
刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．（1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即 ）位置时，晷针与晷面的夹角为 °．
（2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影
子所在的直线相交于点 ．此时 与 满足的关系式 ．
【答案】
【分析】（1）根据水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度求解即可；
（2）过点 作 于点 ，证明 ，根据平行投影证明 ，根据
，得出 即可．
【详解】解：（1）∵水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度，
∴当水平式日晷放在纬度为 （即 ）位置时，晷针与晷面的夹角为 ；
故答案为： ；
（2）过点 作 于点 ，如图所示：
则 ，
∴ ，根据题意可知，赤道日晷的晷面与晷针垂直，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据平行投影可知，当12点时，点 在水平方向的投影为点E，经过n小时后， 的投影在 上，因
此 ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平移投影的有关知识，解题的关键是数形结合，发挥空间想象能力，根据平行投
影得出 ．
7．（2023下·江西抚州·九年级校考阶段练习）如图1是折叠会议桌的实物图，其侧面可抽象成图2，桌面
可绕点 转动， ， ， ． ，点 是 点在地面
的正投影．
(1)①桌面 到地面 的距离为______ ， ______ ．
②求桌脚 的长；（结果精确到 ）
(2)当桌面 绕点 转动到图3所示的位置时，求点 到地面 的距离．
（参考数据： ， ， ）
【答案】(1)① ； ；；②桌脚 的长约为 ；
(2)点 到地面 的距离约为【分析】（1）①连接 ，根据正投影，得到 ，再根据勾股定理，求得 ，然后利用锐
角三角函数的定义，得出 ，最后利用平行线的性质和三角形外角的定义，即可得到答案；
②过点 作 于点 ，利用锐角三角函数的定义，得到 ，然后利用勾股定理列式，求出
，进而得到 ，再利用锐角三角函数的定义，即可求出桌脚 的长；
（2）过点 作 于点 ，由旋转的性质可知， ，进而得到 ，
利用锐角三角函数的定义，得到 ，然后利用勾股定理列式，求出 ，进而得出
，即可求出点 到地面 的距离．
【详解】（1）解：①如图，连接 ，
点 是 点在地面的正投影，
，
，
，
， ，
在 中， ，
即 到地面 的距离为 ，
， ，
，
，
，
，
，
故答案为： ； ；②如图，过点 作 于点 ，
在 中， ，
，
，
， ，
，
在 中， ，
，
，
，
在 中， ，
，
，
即桌脚 的长约为 ；
（2）解：如图，过点 作 于点 ，
由旋转的性质可知， ，，
，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
，
，
，
点 到地面 的距离约为 ．
【点睛】本题考查的是解直角三角形，勾股定理，平行投影，旋转的性质，正确做辅助线，灵活运用三角
函数是解题关键．
8．（2023·山东日照·校考一模）操作与研究：如图， 被平行于 的光线照射， 于D，
在投影面上．
(1)指出图中线段 的投影是______，线段 的投影是______．
(2)问题情景：如图1， 中， ， ，我们可以利用 与 相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理．
(3)【结论运用】如图2，正方形 的边长为15，点O是对角线 的交点，点E在 上，过点
C作 ，垂足为F，连接 ，
①试利用射影定理证明 ；
②若 ，求 的长．
【答案】(1) ，
(2)见解析；
(3)①见解析；② ．
【分析】（1）根据题意，即可解答；
（2）通过证明 得到 ，然后利用比例性质即可得到 ；
（3）①根据射影定理得 ， ，则 ，即 ，加上
，于是可根据相似三角形的判定得到结论；
（2）②先计算出 ， ， ，再利用（1）中结论 得到
，代入数据即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，图中线段 的投影是 ，线段 的投影是 ．
故答案为： ， ；
（2）证明：如图，
∵ ， ，
∴ ，
而 ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
（3）①证明：如图，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
而 ，
∴ ；
②∵ ，
而 ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和正方形的性质．也考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中
项．
9．（2023·全国·九年级专题练习）甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了
测量，下面是他们通过测量得到的一些信息：
甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80cm的竹竿的影长为60cm．
乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900cm．
丙组：如图③，测得校园景灯？（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长 为90cm，灯
杆被阳光照射到的部分 长为50cm，未被照射到的部分 长为32cm．
(1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度．
(2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题：
①求灯罩底面半径 的长；
②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积．
【答案】(1)学校旗杆的高度为12m
(2)①灯罩底面半径 的长为24cm；②从正面看灯罩得到的图形面积为2688(cm2)，从上面看灯罩得到的
图形面积为576π(cm2)
【分析】（1）根据平行投影的性质，得到三角形相似，列式计算即可；
（2）①易得： ，得到 ，即可得解；②易得：
，得到 ，证明 ，求出 ，
进而求出 的长，进而求出从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积即可．
【详解】（1）解：由题意，可知： ，
∴ ，即： ，
∴ ；答：学校旗杆的高度为 ．
（2）解：①根据题意可知， ，
∴ ，即 ．
∴ ，
∴灯罩底面半径 的长为24 cm．
②∵太阳光为平行光，
∴ ，
∴ ，
由题意，可知： ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴ ，
∴从正面看灯罩为矩形，面积为： ，
从上面看灯罩为圆形，面积为： ．
【点睛】本题考查平行投影，相似三角形的判定和性质，以及三视图．熟练掌握平行投影的性质，证明三
角形全等和相似，是解题的关键．
10．（1）一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，如图是从上面看这个几何体的形状图，小正方形
中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图．
（2）用小立方块搭一几何体，使它从正面看，从左面看，从上面看得到的图形如图所示．请在从上面看到的图形的小正方形中填人相应的数字，使得小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．其中，
图1填人的数字表示最多组成该几何体的小立方块的个数，图2填入的数字表示最少组成该几何体的小立
方块的个数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据俯视图中小正方体的个数结合主视图，主视图是从前面向后看得到的图形，从正面看
分左中右三列，左边列有2个正方形，中间列有3个正方形，右边列有4个正方形画出图形，根据俯视图
中小正方体的个数结合左视图，左视图是从左边向右看得到的图形，从左边看分左中右三列，左边列1个
正方形，中间列4个正方形，右边列2个正方形画出图形即可；
（2）根据俯视图的图形两行三列，中间列一行，从正面看分左中右三例，左边列3个正方形，中间列1个
正方形，右边列2个正方形，从左面看，分两行，前行后行，前行2个正方形，后行3个正方形，左列前
行可以是1个正方体或2个正方体，左列后行3个正方体，中间列只有前行1个正方体，右边列前行2个
正方体，右边列后行可以1个或2个正方体，最多10个正方体如图1，最少8个正方体如图2在俯视图中
标出个数即可．
【详解】解：（1）从正面看分左中右三列，左边列有2个正方形，中间列有3个正方形，右边列有4个正
方形，如图
从左边看分左中右三列，左边列1个正方形，中间列4个正方形，右边列2个正方形，
如图所示：
（2）从正面看分左中右三例，左边列3个正方形，中间列1个正方形，右边列2个正方形，
从左面看，分两行，前行后行，前行2个正方形，后行3个正方形，
左列前行可以是1个正方体或两个正方体，，左列后行3个正方体，中间列只有前行1个正方体，右边列
前行2个正方体，后列可以1个或2个正方体，最多10个正方体如图1，最少8个正方体如图2．根据题意，填图如下：
【点睛】本题考查根据俯视图画主视图与左视图，根据主视图与左视图确定组成图形的正方体的个数，从
立体图形到平面图形的转化三视图，由平面图形三视图到立体图形还原几何体空间想象能力，本题难度较
大，培养空间想象力，掌握相关知识是解题关键．
11．（2021上·山东青岛·九年级校联考期末）小明是魔方爱好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶
魔方，他都能成功复原．有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为
此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且
a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长
方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n ）．
问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得
出一般性的结论．
探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2
个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共
包含 个长方体．如图5，该几何体﹣共包含210个长方体，那么该几何体共有 个小立方体组
成．
探究二：如图6，该几何体有4个小立方体组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图
7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含 个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方
体组成，那么该几何体一共有 个长方体．
探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有 个长方体．探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 个长方体．
探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果
拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种枧图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走 个
小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是 ．
【答案】探究一：6，20；探究二：18；探究三： ；探究四： ；探究五：72，
124或142或158或164
【分析】探究一：先输出图4的长方体个数，然后得出规律有n小正方体组成的几何体有 个长方体，
由此求解即可；
探究二：由探究一可知图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，那么它一共包
含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体，图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，
图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体，
探究三：该几何体共有个a×b×c小立方体组成，该几何体有长有 条线段，宽有 条线段，宽
有 条线段，由此求解即可；
探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 个长方
体；
探究五：拿走前后的三视图需要一样，只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可如图所示求解即可．
保留底层24个正方体不变，再将每4个一组共6组正方体的摆放顺序进行变化，分类讨论即可.
【详解】解：探究一：由题意得图4一共有：1+2+3=6个长方体，
∵有1个小正方体组成的几何体有 个长方体，有2个小正方体组成的几何体有 个长方体，
有3个小正方体组成的几何体有 个长方体．．．．．．
∴可以得出规律有n小正方体组成的几何体有 个长方体，
∴ ，即 ，解得 或 （舍去），
故答案为：6，20；
探究二：图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，
∴那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体，
图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，
∴图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体，
故答案为：18；
探究三：∵该几何体共有个a×b×c小立方体组成，
∴该几何体有长有 条线段，宽有 条线段，宽有 条线段，
∴图1中一共包含 个长方体，
故答案为： ；
探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 个长方
体；
探究五：∵拿走前后的三视图需要一样，
∴只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可， 如图小方格内的数字表示此处一共有多少个小正方
体，此时一共有48个小正方体，即为所求，
∴一共最多可以拿走6×5×4-48=72个小正方体，
①当剩下正方体按如下俯视图摆放时，
表面积为：6×5×2+（3+5）×2+6×4×2=124
②当正方体如图摆放时，相对于①，此时面积增加16，表面积为124+16=142
③同理，当正方体如图摆放时，
相对于①，此时面积增加32，表面积为124+32=158
④当正方体如图摆放时，
相对于①，此时面积增加40，表面积为124+40=164
故答案为：124或142或158或164
【点睛】本题主要考查了图形类的规律，几何体的表面积等等，解题的关键在于能够准确读懂题意．
12．平整的地面上，由若干个完全相同的棱长为10 cm的小正方体堆成一个几何体，如图①所示.
(1)请你在方格纸中分别画出这个几何体的主视图和左视图;
(2)若现在手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的主视图和俯视图不变，
Ⅰ.在图①所示几何体上最多可以添加 个小正方体;
Ⅱ.在图①所示几何体上最多可以拿走 个小正方体;
Ⅲ.在题Ⅱ的情况下，把这个几何体放置在墙角，使得几何体的左面和后面靠墙，其俯视图如图②所示，若
给该几何体露在外面的面喷上红漆，则需要喷漆的面积最少是多少平方厘米?
【答案】(1)见解析；(2)Ⅰ.2个小正方体；Ⅱ.2个小正方体；Ⅲ.1900平方厘米.
【分析】（1）根据几何体可知主视图为3列，第一列是三个小正方形，第二列是1个小正方形，第三列是
2个小正方形；左视图是三列，第一列是3个正方形，第二列是3个正方形，第三列是1个正方形；
（2）I.可在正面第一列的最前面添加2个小正方体，故答案为：2
II.可以拿走最左侧第2排两个，也可以拿走最左侧3排两个，
故答案为：2
III. 若拿走最左侧第2排两个，能喷漆的面有19个，若拿走最左侧第3排两个，能喷漆的面有21个，根据
面积公式计算即可.
【详解】(1)画图
(2)Ⅰ. 可在正面第一列的最前面添加2个小正方体；
Ⅱ. 可以拿走最左侧第2排两个，也可以拿走最左侧3排两个；
2个小正方体;
Ⅲ.若拿走最左侧第2排两个，喷涂面积为 平方厘米；
若拿走最左侧第3排两个，喷涂面积为 平方厘米；
综上所述，需要喷漆的面积最少是1900平方厘米.
【点睛】此题考查几何体的三视图，能正确观察几何体得到不同方位的视图是解题的关键，根据三视图对
应添加或是减少时注意保证某些视图的正确性，需具有很好的空间想象能力.
13．（2023上·山东菏泽·七年级校考阶段练习）（1）如图，在平整的地面上，一些完全相同的棱长为1的
小正方体堆成一个几何体．在下面的网格中画出从正面、左面、上面看的形状图．
（2）如图所示，这是一个由小立方体搭成的几何体的俯视图，小正，方形中的数字表示在该位置的小立
方体的个数，请画出主视图与左视图．【答案】（1）见详解（2）见详解
【分析】本题考查作图——三视图：
（1）根据三视图的定义画出图形即可，
（2）根据三视图的定义画出图形即可．
【详解】（1）画出从正面、左面、上面看的形状图如图：
（2）画出主视图与左视图如图：
14．（2023上·湖南岳阳·九年级统考期中）操作与研究：如图， 被平行于 的光线照射，
于D， 在投影面上.
(1)指出图中线段 的投影是______，线段 的投影是______.
(2)问题情景：如图1， 中， ， ，我们可以利用 与 相似证明
，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理.
(3)拓展运用：如图2，正方形 的边长为15，点O是对角线 、 的交点，点E在 上，过点C作 ，垂足为F，连接 ；试利用射影定理证明 ；
【答案】(1) ，
(2)详见解析
(3)详见解析
【分析】（1）根据题意，即可得到答案；
（2）证明 ，得到 ，即可证明定理；
（3）利用射影定理，得到 ， ，进而得到 ，即可证明
．
【详解】（1）解：根据题意，图中线段 的投影是 ，线段 的投影是 ，
故答案为： ， ；
（2）证明：如图，
∵ ， ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）证明：如图，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
即 ，而 ，
∴
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理、射影定理等知识，解题关键是
掌握相似三角形的判定和性质，理解射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比
例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
15．（2023上·福建三明·七年级校联考阶段练习）（ ）图 是一个正方体．若将该正方体的表面沿某些棱
剪开，展成一个平面图形，需要剪开_____条棱；
（ ）用一个平面从不同方向去截图 中的正方体，得到的截面可能是_______（填写符合要求的序号）；
三角形 四边形 五边形 六边形
（ ）图 是由一些小正方体搭成的几何体从正面看和上面看得到的形状图，若要搭成该几何体的正方体
的个数最多是 ，最少是 ，求 的值．
【答案】（ ） ；（ ） ；（ ） ．
【分析】（ ）因为正方体有6个表面，12条棱要展成一个平面图形必须5条棱连接，所以至少要剪开条
棱，由此即可判断；
（ ）正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，因此用一个平面去截一正方体，截面可能为三角形、四边形（梯形，矩形，正方形）、五边形、六边形共
有四种情况；
（ ）分别求出 ， 的值，即可判断．
【详解】（ ）若将图 中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开 条棱；因为正方体
有 个表面， 条棱，要展成一个平面图形必须 条棱连接，所以至少要剪开 条棱，
故答案为： ；
（ ）用一个平面从不同方向去截图 中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形，
如图，
故答案为： ；
（ ）如图 ，要搭成该几何体的正方体的个数最多是如图，
（个），
要搭成该几何体的正方体的个数最少是如图（不唯一），
最少是 （个），
则 ．
【点睛】此题考查了正方体展开图和三视图判断几何体，几何体的展开图等知识，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题．16．（2023上·广东佛山·七年级校考阶段练习）某学校设计了如图所示的雕塑，取名“阶梯”，现在工厂
师傅打算用油漆喷刷所有暴露面，经测量，已知每个小立方体的棱长为 ．
(1)请分别画出该雕塑的俯视图和左视图；（画出的图需涂上阴影）
(2)请你帮助工人师傅计算一下，需要喷刷油漆的总面积是多少．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）分别画出从上面看、左面看的图形即可得到答案；
（2）求出从左面看、上面看、正面看得到的图形的面积，再根据从左面看和从右面看是一样的，从正面
看和从后面看是一样的，进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：该雕塑的俯视图和左视图如图所示：
；
（2）解：从正面和左面看得到的平面图形的面积都是 ，
从上面看到的平面图形的面积是 ，
从左面看和从右面看是一样的，从正面看和从后面看是一样的，
需要喷刷油漆的总面积是： ．
【点睛】本题主要考查了作三视图，以及求几何体的表面积，考查学生的空间想象能力，熟练掌握以上知
识点是解此题的关键．
17．（2023上·山东青岛·七年级青岛超银中学校考阶段练习）如图是由几个小立方块所搭几何体从上面看
到的形状图，小正方形中的数字表示在该位置小立方体的个数，请画出这个几何体从正面和左面看到的形
状图．【答案】答案见详解；
【分析】根据三视图的定义逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
从正面看：有三列，第一列由三个，第二列有两个，第三列有三个，如图所示：
从左面看：有三列，第一列由三个，第二列有三个，第三列有两个，如图所示：
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握三视图，找到各行各列的正方体个数．
18．（2023下·山东青岛·九年级统考开学考试）甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼 高16米．当地中
午12时，物高与影长的比是 ．
(1)如图1，当地中午12时，甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距 的长为_________米．
(2)当地下午14时，物高与影长的比是 ．如图2，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影
子 的长．【答案】(1)
(2) 米
【分析】（1）根据物高与影长的比是 列出比例式解答即可；
（2）作 于点F，则 ，根据 即可求解．
【详解】（1）解：由题意得： ，即 ，
解得 ，
故答案为： ；
（2）解：如图，作 于点F，
在 中， ， ，
物高与影长的比是 ，
，
，
，
即落在乙楼上的影子 的长为 米．
【点睛】本题考查平行投影，根据物高与影长的比得出相关比例式是解题的关键．
19．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图1，某游乐园门口需要修建一个由正方体和圆柱组合面成的立体图形，已知正方体的棱长与圆柱的底面直径及高相等，都是 ．
(1)图2是这个立体图形主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整；
(2)为了防腐，需要在这个立体图形表面刷一层油漆．已知油漆每平方米50元，那么一共需要花费多少元？
（ 取3.14）（说明：正方体一底面立于地上，不刷油漆；圆柱一底面立于正方体上，重合部分不刷油
漆．）
【答案】(1)见解析
(2)1628元
【分析】（1）根据三视图的画法分别得出左视图、主视图和俯视图即可；
（2）首先求出其表面积进而得出所需的费用．
【详解】（1）如图，
（2） （平方米）
（元）
答：需要花费1628元．
【点睛】此题主要考查了作三视图以及组合体的表面积求法，注意观察角度得出视图是解题关键．
20．（2023上·河南驻马店·七年级统考期末）如图是由6个棱长都为1的小立方块搭成的几何体．(1)请画出这个几何体从正面、左面、上面三个方向看到的形状图；
(2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可
以再添加_________个相同的小立方块．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据不同方向可以看到的形状在网格中画图即可；
（2）根据从左面和上面看到的形状不变还原几何体，再确定能够添加的位置和数量．
【详解】（1）如图所示，
（2）保持从正面和从左面看到的形状图不变，即几何体有2层4列2排，最上层只有1个立方体，因此可
以添加的是下层前排中间的空缺位置，即最多可以再添加3块小正方体．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，需要学生由一定的空间想象能力，易错点是还原几何体时考虑
不全导致错误．
21．（2023上·河南南阳·七年级校联考期末）综合与实践
如图①所示的几何体是由边长为1的8个相同小正方体摆放而成．
(1)关于这个几何体的三视图，下列说法正确的是（ ）主视图与左视图相同 主视图与俯视图相同
左视图与俯视图相同 三种视图都相同
(2)这个几何体的表面积（含底面）是_____________;
(3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图都不变，那么最
多可以再添加_________个小正方体．
(4)如果从这个几何体上取出一个小正方体，如图②所示，在它的每一个面上都写着一个代数式，且相对的
面上的两个代数式的值互为相反数，将其剪开展开成平面图形如图③所示放置，求 的值．
【答案】(1)A
(2)34
(3)4
(4)16
【分析】（1）根据三视图判断即可；
（2）根据几何体表面积是可以看得到的小正方体的面积，由此求解即可；
（3）根据左视图和俯视图都不变求解即可
（4）根据条件求出a，b，x的值即可．
【详解】（1）解：主视图：从左边数第一列有3个正方体，第二列有1个正方体，第三列有1个正方体，
俯视图：从左边数第一列有3个正方体，第二列有1个正方体，第三列有2个正方体，
左视图：从左边数第一列有3个正方体，第二列有1个正方体，第三列有1个正方体，
故选：A．
（2）解：几何体表面积是可以看得到的小正方体的面积，
由图可得：几何体的表面积（含底面）是34；
（3）解：要保持这个几何体的左视图和俯视图都不变，
只能在从左边数第2列的小正方体上放2个正方体和在第三列里面的正方体上放2个正方体，
∴最多可以再添加4个正方体；
（4）解：正方体表面展开图，想对面之间一定相隔一个正方形，
a与 是相对面，b与1是相对面， 与 是相对面，
∵相对的面上的两个代数式的值互为相反数，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查简单组合体的三视图，提升空间想象力是关键．
22．（2023上·四川达州·九年级统考期末）值日生小王准备制作一些无盖纸盒，收纳班级讲台上的粉笔．
(1)图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？______（填序号）．
(2)小王把折叠成的6个相同的正方体纸盒摆成如图2所示的几何体．
①在图3网格内画出图2的左视图；
②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，
最多可以再添加多少个正方体纸盆？
【答案】(1)①③④
(2)①见解析；②3个
【分析】（1）根据正方体的展开图，逐个分析即可求解；
（2）①从左面看，一共有二层，第一层有两个，第二层左边有一个，据此画出左视图即可
②根据题意，在第二层最多可以添加3个正方体纸盒
【详解】（1）解：①③④能围成无盖的正方体．
故答案为：①③④
（2）①图2的左视图如下图；
②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，
最多可以在第二层再添加3个正方体．
【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，画三视图，掌握正方体的表面展开图的模型以及三视图的画法
是解题的关键．正方体的表面展开图用‘口诀’：一线不过四，田凹应弃之，相间、Z端是对面，间二、
拐角邻面知．
23．（2023上·辽宁阜新·七年级阜新实验中学校考期末）在水平的桌面上，由若干个完全相同棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示．
(1)请你在方格纸中分别画出这个几何体的主视图、左视图和俯视图；
(2)若给该几何体露在外面的喷上红漆（不含几何体的底面），则需要喷漆的面积是______ ？
【答案】(1)见解析
(2)3200
【分析】（1）根据物体形状即可画出主视图、左视图和俯视图；
（2）利用几何体的形状求出其表面积即可，注意不含底面．
【详解】（1）解：这个几何体的主视图、左视图和俯视图，如图：
（2）解∶
答：需要喷漆的面积是 ．
【点睛】本题考查了三视图的画法．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到
的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．注意涂色面积指组成几何体的外表面积．
24．（2023·江苏盐城·统考三模）盐城市某初级中学数学小组想探究：大楼影长对相邻大楼的影响．分成
了两个实验小组，在某天下午 时，同时进行了两项实验：
实验一：测量高为 竹竿的影长．通过测量发现影长为 ．实验二：探究长方体的影子．如图 是该长方体在当天下午 时阳光下投影，图 是图 中长方体的俯视图．
(1)该长方体的高 ，宽为 ．
①此时 的影长 为______ ；
②此时测得 ，求 ；
(2)某小区预规划两栋一样的楼房甲、乙，朝向与“实验二”中长方体一致，俯视图如图3，相关数据如图
所示，若楼高42米，请通过计算说明实验当天下午3时甲楼的影子是否落在乙楼的墙上．
【答案】(1)①26，②
(2)甲楼的影子落在乙楼的墙上
【分析】（1）①根据同一时刻，楼高与楼影长的比等于竹竿长与竹竿的影长的比求解即可；②延长 交
于点 ，设 ，在 和 中，利用勾股定理求得 ， ，进而即可求
解；
（2）过点 作 ，根据楼高与影长的比求得 ，再利用三角函数即可得解．
【详解】（1）解∶①∵ ，测量高为 竹竿的影长．通过测量发现影长为 ． 的影长是
，
∴ 即 ，
解得 ，
故答案为： ；
②延长 交 于点 ，设 ，则有：
在 中，
在 中，
则有： ，
解得： ，即
∴ ，
∴ ．
（2）解：如图所示，过点 作 ，
由题意得： ，
∴ ，
中， ，
∴设 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ．∵ ， ，
∴甲楼的影子落在乙楼的墙上．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角函数与投影，熟练掌握三角函数即勾股定理的内容是解题的关键．
25．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）问题背景：在某次活动课中，甲、乙两个学习小
组于同一时刻在阳光下对校园中的旗杆和景观灯进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：
如图1，测得学校旗杆的影长为900cm，在影子的外端F点处测得旗杆顶端E的仰角为 ．
乙组：如图2，测得校园景观灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影
长为156cm．
任务要求：
(1)请根据以上的信息计算出学校旗杆的高度；
(2)如图2，设太阳光线 与 相切于点M．请根据以上的信息，求景观灯灯罩的半径（景观灯的影长
等于线段 的影长．）（参考数据： ）
【答案】(1)12m
(2)12cm
【分析】（1）在 中，利用锐角三角函数解答即可；
（2）先求解直角三角形 的三边，进而可得 的长，然后证明 ，利用相似三角形的
性质即可求出圆的半径．
【详解】（1）解：在 中， cm，
∴ ，
∴学校旗杆的高度约为12m；
（2）连接 ，由题意得： ．
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设景观灯灯罩的半径为rcm，
∵太阳光线 与 相切于点M，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴景观灯灯罩的半径为12cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、平行投影以及相似三角形的实际应用，正确理解题意、熟练掌
握锐角三角函数和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
26．（2023上·江苏无锡·七年级校联考期末）一透明的敞口正方体容器 装有液体，棱
始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（注：图 中 α，图 中 ）．(1)探究如图 ，液面刚好过棱 ，并与棱 交于点 ，其三视图及尺寸如图 所示，那么：图 中，液
体形状为 （填几何体的名称）；
(2)利用图 中数据，可以算出图 中液体的体积为 ．（公式：体积 底面积 高）
(3)拓展在图 的基础上，以棱 为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．若从正面看，液面与棱
交于点 、 （ 始终在棱 上），设 ，请你在下图中把此容器主视图补充完整，并用含 的代
数式表示 的长度．
【答案】(1)三棱柱
(2)24
(3)容器向左旋转： ；容器向右旋转： ，图见解析
【分析】（1）根据图象得出液体形状，
（2）根据 底面积 高求出答案；
（3）根据液体体积不变，据此即可列方程求解．
【详解】（1）解∶由三视图可知，液体形状为三棱柱，
故答案为：三棱柱；（2）解：利用图 中数据可得
∴液体的体积为 ，
故答案为 ；
（3）解：主视图如下图，
当容器向左旋转时，
解得 ，
当容器向右旋转时，
解得 .
【点睛】本题考查了棱柱体的体积计算以及三视图的认识，正确理解棱柱的体积是关键．
27．（2023·浙江温州·统考一模）根据信息，完成活动任务．
活动一 探究某地正午太阳光下长方体高度与影子的关系．
如图1是长方体在正午阳光下投影情况，图2是图1的俯视图，通过实验测得一组数据如下表所示：
的长（cm）
的长（cm） 30【任务1】如图2，作 于点 ，设 ， ，求 关于 的函数表达式．
活动二 设计该地房子的数量与层数．
在长方形土地上按图3所示设计 幢房子，已知每幢房子形状、高度相同，可近似看成长方体，图中阴影
部分为1号楼的影子，相关数据如图所示．现要求每幢楼层数不超过 ，每层楼高度为3米．
【任务2】当1号楼层数为 时，请通过计算说明正午时1号楼的影子是否落在2号楼的墙上．
【任务3】请你按下列要求设计，并完成表格．
（1）所有房子层数总和超过 ．
（2）正午时每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上．
方案设计
每幢楼层数 的值 层数总和
_______________ _______________ _______________
【答案】任务1： ；任务2：见解析；任务3：7， ，
【分析】（1）设 关于 的函数表达式为 ，用待定系数法求出解析式；
（2）将1号楼类比于图1中的长方形，如图所示，再过点B作 于M当1号楼层为24时，求出
的长度，根据任务1求出 的长，在求出 、 的长，得出 ，
，两者进行对比来判断影子是否会到2号楼；
（3）由任务2可得： ，可得 ，则，正午时，每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上，可得 ，
可得 ，则每幢房子最多7层，从而可得答案．
【详解】任务1：设 关于 的函数表达式为 ，
当 时， ， ，
，
当 时， ， ，
，
代入解析式得： ，
解得： ，
关于 的函数表达式为 ，经检验符合题意．
任务2：将1号楼类比于图1中的长方形，如图所示，再过点B作 于M当1号楼层为24时，
的长为： ，
的长为： ，
，
，
，
，
， ，
， ，
而 ，
正午时1号楼的影子会落在2号楼的墙上．任务3：由任务2可得： ，
，
∴ ，
正午时，每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上，
∴ ，
解得： ，
∵每层楼高3米，
∴ ，
∴每幢房子最多7层，
∴ ，
∴ ，
∴ ，层数为 ，
，层数为 ，总和为 ．
【点睛】本题考查了投影问题，涉及一次函数，不等式的应用，特殊角的三角函数值，结合实际情况将影
子和实际楼间距进行对比是解答本题的关键．
28．（2023上·山西太原·九年级山西大附中校考期末）小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些
数学问题请你解答：
(1)如图1，白天在阳光下，小彬将木杆 水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段 ．①若木杆 的长为 ，则其影子 的长为___________ ；
②在同一时刻同一地点，将另一根木杆 直立于地面，请画出表示此时木杆 在地面上影子的线段
：
(2)如图2，夜晚在路灯下，小桃将木杆 水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段 ．
①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点 ；
②若木杆 的长为 ，经测量木杆 距离地面 ，其影子 的长为 ，则路灯 距离地面的高度
为___________ ．
【答案】(1)① ；②见解析；
(2)①见解析；②
【分析】（1）①根据题意证得四边形 为平行四边形，从而求得结论；
②根据平行投影的特点作图：过木杆的顶点作太阳光线的平行线；
（2）①分别过影子的端点及其线段的相应的端点作射线，两条射线的交点即为光源的位置；
②根据 ，可证得 ，利用相似三角形对应高的比等于相似比即可求得结论.
【详解】（1）①根据题意： ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ；
②如图所示，线段 即为所求；
（2）①如图所示，点 即为所求；
②过点 作 分别交 、 于点 、
∵∴
， ，
解得： ，
路灯 距离地面的高度为 米.
【点睛】本题考查平行投影问题以及相似三角形的判定和性质，平行光线得到的影子是平行光线经过物体
的顶端得到的影子，利用相似三角形对应高的比等于相似比是解决本题的关键．
29．（2022下·全国·九年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，图形W在坐标轴上的投影长度定义
如下：设点 ， 是图形W上的任意两点，若 的最大值为m，则图形W在x轴上的投
影长度为 ；若 的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度为 ．如图1，图形W在x轴
上的投影长度为 ；在y轴上的投影长度为 ．
(1)已知点 ，如图2所示，若图形W为四边形 ，则 __________，
___________；(2)已知点C（ ，0），点D在直线 上，若图形W为 ，当 时，求点D的坐标；
(3)若图形W为函数 的图象，其中（ ），当该图形满足 时，请直接写出a
的取值范围．
【答案】(1)3，3
(2) 或
(3)
【分析】（1）确定出点B在y轴的投影的坐标、点C在x轴上投影的坐标，于是可求得问题的答案；
（2）分两种情况讨论即可：①当 时，②当 时，分别构建方程即可解决问题；
（3）设 ．分别求得图形在y轴和x轴上的投影，由 可得到 ，然后根据
可求得a的取值范围．
【详解】（1）解：∵ ，
∴点B在y轴上的正投影的坐标为 ．
∴四边形 在y轴上的投影长度 ．
∵ ，
∴点C在x轴上的正投影的坐标为 ．
∴四边形 在x轴上的投影长度 ．
故答案为3；3．
（2）∵点D在直线 上，
∴设 ，①当 时， ，
∴ ，
∴点D的坐标为 ；
②当 时， ，
∴ ，
∴点D 坐标为
综上所述，点D的坐标为 或 ．
（3）如图3所示：
设 ．则 ．
∵ ，
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用、解答本题主要应用了图形W在坐标轴上的投影长度定义、
一次函数、二次函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，依据l=l 列出关于x的方程和不等式是解题的
x y关键．
30．（2020·四川攀枝花·中考真题）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平
地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线 的距离皆为 ．王诗
嬑观测到高度 矮圆柱的影子落在地面上，其长为 ；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．
已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线 互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度 ，在
不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
（1）若王诗嬑的身高为 ，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少 ？
（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答
这个猜想是否正确？
（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为 ，则高圆柱的高度为多少 ？
【答案】（1）120cm；（2）正确；（3）280cm
【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．
（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线 互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；
（3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作
FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.
【详解】解：（1）设王诗嬑的影长为xcm，
由题意可得： ，
解得：x=120，
经检验：x=120是分式方程的解，
王诗嬑的的影子长为120cm；
（2）正确，
因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，
则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，
而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，
∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；（3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，
过点F作FG⊥CE于点G，
由题意可得：BC=100，CF=100，
∵斜坡坡度 ，
∴ ，
∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中，
，
解得：m=20，
∴CG=60，FG=80，
∴BG=BC+CG=160，
过点F作FH⊥AB于点H，
∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，
FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，
可知四边形HBGF为矩形，
∴ ，
∴AH= =200，
∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，
故高圆柱的高度为280cm.
【点睛】本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理
解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型．
