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第二十九章 视图与投影（知识归纳+题型突破）
1、通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念。
2、会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描
述简单的几何体。
3、了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作模型。
4、通过实例，了解.上述视图与展开图在现实生活中的应用。
知识点一：三视图 内 容
1 .三视图 主视图 俯视图 左视图
(1)长对正：主视图与俯视图的长相等，且相互对正；
2 .三视图的对应关
(2)高平齐：主视图与左视图的高相等，且相互平齐；
系
(3)宽相等：俯视图与左视图的宽相等，且相互平行．
正方体：正方体的三视图都是正方形.
3 .常见几何体的三 圆柱：圆柱的三视图有两个是矩形，另一个是圆.
视图常见几何体的
圆锥：圆锥的三视图中有两个是三角形，另一个是圆.
三视图 球的三视图都是圆.
例：长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是36 .知识点二 ：投影
由平行光线形成的投影．
在平行投影中求影长，一般把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似
4 .平行投影 三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出的影长．
例：小明和他的同学在太阳下行走，小明身高1.4米，他的影长为1.75
米，他同学的身高为1.6米，则此时他的同学的影长为2 米．
由同一点(点光源)发出的光线形成的投影．
5.中心投影
题型一 平行投影
【例1】12．（2023上·江西抚州·九年级江西省抚州市第一中学校考期中）如图，某一广告墙 旁有两根
直立的木杆 和 ，某一时刻在太阳光下，木杆 顶端的影子刚好落Q处．
(1)请在图中画出此时的太阳光线 及木杆 的影子 ；
(2)若 米， 米， 到 的距离 的长为2米，求此时木杆 的影长．
【答案】(1)见解析(2) 米
【分析】本题考查的是平行投影，掌握平行投影的性质是解题的关键．
（1）根据木杆 的影子刚好不落在广告墙上，连接点 与点 即可画出此时的太阳光线 ，根据太阳
光线是平行的，可以画出木杆 的影子 ；
（2）设木杆 的影长为 米，根据在同一时刻，物高与影子成比例即可得到 ，从而可求出影长．
【详解】（1）解：如图所示．（2）解：设 的影长 为x米 ，根据题意可得
，即 ，
．
答：木杆 的影长是 米．
巩固训练：
1．（2023上·山东青岛·九年级统考期中）一个矩形的平行投影不可能是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．平行四边形 D．线段
【答案】A
【分析】本题考查平行投影问题，根据平行投影得出矩形的投影图形解答即可．
【详解】解：在平行投影下，矩形的投影可能是线段、矩形、平行四边形，不可能是梯形，
故选：A．
2．（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）某一时刻，与地面垂直的长 的木杆在地面上的影长为 ．
同一时刻，树 的影子一部分落在地面上，一部分落在坡角为 的斜坡上，如图所示．已知落在地面上
的影长 为 ．落在斜坡上的影长 为 ．根据以上条件，可求出树高 为（ ）．（结果精确到
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形，平行投影，正确作出辅助线，构造直角三角形，掌握同一时刻太阳光
下，物长和影长成比例，是解题的关键．过点D作 于点E，连接 并延长，交 延长线于点F，易得 ，根据长 的木杆在地面上的影长为 ，得出 ，则
，求出 ，即可求解．
【详解】解：过点D作 于点E，连接 并延长，交 延长线于点F，
∵ ， ，
∴ ，
∵长 的木杆在地面上的影长为 ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∵长 的木杆在地面上的影长为 ，
∴ ，则 ，
故选：D．
3．（2023上·江苏扬州·九年级校考期中）小王的身高是 ，他在阳光下的影长是 ，在同一时刻测
得某棵树的影长为 ，则这棵树的高度约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设这棵树的高度为 ，根据同一时刻物体的高度和物体的影
长成比例建立方程 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：设这棵树的高度为 ，
∵同一时刻，物高与影长成正比例，∴ ，
解得 ，
∴设这棵树的高度为 ，
故选C．
4．（2023上·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考期中）高4米的旗杆在阳光下的影子长6米，同一时刻
同一地点测得某建筑物的影子长24米，则该建筑物的高度是（ ）
A．6米 B．16米 C．36米 D．96米
【答案】B
【分析】本题主要考查投影中的实际应用．根据投影的实际应用，在同一时刻太阳光线平行，不同物体的
实际高度与影长之比相等建立方程，可求出答案．
【详解】解：设建筑物的的高为x米，可得方程：
，
解得： ，
答：此建筑物的高度为16米．
故选：B．
5．（2023上·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）正方形纸板在太阳光下的投影不可能是（ ）
A．平行四边形 B．一条线段 C．矩形 D．梯形
【答案】D
【分析】根据平行投影的性质，进行判断即可．
【详解】解：一张正方形纸板在太阳光线的照射下，形成影子不可能是梯形，
故选：D．
【点睛】本题考查平行投影．熟练掌握平行投影的性质，是解题的关键．
6．（2023上·河北保定·九年级校考阶段练习）马路边上有一棵树 ，树底 距离护路坡 的底端 有
3米，斜坡 的坡角为60度，小明发现，下午2点时太阳光下该树的影子恰好为 ，同时刻1米长的竹
竿影长为0.5米，下午4点时又发现该树的部分影子落在斜坡 上的 处，且 ，如图所示，线
段 的长度为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，求出 ，延长 ，交 于点 ，根据30度角的直角三角
形即可求出结果．
【详解】解： 同时刻1米长的竹竿影长为0.5米， 米，
树 的高度是6米；
延长 ，交 于点 ，
，
，
，
米，
米，
米，
线段 的长度为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及平行投影，解决本题的关键是作出辅助线得到 的影长．
7．（2023上·全国·九年级专题练习）在同一时刻的太阳光下，小刚的影子比小红的影子长，那么，在晚上同一路灯下（ ）
A．不能够确定谁的影子长 B．小刚的影子比小红的影子短
C．小刚跟小红的影子一样长 D．小刚的影子比小红的影子长
【答案】A
【分析】根据太阳光是平行投影，路灯是中心投影，即可得出结论．
【详解】解：在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，
所以无法判断谁的影子长．
故选：A．
【点睛】本题综合考查了平行投影和中心投影的特点和规律．平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体
的物高和影长成比例．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体
它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，
影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
8．（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔塔顶
的影子 处直立一根木杆 ，借助太阳光测金字塔的高度．如图所示，木杆 长 米．它的影长 是
米，同一时刻测得 是 米，则金字塔的高度 是 米．
【答案】
【分析】本题考查同一时刻物高和影长成正比．解题的关键是理解：如果光源是太阳，光线是平行照射的，
此时物体的高度和影子的长度成正比例．据此列式解答即可．
【详解】解：根据题意知：相同时刻的物高与影长成正比，
设金字塔的高度 为 米，则：
∴ ，
解得： ，
∴金字塔的高度 是 米．
故答案为： ．
9．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图，甲楼 高 16 米，乙楼 坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是 ， 已知两楼相距 为 12 米，那么甲楼的影子落在乙楼上的
高 ＝ 米．
【答案】8
【分析】本题考查了相似三角形的应用和平行投影的知识；
过 作 ，利用平行投影的知识物高与影长的比是 ，求出 的长度，进而求得
即可得出答案．
解题的关键是利用平行投影的知识，求出 的长度．
【详解】如图，过点 作 ，垂足为点 ，
在 中， ，
∵物高与影长的比是
∴ ，
∴
∵ ，
∴
故答案为：8米
10．（2023上·河北邢台·九年级邢台三中校联考期中）公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧
测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为 ．
先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子 长为 （直线过底面圆心），则：
（1）小山包的半径为 ；
（2）小山包的高为 ．（ 取 ）
【答案】
【分析】此题考查平行投影，解题关键是根据通过三角形相似，将小山包的高转化为 的长进行求解．
根据平行投影，即可得相似三角形，那么可得到 ，根据圆锥底面周长求出圆锥底面圆的半径，最
后推论出高．
【详解】连接 ，过 作 于 ，
由题意可知，
∴
∵圆锥底面周长为 ．
∴ ，解得 ，
∵ ,
∴
∴小山包的高为 ．
故答案为： ， ．
11．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校联考期中）在“测量物体的高度”活动中，小丽在同一时刻阳光下，
测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米：测量树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一
级台阶上（如图），落在地面上的影长为4.8米，一级台阶高为0.25米，落在第一级台阶上的影子长为0.2米，则树高度为 米．
【答案】
【分析】求出台阶同等高度的大树的影子的长度，然后根据同时同地物高与影长成正比列式求出树的高度
一部分，再加上台阶的高度计算即可得出答案．
【详解】解：根据同一时刻物高与影长成正比例，如图所示：
则其中 为树高， 为树影在第一级台阶上的影长， 为树影在地上部分的长， 的长为台阶高，
并且由光沿直线传播的性质可知 即为树影在地上的全长，延长 交 于 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即树高为 米，
故答案为: ．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似
比，列出方程，通过解方程求解，加上 的长即可，解此题的关键是找到各部分以及与其对应的影长.
12．（2023上·江苏泰州·九年级校考阶段练习）我国宋代就发明了立式风车，它是一种由风力驱动使轮轴
旋转的机械，风力发电不但减污节能，而且可再生永不枯竭．如图是风车示意图，其相同的四个叶片均匀
分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直于叶片 ， 照射，
各叶片形成的影子为线段 ，且测得 ， ，若此时垂直于地面的木棒 与影子 的比为
(1)求叶片 的长；
(2)为了安全，风车转动时，要求风车叶片外端离地面的最低高度要高于12米，此风车是否符合要求？
【答案】(1)
(2)符合要求
【分析】（1）过点O作 ，交 于P，过P作 于N，则 ，根据平行线分线段
成比例定理可知 ，由 与影子 的比为 ，可得 ，由等角的正弦可得 的长，从
而得结论．
（2）由（1）知 ， 与影子 的比为 ，可得 的长，即可判断是否符合要求．
【详解】（1）解：如图，过点O作 ，交 于P，过P作 于N，则 ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，，
设 ， ，则 ，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知 ，
，
，
，
，
，则 ，
，
当风车转动时，风车叶片转动到于 重合时，此时风车叶片外端离地面的高度为： ，
，
此风车符合要求
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关
键．
题型二 中心投影
【例2】（2023上·四川雅安·九年级统考期末）如图，李强从距离路灯底部O为20米的点A处沿 方向
行走10米到达点C处，李强在A处时，他在路灯下的影子为线段 ．
(1)已知路灯杆垂直于路面，请在图中画出路灯P的位置和李强走到点C处时在路灯下的影子 ；(2)若路灯的高度 是8米，李强的身高是1.6米，求李强在点C处的影子 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)李强在点C处的影子 的长度为 2.5米
【分析】（1）连接 并延长，与过点O且垂直于路面的直线 相交于点P，点P即为路灯的位置，连
接 并延长交路面于点N， 即为李强走到点C处时在路灯下的影子；
（2）易得 ，利用相似三角形对应边成比例列式求出 即可．
【详解】（1）解：如图，路灯P，影子 即为所求；
（2）解：由题意得： ， 米， 米，则 米，
设 米．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
答：李强在点C处的影子 的长度为2.5米．
【点睛】本题考查了中心投影以及相似三角形的应用，解题的关键是掌握如何确定点光源以及相似三角形
的判定和性质．
巩固训练
1．（2023上·河南郑州·九年级校考期中）下列哪种影子不是中心投影（ ）
A．月光下房屋的影子 B．晚上在房间内墙上的手影
C．都市冤虹灯形成的影子 D．皮影戏中的影子
【答案】A
【分析】本题考查中心投影，由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，由此即可判断．
关键是掌握中心投影定义．
【详解】解：晚上在房间内墙上的手影，都市冤虹灯形成的影子，皮影戏中的影子，是中心投影，月光下房屋的影子是平行投影，不是中心投影．
故选：A．
2．晚上小亮在路灯下散步，在小亮从远处走到灯下，再远离路灯这一过程中，他在地上的影子（ ）
A．逐渐变短 B．先变短后变长 C．先变长后变短 D．逐渐变长
【答案】B
【分析】根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长．
【详解】解：在小亮由远处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短；当他走到路灯下，再远离路灯
时，他在地上的影子逐渐变长，
∴小亮在地上的影子先变短后边长，
故选：B．
【点睛】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．熟练掌握中心
投影的特征是解题关键．
3．（2023上·全国·九年级专题练习）一块三角形板 ，测得 边的中心投影
长为 ，则 边的中心投影 的长为（ ）
A．24cm B．20cm C．15cm D．5cm
【答案】B
【分析】由投影得 ，由相似性质得 ，求得 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故选：B．
【点睛】本题考查中心投影，相似三角形的性质；由相似三角形得到线段间的数量关系是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，点 是一个光源，木杆 两端的坐标分别为 ， ，则木杆
在x轴上的投影 长为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】D
【分析】利用中心投影，延长 、 分别交x轴于点 、 ，作 轴于点E，交 于点D，证明
，然后利用相似比即可求解．
【详解】解：延长 、 分别交x轴于点 、 ，作 轴于点E，交 于点D，如图，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故选：D．【点睛】本题考查中心投影，熟练掌握中心投影的概念证明 是解题的关键．
5．（2023·福建厦门·统考模拟预测）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是
我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小
明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）
A．减少 米 B．增加 米 C．减少 米 D．增加 米
【答案】A
【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【详解】解：如图，点 为光源， 表示小明的手， 表示小狗手影，则 ，过点 作
，延长 交 于 ，则 ，
∵ ，
∴ ，则 ，
∵ 米， 米，则 米，
∴ ，
设 ，
∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，即 ， ， 米，
∴ ，
则 ，
∴ 米，
∴光源与小明的距离变化为： 米，
故选：A．
【点睛】此题考查了中心投影，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立
适当的数学模型来解答问题．
6．（2022·河北邯郸·校考三模）2022年2月20日北京冬奥会花样滑冰表演赛，中国男单一哥金博洋登场，
他使用的地面光影直到结束后都让人意犹未尽．如图，设聚光灯O的底部为A，金博洋的身高（ ）为
，金博洋与点A的距离 为 ，他在聚光灯下的影子 为 ．
（1）在聚光灯下金博洋落在地面的影子是 （填写“平行投影”或“中心投影”）；
（2）聚光灯距离地面的高度 为 m．
【答案】 中心投影
【分析】（1）根据中心投影的定义直接写出答案即可；
（2）根据相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．
【详解】解：（1）∵聚光灯光线是点光源发出的光线，
∴在聚光灯下金博洋落在地面的影子是中心投影，
故答案为：中心投影；
（2）解：由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∵金博洋的身高（ ）为 ，金博洋与点A的距离 为 ，他在聚光灯下的影子 为 ，
∴ ，解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用及中心投影的定义的知识，解题的关键是从实际图形中抽象出相似
三角形，难度不大．
7．（2023上·山东青岛·九年级统考期中）如图，灯杆 上挂有一盏灯，小颖和爸爸站在灯下，线段
表示小颖的影子．
(1)请通过画图，确定灯杆上灯泡O所在的位置；
(2)请你在图中画出表示爸爸影子的线段 ．
【答案】(1)图形见解析
(2)图形见解析
【分析】（1）过小颖影子的顶端A和头部顶端作直线，交 于O，则点O即为灯泡所在的位置；
（2）过灯泡O和爸爸头部顶端作直线交直线 于F，设爸爸所在点为E，则线段 即为爸爸影子的线
段．本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握中心投影的性质．
【详解】（1）过小颖影子的顶端A和头部顶端作直线，交 于O，则点O即为灯泡所在的位置，如图：
（2）如上图，过灯泡O和爸爸头部顶端作直线交直线 于F，设爸爸所在点为E，则线段 即为爸爸
影子的线段．
8．（2023上·陕西西安·九年级西安市西光中学校联考阶段练习）如图，在地面上竖直安装着
三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱AB、 形成的影子为 与 ．作出立柱 在
此光源下所形成的影子．【答案】见解析
【分析】本题考查了中心投影的定义，根据已知立柱的影子确认光源的位置是解题关键．
【详解】解：如图，连接 ，并延长相交于点O，则点O就是光源，再连接 ，并延长与地面相
交，交点为I，则 为立柱 在此光源下所形成的影子．
9．（2023下·江苏苏州·八年级统考期末）综合与实践
【画图操作】如图①，三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第一根、第二根旗杆在同一灯光下的
影长如图所示．请在图中画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长（不写画法）；
【数学思考】如图②，夜晚，小明从点 经过路灯 的正下方沿直线走到点 ，他的影长 随他与点 之
间的距离 的变化而变化，那么表示 与 之间函数关系的图象大致为
A． B．
C． D．
【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆 ，在灯光下，小明在点 处测得自己的影长 ，沿
方向前进到达点 处测得自己的影长 ．已知小明的身高为 ，求灯杆 的高度．
【答案】画图操作：见解析；数学思考：D；解决问题：灯杆 的高度为
【分析】画图操作：根据中心投影，直接画图即可；数学思考：由等高的物体垂直地面时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的
影子长即可得到答案；
解决问题：根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：画图操作：
解：光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长如图所示：
数学思考：
解： 等高的物体垂直地面时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，
小明的影长从 到 的变化是先越来越短，再越来越长，
故选：D；
解决问题：
解：如图所示，
，
， ，
， ，
，
，
， ， ， ，
，
解得： ，，
，
，
灯杆 的高度为 ．
【点睛】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的
关键．
10．（2023上·江苏泰州·九年级校考期中）如图，在路灯下，甲的身高如图中线段 所示，他在地面上
的影子如图中线段 所示，小亮的身高如图中线段 所示，路灯M在线段 上．
(1)请你确定路灯M所在的位置，并画出表示乙在灯光下形成的影子线段．
(2)如果灯距离地面 ，乙的身高 ，乙与灯杆的距离 ，请求出乙影子的长度．
【答案】(1)见解析
(2)1米
【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质，解题的关键是：
（1）连接 进而延长交 于点 ，再连接 并延长交 于点 ，得出 进而得出答案；
（2）证明 ，根据相似三角形的性质得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：路灯 , 即为所求；
（2） ，，
，
灯距离地面 ，乙的身高 ，乙与灯杆的距离 ，
，
解得：
∴乙影子的长度为 ．
11．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，小华在晚上由路灯 走向路灯 ． 当他走到点P时，发
现他身后影子的顶部刚好接触到路灯 的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶
部刚好接触到路灯 的底部． 已知小华的身高是 ，两个路灯的高度都是 ，且 ．
(1)标出小华站在P处时，在路灯 下的影子．
(2)求两个路灯之间的距离．
(3)当小华走到路灯 的底部时，他在路灯 下的影长是多少？
【答案】(1)画图见解析
(2)两路灯的距离为 ；
(3)当他走到路灯 时，他在路灯 下的影长是 ．
【分析】（1）连接 并延长与 交于点K，从而可得答案；
（2）如图，先证明 ，利用相似比可得 ，即得 ，则
，从而可得答案；（3）如图，他在路灯 下的影子为 ，证明 ，利用相似三角形的性质得 ，
然后利用比例性质求出 即可．
【详解】（1）解：如图，连接 并延长与 交于点K，线段 即为小华站在P处时，在路灯 下
的影子
（2）如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
而 ，∴ ，
∴ ．
答：两路灯的距离为 ；
（3）如图，他在路灯 下的影子为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得 ．
答：当他走到路灯 时，他在路灯 下的影长是 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，投影的含义，要求学生能根据题意画出对应图形，能判定出相似
三角形，以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解决求线段长的问题等，蕴
含了数形结合的思想方法．
12．（2023·陕西·统考中考真题）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底
部不可到达）的高 ．如图所示，当小明爸爸站在点 处时，他在该景观灯照射下的影子长为 ，测
得 ；当小明站在爸爸影子的顶端 处时，测得点 的仰角 为 ．已知爸爸的身高
，小明眼睛到地面的距离 ，点 、 、 在同一条直线上， ， ，
．求该景观灯的高 ．（参考数据： ， ，
【答案】
【分析】过点 作 ，垂足为 ，根据题意可得： ， ，然后设
，在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而求出 的长，再根据垂直定义可得 ，从而证明 字模型相似三角形 ，最后利用相似三角形的
性质可得 ，从而列出关于 的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：过点 作 ，垂足为 ，
由题意得： ， ，
设 ，
在 中， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
解得： ，
，
该景观灯的高 约为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13．（2023上·江苏盐城·九年级统考期末）元宵节晚上，小王与爸爸妈妈看灯会，他想了解路边路灯的大
致高度．具体做法如下：如图，先从路灯灯柱MN底部M向东走25步到A处，发现自己的影子端点落在B
处，作标记后，继续沿刚才自己的影子走5步恰好到达点B处，此时影子的端点在C处，已知小王和灯柱
的底端在同一水平线上，且小王每步的间距相同．若小王的身高是 ，请帮他解决问题：
(1)在图中画出路灯O和影子端点C的位置；
(2)估计路灯 的高，并求影长 的步数．
【答案】(1)见解析
(2) ， 步
【分析】（1）根据中心投影的定义画出图形即可；
（2）由 得 ，代入数值可求出 ，由 得 ，代入数值可
求出 的长．
【详解】（1）如图所示，
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ．
∵ ，
∴∴ ，
∴ ，
∴ 步．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，中心投影，相似三角形的判定与性质的应用，解题的关键是掌握
中心投影的性质．
14．（2022上·全国·九年级专题练习）如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行到P处时发现，
他在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A
下的影子恰好位于路灯B的正下方（已知王琳身高1.8米，路灯B高9米）
(1)说明：王琳站在P处在路灯B下的影子是图中的线段 ；
(2)计算王琳站在Q处在路灯A下的影长；
(3)计算路灯A的高度．
【答案】(1)CP
(2) 米
(3)12米
【分析】（1）根据图形及中心投影的定义即可求解；
（2）先证明 ，利用对应边成比例可得 长；
（3）先证明 ，利用对应边成比例可得 长，也就是路灯A的高度．
【详解】（1）王琳站在P处在路灯B下的影子是图中的线段 ．
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
解得 （米）
答：王琳站在Q处在路灯A下的影长为1.5米；
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 （米）．
答：路灯A的高度为12米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等，两三角形相似；两三角形相似，
对应边成比例．
题型三 视点、视角与盲区
【例3】如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点 处安装了360度旋转摄
像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．
（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？
（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体 上重新设计摄像头安装的位置，画
出示意图，并说明理由．【答案】（1） ；（2）见详解
【分析】（1）分别求出荣誉室面积和盲区面积，再利用概率公式，即可求解；
（2）把摄像头安装在AB的中点处，计算出监控盲区的面积，然后把摄像头安装在AB的其他位置，表达
出监控盲区的面积，即可得到结论．
【详解】解：（1）设小正方形的边长为1，
∴荣誉室面积=2×2+2×2+2×6=20，盲区面积=2×2- ×2×1=3，
∴站在监控盲区的概率=3÷20= ；
（2）如图所示：摄像头安装在AB的中点处，监控盲区的面积最小，此时，监控盲区面积=2× ×1×2=2，
若摄像头不安装在AB的中点处，则监控盲区面积= ×(CM+2)×2＞2．
【点睛】本题主要考查几何概率，掌握概率公式和方格纸的面积的计算，是解题的关键．
巩固训练
1． “白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（ ）
A．增大盲区 B．减少盲区 C．改变光点 D．增加亮度
【答案】B
【分析】根据站的越高，人的视角就越大，对于圆形地球可视面就越大，盲区越小进行判断即可．
【详解】解∶选项A，站的越高，人的视角就越大，不是增大盲区，错误；
选项B，减少盲区，正确；
选项C，不可能改变光点，错误；
选项D，不是增加亮度，选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了盲区的相关知识，正确理解盲区的概念是解决本题的关键，盲区是指视野盲区，视野盲区就是指人的视线达不到的地方，站得高可以减少盲区．
2．如图所示，凯凯和乐乐捉迷藏，乐乐站在图中的P处，凯凯藏在图中哪些位置，才不易被乐乐发现(
)
A．M，R，S，F B．N，S，E，F C．M，F，S，R D．E，S，F，M
【答案】D
【分析】凯凯和乐乐捉迷藏，乐乐站在图中的P处，P处为视点，凯凯只有藏在盲区才不会被发现．
【详解】只有在P点的盲区内才不容易被发现．由图可知：P视点的盲区中有E，S，F，M点，因此在这
四点时不容易被发现．
故选D．
【点睛】本题考查了视点，视角和盲区的定义．
3．如图，从点 观测建筑物 的视角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断．
【详解】如图所示，根据视角的定义，建筑物 两端发出的光线在眼球内交叉的角为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了视角的定义，解题的关键是熟悉并掌握视角的定义．
4．如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（ ）A． B． C． D．四边形
【答案】C
【分析】解答此题首先要了解盲区的定义，视线覆盖不到的地方即为该视点的盲区，由图知， 是视点，
找到在 点处看不到的区域即可．
【详解】解：由图知：在视点 的位置，看不到 段，因此监视器的盲区在 所在的区域，
故选：C．
【点睛】本题考查了投影和视图的概念，解答此类问题，首先要确定视点，然后再根据盲区的定义进行判
断．
5．电影院座位号呈阶梯状或下坡状的原因是（ ）
A．减小盲区 B．增大盲区 C．盲区不变 D．为了美观
【答案】A
【分析】电影院呈阶梯或下坡形状可以使后面的观众看到前面，避免盲区．
【详解】电影院呈阶梯或下坡形状是为了然后面的观众有更大的视角范围，减小盲区．
故选A．
【点睛】本题是结合实际问题来考查学生对视点，视角和盲区的理解能力．
6．如图，从小区的某栋楼的 四个位置向对面楼方向看，所看到的范围的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别画出从小区的某栋楼的 四个位置向对面楼方向看的最大范围，依此即可作答．
【详解】由图可知: 从小区的某栋楼的 四个位置向对面楼方向看，所看到的范围的大小顺序
是: ．
故选A．【点睛】本题考查考查了视点、视角和盲区掌握相关概念是解题的关键．
7．图（1）表示一个正五棱柱形状的高大建筑物，图（2）是它的俯视图．小健站在地面观察该建筑物，
当他在图（2）中的阴影部分所表示的区域活动时，能同时看到建筑物的三个侧面，图中∠MPN的度数为
（ ）
A．30° B．36° C．45° D．72°
【答案】B
【分析】根据正五边形的内角为108°，观察图形，利用三角形内角和为180°，和对顶角相等，可求出
∠MPN的度数．
【详解】解：由题意我们可以得出，正五棱柱的俯视图中，
正五边形的内角为 =108°，
那么∠MPN=180°﹣（180°﹣108°）×2=36°．
故选B．
8．如图，房间里有一只老鼠，门外蹲着一只小猫，如果每块正方形地砖的边长为1米，那么老鼠在地面上
能避开小猫视线的活动范围为 平方米（不计墙的厚度）.【答案】17
【分析】如图题目所求的实际是 OFE和梯形BCDH的面积，Rt ABH中，AB=BH=2，∠BAH=45°，利
用三角函数即可求出． △ △
【详解】在Rt ACD中，CD=AC=6，S =（2+6）×4÷2=16，
梯形BCDH
在Rt ABO中△，tan∠AOB=tan∠FOE=1：2，
因此，△FE=OF÷2=1
S =2×1÷2=1，
OFE
△
因此，老鼠可以躲过猫的视线的范围应是16+1=17平方米．
故答案为17.
【点睛】利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础
上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
9．如图是某比赛场馆的平面图，根据距离比赛场地的远近和视角的不同，将观赛场地划分成A、B、C三
个不同的票价区．其中与场地边缘MN的视角大于或等于45°，并且距场地边缘MN的距离不超过30 m的
区域划分为A票区，B票区如图所示，剩下的为C票区．(π取3)(1)请你利用尺规作图，在观赛场地中，作出A票区所在的区域(只要作出图形，保留作图痕迹，不要求写
作法)；
(2)如果每个座位所占的平均面积是0.8平方米，请估算A票区有多少个座位．
【答案】（1）详见解析；（2）A票区约有1 406个座位．
【分析】（1）可以M、N为圆心，30为半径交于O点如图以线段MN、EF与弧FM、弧EN所围成的区域
就是所作的A票区．
（2）求座位就是求三角形EOF，MON和扇形FOM和EON的面积和．那么先求出扇形的半径即可．
【详解】解(1)如图，以线段MN、EF与 、 所围成的区域就是所作的A票区．
(2)连接OM、ON、OE、OF，设MN的中垂线与MN、EF分别相交于点G和H.由题意，得∠MON＝90°.
∵OG⊥MN，OH⊥EF，
OG＝OH＝15，
∴∠EOF＝∠MON＝90°.
∴r＝ ＝15 .
∴S ＝(S FOM＋S EON)＋(S OMN＋S EOF)＝ πr2＋r2≈1125(米2)．
A 扇形 扇形
△ △
∴1125÷0.8≈1406.
∴A票区约有1406个座位．
【点睛】本题考查了尺规作图，盲区的定义，勾股定理及扇形的面积公式等知识点，利用数学知识解决实
际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题
转化为数学问题．
题型四 判断几何体的三视图
【例4】（2023·山东威海·统考一模）如图，是有一块马蹄形磁铁和一块条形磁铁构成的几何体，该几何体
的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
【详解】该几何体的左视图如图所示：
故选：D．
【点睛】此题考查了简单几何体的三视图，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．注意：被遮挡的线
条需要用虚线表示．
巩固训练
1．（2023上·江苏·七年级专题练习）下列几何体各自的三视图各不相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查立体图形的三视图，三视图是主视图、左视图、俯视图，能根据各自的定义去观察即可．
【详解】解|：A．正方体的三视图都是正方形，故本选项不符合题意；
B．圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，故本选项不符合题意；
C．该三棱台的主视图是一行两个相邻的四边形，左视图是一个四边形，俯视图是内外两个三角形，故本
选项符合题意；
D．该四棱锥的主视图和左视图都是三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．（2023上·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考期中）下图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几
何体，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】本题考查了空间图形的三视图，三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正
方形的面，在面上有一条虚线，正确把握三视图观察角度是解题的关键．
【详解】解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条虚线，
故选： ．
3．（2023上·江西九江·七年级统考期中）从正面观察如图所示的几何体，看到的形状图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查几何体的三视图．根据观察方向即可求解．
【详解】解：从正面看，下方长方体看到的是长方形，上方圆柱看到的也是长方形
且两个长方形在左侧位置对齐
故选：A
4．（2023上·广东深圳·九年级统考期中）下列几何体中，左视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三视图．根据常见几何体的三视图，进行判断即可．熟练掌握三视图的画法，是解题的
关键．
【详解】解：A、球的三视图都是圆，符合题意；
B、圆柱的左视图是矩形，不符合题意；
C、圆锥的左视图是等腰三角形，不符合题意；D、圆台的左视图是等腰梯形，不符合题意；
故选：A．
5．（2023上·广东深圳·九年级深圳中学校考期中）如图是一个常见水杯，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据从前面看到的图形是主视图，即可求解．
【详解】解：根据题意得：其主视图是
故选：A
6．（2023·浙江·一模）如图所示的钢块零件的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查简单几何体的三视图，画三视图时要注意“长对正，宽相等，高平齐”，被遮挡看不见
的部分的轮廓线画成虚线．
【详解】解：钢块零件的左视图为：故选：B．
7．（2023上·山东青岛·九年级统考期中）如图所示是一个钢块零件，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据几何体的三视图的画法画出它的左视图即可,看不见的棱，要
用虚线，不能用实线．
【详解】解：这个几何体的左视图如下：
故选：D．
8．（2023·广东深圳·校考模拟预测）“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下
列图形是“斗”的俯视图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形，且在“斗”中
能看到侧棱，即看到的图形为 ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟知俯视图是从上面看到的图形是解题的关键．
9．（2023上·陕西西安·九年级统考期中）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，解题的关键是根据俯视图是从上面看到的图形判定．
【详解】解：从上面看得该几何体的俯视图是：
．
故选：C．
10．（2023上·陕西西安·九年级陕西师大附中校考期中）如图，一个实木正方体内部有一个圆锥体空洞，
它的俯视图是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据俯视图的定义，从上往下看，得到的平面图形，就是
答案．
【详解】解：从上往下看，看到的图形是一个正方形中，有一个圆，且这个圆用虚线表示，即看到的图形
为
，
故选D．
11．（2023上·辽宁锦州·九年级统考期末）如图是在长方体中挖出一个圆柱体得到的几何体，这个几何体
的主视图为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据从正面看可得主视图，看不见的用虚线表示解答即可；
【详解】从正面看是个长方形，看不到里面的圆柱，故是虚线
故选A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看
得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．
12．（2023上·重庆南岸·九年级校考阶段练习）如图，该空心圆柱体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：从上边看是三个水平边较短的矩形，中间矩形的左右两边是虚线，
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图，俯视图是指从上往下看得到的图形。注意：看的见的线画实线，看不见的线
画虚线．
13．（2023·新疆喀什·统考三模）如图放置的正六棱柱，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．【详解】解：从左面看可得到上下相邻的两个长方形，
故选：
【点睛】本题主要考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图，本题需注意左视图中只能
看到正六棱柱的两个面．
题型五 画出几何体的三视图
【例5】（2023上·辽宁锦州·七年级统考期中）如图是由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体，从上
面看到的这个几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数．
(1)请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图；
(2)若其中每个小立方块的棱长为 ，求这个几何体的表面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查画小立方块组成的几何体的三视图，求几何体的表面积：
（1）根据从上面看到的图形判断从正面和左面看到的图形，画出即可；
（2）将所有面的面积相加即可得到表面积
【详解】（1）
（2）表面积为 ．
巩固训练
1．（2023上·辽宁阜新·九年级校考期中）画出如图几何体的三种视图．
【答案】见解析【分析】本题考查了画简单几何体的三视图，根据三视图的画法即可求解，熟练掌握简单组合体的三视图
的画法是解题的关键．
【详解】解：如图：
2．（2023上·山东泰安·六年级统考期中）从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出所看到的
几何体的形状图．
【答案】见解析
【分析】本题考查作图—三视图、简单几何体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义，难度不大．主
视图有3列，每列小正方形数目分别为2，1，2；左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1；俯视图
有3列，每行小正方形数目分别为2，1，1．
【详解】解：看到的几何体的形状图如图所示：
3．（2023上·山西晋中·七年级统考期中）数学学习小组进行“几何体的拼搭”活动，其中勤学小组的同学
用几个大小相同的小立块搭成如图所示的几何体，请同学们认真观察，在相应的网格中画出从正面和上面
所看到的几何体的形状图．【答案】见解析
【分析】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的概念，分别从正面、上面观察几何体，看看分别
可以看到几个正方形，再依次把观察到的几个正方形之间的位置关系，画出该几何体的的形状图即可．
【详解】解：根据题意可得：正面看、从上面看，分别如下图所示：
4．（2023上·四川成都·七年级校考阶段练习）下图是由 个小立方体块组成的立体图形的主视图和俯视图，
求 的最大值与最小值并画出相应的左视图．
【答案】 的最大值为18， 的最小值为12，左视图见解析
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和
个数，从而算出总的个数，然后画出相应的左视图即可．
【详解】解：由俯视图可知相应的位置至少有1个，
由主视图可得出：最右边这一列每个位置最多有3个，中间这一列每个位置最多有2个，最左边这一列每
个位置最多有3个，
故搭建这样的几何体最多用18个小立方体，即 的最大值为18，此时左视图如图；故搭建这样的几何体最少用12个小立方体，即 的最小值为12，此时左视图如图（左视图答案不唯一）．
【点睛】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从
俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小立方块的个数．
5．（2023上·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）9月23日，第十九届亚洲运动会开幕式在浙江省
杭州市举行．在比赛中，运动员们奋勇争先，捷报频传．运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体
图形，请你画出它的三视图．
【答案】见解析
【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图，据
此作答．
【详解】解：如图所示：
【点睛】此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向，属于基础题．
6．（2023上·全国·九年级专题练习）如图是用12块完全相同的小正方体搭成的几何体．(1)请在方格中分别画出它的主视图、左视图；
(2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和主视图不变，那么最多
可以再添加______个小正方体．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据主视图和左视图的定义作图即可；
（2）从俯视图的相应位置增加小立方体，保持左视图和主视图不变即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示：
故如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和主视图不变，那么最多
可以再添加4个小正方体．
故答案为：4．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解三视图的定义，掌握简单组合体的三视图的画法是解题的关
键．7．（2023上·陕西榆林·七年级统考期中）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几
何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面和左面看到
的这个几何体的形状图．
【答案】见解析
【分析】本题考查几何体的三视图画法．根据题意可得，从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为
2，3，4；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为2，4，3．据此可画出图形，即可．
【详解】解：根据题意得：从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为2，3，4；从左面看有3列，每
列小正方形数目分别为2，4，3．画图如下：
8．（2023上·全国·七年级期中）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体
的棱长为1厘米．
（1）直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：__________ ；
（2）请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．
【答案】（1） ；（2）画图见解析
【详解】测试
9．（2023上·山东青岛·七年级青岛大学附属中学校考期中）如图是由 个相同的小立方体组成的一个几何体
(1)画出从左面看、上面看的形状图
(2)现量得小立方体的棱长为 ，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积．
【答案】(1)作图见详解
(2)涂上颜色部分的总面积为
【分析】（1）根据三视图的特点即可求解；
（2）根据图示，找出露在外面需要涂色的正方形，根据正方形面积的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，
左视图：
俯视图：
（2）解：小立方体的棱长为 ，
∴小立方体的一个面的面积为 ，
如图所示，数字表示需要涂色的面的序号，部分数字（ ）在立体图形的后面，第一层有： 个；第二层有： 个；第三层有： 个；
∴需要涂色的面有 个，
∴涂上颜色部分的总面积为 ．
【点睛】本题主要考查立体图形，掌握立体图形的特殊，小立方体的拼接图示，三视图的特点是解题的关
键．
10．（2023上·辽宁沈阳·七年级校联考期中）图1是由7个小正方体（每个小正方体的棱长都是1）所堆成
的几何体．
(1)请在方格纸中用实线画出它的三个视图；
(2)若将该几何体露在外面的部分（包括底面）全染上红色，则染色的总面积为_____平方单位．
【答案】(1)见解析
(2)30
【分析】本题考查作图﹣三视图、几何体的表面积，解题的关键是理解三视图的定义．
（1）根据三视图的定义画图即可．
（2）根据表面积的定义计算即可．
【详解】（1）如图所示．（2）染色的总面积为 （平方单位）．
故答案为：30．
11．（2023上·山东威海·六年级校联考期中） 如图，在平整的地面上，用多个棱长都为 的小正方体堆
成一个几何体．
(1)共有 个小
正方体；
(2)求这个几何体的表面积，并画出从三个方向看的图形．
(3)如果现在你还有一些棱长都为 的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加 个
小正方体．
【答案】(1)10
(2) ，图见解析
(3)5
【分析】本题主要考查了小正方体堆砌成的几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．
（1）根据几何体的构成，即可得到小正方体的个数；
（2）数出这个几何体露在外面的面，根据小正方形的面的面积为 求出表面积即可，再画出主视图和
俯视图以及左视图；
（3）在保持俯视图和左视图都不变的条件下，添加小正方体即可．
【详解】（1）解：根据拼图可知，堆成如图所示的几何体需要 个小正方体，
故答案为： ；
（2）解：这个组合体的三视图如图所示：这个几何体的表面积为
（3）在俯视图的相应位置摆放相应数量的小正方体，使其俯视图和左视图都不变，如图所示，
所以最多可以添加5个，
故答案为：5．
题型六 与三视图有关的计算问题
【例6】（2023上·四川达州·七年级四川省达川第四中学校联考期中）由大小相同（棱长为1分米）的小
立方块搭成的几何体如图．
(1)请在如图的方格中画出该几何体的主视图和左视图．
(2)图中有 块小正方体，它的表面积（含下底面）为 ．
(3)用小立方体搭一几何体，使得它的主视图和左视图与你在上图方格中所画的图一致，则这样的几何体最
少要 个小立方块，最多要 个小立方块．
【答案】(1)见解析(2)5，22平方分米(3)4，7．
【分析】本题是几何体三视图的问题，考查了画几何体的三视图，
（1）根据主视图是从前面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，即可作出图形；
（2）观察图形可知有两层，下面一层有4个小正方体，上面一层有1个小正方体，即可得共有5个小正方
体，有顺序的计算上下面，左右面，前后面的表面积之和即可；
（3）先根据主视图可得第二排有4个，再结合左视图可得第一排最少有1个正方形，最多有3个正方形，进而求解．
根据由小立方体堆成的几何体的三视图得到原几何体所需最小立方体数或最多立方体数，掌握几何体三视
图的性质是解题的关键．
【详解】（1）如图所示：
（2）观察图形可知有两层，下面一层有4个小正方体，上面一层有1个小正方体，
共有 个小正方体，
表面积为： （平方分米），
故答案为：5，22平方分米；
（3）先根据左视图可得第一排最少有1个正方形，结合主视图可得第二排有3个（如上问第一排后面得那
个小正方体可去除），再最多可再3个正方形，
∴这样的几何体最少要4个小立方块，最多要7个小立方块，
故答案为：4，7．
巩固训练
1．（2023·江苏南京·校考三模）如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中a的值为（ ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】D
【分析】由主视图和左视图可得： ， ， ，连接 ，则有 ，可求
，即可求解．
【详解】解：如图，由主视图和左视图可得：
， ， ，
， ，
， ，
连接 ，则有 ，
为等边三角形，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，正六边形的性质，特殊角的三角函数值，掌握三视图长宽高与原几
何体之间的关系及正六边形的性质是解题的关键．
2．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，
主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长
度至少为（ ）
A．320cm B．395.2cm C．297.8cm D．480cm
【答案】C
【分析】由主视图知道，高是 ，两顶点之间的最大距离为 ，再利用正六边形的性质求得底面对边之间的距离，然后所有棱长相加即可解答．
【详解】解：根据题意，如图：作出实际图形的上底，连接 ,
由主视图可知： ,
∵正六边形
∴ ,
∴四边形 是菱形
∴
∴
∴ ，则 ，
∴胶带的长至少 ．
故选C．
【点睛】本题考查立体图形的三视图和学生的空间想象能力，知道正六边形两个顶点间的最大距离求对边
之间的距离需构造直角三角形是解答本题的关键．
3．（2020·江苏镇江·统考模拟预测）如图，一个长方体从正面、上面看到的图形如图所示，则这个长方体
的体积等于（ ）
A．18 B．12 C．9 D．6
【答案】D
【分析】由主视图和俯视图知，该长方体的长为3、宽为1、高为2，根据长方体的体积公式即可得．
【详解】解：由主视图和俯视图知，该长方体的长为3、宽为1、高为2，
则这个长方体的体积为 ，故选：D．
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是熟练掌握长方体的三视图，并根据三视图得出
其长、宽、高．
4．（2023·山东临沂·统考二模）如图图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视
图）．已知主视图和左视图是两个全等的矩形．若主视图的相邻两边长分别为 和 ，俯视图是直径等于
的圆，则这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三视图可得该几何体为圆柱体，圆柱体的体积为 ，根据题中所给三视图中对应边长和
直径即可分别求得圆柱体的底面积和高，从而可求几何体的体积．
【详解】∵由三视图可分析得到该几何体为圆柱体，
∴其几何体的体积为 ，
∵由题意得主视图的相邻两边长分别为 和 ，俯视图是直径等于 的圆，
∴该圆柱体的底面圆的半径为 ，底面积为 ，圆柱体的高为 ，
∴该圆柱体的体积为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查由三视图推导几何体，并利用三视图所给的数据求解该几何体的体积，熟练地掌握常见
几何体的三视图和对应几何体的体积计算公式是解题的关键．
5．（2020上·福建漳州·七年级漳州实验中学校考期中）如图是由一些小立方块所搭的几何体从三个不同方
向看到的图形，若在所搭的几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立
方块，搭成一个大正方体，至少还需要的小立方块个数是（ ）．主视图 左视图 从上面看
A．50 B．51 C．54 D．60
【答案】C
【分析】先由主视图、左视图、俯视图求出原来的几何体共有10个正方体，再根据搭成的大正方体的共有
个小正方体，即可得出答案．
【详解】解：由主视图可知，搭成的几何体有三层，且有4列；由左视图可知，搭成的几何体共有3行；
第一层有7个正方体，第二层有2个正方体，第三层有1个正方体，
共有10个正方体，
搭在这个几何体的基础上添加相同大小的小正方体，以搭成一个大正方体，
搭成的大正方体的共有 个小正方体，
至少还需要 个小正方体．
故选：C．
【点睛】本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，
关键是求出搭成的大正方体共有多少个小正方体．
6．（2023·安徽安庆·统考一模）如图所示是三棱柱的三视图，在 中， ， ，
，则 的长为
【答案】5
【分析】过E作 交 于点 ，根据 ， ， 即可得到
，根据左视图即可得到 ；
【详解】解：过E作 交 于点 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
由左视图可得，，
故答案为5；
【点睛】本题考查正确理解几何体的三视图，直角三角形 所对直角边等于斜边一半，解题的关键是正
确理解三视图．
7．（2023上·广东佛山·七年级统考阶段练习）一个立体图形，从正面看到的形状是 ，从左
面看到的形状图是 搭这样的立体图形，最少需要 个小正方体，最多可以有 个正方
体．
【答案】 5 7
【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，熟练掌握几何体的特征是解题的关键；利用从上面看几何体
分别画出最少和最多时的正方形的个数，即可求解．
【详解】解：由题意可知：最少的小正方形的俯视图可以是
0 2 0
1 0 1
∴至少有4个小正方形；
最多的小正方形的俯视图为
1 2 1
1 1 1
∴最多可以有7个小正方形．
故答案为：4，7．
8．（2023上·河北唐山·九年级校考期末）如图所示为一几何体的三种视图．（单位： ）(1)通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，可以得出左视图中的 ， ；
(2)根据图中所标数据，求这个几何体的侧面积．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）由三视图可知，该几何体为三棱柱，底面为边长为4 的等边三角形，高为10 ，因此
，b等于底面三角形的高；
（2）三棱住的侧面积等于底面周长与高的乘积．
【详解】（1）解：由三视图可知，该几何体为三棱柱，底面为边长为4 的等边三角形，高为10 ，
因此 ， ，
故答案为： ， ；
（2）解： ，
即这个几何体的侧面积为 ．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，求三棱柱的侧面积等知识点，解题的关键是根据所给三视图判断
出几何体的形状．
9．（2023上·山东威海·九年级校联考期中）如图 是一种包装盒的平面展开图，将它围起来可得到一个
几何体的模型．(1)如图 是根据 ， 的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图；
(2)在（ ）的条件下，已知 ，求该几何体的表面积．
【答案】(1)见解析；(2) ．
【分析】（ ）根据三视图的画法即可画出该几何体的左视图；
（ ）根据俯视图和主视图即可求 的值，进而可求该几何体的表面积；
本题考查了作图−三视图、几何体的表面积、展开图折叠成几何体，解题的关键是理解立体图形和平面图
形之间的关系．
【详解】（1）如图所示，图中的左视图即为所求；
（2）解：根据俯视图和主视图可知： ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴表面积为 ( )，
答：该几何体的表面积为 ．
10．（2023上·江西九江·七年级统考期中）一个物体是由棱长为4cm的正方体模型堆砌而成的，其形状图
如图所示．
(1)请在从上面看到的形状图上标出小正方体的个数；
(2)求出该物体的体积是多少；
(3)该物体的表面积是多少？
【答案】(1)见解析；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）根据三视图分别得到俯视图上小立方体的个数；
（2）根据（1）可得小正方体的个数，然后用1个小正方体的体积乘以小正方体的个数，即可解答；
（3）根据三视图可得该物体的表面有多少个小正方形，然后用1个小正方形的面积乘以正方形的个数，即
可求解．
【详解】（1）解：如图，
（2）解： ，
答：该物体的体积是 ．
（3）解： ，答：该物体的表面积是 ．
【点睛】本题考查由三视图想象立体图形，做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清
物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形
状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．
11．（2023上·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期中）某品牌饮水机可以近似地看成一个长方体减去半个
圆柱体的几何体，它从正面看和从上面看的图形如图所示，长方体的长为5 ，宽为6 ，高为8 ，
圆柱体的高为4 ， 底面直径为2 ．
(1)求该几何体的体积；（结果保留 ）
(2)现对该饮水机的正面区域进行涂色，求涂色面积．（结果保留 ）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得知该几何体的体积等于长方体体积减去半个圆柱体的体积，而该几何体底部圆
柱的底面直径为2，高为4，由此即可解题；
（2）正面区域面积等于一个矩形框面积+一个半圆柱体表面积，根据柱体的侧面面积=底面周长×高可得答
案；．
【详解】（1）解：几何体的体积
（2）涂色面积
【点睛】本题考查了立体图形的三视图以及常见几何体的体积计算，结合图形得出圆柱底面直径和高以及
长方体的长宽高是解题的关键．12．（2023上·陕西西安·七年级阶段练习）如图是一个几何体的三视图．
(1)写出几何体的名称；
(2)根据图中标出的数据，计算这个几何体的表面积（精确到 ，即结果保留一位小数）．
【答案】(1)圆锥
(2)
【分析】（1）由三视图可知，该几何体是圆锥；
（2）根据圆锥的表面积公式即可求出．
【详解】（1）解：由三视图可知，该几何体是圆锥；
（2）解：这个几何体的表面积： ，
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及圆锥体的表面积公式．
13．（2023上·四川成都·七年级校考阶段练习）把边长为 的10个相同正方体摆成如图所示的几何体．
(1)该几何体的体积是 ，表面积是 ；
(2)在方格纸中画出该几何体的主视图、左视图和俯视图∶(3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体 ，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最
多可以再添加 个小正方体．
【答案】(1)10，38
(2)见解析
(3)4
【分析】（1）该几何体的体积为10个棱长为 的小正方体的体积和，表面积为所有露在外面面积为
的正方形面积之和；
（2）根据正视图，左视图和俯视图分别是从正面看，从左面看和从上面看到的图形进行求解即可；
（3）求出保持俯视图和左视图同时不变时最多可以有多少个小正方体即可得到答案．
【详解】（1）解：该几何体的体积为： ，
该几何体的表面积为： ，
故答案为：10，38；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，左视图、俯视图分别不变，则视图中每个地方的小正方体个数如下图所示，
∴要同时保持左视图、俯视图同时不变，则最多可以有 个小正方体，
∴最多可以再添加 个小正方体，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了画几何体的三视图，求几何体的体积和表面积，以及根据三视图判断小正方体的
个数问题，解题的关键在于能够发挥空间想象能力进行求解．15．（2023上·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图 ① 是一个组合几何体，右边是它的两种视图，在右
边横线上填写出两种视图名称；根据两种视图中尺寸，计算这个组合几何体的表面积和体积．
【答案】表面积为 ，体积为
【分析】根据三视图定义，可知两个视图分别为主视图、俯视图，再由视图上的数据，根据面积公式及体
积公式即可得到答案．
【详解】解：两个视图分别为主视图、俯视图，
体积为： ，
表面积为： ，
答：这个几何体的表面积为 ，体积为 ．
【点睛】本题考查三视图的判断及根据三视图求立体图形的表面积与体积，熟记常见几何体的三视图，从
三视图中得到几何体的相关数据是解决问题的关键．
16．（2023上·陕西西安·七年级校考期中）用若干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上
面看到的这个几何体的形状如图所示．完成下列问题：
(1)搭成满足如图所示的几何体最多需要______个小正方体，最少需要______个小正方体；
(2)请在网格中画出用最多小正方体搭成的几何体的左视图．【答案】(1)10，7
(2)见解析
【分析】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是理解三视图的定义．
（1）在俯视图中，写出最多时，写出最少时，小正方体的个数，可得结论；
（2）利用俯视图，结合主视图的特征，解决问题即可．
【详解】（1）搭成满足如图所示的几何体最多需要： 个小正方体，最少需要
个小正方体．
故答案为：10，7；
（2）左视图如图所示．
17．（2023上·山东泰安·六年级统考期中）用大小相同的小正方体搭一个几何体，使它满足以下条件：从
正面、左面看到的这个几何体的形状图如图所示．
(1)这样的几何体最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？
(2)请你画出最多小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，并在小正方形内标注该位置小正方体的个数．
【答案】(1)最多9个，最少7个
(2)见解析
【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，根据简单组合体的三视图的画法解题即可．
（1）根据主视图、左视图的形状可得出答案；
（2）再根据主视图、左视图的形状，结合俯视图的性质可画出相应的图形．【详解】（1）解：由从正面看到的形状图可以看出几何体从左到右共三列，第一列最多1层，第二列最多
3层，第三列1层；由从左面看到的形状图可以看出，几何体共两排，第一排最多3层，第二排最多2层；
它最少需要小正方体∶ (个)，最多需要小正方体∶ (个)
（2）最多小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图如图所示∶
1 3 1
1 2 1
82．（2023上·山东烟台·六年级统考期中）如图是由 个大小相同的小正方体搭成的几何体．
(1)在保持从正面看和左面看到的几何体的形状图都不变的情况下，最多可以拿掉__________个小正方体，
最多可以加上__________个小正方体；
(2)请在下面方格纸中分别画出这个几何体从正面看、从左面看、从上面看的形状图．
【答案】(1) ，
(2)见解析
【分析】（1）根据正视图、左视图的特点进行分析即可求解；
（2）根据图示，结合正视图、左视图、俯视图的特点进行求解；
本题主要考查立体图形的三视图，掌握三视图的特点是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，
∴保持从正面看和左面看到的几何体的形状图都不变的情况下，
在第二层第三列最多可以拿掉 个小正方体，
在第二层第二列第二行和第三行各加 个，在第三层第二列第三行加 个，在第三列第三行加 个，即最多
可以加上 个小正方体，
故答案为： ， ．（2）解：根据图示，三视图如下，
18．（2023上·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图1，在平整的地面上，用多个棱
长都为 的小正方体堆成一个几何体．
(1)共有__________个小正方体．
(2)请在图2中画出从正面、左面和上面看到的这个几何体的形状图；
(3)如果现在你还有一些大小相同的小正方体，要求保持从上面和左面看到的形图都不变，最多可以再添加
__________个小正方体；
(4)图1中 个小正方体搭成的几何体的表面积（包括与地面接触的部分）是__________ ．
【答案】(1) ；
(2)见解析；
(3) ；
(4) ．
【分析】( )根据图形可以得到答案；
( )根据三视图的定义画出图形即可；
( )根据主视图，左视图的定义解答即可；
( )分前后，左右，上下三个方向统计正方形的个数即可．
【详解】（1）几何体共有 列，从左到右每一列分别有 个， 个， 个，
∴几何体共有： 个，
故答案为： ；
（2）如图所示：（3）要保持从上面和左面看到的形图都不变，最多可以再添加 个小正方体，
故答案为： ；
（4）表面积 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了作三视图，几何体的表面积等知识，熟练掌握三视图和几何体的基本知识是解题的关
键．
19．（2023上·辽宁沈阳·七年级沈阳市光明中学校考阶段练习）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱
长为 的小正方体堆成一个几何体；如图所示：
(1)请画出这个几何体从三个方向看的图形；
(2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则共需______克漆；
(3)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加______
个小正方体．
【答案】(1)见解析
(2)256
(3)4
【分析】（1）根据三视图的定义，画出图形即可解决问题；
（2）求出这个几何体的表面积即可解决问题；
（3）俯视图和左视图不变，构成图形即可解决问题．
【详解】（1）解：如图所示；（2）这个几何体的表面有38个正方形，去了地面上的6个，32个面需要喷上黄色的漆，
表面积为 ，
克，
共需256克漆．
故答案为256．
（3）如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加 个．
故答案为4．
【点睛】本题考查作图 三视图，解题的关键是理解题意，学会正确作出三视图，属于中考常考题型．
20．（2023上·七年级课时练习）按要求回答下列问题（其中小正方体的棱长均为1）．
(1)如图1，它是由7个同样大小的正方体摆成的几何体，请你借助虚线网格画出该几何体的三视图；
(2)如图2，它是由10个同样大小的正方体摆成的几何体．若将正方体①移走后，新几何体的三视图与原几
何体的三视图相比，不会发生改变的视图为__________；
(3)如图2，若在保持主视图和俯视图都不变的情况下，最多可以再添加_____个相同的小正方体．
【答案】(1)作图见解析(2)俯视图(3)3
【分析】（1）根据三视图的定义作图即可；
（2）利用几何体的形状和俯视图即可求解；
（3）利用小正方体的个数结合俯视图得出主视图即可．
【详解】（1）解：几何体的三视图如图所示，（2）解：由题意可得，将正方体①移走后，新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，不会发生改变
的视图为俯视图，
故答案为：俯视图；
（3）解：若在保持主视图和俯视图都不变的情况下，最多可以再添加 个相同的小正方体，
故答案为：3．
【点睛】本题考查作图−三视图，根据立体图形得出其三视图是解题的关键．
