文档内容
专题4 角的平分线的性质和判定常考题型（解析版）
题型一 角的平分线的作法
1．（2022•资阳）如图所示，在△ABC中，按下列步骤作图：
第一步：在AB、AC上分别截取AD、AE，使AD＝AE；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于DE的一半）为半径作圆弧，两弧交于点F；
第三步：作射线AF交BC于点M；
第四步：过点M作MN⊥AB于点N．
下列结论一定成立的是（ ）
A．CM＝MN B．AC＝AN C．∠CAM＝∠BAM D．∠CMA＝∠NMA
【思路引领】根据题意可知，AM平分∠CAB，即可得出正确答案．
【解答】解：由题意可知，AM平分∠CAB，
∵∠C不一定等于90°，∴CM≥MN，因此A选项不符合题意；
∵∠C不一定等于90°，∴AC不一定等于AN，因此B选项不符合题意；
∵AM平分∠CAB，∴∠CAM＝∠BAM，因此C选项符合题意；
∵∠C不一定等于90°，∴∠CMA不一定等于∠NMA，因此D选项不符合题意．
故选：C．
【总结提升】本题考查了尺规作图——角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定，掌握角平分线
的作图方法是本题的关键．
2．（2023春•西城区校级期中）已知：钝角△ABC．分别画出AC边上的高BD、BC边上的中线AE及
△ABC中∠ACB的平分线CF．
【思路引领】分别根据角平分线作法以及中线作法和高线作法得出即可．
【解答】解：如图所示：【总结提升】此题主要考查了复杂作图，正确得出钝角三角形高线作法是解题关键．
3．（2022春•来宾期末）在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别截取OA＝OB，再分别以点A，B为圆
1
心，以大于 AB长为半径画弧，两弧交于点P，若点P的坐标为（a，2），则a的值是 2 或﹣ 2 ．
2
【思路引领】由题意可得，∠AOB＝90°，点P在∠AOB的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到
x轴和y轴的距离相等，即|a|＝2，即可得a的值．
【解答】解：由题意可得，∠AOB＝90°，点P在∠AOB的角平分线上，
∴点P到x轴和y轴的距离相等，
即|a|＝2，
解得a＝±2，
∴点P在第一或第二象限，
∴a的值为2或﹣2．
故答案为：2或﹣2．
【总结提升】本题考查作图﹣基本作图、角平分线的性质，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解
题的关键．
题型二 利用角的平分线的性质求线段的长、角度度数、面积等
4．如图，已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，OP＝6cm，点E是射线OB
上的动点，则PE的最小值为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm1
【思路引领】根据角平分线的性质可得∠AOP＝30°，则PD= OP=3cm，再根据角平分线上的点到
2
两边的距离相等，以及垂线段最短，即可进行解答．
【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOP＝30°，
∵PD⊥OA，OP＝6cm，
1
∴PD= OP=3cm，
2
过点P作PE'⊥OB于点E'，
∵OC平分∠AOB，PE'⊥OB，PD⊥OA，
∴PE'＝PD＝3cm，
∴PE的最小值为3cm．
故选：B．
【总结提升】本题主要考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两
边的距离相等，以及垂线段最短．
5．（2020秋•朝阳期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，DE平
分∠ADB，则∠DBA等于（ ）
A．22.5° B．30° C．25° D．40°
【思路引领】利用全等直角三角形的判定定理 HL 证得 Rt△ACD≌Rt△AED，则对应角∠ADC＝
∠ADE；然后根据已知条件“DE平分∠ADB”、平角的定义证得∠ADC＝∠ADE＝∠EDB＝60°；最后
由直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠B＝30°．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，
∴CD＝ED．
在Rt△ACD和Rt△AED中，
{AD=AD)
，
CD=ED
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴∠ADC＝∠ADE．
∵∠ADC+∠ADE+∠EDB＝180°，DE平分∠ADB，
∴∠ADC＝∠ADE＝∠EDB＝60°．
∴∠B+∠EDB＝90°，
∴∠B＝30°．
故选：B．
【总结提升】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质是解题
的关键．
6．（2023•王益区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB
于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【思路引领】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 DE＝CD，再根据等腰直角三角形的性质
求出AC＝BC＝AE，然后求出△DBE的周长＝AB，代入数据即可得解．
【解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD，
又∵AC＝BC，AC＝AE，
∴AC＝BC＝AE，
∴△DBE的周长＝DE+BD+EB＝CD+BD+EB＝BC+EB＝AE+EB＝AB，
∵AB＝7cm，
∴△DBE的周长＝7cm．
故选：B．【总结提升】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，熟记
性质求出△DBE的周长＝AB是解题的关键．
7．（2021秋•古冶区期中）如图，已知△ABC的周长是34，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC
于D，且OD＝4，则△ABC的面积是（ ）
A．17 B．34 C．38 D．68
【思路引领】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE＝OD＝OF＝
4，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可求出答案．
【解答】解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE＝OD，OD＝OF，
即OE＝OF＝OD＝4，
∴△ABC的面积是：S△AOB +S△AOC +S△OBC
1 1 1
= ×AB×OE+ ×AC×OF+ ×BC×OD
2 2 2
1
= ×4×（AB+AC+BC）
2
1
= ×4×34
2
＝68，
故选：D．
【总结提升】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
8．如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为30、40、15，点P是三条角平分线的交点，将△ABC分
成三个三角形，则S△APB ：S△BPC ：S△CPA 等于（ ）A．1：1：1 B．6：8：3 C．5：8：3 D．4：5：3
【思路引领】由角平分线的性质可得，点P到三角形三边的距离相等，即三个三角形的 AB、BC、AC
的高相等，利用面积公式即可求解．
【解答】解：过点P作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，
∵P是三角形三条角平分线的交点，
∴PD＝PE＝PF，
∵AB＝30，BC＝40，AC＝15，
∴S△APB ：S△BPC ：S△CPA ＝30：40：15＝6：8：3．
故选：B．
【总结提升】此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，熟记角平分线的性质并作
出合理的辅助线是解题的关键．
9．如图，△ABC中，∠B＝30°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC的度数为 75 °
．
【思路引领】根据三角形内角和定理求出∠BAC+∠BCA，求出∠DAC+∠FCA，根据角平分线的定义计
算即可．
【解答】解：∵∠B＝30°，
∴∠BAC+∠BCA＝150°，
∴∠DAC+∠FCA＝210°，
∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC+∠ECA＝105°，
∴∠AEC＝180°﹣105°＝75°，
故答案为：75°．
【总结提升】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的外角的定义，掌握三角形内角和定义180°是解
题的关键．
题型三 角平分线的判定
10．（2019秋•武城县期末）△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A＝
40°，则∠BOC＝（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【思路引领】由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出
∠BOC的度数．
【解答】解：∵O到三角形三边距离相等，
∴O是内心，
即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，
1 1
∴∠CBO＝∠ABO= ∠ABC，∠BCO＝∠ACO= ∠ACB，
2 2
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠OBC+∠OCB＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°．
故选：A．
【总结提升】此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解
和掌握，难度不大，是一道基础题．
11．（2021秋•新城区校级月考）如图所示，平面内三条直线a、b、c两两相交，在平面内找出一点P，使
得点P到三条直线的距离相等，那么符合条件的点P有 4 处．【思路引领】根据角平分线的性质定理解答即可．
【解答】解：∵点P到三条直线的距离相等，
∴点P是三条直线a、b、c所形成的角的角平分线的交点，如图所示，图中点P、点P′、点P′′、
点P′′′即为所求，
故答案为：4．
【总结提升】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关
键．
题型四 角平分线的性质和判定的综合运用
12．（2023春•永州期末）如图，AB∥CD，BP和CP平分∠ABC和∠DCB，AD过点P且与直线AB垂直．
若AD＝8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【思路引领】过P作PE⊥BC于E，求出AD⊥CD，根据角平分线的性质得出PA＝PD＝PE，根据AD
求出即可．
【解答】解：过P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵PE⊥BC，BP和CP平分∠ABC和∠DCB，
∴PA＝PE，PE＝PD，
即PA＝PD＝PE，
∵AD＝PA+PD＝8，
∴PA＝PD＝PE＝4，
即点P到BC的距离是4，
故选：C．
【总结提升】本题考查了角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
14．（2022秋•大兴区期末）如图，在△ABC中，AB＜AC，∠BAC的平分线与外角∠BCD的平分线相交
于点M，作AB的延长线得到射线AE，作射线BM，有下面四个结论：
①∠MCD＞∠MAB；
②BM＝CM；
③射线BM是∠EBC的角平分线；
1
④∠BMC＝90°− ∠BAC．
2
所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【思路引领】根据角平分线的定义和性质，三角形的边角不等关系逐项进行判断即可．
【解答】解：∵∠MCD是△ACM的外角，
∴∠MCD＞∠MAC，
∵AM平分∠BAC，
∴∠MAB＝∠MAC，
∴∠MCD＞∠MAB，因此①正确；
如图，过点M分别作MN⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC，垂足分别为N、P、Q，
∵AM平分∠BAC，CM平分∠BCD，
∴MN＝MQ，MP＝MQ，
∴MN＝MP，
∴BM平分∠CBE，
因此③正确；
∵AB＜AC，
∴∠ACB＜∠ABC，
∴∠MBC＜∠MCB，
∴MB＞MC，
因此②不正确；
由上述证明可知，点M是△ABC的内角∠BAC，外角∠BCD，外角∠CBE的平分线的交点，
∴∠BMC＝180°﹣∠MBC﹣∠MCB
1
＝180°− （∠BCD+∠CBE）
2
1
＝180°− （∠BAC+∠BCA+∠CBA+∠BAC）
2
1
＝180°− （180°+∠BAC）
2
1
＝90°− ∠BAC，
2
因此④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故答案为：①③④．
【总结提升】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线的定义和性质以及三角形内角和定理是正确解答
的前提．
15．（2022秋•忠县校级月考）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．
（1）求∠APB的度数为 135 ° ；
（2）证明：AH+BD＝AB．
【思路引领】（1）根据三角形内角和定理可得∠CAB+∠CBA＝90°，根据角平分线的定义可得
PAB+∠PBA＝45°，即可求出∠APB的度数；
（2）根据（1）中的结论，可得∠BPD＝45°，易证△APB≌△FPB（SAS），可得∠F＝∠BAP，AP＝
FP，AB＝FB，进一步可证△APH≌△FPD（ASA），根据全等三角形的性质可得AH＝FD，进一步即
可得证．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，
1 1
∴∠PAB= ∠CAB，∠PBA= ∠CBA，
2 2
1
∴∠PAB+∠PBA= （∠CAB+∠CBA）＝∠45°，
2
∴∠APB＝180°﹣45°＝135°，
故答案为：135°；
（2）证明：∵∠APB＝135°，
∴∠BPD＝45°，
∵PF⊥AD，
∴∠BPF＝90°+45°＝135°，
∵PB平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠FBP，
在△APB和△FPB中，
{∠ABP=∠FBP
)
BP=BP ，
∠APB=∠FPB∴△APB≌△FPB（SAS），
∴∠F＝∠BAP，AP＝FP，AB＝FB，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠CAP，
∴∠F＝∠CAP，
∵PF⊥AD，
∴∠APH＝∠FPD，
在△APH和△FPD中，
{∠APH=∠FPD
)
AP=FP ，
∠CAP=∠F
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴AH＝FD，
∴AH+BD＝FD+BD＝BF＝AB．
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等，熟练掌握
全等三角形的判定和性质是解题的关键．
16．（2020秋•饶平县校级期末）在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点．
（1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数．
（2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数．
（3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，求S△AOB ．
【思路引领】（1）根据垂直的定义得到∠ADC＝90°，根据角平分线的定义得到∠ABO＝30°，根据三
角形的内角和即可得到结论；
（2）连接OC，根据角平分线的性质得到OM＝ON，根据全等三角形的性质得到∠EOM＝∠FOH，根
据角平分线的定义即可得到结论；
（3）连接OC，过O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到OD＝OG＝OH，根据三角形的面积公式即可得的结论．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABO＝30°，
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°；
（2）连接OC，
∵AE、BF是角平分线，交于O点，
∴OC是∠ACB的角平分线，
∴∠OCF＝∠OCE，
过O作OM⊥BC，ON⊥AC，
则OM＝ON，
{OE=OF
)
在Rt△OEM与Rt△OFN中， ，
OM=ON
∴Rt△OEM≌Rt△OFN，（HL），
∴∠EOM＝∠FON，
∴∠MON＝∠EOF＝180°﹣∠ACB，
∵AE、BF是角平分线，
1
∴∠AOB＝90°+ ∠ACB，
2
1
即90°+ ∠ACB＝180°﹣∠ACB，
2
∴∠ACB＝60°；
（3）连接OC，过O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，
∵AE、BF是角平分线，交于O点，
∴OD＝OG＝OH，
1 1 1 1
∴S△ABC = ×8×6= ×10OD+ ×6×OG+ ×8×OH，
2 2 2 2∴OD＝2，
1
∴S△AOB = ×10×2＝10．
2
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，等腰直角三角形的判定和性
质，正确的作出辅助线是解题的关键．
误点警示：
易错点： 忽视点的位置有两种情况而导致漏解
10．（2021秋•齐河县期末）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段
ON上一点．已知OM＝3，ON＝5，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为 3 或 7
．
【思路引领】过点P作PE⊥OA于点E，分点D在线段OE上，点D在射线EA上两种情况讨论，利用
角平分线的性质可得PN＝PE，即可求OE＝ON＝5，由题意可证Rt△PMN≌Rt△PDE，可求OD的长．
【解答】解：如图：过点P作PE⊥OA于点E，
∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PN⊥OB，
∴PE＝PN，
∵PE＝PN，OP＝OP，
∴Rt△OPE≌Rt△OPN（HL），∴OE＝ON＝5，
∵OM＝3，ON＝5，
∴MN＝2，
若点D在线段OE上，
∵PM＝PD，PE＝PN，
∴Rt△PMN≌Rt△PDE（HL），
∴DE＝MN＝2，
∴OD＝OE﹣DE＝3，
若点D在射线EA上，
∵PM＝PD，PE＝PN，
∴Rt△PMN≌Rt△PDE（HL），
∴DE＝MN＝2，
∴OD＝OE+DE＝7．
故答案为：3或7．
【总结提升】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定和性
质解决问题是本题的关键．
