文档文本内容
第十四章 全等三角形
知识点一 全等图形
1.
定义：两个图形经过平移、翻折、旋转后能够完全重合，就是全等图形。
2.
两大要求：形状一模一样、大小完全相等，缺一不可。
3.
基础结论：全等图形周长、面积、对应线段长度全部相等。
知识点二 全等三角形及其性质
1.
全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形。
2.
书写规范：记全等时，对应顶点字母按顺序书写，方便快速找对应边、对应角。
3.
核心性质
① 基础：对应边相等，对应角相等；
② 拓展：对应高、对应中线、对应角平分线长度相等；
③ 整体：两个全等三角形周长相等、面积相等。
知识点三 全等三角形的判定
1.
普通三角形四种判定方法
SSS：三边对应相等；
SAS：两边和夹角对应相等（必须是夹角，不是对角）；
ASA：两角和夹边对应相等；
AAS：两角和其中一个角的对边对应相等。
2.
直角三角形特有判定：HL，斜边 + 一条直角边对应相等即可全等。
3.
易错误区：AAA（三角相等）、SSA（两边及其中一边对角相等）不能判定三角形全等。
知识点四 角的平分线的性质
1.
性质定理（由平分线得距离相等）
如果点在角平分线上，那么该点到角两条边的垂线段长度相等。
2.
判定定理（由距离相等得平分线）
在角内部，到角两边垂直距离相等的点，一定在这个角的平分线上。
3.
三角形拓展：三角形三条内角平分线交于内心，内心到三角形三边距离相等。
易错点1 三角形全等中动点多结论问题
易错提醒
易错点总结
1.不会动态分析图形变化，误把“运动过程中变化的量”当成恒成立结论。
2.多结论选择题容易漏选、错选，无法区分“始终成立”和“某一时刻成立”。
3.不会利用全等不变量，忽略动点问题中边长、角度的恒定关系。
注意事项总结
1.动点问题抓核心：变的是位置，不变的是全等关系、固定角、固定边长。
2.每个结论必须验证：是否全程成立，不是只在初始位置成立。
3.优先找出恒定全等三角形，作为判断所有结论的依据。
【对点训练】1．如图，在ABC
V
中，AD 为中线，过B 作BE
AD
^
，垂足为E ，过C 作CF
AD
^
，垂足为
F ．在DA 延长线上取一点G ，连接GC ，使
G
BAD
Ð
= Ð
．
给出下面四个结论：
①BE
CF
=
；
②
2
AG
DE
=
；
③
ABD
FCD
FCG
Ð
+ Ð
= Ð
；
④
ABD
CDF
GCF
S
S
S
+
=
V
V
V
．
上述结论中，正确结论的序号有（ ）
A．③④
B．①②③
C．①③④
D．①②③④
【答案】D
【分析】根据题意证明
BDE
CDF
△
≌△
，得到BE
CF
=
，DE
DF
=
，
EBD
FCD
Ð
= Ð
，可判断①，证明
ABE
GCF
V
V
≌
得到AE
GF
=
，
ABE
GCF
Ð
= Ð
，可判断②③，根据全等三角形的性质可得
BDE
CDF
S
S
=
V
V
，
ABE
FCG
S
S
=
V
V
，可判断④．
【详解】解：Q在ABC
V
中，AD 为中线，
\ BD
CD
=
，
Q BE
AD
^
，CF
AD
^
，
\
90
E
CFD
CFG
Ð
= Ð
= Ð
=
°，
Q
BDE
CDF
Ð
= Ð
，
\
AAS
BDE
CDF
V
V
≌
，
\ BE
CF
=
，DE
DF
=
，
EBD
FCD
Ð
= Ð
，故①正确；
Q
90
E
CFG
Ð
= Ð
=
° ，
BAD
G
Ð
= Ð
，BE
CF
=
，
\
AAS
ABE
GCF
V
V
≌
，
\ AE
GF
=
，即AF
EF
AF
AG
+
=
+
，
ABE
GCF
Ð
= Ð
，
\ EF
AG
=
，
ABD
EBD
ABD
FCD
GCF
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
= Ð
，故③正确；
Q
2
EF
DE
DF
DE
=
+
=
，
\
2
AG
DE
=
，故②正确；
Q
BDE
CDF
△
≌△
，
ABE
GCF
V
V
≌
，
\
BDE
CDF
S
S
=
V
V
，
ABE
FCG
S
S
=
V
V
，
Q
ABE
ABD
BDE
S
S
S
=
+
△
△
△
，
\
ABD
CDF
GCF
S
S
S
+
=
V
V
V
，故④正确；
综上，正确结论的序号有①②③④，
易错点2 利用三角形全等求解动点边、角问题
易错提醒
易错点总结
1.动点运动路程、速度、时间关系列式错误，找不准对应相等边。
2.运动后图形位置改变，对应边、对应角找错，导致全等条件用错。
3.不会用“时间 t“表示动态线段长度，无法列等式。
注意事项总结
1.所有动点线段先统一用 路程=速度×时间 表示为含 t 的代数式。
2.每次运动状态改变，必须重新找对应边、对应角，不能照搬原图。
3.求角度优先用全等转移角，求边长优先利用全等对应边相等。
【对点训练】2．如图，在ABC
V
中，
66
ABC
Ð
=
° ，BD 平分
ABC
Ð
，P 为线段BD 上一动点，Q 为边AB 上
一动点，当AP
PQ
+
的值最小时，
APQ
Ð
的度数为（ ）
A．33°
B．76°
C．57°
D．66°
【答案】D
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，通过作辅助线，
构造全等三角形是解题关键．
在BC 上截取BE
BQ
=
，连接PE ，AE ，先证出PBE
PBQ
V
V
≌
，根据全等三角形的性质可得PE
PQ
=
，则
可得AP
PQ
AP
PE
+
=
+
，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当AE
BC
^
时，AE 的值最小，即
AP
PQ
+
的值最小，然后根据直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解：如图，在BC 上截取BE
BQ
=
，连接PE ，AE ，
∵BD 平分
ABC
Ð
，
∴
PBE
PBQ
Ð
= Ð
，
在PBE
V
和PBQ
V
中，
BE
BQ
PBE
PBQ
PB
PB
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
SAS
PBE
PBQ
V
V
≌
，
∴PE
PQ
=
，
∴AP
PQ
AP
PE
+
=
+
，
由两点之间线段最短可知，当点
, ,
A P E 共线时，AP
PE
+
的值最小，最小值为AE ，
由垂线段最短可知，如图，当AE
BC
^
时，AE 的值最小，即AP
PQ
+
的值最小，
∴
90
AEB
Ð
=
°，
∵
66
ABC
Ð
=
° ，
∴
90
24
BAE
ABC
Ð
=
°- Ð
=
°，
又∵PBE
PBQ
V
V
≌
，
∴
90
PQB
PEB
Ð
= Ð
=
° ，
∴
66
APQ
PQB
BAE
Ð
= Ð
- Ð
=
° ，
故选：D．
易错点3 利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题
易错提醒
易错点总结
1.最大丢分点：不分类、漏情况，只写出一种全等位置。
2.分不清动点在“线段上、端点、延长线上”三种情况。
3.对应顶点不确定，导致对应边匹配错误，方程列错。
注意事项总结
1.动点全等必须强制分类讨论：
情况一：点在线段上；情况二：点在延长线上。
2.未规定对应顶点时，要讨论不同顶点对应方案。
3.解出时间 t 后必须检验：是否符合当前运动范围，舍去不合理解。
【对点训练】3．如图，在ABC
V
中，D 是BC 上的一点，
A
C
Ð
= Ð
，
18
AC =
，
6
CD =
，动点P 从点C 出
发向点A 运动，速度为2
/
cm s ，同时动点Q 从点A 出发向点B 匀速运动，连接PQ 、PD ，在运动过程中，
存在某一时刻使CDP
V
与APQ
V
全等，则点Q 的运动速度为（ ）
/
cm s ．
A．3 或2
3
B．2 或4
3
C．2 或3
D．3 或4
3
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质及动点问题，设运动时间为t ，表示出CP 、AP 、AQ 的长，根据
A
C
Ð
= Ð
，分CDP
APQ
V
V
≌
和CDP AQP
V
V
两种情况，利用全等三角形对应边相等列方程求解即可．
【详解】解：设运动时间为t 秒，点Q 的运动速度为v cm/s， 则
2
CP
t
=
，AQ
vt
=
，
∵
18
AC =
，
∴
18
2
AP
AC
CP
t
=
-
=
-
，
∵
A
C
Ð
= Ð
，
∴分两种情况讨论： ①当CDP
APQ
V
V
≌
时， CD
AP
=
，CP
AQ
=
，
∴6
18
2t
=
-
，2t
vt
=
， 解得
6
t =
，
∴
2
2
v
t
t
=
¸ =
；
②当CDP
AQP
V
V
≌
时，
∴CD
AQ
=
，CP
AP
=
，
∴
6
vt =
，2
18
2
t
t
=
-
，
解得
4.5
t =
，
∴
4
6
4.5
3
v =
¸
=
；
综上所述，点Q 的运动速度为2 或4
3 ． 故选B．
易错点4 利用三角形全等求证线段之间的关系问题
易错提醒
易错点总结
1.只会证线段相等，不会证线段和差关系（如AB+CD=EF）。
2.不会做辅助线：不会截长补短、平移构造全等。
3.证明过程跳步，全等条件写不全，扣分严重。
注意事项总结
1.线段关系分两种：相等关系、和差关系。
2.和差问题固定方法：截长补短法，构造全等转化线段。
3.证明全等严格写全三条件，对应边相等后再推线段结论。
【对点训练】4．如图1、2、3，ABC
V
中，AB
AC
=
，
90
BAC
Ð
=
° ，直线l 经过点A ，BD
l
^ ，垂足为D ，
CE
l
^ ，垂足为E．探究图中线段BD 、CE 、DE 之间的数量关系．
(1)如图1，请写出线段BD 、CE 、DE 之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)直接写出下列结论：
①如图2，线段BD 、CE 、DE 之间的数量关系是______；
②如图3，线段BD 、CE 、DE 之间的数量关系是______．
【答案】(1) DE
CE
BD
=
+
(2)①DE
CE
BD
=
-
；②DE
BD
CE
=
-
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出
ABD
CAE
≌
△
△
是解题关键．
（1）利用已知得出
CAE
ABD
Ð
= Ð
，进而利用AAS 得出则
ABD
CAE
≌
△
△
，即可得出DE
BD
CE
=
+
；
（2）①利用已知得出
CAE
ABD
Ð
= Ð
，进而利用AAS 得出则
ABD
CAE
≌
△
△
，即可得出BD
CE
、
与DE 之
间的数量关系．
②利用已知得出
CAE
ABD
Ð
= Ð
，进而利用AAS 得出则
ABD
CAE
≌
△
△
，即可得出BD
CE
、
与DE 之间的数
量关系．
【详解】（1）解：DE
CE
BD
=
+
．
证明：∵BD
l
^ ，CE
l
^ ，
∴
90
BDA
AEC
Ð
= Ð
=
° ，
又∵
90
BAC
Ð
=
° ，
∴
90
BAD
CAE
Ð
+ Ð
=
° ，
90
BAD
ABD
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
CAE
ABD
Ð
= Ð
，
在ABD
V
和CAE
V
中，
90
ABD
CAE
ADB
CEA
AB
AC
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
=
°
í
ï
=
î
，
∴
AAS
ABD
CAE
V
V
≌
，
∴BD
AE
=
，AD
CE
=
，
∵DE
AD
AE
=
+
，
∴DE
CE
BD
=
+
；
（2）解：①如图2 所示：结论：DE
CE
BD
=
-
．
理由：∵BD
l
^ ，CE
l
^ ，
∴
90
BDA
AEC
Ð
= Ð
=
° ，
∵
90
BAD
CAE
Ð
+ Ð
=
° ，
90
BAD
ABD
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
CAE
ABD
Ð
= Ð
，
在ABD
V
和CAE
V
中，
90
ABD
CAE
ADB
CEA
AB
AC
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
=
°
í
ï
=
î
，
∴
ABD
CAE AAS
V
V
≌
，
∴BD
AE
=
，AD
CE
=
，
∵DE
AD
AE
=
-
，
∴DE
CE
BD
=
-
．
②如图3 所示：结论：DE
BD
CE
=
-
．
理由：∵BD
l
^ ，CE
l
^ ，
∴
90
BDA
AEC
Ð
= Ð
=
° ，
∵
90
BAD
CAE
Ð
+ Ð
=
° ，
90
BAD
ABD
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
CAE
ABD
Ð
= Ð
，
在ABD
V
和CAE
V
中，
90
ABD
CAE
ADB
CEA
AB
AC
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
=
°
í
ï
=
î
，
∴
ABD
CAE AAS
V
V
≌
，
∴BD
AE
=
，AD
CE
=
，
∵DE
AE
AD
-
=
，
∴DE
BD
CE
=
-
．
易错点5 利用三角形全等求证角之间的关系问题
易错提醒
易错点总结
1.只会证角相等，不会证角的和差、互余、互补关系。
2.忽略公共角、对顶角、等角加减同一个角仍相等。
3.角度推导逻辑混乱，无法利用全等转移角。
注意事项总结
1.角度证明核心：用全等转移角，把未知角换成已知角。
2.灵活使用：同角/等角的余角相等、补角相等、公共角相等。
3.求证角和差关系时，先拆分角，再用全等替换等量角。
【对点训练】5．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图
形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助
以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形ABCD 中，
AB
AD
E
F
=
，，
分别是直线BC
CD
，
上的点．
(1)如图1，若AB
CB
AD
CD
E
^
^
，
，
，F 分别在线段BC ，CD上，且满足
1
2
EAF
BAD
Ð
=
Ð
，试探究线段
EF ，BE
DF
，
之间的数量关系．
数学小组探究此问题的方法是：延长CB 到点G ，使BG
DF
=
．连接AG ，先证ABG
V
与ADF
V
的全等，再
证AEF
V
与AEG
V
的全等，可得到EF ，BE ，DF 之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段EF ，
BE ，FD 之间的数量关系为 ___________．
(2)如图2，若
180
ABC
ADC
Ð
+ Ð
=
° ，点E ，点F 分别在线段CB ，DC 的延长线上，且满足
1
2
EAF
BAD
Ð
=
Ð
，试探究线段EF ，BE
DF
，
之间的数量关系，并请说明理由．
(3)如图3，若
180
ABC
ADC
Ð
+ Ð
=
° 不变，点E 在CB 的延长线上，点F 在CD的延长线上，若
EF
BE
DF
=
+
，试探究
EAF
Ð
与
BAD
Ð
的数量关系，并说明理由．
【答案】(1) EF
BE
DF
=
+
(2)
DF
BE
EF
=
+
，理由如下：
在DF 上截取DG
BE
=
，连接AG ，
180 ,
180
ABC
D
ABC
ABE
Ð
+ Ð
=
° Ð
+ Ð
=
°
Q
，
ABE
D
\Ð
= Ð
，
在
ADG
△
和ABE
V
中，
DG
BE
ABE
D
AD
AB
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
ADG
ABE SAS
\V
V
≌
，
,
DAG
EAB AE
AG
\Ð
= Ð
=
，
EAG
BAD
\Ð
= Ð
，
1
2
FAE
BAD
Ð
=
Ð
Q
，
1
2
FAE
EAG
\Ð
=
Ð
，
EAF
GAF
\Ð
= Ð
，
在EAF
V
和GAF
V
中，
AF
AF
EAF
GAF
AE
AG
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
EAF
GAF SAS
\V
V
≌
，
EF
FG
\
=
，
DF
FG
DG
=
+
Q
，
DF
EF
BE
\
=
+
．
(3)
1
180
2
EAF
BAD
=
° -
∠
∠
，
理由：如图3，在DC 延长线上取一点G ，使得DG
BE
=
，连接AG ，
180 ,
180
ABC
ADC
ABC
ABE
Ð
+ Ð
=
° Ð
+ Ð
=
°
Q
，
ADG
ABE
\Ð
= Ð
，
在ABE
V
和
ADG
△
中，
AB
AD
ABE
ADG
EB
DG
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
SAS
ABE
ADG
\V
V
≌
，
,
AG
AE
DAG
BAE
\
=
Ð
= Ð
，
,
EF
BE
DF DG
BE
=
+
=
Q
，
EF
DG
DF
FG
\
=
+
=
，
在AEF
V
和AFG
V
中
AF
AF
EA
AG
EF
FG
=
ì
ï
=
í
ï
=
î
，
SSS
AEF
AGF
\V
V
≌
，
FAE
FAG
\Ð
= Ð
，
360
FAE
EAG
GAF
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°
Q
，
2
360
FAE
GAB
BAE
\ Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，
2
(
)
360
FAE
GAB
DAG
\ Ð
+ Ð
+ Ð
=
° ，
即2
360
EAF
DAB
Ð
+ Ð
=
° ，
1
180
2
EAF
BAD
\Ð
=
°-
Ð
．
【分析】（1）延长CB 到点G ，使BG
DF
=
，连接AG ，可判定
(SAS)
ABG
ADF
△
≌△
，进而得出
,
BAG
DAF AF
AG
Ð
= Ð
=
，再判定AEF
AEG
V
V
≌
，可得结论；
（2）如图2：在DF 上截取DG
BE
=
，连接AG ，先判定
(SAS)
ABE
ADG
≌
△
△
，进而得出
,
BAE
DAG AE
AG
Ð
= Ð
=
，再判定AEF
AEG
V
V
≌
，可得结论；
（3）在DC 延长线上取一点G ，使得DG
BE
=
，连接AG ，先判定
SAS
ABE
ADG
V
V
≌
，再判定
SSS
AEF
AGF
V
V
≌
，得出
FAE
FAG
Ð
= Ð
，最后根据
360
FAE
EAG
GAF
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，推导得到
2
360
EAF
DAB
Ð
+ Ð
=
° ，即可得出结论．
【详解】（1）解：结论：EF
BE
DF
=
+
．
理由：如图 1，延长CB 到点G ，使BG
DF
=
，连接AG ，
在ABG
V
和ADF
V
中，
BA
DA
ABG
ADF
BG
DF
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
(SAS)
ABG
ADF
\△
≌△
，
,
BAG
DAF AF
AG
\Ð
= Ð
=
，
FAG
DAB
\Ð
= Ð
，
1
2
EAF
DAB
Ð
=
Ð
Q
，
1
2
EAF
FAG
\Ð
=
Ð
，
EAF
EAG
\Ð
= Ð
，
在AEF
V
和AEG
V
中，
AE
AE
EAF
EAG
AF
AG
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
(SSS)
AEF
AEG
\V
V
≌
，
EF
EG
BE
BG
\
=
=
+
，
EF
BE
DF
\
=
+
．
（2）略
（3）略
一、单选题
1．如图，在ABC
V
中，
24cm
AB
AC
=
=
，
16cm
BC =
，点D 为AB 的中点，如果点P 在线段BC 上以4cm/s
的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．若在某一时刻能使
BPD
△
与
CQP
△
全等．则点Q 的运动速度为（ ）
A．4cm/s
B．6cm/s
C．4cm/s或6cm/s
D．6cm/s或8cm/s
【答案】C
【分析】由
24cm
AB
AC
=
=
，点D 为AB 的中点，可得
12cm
BD =
，
B
C
Ð
= Ð
，设点P 、Q 的运动时间为
st ，分别表示出
4 cm
BP
t
=
，
cm
CQ
vt
=
，分BPD
CQP
V
V
≌
和
BPD
CPQ
△
≌△
两种情况，即可求解．
【详解】解：∵
24cm
AB
AC
=
=
，点D 为AB 的中点，
∴
1
1
24
12 cm
2
2
BD
AB
=
=
´
=
，
B
C
Ð
= Ð
，
∴点B 的对应点是点C ，
设点P 、Q 的运动时间为st ，点Q 的运动速度为cm/s
v
，
∴
4 cm
BP
t
=
，
cm
CQ
vt
=
，
∴
16
4
cm
PC
BC
BP
t
=
-
=
-
；
①当BPD
CQP
V
V
≌
时，
∴BP
CQ
=
，
∴4t
vt
=
，
∴
4
v =
，
∴点Q 的运动速度为4cm/s；
②当
BPD
CPQ
△
≌△
时，
∴BP
CP
=
，
12cm
CQ
BD
=
=
，
∵
16cm
BC =
，
∴
8cm
BP
CP
=
=
，
∴4
8
t =
，
∴
2
t =
，
∴
2
12
CQ
v
= ´
=
，
∴
6
v =
，
∴点Q 的运动速度为6cm/s；
综上所述，点Q 的运动速度为4cm/s或6cm/s．
2．如图1，ABC
V
与
1
1
1
A B C
△
满足
1
A
A
Ð
= Ð
，
1
1
AC
AC
=
，
1
1
BC
B C
=
，
1
C
C
Ð
¹ Ð
，我们称这样的两个三角
形为“伪全等三角形”．如图2，ABD
ACE
V
V
≌
，则图中共有“伪全等三角形”（ ）
A．1 对
B．2 对
C．3 对
D．4 对
【答案】D
【分析】本题考查了新定义，全等三角形的性质，理解题意，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根
据ABD
ACE
V
V
≌
，结合“伪全等三角形”的定义：两个三角形的两边相等，一个角相等，且这个角不是夹角，
据此对图中的三角形分析判断，即可求解．
【详解】解：∵ABD
ACE
V
V
≌
，
∴AB
AC
=
，AD
AE
=
，
B
C
Ð
= Ð
，
∴在ABD
V
和ABE
V
中，
B
B
Ð
= Ð ，AB
AB
=
，AD
AE
=
，符合“伪全等三角形”的定义；
在
ACE
△
和ACD
V
中，
C
C
Ð
= Ð
，AC
AC
=
，AE
AD
=
，符合“伪全等三角形”的定义；
在ABD
V
和ACD
V
中，
B
C
Ð
= Ð
，AB
AC
=
，AD
AD
=
，符合“伪全等三角形”的定义；
在
ACE
△
和ABE
V
中，
B
C
Ð
= Ð
，AE
AE
=
，AC
AB
=
，符合“伪全等三角形”的定义；
综上所述，共有4 对“伪全等三角形”．
故选：D．
3．如图，AD 是ABC
V
的边BC 上的中线，点E 在线段AD 上，且
2
DE
AE
=
，F 是AD 延长线上一点，
ED
DF
=
，连接BE 、CF 、CE ，G 是EC 的中点，连接BG ．则下列结论错误
．．的是（ ）
A．CF
BE
=
B．
2
ABC
BEC
S
S
=
V
V
C．
ECF
BEC
S
S
=
V
V
D．
180
BEC
ECF
°
Ð
+ Ð
=
【答案】B
【分析】根据三角形中线可得BD
DC
=
，再根据全等三角形判定定理及性质可判断A；根据全等三角形性
质可得
EBC
FCB
Ð
= Ð
，根据角之间的关系，结合三角形内角和定理可判断D；根据三角形面积之间的关系
及全等三角形性质可判断C；根据三角形中线求三角形面积，结合三角形面积公式，即可判断B．
【详解】解：∵AD 是ABC
V
的中线，
∴BD
DC
=
，
在BED
V
和CFD
V
中，
BD
CD
BDE
CDF
ED
DF
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
SAS
BED
CFD
≌
V
V
，
∴CF
BE
=
，故A 正确，不符合题意，
∵
BED
CFD
△
△
≌
，
∴
EBC
FCB
Ð
= Ð
，
∴
BEC
ECF
Ð
+ Ð
BEC
ECB
FCB
= Ð
+ Ð
+ Ð
BEC
ECB
EBC
= Ð
+ Ð
+ Ð
180
=
° ，故D 正确，不符合题意；
,
ECF
CFD
EDC
BEC
BED
EDC
S
S
S
S
S
S
=
+
=
+
V
V
V
V
V
V
，
∵
BED
CFD
△
△
≌
，
∴
BED
CFD
S
S
=
△
△
，
∴
ECF
BEC
S
S
=
V
V
，故C 正确，不符合题意；
∵AD 是ABC
V
的中线，
∴
1
2
ABD
ACD
ABC
S
S
S
=
=
V
V
V
，
∵
2
DE
AE
=
，
∴
2
3
DE
AD
=
，
∴
2
2
1
1
3
3
2
3
BDE
ABD
ABC
ABC
S
S
S
S
=
=
´
=
V
V
V
V
，
2
2
1
1
3
3
2
3
CDE
ACD
ABC
ABC
S
S
S
S
=
=
´
=
V
V
V
V
，
∴
2
3
BEC
BDE
CDE
ABC
S
S
S
S
=
+
=
V
V
V
V
，
∴
3
2
ABC
BEC
S
S
=
V
V
，故B 错误，符合题意．
4．如图，已知：AC
BC
=
，DC
EC
=
，
90
ACB
ECD
Ð
= Ð
=
°，
38
EBD
Ð
=
° ，现有下列结论：
①
BDC
AEC
△
≌△
；②
135
AEB
°
Ð
=
；③BD
AE
=
；④AE
BD
^
．其中正确的有（ ）．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】先通过角的等量代换得到
BCD
ACE
Ð
Ð
=
，利用SAS 证明BDC
AEC
V
V
≌
，由此推出BD
AE
=
，再
结合全等三角形对应角相等、三角形内角和、对顶角性质，分别验证
AEB
Ð
度数与AE
BD
^
是否成立，逐
一判断4 个结论正误．
【详解】解：已知
90
ACB
ECD
Ð
Ð
=
=
°，
ACB
ECB
ECD
ECB
Ð
Ð
Ð
Ð
-
=
-
，
即
BCD
ACE
Ð
Ð
=
，
在BDC
V
和AEC
V
中：
BC
AC
BCD
ACE
DC
EC
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
SAS
BDC
AEC
\V
V
≌
，结论①正确；
由全等三角形对应边相等，得BD
AE
=
，结论③正确；
由BDC
AEC
V
V
≌
，得
CBD
CAE
Ð
Ð
=
，
已知
38
EBD
CBD
CBE
Ð
= Ð
+ Ð
=
°，
38
CAE
CBE
\Ð
+ Ð
=
°，
∵
90
ACB
Ð
=
°，
90
CBA
CAB
\Ð
+ Ð
=
° ，
即
90
CBE
ABE
CAE
BAE
Ð
+ Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，
代入
38
CAE
CBE
Ð
+ Ð
=
° ，得
90
38
52
ABE
BAE
Ð
+ Ð
=
°-
° =
°，
在ABE
V
中，
180
180
52
128
135
AEB
ABE
BAE
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
° =
° ¹
°，结论②错误；
延长AE 交BD 于点F ，交BC 于点H ，
由BDC
AEC
V
V
≌
，得
DBC
EAC
Ð
= Ð
，
又
BHF
CHA
Ð
= Ð
，
90
ACB
Ð
=
°，
90
BHF
DBC
CHA
EAC
\Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
=
° ，
180
90
AFB
BHF
DBC
\Ð
=
°- Ð
- Ð
=
° ，即AF
BD
^
，
AE
BD
^
，结论④正确，
综上，①③④正确，共3 个正确结论．
5．如图，分别以ABC
V
的边AB ，AC 为直角边，向外作等腰直角三角形ABD ，ACE ，连接BE ，CD，
BE ，CD交于点F ，连接AF ．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．
DAF
DCA
Ð
= Ð
B．
90
EFC
Ð
=
°
C．FA 平分
BFC
Ð
D．BE
CD
=
【答案】A
【分析】首先利用SAS 证明BAE
DAC
V
V
≌
，可得BE
CD
=
，
ABE
ADC
Ð
Ð
=
；利用三角形外角性质以及全
等三角形的性质可证
90
EFC
Ð
=
°；利用全等三角形面积相等及底边相等可得对应高相等，进而根据角平分
线的判定定理证得FA 平分
BFC
Ð
；对于
DAF
DCA
Ð
Ð
=
，现有条件无法证明．
【详解】解：由题意得
,
,
90
AB
AD AC
AE
BAD
CAE
Ð
Ð
=
=
=
=
° ，
∴
BAD
BAC
CAE
BAC
Ð
Ð
Ð
Ð
+
=
+
，即
DAC
BAE
Ð
Ð
=
，
在DAC
V
和BAE
V
中，
𝐴𝐷= 𝐴𝐵
∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐸
𝐴𝐶= 𝐴𝐸
，
∴
SAS
DAC
BAE
V
V
≌
，
∴CD
BE
=
，故D 成立，不符合题意；
∵DAC
BAE
V
V
≌
，
∴
ADC
ABE
Ð
Ð
=
，
设AD 与BE 交于点O ，
90
DAB
Ð
=
°，
∵
BOD
BAD
ABE
BFD
ADC
Ð
= Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
∴
90
BFD
DAB
Ð
Ð
=
=
° ，
∴
90
EFC
BFD
Ð
Ð
=
=
°，故B 成立，不符合题意；
过点A 作AM
BE
^
于点M ，过点A 作AN
CD
^
于点N ，
∵DAC
BAE
V
V
≌
，
∴
DAC
BAE
S
S
=
V
V
，即1
1
2
2
CD AN
BE AM
×
=
×
，
∵CD
BE
=
，
∴AM
AN
=
，
,
AM
BE AN
CD
^
^
，
∴FA 平分
BFC
Ð
，故C 成立，不符合题意；
现有条件不足以证明
DAF
DCA
Ð
Ð
=
，故A 不一定成立，符合题意．
二、填空题
6．如图，D、E、F 分别是ABC
V
三边上的点，AD 平分
BAC
Ð
，CE
BF
=
，
180
BFD
C
Ð
+ Ð
=
°，E 是AC
的中点，若DCE
V
的面积为
2
3cm ，则ABC
V
的面积为_____；
【答案】
2
15cm
【分析】如图：过点D 分别作DG
AC
^
于G， DH
AB
^
于H，然后根据角平分线的性质可得DG
DH
=
，
再根据三角形面积公式，即可得出
3
DBF
DCE
S
S
=
=
V
V
；利用三角形中线的性质可得
2
6
ADC
DCE
S
S
=
=
V
V
，再证
明
AAS
ADF
ADC
V
V
≌
，则
=6
ADF
ADC
S
S
=
V
V
，最后根据ABC
V
的面积为
ADF
ADC
BDF
S
S
S
+
+
V
V
V
即可解答．
【详解】解：如图：过点D 分别作DG
AC
^
于G， DH
AB
^
于H，
∵AD 平分
BAC
Ð
，
∴DG
DH
=
，
FAD
CAD
Ð
= Ð
，
∵
1
2
DBF
S
BF
DH
=
´
´
V
，
1
2
DCE
S
CE
DG
=
´
´
V
，CE
BF
=
，
∴
3
DBF
DCE
S
S
=
=
V
V
．
∵E 是AC 的中点，
∴
2
6
ADC
DCE
S
S
=
=
V
V
，
∵
180
BFD
C
Ð
+ Ð
=
°，
180
BFD
AFD
Ð
+ Ð
=
°，
∴
AFD
C
Ð
= Ð
，
∵AD
AD
=
，
∴
AAS
ADF
ADC
V
V
≌
，
∴
=6
ADF
ADC
S
S
=
V
V
，
∴ABC
V
的面积为
6
6
3
15
ADF
ADC
BDF
S
S
S
+
+
=
+
+
=
V
V
V
．
7．如图，在四边形ABCD 中，AB
AD
=
，AB
AD
^
，AC
DC
^
，过点B 作BE
CA
^
于点E ，连接BD ，若
2
CD =
，
4
CE =
，
4
BCD
S
=
△
，则
ABD
S
=
△
________．
【答案】20
【分析】根据垂直可得
90
ACD
BEA
DAB
Ð
= Ð
= Ð
=
° ，从而可得
90
D
DAC
Ð
+ Ð
=
°，
90
DAC
EAB
Ð
+ Ð
=
° ，进
而可得
D
EAB
Ð
= Ð
，然后利用AAS证明ADC
V
BAE
≌△
，从而可得AC
BE
=
，
2
DC
AE
=
=
，进而可得
6
BE
AC
=
=
，根据
ABD
ABC
ACD
BCD
S
S
S
S
=
+
-
V
V
V
V
，即可求解．
【详解】解∶Q AB
AD
AC
DC
BE
CA
^
^
^
，
，
，
90
ACD
BEA
DAB
\Ð
= Ð
= Ð
=
°，
90
90
ADC
DAC
DAC
EAB
\Ð
+ Ð
=
°
Ð
+ Ð
=
°
，
，
ADC
EAB
\Ð
= Ð
，
AD
AB
=
Q
，
(AAS)
ADC
BAE
\
≌
V
V
，
2
AC
BE
DC
AE
\
=
=
=
，
，
4
CE =
Q
，
2
4
6
BE
AC
AE
CE
\
=
=
+
=
+
=
；
∴
ABD
ABC
ACD
BCD
S
S
S
S
=
+
-
V
V
V
V
1
1
4
2
2
AC
BE
AC
CD
=
´
+
´
-
1
1
6 6
6 2
4
2
2
=
´ ´ +
´ ´ -
18
6
4
=
+
-
20
=
．
8．如图，在ABC
V
中，BE
AC
^
于点
,
E AF
BC
^
于点
,
45
F
ABC
Ð
=
°，点M 为直线BC 上一点，且
CM
AD
=
，点P 从点D 出发，以1 单位长度/秒的速度沿DB向点B 运动，同时，点Q 从点A 出发，沿射线AC
以4 单位长度/秒的速度运动，当点P 到达点B 时，,
P Q 两点同时停止运动．若
10
AC =
，设运动时间为t 秒，
当ADP
V
与MCQ
V
全等时，t = _________．
【答案】2 或10
3
【分析】分两种情况：点M 在BC 的延长线上和点M 在BC 上，两种情况都可证明只存在
ADP
MCQ
△
≌△
这种情况，则可得到DP
CQ
t
=
= ，再根据线段的和差关系建立方程求解即可．
【详解】解：由题意得，
,
4
DP
t AQ
t
=
=
，
如图所示，当点M 在BC 的延长线上时，
∵BE
AC
^
，AF
BC
^
，
∴
90
AED
AFC
Ð
= Ð
=
°，
∴
90
ACF
CAF
ADE
CAF
+
=
° =
+
∠
∠
∠
∠
，
∴
ACF
ADE
=
∠
∠
，
∴180
180
ACF
ADE
° -
=
° -
∠
∠
，
∴
ADP
MCQ
=
∠
∠
，
又∵CM
AD
=
，
∴此时只存在
ADP
MCQ
△
≌△
这种情况，
∴DP
CQ
t
=
= ，
∴
5
10
AC
AQ
CQ
t
=
+
=
=
，
∴
2
t =
；
如图所示，当点M 在BC 上时，同理可得只存在
ADP
MCQ
△
≌△
这种情况，
∴CQ
DP
t
=
= ，
∴
3
10
AC
AQ
CQ
t
=
-
=
=
，
∴
10
3
t =
；
综上所述，t 的值为2 或10
3 ．
9．如图，已知ABC
DEC
V
V
≌
，
ACB
Ð
是锐角，
30
B
Ð
=
° ，
60
ACD
Ð
=
° ，延长BA 交DE 于点F ，交CE 于
点G ．
（1）
BGC
Ð
的度数为________；
（2）若AC
DE
P
，则
DCE
Ð
的度数为________．
【答案】
90°
30°
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、全等三角形的性质．
1 根据全等三角形的性质可知
ACB
DCE
Ð
= Ð
，由
60
ACD
Ð
=
° ，可得：
60
BCE
Ð
=
° ，根据三角形内角和
定理可得：
90
BGC
Ð
=
° ；
2 根据全等三角形的性质可得：
30
E
B
Ð
= Ð
=
° ，根据两直线平行，内错角相等，可得：
30
ACE
E
Ð
= Ð
=
° ，根据角之间的关系可以求出
30
DCE
Ð
=
° ．
【详解】
1 解：Q
ABC
DEC
V
V
≌
，
ACB
DCE
\Ð
= Ð
，
Q
60
ACD
Ð
=
° ，
60
ACE
DCE
ACD
\Ð
+ Ð
= Ð
=
°，
60
BCE
ACE
ACB
\Ð
= Ð
+ Ð
=
°，
在BCG
V
中，
180
BGC
B
BCE
Ð
+ Ð + Ð
=
°，
30
B
Ð
=
°
Q
，
180
180
30
60
90
BGC
B
BCE
\Ð
=
°- Ð - Ð
=
°-
°-
° =
°；
2 解：Q
ABC
DEC
V
V
≌
，
30
E
B
\Ð
= Ð
=
°，
Q AC
DE
P
，
30
ACE
E
\Ð
= Ð
=
°，
Q
60
ACD
Ð
=
° ，
60
30
30
DCE
ACD
ACE
\Ð
= Ð
- Ð
=
°-
° =
°
10．如图，ABC
V
中，CD
AB
^
于点D ，CD
BD
=
，过点C 作CM
CA
^
，CM
CA
=
，连接BM 交CD于点
N ，若
15
BD =
，
7
AD =
，则CN = ____________．
【答案】4
【分析】在CD上取一点E，使得
7
DE
DA
=
=
，连接BE ，由题意易得
ADC
EDB SAS
V
V
≌
，则有
AC
EB
=
，
ACD
EBD
Ð
= Ð
，然后可得
AAS
BEN
MCN
V
V
≌
，则有EN
CN
=
，进而问题可求解．
【详解】解：在CD上取一点E，使得
7
DE
DA
=
=
，连接BE ，如图所示：
∵CD
AB
^
，
∴
90
ADC
EDB
Ð
= Ð
=
°，
∵CD
BD
=
，
∴
ADC
EDB SAS
V
V
≌
，
∴AC
EB
=
，
ACD
EBD
Ð
= Ð
，
∵CM
CA
^
，CM
CA
=
，
∴
90 ,
ACM
EB
CM
Ð
=
°
=
，
∴
BEN
EDB
EBD
ACM
ACD
MCN
Ð
= Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
= Ð
，
∵
BNE
MNC
Ð
= Ð
，
∴
AAS
BEN
MCN
V
V
≌
，
∴EN
CN
=
，
∵
15
CD
BD
=
=
，
∴
8
CE
CD
DE
=
-
=
，
∴
1
4
2
CN
CE
=
=
．
三、解答题
11．根据题目条件，解答下列各题：
(1)观察理解：如图①，ABC
V
中，
90
ACB
Ð
=
°，AC
BC
=
，直线l 过点C ，点A ，B 在直线l 同侧，
BD
l
^ ，AE
l
^ ，垂足分别为D ，E ，试说明：
AEC
CDB
△
≌△
．
(2)理解应用：如图②，AE
AB
^
，且AE
AB
=
，BC
CD
^
，且BC
CD
=
，利用（1）中的结论，请按照图
中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S =____________；
(3)类比探究：如图③，Rt
ABC
△
中，
90
ACB
Ð
=
°，
8
AC = ，过点A 作AB
AB
¢ ^
于点A ，AB
AB
¢ =
，连接
B C
¢
，求AB C
¢
V
的面积．
【答案】(1)证明：
BD
l
^
Q
，AE
l
^ ，垂足分别为D，E，
90
AEC
CDB
\Ð
= Ð
=
°，
90
ECA
EAC
°
Ð
+ Ð
=
Q
，
在ABC
V
中，
90
ACB
Ð
=
°，AC
BC
=
，
90
ECA
DCB
\Ð
+ Ð
=
°，
EAC
DCB
\Ð
= Ð
，
在
AEC
△
和CDB
V
中，
90
AEC
CDB
EAC
DCB
AC
BC
ìÐ
= Ð
=
ï
Ð
= Ð
í
ï
=
î
o
，
AAS
AEC
CDB
\V
V
≌
；
(2)50
(3)32
【分析】（1）先证明
90
AEC
CDB
\Ð
= Ð
=
°，
EAC
DCB
Ð
= Ð
，进而可依据“ AAS”判定
AEC
CDB
△
≌△
；
（2）同（1）证明
AAS
EFA
AGB
V
V
≌
，
AAS
BGC
CHD
V
≌
，得出
3
AF
BG
=
=
，
6
EF
AG
=
=
，
4
CG
DH
=
=
，
3
=
=
BG
CH
，再根据三角形的面积公式分别求出
9
EFA
S
=
V
，
9
AGB
S
=
V
，
6
BGC
S
=
V
，
6
CHD
S
=
V
，再求出
16
HF =
，进而可求出梯形EFHD 的面积为80，由此即可得出图中实线所围成的图形的
面积S；
（3）过点B¢作B H
AC
¢
^
于点H，先证明
B AH
B
¢
Ð
= Ð
，进而依据“ AAS”判定
C
A
A
B H
B
¢
V
V
≌
得
8
B H
AC
¢
=
=
，
再根据三角形的面积公式即可得出AB C
¢
V
的面积．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）同理可得
AAS
EFA
AGB
V
V
≌
，
AAS
BGC
CHD
V
≌
，
3
AF
BG
\
=
=
，
6
EF
AG
=
=
，
4
CG
DH
=
=
，
3
=
=
BG
CH
，
1
9
2
EFA
S
EF AF
\
=
×
=
V
，
1
9
2
AGB
S
AG BG
=
×
=
V
，
1
6
2
BGC
S
CG BG
=
×
=
V
，
1
6
2
CHD
S
CH DH
=
×
=
V
，
9
9
6
6
30
EFA
AGB
BGC
CHD
S
S
S
S
\
+
+
+
=
+
+
+
=
V
V
V
V
，
3
6
4
3
16
HF
AF
AG
CG
CH
=
+
+
+
=
+
+
+
=
Q
，EF
AB
^
，BC
CD
^
，
EF
DH
\
∥
，
1
1
)
6
4) 16
80
2
2
EFHD
S
EF
DH
HF
\
=
+
×
=
´
+
´
=
四边形
（
（
，
\图中实线所围成的图形的面积
80
30
50
EFA
AGB
BGC
CHD
EFHD
S
S
S
S
S
S
=
-
+
+
+
=
-
=
V
V
V
V
四边形
；
（3）解：过点B¢作B H
AC
¢
^
于点H，如图所示：
90
B HA
°
¢
\Ð
=
，
Rt
ABC
△
中，
90
ACB
Ð
=
°，
8
AC = ，
90
B HA
ACB
¢
\
°
Ð
= Ð
=
，
90
B
CAB
\Ð
+ Ð
=
°，
AB
AB
¢ ^
Q
于点A，AB
AB
¢ =
，
90
B AH
CAB
¢
\
°
Ð
+ Ð
=
，
B AH
B
¢
\Ð
= Ð
，
在
AB H
¢
△
和BAC
V
中，
90
B HA
ACB
B AH
B
AB
AB
Ð
= Ð
=
°
ì
ï
Ð
= Ð
í
ï
=
¢
¢
î
¢
，
AAS
AB H
BAC
\
¢
V
V
≌
，
8
B H
AC
¢
\
=
=
，
AB C
¢
\V
的面积为：1
1
8 8
32.
2
2
AC B H
¢
×
=
´ ´ =
12．【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，ABC
V
中，若
10
AB =
，
6
AC =
，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，
得到了如下的解决方法：延长AD 到E，使DE
AD
=
，连接BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到ADC
EDB
V
V
≌
，依据是___________．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD 的取值范围是___________；
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求
证的结论集中到同一个三角形之中．
【灵活运用】
(3)如图②，AD 是ABC
V
的中线，BE 交AC 于E，交AD 于F，AE
EF
=
．若
6
EF =
，
4
EC =
，求线段BF
的长．
【答案】(1)B
(2) 2
8
AD
<
<
(3)
10
BF =
【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可；
（2）根据三角形的三边关系计算；
（3）延长AD 到M，使AD
DM
=
，连接BM ，由SAS 证得
ADC
MDB
△
△
≌
，根据全等三角形的性质即可
得出答案．
【详解】（1）解：∵AD 是BC 边上的中线，
∴CD
BD
=
，
在ADC
V
和EDB
V
中，
CD
BD
CDA
BDE
AD
DE
=
ì
ïÐ
Ð
í
ï
=
î
＝
，
∴
(SAS)
ADC
EDB
≌
V
V
；
（2）解：∵AB
BE
AE
AB
BE
-
<
<
+
，即10
6
10
6
AE
-
<
<
+
，
∴4
16
AE
<
<
，
∵
1
2
AD
AE
=
，
∴2
8
AD
<
<
；
（3）解：延长AD 到M，使AD
DM
=
，连接BM ，如图2 所示：
∵AE
EF
=
，
6
EF =
，
∴
6
4
10
AC
AE
EC
=
+
=
+
=
，
∵AD 是ABC
V
的中线，
∴CD
BD
=
，
∵在ADC
V
和MDB
V
中，
CD
BD
ADC
MDB
AD
DM
=
ì
ïÐ
Ð
í
ï
=
î
＝
，
∴
(SAS)
ADC
MDB
≌
V
V
，
∴BM
AC
=
，
CAD
M
Ð
= Ð
，
∵AE
EF
=
，
∴
CAD
AFE
Ð
= Ð
，
∵
AFE
BFD
Ð
= Ð
，
∴
BFD
CAD
M
Ð
= Ð
= Ð
，
∴BF
BM
AC
=
=
，
即
10
BF =
．
13．已知：ABC
V
，点E ，点D 分别在边AC ，AB 上，延长BC 至点F ，连接ED ，DF ，DF 交AC 于点
G ．现有四个条件：
①ED
BF
∥
；②AD
BF
=
；③DE
BD
=
；④AE
DF
=
．
请从①②③④中任选三个作为条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并证明．
请写出你的条件________（填序号）结论________（填序号），并证明．
【答案】情况一：选取条件：①②③，结论：④
已知：ED
BF
∥
，AD
BF
=
，DE
BD
=
，
求证：AE
DF
=
证明：
ED
BF
Q
P
，
ADE
DBF
\Ð
= Ð
在ΔADE 和FBD
V
中
由
AD
FB
ADE
FBD
DE
BD
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
SAS
ADE
FBD
\V
V
≌
，
AE
DF
\
=
；
情况二：选取条件：②③④，结论：①
已知：AE
DF
=
，AD
BF
=
，DE
BD
=
，
求证： ED
BF
∥
证明：在ΔADE 和FBD
V
中
由
AD
FB
AE
FD
DE
BD
=
ì
ï
=
í
ï
=
î
，
SSS
ADE
FBD
\V
V
≌
，
ADE
FBD
\Ð
= Ð
，
ED
BF
\
∥
；
【详解】略
14．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
A
Ð
=
°，AB
AC
=
．D 是直线AB 上任意一点，连接CD，过点C 作
CE
CD
^
，且CE
CD
=
，过点E 作EF
AC
^
，垂足为F，连接BE ，分别交AC ，CD于点M，N．
(1)如图1，当点D 在线段AB 上时，AD 与CF 相等吗？为什么？
(2)在（1）的条件下，若
6
AB =
，
2
AD =
．
①AM 的长度为________；
②设
BNC
△
的面积为
1S ，四边形ADNM 的面积为
2
S ，则
1
2
S
S
-
的值为________；
(3)如图2，当点D 在线段BA 的延长线上时，点M 是线段BE 的中点吗？说明理由．
【答案】(1)解：AD
CF
=
，理由如下：
∵
90
A
Ð
=
°，
∴
90
ADC
ACD
Ð
+ Ð
=
° ；
∵CE
CD
^
，
∴
90
DCE
Ð
=
° ，
∴
90
ACD
FCE
+
=
°
∠
∠
，
∴
ADC
FCE
Ð
= Ð
；
∵EF
AC
^
，
∴
90
EFC
A
Ð
=
° = Ð ，
又∵CE
CD
=
，
∴
AAS
ADC
FCE
≌
△
△
，
∴AD
CF
=
；
(2)①2；②6
(3)解：点M 是线段BE 的中点，理由如下：
∵
90
BAC
Ð
=
° ，
∴
180
90
CAD
BAC
Ð
=
°- Ð
=
° ，
∴
90
ADC
ACD
Ð
+ Ð
=
°
∵CE
CD
^
，
∴
90
DCE
Ð
=
° ，
∴
90
ACD
FCE
+
=
°
∠
∠
，
∴
ADC
FCE
Ð
= Ð
，
∵EF
AC
^
，
∴
90
EFC
A
Ð
=
° = Ð ，
又∵CE
CD
=
，
∴
AAS
ADC
FCE
≌
△
△
，
∴EF
AC
=
，
又∵AC
AB
=
，
∴AB
EF
=
，
又∵
90 ,
BAM
EFM
AMB
FME
=
=
°
=
∠
∠
∠
∠
，
∴
AAS
AMB
FME
△
≌△
，
∴BM
EM
=
，
∴点M 是线段BE 的中点．
【分析】（1）证明
AAS
ADC
FCE
V
V
≌
，即可得到AD
CF
=
；
（2）①由全等三角形的性质得到FE
AC
=
，则可得到
4
AF
AC
CF
=
-
=
，FE
AB
=
，证明
AMB
FME
V
V
≌
，即可得到
1
2
2
AM
FM
AF
=
=
=
；②证明
SAS
ABM
ACD
V
V
≌
，得到
ABM
ACD
S
S
=
△
△
，则
可证明
BDN
CMN
S
S
=
△
△
，进而得到
1
2
BCM
ABM
S
S
S
S
-
=
-
△
△
，据此根据三角形的面积公式求解即可；
（3）先证明ADC
FCE
V
V
≌
，得到EF
AC
=
，再证明
AMB
FME
V
V
≌
，即可得到BM
EM
=
．
【详解】（1）略
（2）解：①由（1）得ADC
FCE
V
V
≌
，
2
CF
AD
=
=
，
∴FE
AC
=
；
∵
6
AC
AB
=
=
，
∴
4
AF
AC
CF
=
-
=
，FE
AB
=
，
∵EF
AC
^
，
∴
90
EFM
A
Ð
= Ð
=
° ，
又∵
AMB
FME
=
∠
∠
，
∴
AAS
AMB
FME
V
V
≌
，
∴
1
2
2
AM
FM
AF
=
=
=
；
②由（2）①得
2
AM
AD
=
=
，
又∵
,
A
A AB
AC
=
=
∠
∠
，
∴
SAS
ABM
ACD
V
V
≌
，
∴
ABM
ACD
S
S
=
△
△
，
∴
ABM
ACD
ADNM
ADNM
S
S
S
S
-
=
-
△
△
四边形
四边形
，
∴
BDN
CMN
S
S
=
△
△
，
∴
1
2
S
S
-
1
2
CMN
BDN
S
S
S
S
=
+
-
+
V
V
BCM
ABM
S
S
=
-
△
△
1
1
6
6
2
6 2
2
2
=
´ ´
-
-
´ ´
6
=
；
（3）略
15．探究下列问题：
(1)小林同学在探究三角形全等时，发现了下面这种基本图形，如图①，已知：在ABC
V
中，
90
BCA
Ð
=
° ，
CA
CB
=
，直线MN 经过点C ，AD
MN
^
，BE
MN
^
，垂足分别为点D ，E ．能直接得到线段DE ，AD ，
BE 三者之间的数量关系： ．
(2)当直线MN 绕点C 旋转到图②的位置时，求证：DE
AD
BE
=
-
；
(3)老师赞赏了小林同学的探索精神，并鼓励他运用这个方法来解决问题：如图③，以ABC
V
的边AB
AC
，
向外作正方形ABDE 和正方形ACFH
AH
，
是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点M ，当
3
BC = 时，AM = ．
【答案】(1) AD
BE
DE
+
=
(2)证明：
,
AD
DE BE
DE
^
^
Q
，
90
ADC
BEC
\Ð
= Ð
=
° ，
90
ACB
°
Ð
=
Q
，
90
ACD
BCE
\Ð
+ Ð
=
°，
90
DAC
ACD
Ð
+ Ð
=
° ，
DAC
BCE
Ð
Ð
\
=
，
在ADC
V
和CEB
V
中，
CDA
BEC
DAC
ECB
AC
BC
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
AAS
ADC
CEB
\V
V
≌
．
,
AD
CE CD
BE
\
=
=
，
∴DE
CE
CD
AD
BE
=
-
=
-
．
(3) 3
2
【分析】（1）先证明
90
ADC
BEC
Ð
= Ð
=
°，
DAC
BCE
= Ð
Ð
，再证明△
≌△
ADC
CEB ，再利用全等三角形
的性质可得结论；
（2）先证明
90
ADC
BEC
Ð
= Ð
=
°，
DAC
BCE
= Ð
Ð
，再证明△
≌△
ADC
CEB ，再利用全等三角形的性质
可得结论；
（3）过E 作EI
HM
^
于I ，过G 作GN
HM
^
的延长线于N ．结合由（1）和（2）的结论可知
EI
AH
GN
=
=
，证明EMI
GMN
V
V
≌
，设未知数从而可得结论．
【详解】（1）证明：
,
AD
DE BE
DE
^
^
Q
，
90
ADC
BEC
\Ð
= Ð
=
° ，
90
ACB
°
Ð
=
Q
，
90
ACD
BCE
\Ð
+ Ð
=
°，
90
DAC
ACD
Ð
+ Ð
=
° ，
DAC
BCE
Ð
Ð
\
=
，
在ADC
V
和CEB
V
中，
CDA
BEC
DAC
ECB
AC
BC
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
AAS
ADC
CEB
\V
V
≌
．
,
AD
CE CD
BE
\
=
=
，
DC
CE
DE
+
=
Q
，
AD
BE
DE
\
+
=
．
（2）略
（3）解：如图，
过E 作EI
HM
^
于I ，过G 作GN
HM
^
的延长线于N ，
90
EIM
GNM
\Ð
= Ð
=
° ，
由（1）和（2）的结论可知EI
AH
GN
=
=
，BH
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