专题2.7 指数与指数函数（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)了解根式的概念及性质，了解分数指数幂的含义，掌握指数幂的运算性质
(2)熟练掌握指数函数的图象与性质
高考真题
统计
考点
2024 年
2025 年
2026 年
指数与指数
函数
天津卷：第2 题，5
分
天津卷：第5 题，5
分
北京卷：第4 题，4
分
天津卷：第7 题，5
分
上海卷（秋考）：第
13 题，4 分
天津卷：第6 题，5
分
命题规律
分析
1、指数与指数函数
指数函数是常见的重要函数，指数与指数函数是高考常考的热点内容，
从近三年的高考情况来看，主要考查指数幂的运算、指数函数的性质，指
数函数较少单读考查，常结合幂函数与对数函数的图象与性质解决具体的
问题，包括：比较指对幂数的大小、解不等式等题型，主要以单选题的形
式考察，难度较易。
知识点
1
指数运算的解题策略
1．根式与分数指数幂
(1)根式的定义：式子
叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
(2)分数指数幂
①正数的正分数指数幂：
；
②正数的负分数指数幂：
；
规定：0 的正分数指数幂等于0；0 的负分数指数幂没有意义.
2．指数幂运算的一般原则
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底
数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.
指数与指数函数
考点1
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
知识点
2
指数函数的常见问题及解题思路
1．比较指数式的大小
比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
(2)不能化成同底数的，一般引入“ 0 或
1”
等中间量比较大小.
2．指数方程(不等式)的求解思路
指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
3．指数型函数的解题策略
涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单
调区间、最值等问题时，都要借助
同增异减
这一性质分析判断
“
”
.
【题型1 指数幂的运算】
【例1】（2026·北京大兴·三模）已知2
a=3,log25=b，则2
a−b的值为（ ）
A．15
B．5
3
C．3
5
D．−2
【变式1-1】（2026·四川自贡·一模）已知a>b>1，若logab+ logba= 5
2
，a
b=b
a，则ab=（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
【变式1-2】（2026·北京房山·一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续
不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其
增长符合模型：N (t )= N 0e
rt，其中N 0
为种群起始个体数量，r为增长系数，N (t )为t时刻的种群个体数量.
当t =3时，种群个体数量是起始个体数量的2 倍.若N (4)=150，则N (10)=（ ）
A．300
B．450
C．600
D．750
【变式1-3】（2026·浙江嘉兴·二模）若实数a,b满足e
ae
2b−1=1，则ab的最大值为（ ）
A．1
16
B．1
2
C．1
4
D．1
8
【题型2 指数函数的图象及应用】
【例2】（2026·安徽合肥·三模）当a<0时，函数f (x)=e
x
x
2−ax
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数y =
x
2
e
| x|−2
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2026·河南·三模）函数f (x)=(2
−x−2
x)|x)
x
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（25-26 高一上·湖南常德·阶段检测）函数f (x)= 2
x−2
−x
x
2−1
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型3 比较指数幂的大小】
【例3】（2026·重庆北碚·模拟预测）设a= 2
3 ，b=(
1
2)
2
3 ，c =(
2
3)
1
2，则（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>a>b
D．b>c>a
【变式3-1】（2026·天津河西·三模）设a=2.1
0.7，b=0.7
2.1，c =log2.10.7，则a，b，c的大小关系是
（ ）
A．a<b<c
B．c<a<b
C．a<c<b
D．c<b<a
【变式3-2】（2026·河南·模拟预测）已知a= log0.50.4，b=0.5
0.4，c = log45，则（ ）
A．a>c>b
B．a>b>c
C．c>a>b
D．b>c>a
【变式3-3】（2026·天津东丽·一模）已知a=(❑√0.25)
0.6,b= log40.6,c =(
1
4)
−0.3
则a，b，c 的大小关系是
（ ）
A．c<b<a
B．b<c<a
C．c<a<b
D．b<a<c
【题型4 解指数不等式】
【例4】（2026·重庆·模拟预测）已知集合A ={x| x ≤3}，B ={x|2
x>1}，则A ∩B =( )
A．(1,3]
B．(0,3]
C．(0,+∞)
D．(−∞,3]
【变式4-1】（2026·广东汕头·一模）“log3a>log3b
是
”
“3
a>3
b
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【变式4-2】（2026·陕西咸阳·二模）已知集合A ={x ∈N|x
2−2 x −3≤0))，B ={x|2
x≤4))，则A ∩B =
（ ）
A．{1,2)
B．{−1,0,1,2)
C．{0,1,2)
D．{0,1,2,3)
【变式4-3】（2026·江西南昌·一模）已知f (x)={
2
−x , x ≤−1
−x
2+ 4 x +1, x>−1)
，则不等式f (x)<1的解集为（ ）
A．(−∞,−1)
B．(4 ,+∞)
C．(−∞,0)∪(4 ,+∞)
D．(−1,0)∪(4 ,+∞)
【题型5 指数（型）函数的单调性问题】
【例5】（2026·广东广州·模拟预测）若函数f (x)=(
1
3)
x (x +a)在区间(0,2)单调递增，则a 的取值范围是
（ ）
A．(−∞,4)
B．[4 ,+∞)
C．[−4 ,+∞)
D．(−∞,−4)
【变式5-1】（2026·河南南阳·模拟预测）函数f ( x)=2
❑√x
2−4 x−21的单调递减区间为（ ）
A．(−∞,2]
B．(−∞,−3]
C．[2,+ ∞)
D．[7,+ ∞)
【变式5-2】（2026·江西·二模）若函数 f (x)=2025
∣x−a∣在区间[2026,+ ∞)上单调递增，则a 的取值范
围为（ ）
A．[2026,+ ∞)
B．(0,2026]
C．(−∞,2026)
D．(−∞,2026]
【变式5-3】（2026·陕西西安·模拟预测）若函数f (x)=2
x
2+ax−3在(1,+ ∞)上单调，则a的取值范围是
（ ）
A．[−2,+∞)
B．[−1,+∞)
C．(−∞,−2)
D．(−∞,−1)
【题型6 指数（型）函数的最值（值域）问题】
【例6】（2026·云南昆明·二模）已知函数f (x)=2|x)+|x), x∈[−1,2)，则f (x)的最大值与最小值之差为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式6-1】（2026·海南·一模）若函数f (x)=a
x
2 −1(a>0且a≠1)在区间[0,4)上的值域为[0,4)，则a=
（ ）
A．❑√3
B．❑√5
C．3
D．5
【变式6-2】（2026·湖南岳阳·模拟预测）若函数y =3
x+m在[0,2)上的最小值与最大值的和等于24，则m=
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【变式6-3】（2026·安徽六安·模拟预测）若f ( x)是定义在R上的偶函数，当x ≤0时，f ( x)=|2
x−4|，则
函数f ( x)在[−1,1]上的值域为（ ）
A．[3, 7
2 ]
B．[−3,0]∪[3,+ ∞)
C．[−2, 7
2 ]
D．[−3,2]
一、单选题
1．（2026·重庆·模拟预测）已知集合A =¿，则A ∩B =（ ）
A．{−2, −1, 0, 1, 2)
B．{0, 1, 2)
C．{1, 2)D．{−3, 3)
2．（2026·山西忻州·模拟预测）设a= 4
0.1，b=2
0.3，c = log43，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>a>b
D．b>c>a
3．（2026·安徽合肥·模拟预测）函数y ={
(
4
3)
x
,
−1≤x ≤0
x
4
3 ,
0< x ≤1 )
的值域为（ ）
A．(0,1]
B．[
3
4 ,1)
C．( 3
4 ,1]
D．[0,1)
4．（2026·天津滨海新区·三模）已知实数a,b,c满足a=0.5
a，b=0.5
1
a
2，c = ln a，则a,b,c的大小关系为
（ ）
A．a<c<b
B．b<a<c
C．c<a<b
D．c<b<a
5．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数f (x)=3
a x
2−2 x在[−1,+ ∞)上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A．[−1,+∞)
B．(−∞,−1)
C．[−1,0)
D．[−1,0)
6．（2026·北京·三模）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是T 0，
t min后的温度是T，则T −T a
T 0−T a
=2
−t
h，其中T a
表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯88
∘C的咖啡放在
24
∘C的房间中，如果咖啡降温到40
∘C大约需要20min，那么降温到30
∘C大约需要（ ）（参考数据；
lg2≈0.301,lg3≈0.477）
A．33min
B．34 min
C．35min
D．36min
7．（2026·天津·模拟预测）已知a，b>0，则“a
0.5<b
0.5<1
是
”
“0.5
b<0.5
a
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（2026·河南驻马店·模拟预测）关于函数f (x)=
2
x
2
x+1
，有如下描述：①f (x)的定义域为R；②f (x)的值
域为(0,1)；③f (x)是减函数；④f (x)的图象关于点(0, 1
2)对称．其中描述正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、多选题
9．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）以下运算正确的是（ ）
A．5√(−0.1)
5=0.1
B．(lg2)
2+lg2lg25+(lg5)
2=1
C．(
16
81)
−3
4 = 8
27
D．e
2+ ln2=2e
2
10．（25-26 高一上·黑龙江牡丹江·期中）已知函数f (x)=a
x(a>0，且a≠1)，若f (3)=8，则下列说法正
确的有（ ）
A．f (−1)= 1
2
B．f (5)=16
C．f (x)是增函数
D．不等式f (x
2+3 x +1)<32
的解集是(−4,1)
11．（2026·四川成都·模拟预测）已知函数f (x)=e
x−1
e
x+1
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f (x)的定义域为R
B．函数f (x)的值域为(−1,1)
C．f (x)+ f (−x)=0
D．函数f (x)为减函数
三、填空题
12．（2026·上海闵行·一模）已知a>0，b>0，化简：
3√b
3√b
13 ⋅(a2−❑√3b)
2+ ❑√3⋅b2−❑√3=__________.
13．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数y =a
x−2025+2025（a>0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P
的坐标为__________．
14．（2026·吉林长春·二模）已知函数f (x)=2
x−2
−x，若f (2
a)+ f (−4)>0，则a的取值范围是
___________．
四、解答题
15．（2026·四川眉山·一模）计算下列各式的值：
(1)(log105)
2+2log102−(log102)
2；
(2)(2 1
4)
1
2 −(−7.8)
0−(3 3
8)
2
3 +(
2
3)
−2
.
16．（2026·上海黄浦·二模）已知f (x)=2
x．
(1)若f (x)−f (2−x)=3，求x的值；
(2)是否存在实数a，使函数y = f (x)+af (−x)是奇函数？请说明理由．
17．（25-26 高一下·上海·期中）已知函数y =1−
m
5
x+1
，x∈R是奇函数，m为实数．
(1)求m的值；
(2)当x∈[−1,2)时，求函数y =1−
m
5
x+1
的值域．
18．（2026·上海黄浦·三模）已知函数f (x)=m⋅2
x+2
−x．
(1)判断函数f (x)=m⋅2
x+2
−x的奇偶性并说明理由；
(2)当m=1时，若存在x∈(0,+ ∞)，使得f (x)=t ⋅2
x+1成立，求实数t 的取值范围.
19．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知函数f (x)=b⋅a
x（其中a，b为常数，且a>0，a≠1）的图象经过
点A (1,6)，B (3,24)．
(1)求f (x)的解析式；
(2)若不等式(
1
a)
x
+(
1
b)
x
−m≥0在(−∞,1)上恒成立，求实数m的取值范围．
