专题2.5 幂函数与指、对数函数（举一反三复习讲义）
【全国通用】
命题规律
分析
1、幂函数与指、对数函数
幂函数、指数函数与对数函数是高中三类常见的重要函数，在历年的高
考中都占据着重要的地位，是高考常考的重点、热点内容.从近几年的高考
情况来看，对幂函数、指数函数与对数函数的考查，主要以基本函数的性
质为依托，结合指、对数的运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象
与性质解决具体的问题，包括比较指对幂数的大小、指数与对数的应用、
解不等式等热点题型.在复习过程中要掌握相关知识，能对常见的指数型函
数、对数型函数进行灵活处理.
高考真题
统计
考点
2023 年
2024 年
2025 年
幂函数与
指、对数
I 卷：第4 题，5 分
全国甲卷（文数）：
新课标I 卷：第6 题，
5 分
全国一卷：第8 题，5
分
函数
第11 题，5 分
北京卷：第4 题，4 分
天津卷：第2 题，5 分
天津卷：第5 题，5 分
北京卷：第7 题，4 分
北京卷：第4 题，4 分
北京卷：第9 题，4 分
天津卷：第7 题，5 分
上海卷：第14 题，4
分
2026 年
命题预测
预测在2026 年全国卷高考数学中，对幂函数与指、对数函数的考查仍
为必考重点，考情较为稳定。题型主要以单选题或填空题的形式考查，分
值占比固定。命题形式主要以指对幂数比较大小、指数与对数的应用、指
数函数与对数函数的图象与性质等考查方向为主，难度不大。
知识点
1
幂函数及其解题策略
1．幂函数的解析式
幂函数的形式是
(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.
2．幂函数的图象与性质
在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,+∞)上，幂函数
中指数越大，函数图象越远离 x 轴.
3．比较幂值的大小
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂
函数的图象和性质是解题的关键.
知识点
2
指数、对数运算的解题策略
1．指数幂运算的一般原则
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
必须同底
①
数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
2．对数运算的常用技巧
(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然
后用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的
积、商、幂再运算.
(3)指对互化：
(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意
互化.
知识点
3
指数函数与对数函数的常见问题及解题思路
1．比较指数式的大小
比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
(2)不能化成同底数的，一般引入“
0 或
1”
等中间量比较大小.
2．指数方程(不等式)的求解思路
指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
3．指数型函数的解题策略
涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单
调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
4．对数函数图象的识别及应用
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最
低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
5．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：
一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与
1 的大小关系；三是复合函数的构成，即它是
由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
【题型1 指数的运算】
【例1】（2025·河南新乡·二模）(
8
2
❑√5)
3+ ❑√5
=（ ）
A．16
B．8 ❑√2
C．32
D．16 ❑√2
【变式1-1】（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数x，y满足2
x⋅4
y = 4
xy，则2 x + y的最小值是（ ）
A．2❑√2
B．9
C．9
2
D．13
【变式1-2】（2025·辽宁葫芦岛·一模）标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力
记录方式．标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的
1
10√10
，若视力4.0 的视标边长约为10cm，则视力4.9 的视标边长约为（ ）
A．10√10
B．10√10
8
C．1
10√10
D．
1
10√10
8
【变式1-3】（2025·浙江嘉兴·二模）若实数a,b满足e
ae
2b−1=1，则ab的最大值为（ ）
A．1
16
B．1
2
C．1
4
D．1
8
【题型2 对数的运算】
【例2】（2025·浙江金华·一模）已知
1
log9a +
1
log27a = 5
3，则a=（ ）
A．3
B．9
C．27
D．81
【变式2-1】（2025·北京海淀·三模）历史上，在5 月27 日曾有多次地震记录．例如：2006 年5 月27 日，
印尼爪哇发生里氏6.3 级地震，2024 年5 月27 日，四川木里县发生里氏5.0 级地震，经过科学家的研究发
现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg E = 4.8+1.5 M．印尼爪
哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（ ）倍．（精确到1．参考数据：
lg87.5≈1.942,lg88.5≈1.947,lg89.5≈1.952,lg90.5≈1.957）
A．87
B．88
C．89
D．90
【变式2-2】（2025·天津河北·模拟预测）已知a=lg2，b=lg3，则lg12可以表示为（ ）
A．a
2b
B．2ab
C．a+2b
D．2a+b
【变式2-3】（25-26 高一上·新疆·期中）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以
成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把(1+1%)
365看作是
每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01
365≈37.7834；而把(1−1%)
365看作是每天“退步”率都是1%，
一年后是0.99
365≈0.0255；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的1.01
365
0.99
365 ≈1481倍.那么当“进步”
的值是“退步”的值的2 倍，大约经过（ ）天.
（参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010)
A．9
B．15
C．25
D．35
【题型3 幂函数的图象与性质】
【例3】（2025·湖南·一模）已知幂函数f (x)=(m
2+2m−2) x
m+2在(0,+∞)上单调递增，则m 的值为
（ ）
A．1
B．-3
C．-4
D．1 或-3
【变式3-1】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知幂函数f (x)=(m
2+m−1) x
m的图象与坐标轴无公共点，
则m=（ ）
A．－2
B．1
C．－2 或1
D．－1 或2
【变式3-2】（2025·江苏盐城·三模）“m=2”是“f (x)=(m
2−m−1) x
m
2+2m−3为幂函数”的（ ）条
件．
A．充要
B．必要不充分
C．既不充分也不必要 D．充分不必要
【变式3-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）关于函数f (x)= x
−2，下列说法错误的是（ ）
A．函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+ ∞)
B．函数的值域为(0,+ ∞)
C．函数在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增
D．函数是偶函数
【题型4 指数、对数函数的定义域与值域问题】
【例4】（2025·云南昆明·模拟预测）函数f (x)={
2
x−1, x<−2
x
2−1, x ≥−2)
的值域为（ ）
A．[−1,+∞)
B．(−1,−3
4)
C．R
D．[−1,−3
4)
【变式4-1】（2025·陕西西安·模拟预测）关于函数f (x)=lg(
2
1−x −1)，下列说法不正确的是（ ）
A．f (x)的定义域为(−1,1)
B．f (x)在区间(0,1)上单调递增
C．f (x)的值域为(
1
10 ,10)
D．f (x)的图象关于原点对称
【变式4-2】（2025·海南·一模）若函数f (x)=a
x
2 −1(a>0且a≠1)在区间[0,4)上的值域为[0,4)，则a=
（ ）
A．❑√3
B．❑√5
C．3
D．5
【变式4-3】（2025·河北·模拟预测）已知函数f (x)={
4−2
x , x ≤1
1+loga(x +1), x>1)
，若f (x)的值域为[2,+∞)，则
实数a的取值范围是（ ）
A．(1,❑√2)
B．(❑√2,2)
C．(1,
3√2)
D．(
3√2,2)
【题型5 指数、对数函数的图象问题】
【例5】（2025·河南·三模）函数f (x)=(2
−x−2
x)|x)
x
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】（25-26 高三上·天津东丽·开学考试）函数f (x)= x
2−ln|x)的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（2025·辽宁·模拟预测）函数f (x)= 9
x−1
3
x⋅x
2
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）函数f ( x)=(|4−x
2)−4)ln(4−x
2)的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型6 指数、对数函数的单调性问题】
【例6】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知ln a
2−ln a=1，则函数f ( x)=a
x
2−2 x的单调递增区间为（ ）
A．(−∞,0)
B．(−∞,1)
C．[0,+ ∞)
D．[1,+∞)
【变式6-1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数f ( x)=lg(x
2−ax−5)在(5,+∞)上单调递增，则a的取
值范围是（ ）
A．(−∞,4)
B．(−∞,4)
C．(4 ,+∞)
D．[4 ,+∞)
【变式6-2】（2025·山东济宁·二模）若函数f (x)=(
1
2)
x
2−ax在[1,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是
（ ）
A．a≤2
B．a≥2
C．a≤1
D．a≥1
【变式6-3】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数f (x)= log2(x
2−2 x)的单调递增区间为（ ）
A．(2,+∞)
B．(1,+∞)
C．(−∞,1)
D．(−∞,0)
【题型7 指对幂数比较大小】
【例7】（2025·湖南·一模）若a= log7 7
2，b=7
0.1，c =(
2
7)
−0.1
，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．c<a<b
B．a<b<c
C．a<c<b
D．c<b<a
【变式7-1】（2025·四川绵阳·一模）已知a= 3
2 ,b=log34 ,c =e
1
2，则（ ）
A．b<a<c
B．a<b<c
C．c<b<a
D．a<c<b
【变式7-2】（2025·河南·模拟预测）设a=(
1
3)
1
3 ,b=log1
2
2
5 ,c =3
−1
4，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a<c<b
B．b<c<a
C．c<b<a
D．c<a<b
【变式7-3】（2025·天津·二模）已知a= 4.5
4.5，b=5.4
5.4，c = log4.55.4，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<b<a
D．c<a<b
【题型8 解不等式问题】
【例8】（2025·广东肇庆·一模）已知f ( x)=e
x−e
−x，若f (x +1)+ f (x−1)>0成立，则x 的取值范围是
（ ）
A．(0,+∞)
B．(1,+∞)
C．(−1,+∞)
D．(−∞,0)∪(0,+∞)
【变式8-1】（2025·山西临汾·三模）已知f (x)=log2(1+ 4
−x)+ x，则满足f (2m−3)<f (m)的实数m 的取
值范围为（ ）
A．(1,3)
B．(
3
2 ,3)
C．(−∞,3)
D．(3,+∞)
【变式8-2】（2025·湖南·模拟预测）设函数f (x)=e|x−1)+1，则使得f (x−1)<f (−x)成立的x的取值范围
是（ ）
A．(0, 1
2)
B．(
1
2 ,+ ∞)
C．(−∞, 1
2)
D．(−1
2 , 1
2)
【变式8-3】（2025·四川绵阳·二模）已知定义在R上的函数g(x)=e
x−e
−x+ f (x)，其中g(x)是奇函数且在
R上单调递减，f (log2 x)+ f (2)>0的解集为（ ）
A．(−∞, 1
4)
B．(0, 1
4)
C．(
1
4 ,+ ∞)
D．(4 ,+ ∞)
【题型9 指数函数与对数函数的综合应用】
【例9】（2025·河北·模拟预测）若函数f ( x)=a
log2(−x
2+2 x +3)（a>0且a≠1）的最大值为3，则a=（ ）
A．1
3
B．❑√3
C．2
D．3
【变式9-1】（2025·河北石家庄·一模）已知函数f ( x)= x
2+ ln(e
x+e
−x)−2，则不等式
f ( x +2)≤f (2 x−3)的解集为（ ）
A．[−5,−1
3)
B．(−∞,−5]∪[−1
3 ,+ ∞)
C．[
1
3 ,5)
D．(−∞, 1
3)∪[5,+∞)
【变式9-2】（2025·四川资阳·一模）已知函数f ( x)=2
x⋅log2(2 x−2)−1，g( x)=3
x⋅log3(3 x−3)−1
，h( x)= log5(5 x−5)−5
−x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>a>c
D．c>b>a
【变式9-3】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数f ( x)={
1
2
x−1 ，x<0
2a
( x +1)
2 ，x ≥0
(a≠0))
在R上单调，且
f (loga x)≤8在[2,4 ]上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．0<a≤1
B．0<a≤1
2
C．0<a≤
❑√2
2
D．
❑√2
2 ≤a<1
点
幂函数与指、对数函数
考
一
一、单选题
1．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要的时间
T =k log2 N（单位：h），其中k 为常数．在此条件下，已知训练数据量N 从10
6个单位增加到1.024×10
9
个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N 从1.024×10
9个单位增加到4.096×10
9个单位时，训练时
间增加（ ）
A．2h
B．4h
C．20h
D．40h
2．（2025·天津·高考真题）函数f ( x)=0.3
x−❑√x的零点所在区间是（ ）
A．(0,0.3)
B．(0.3,0.5)
C．(0.5,1)
D．(1,2)
3．（2025·上海·高考真题）设a>0,s∈R．下列各项中，能推出a
s>a的一项是（ ）
A．a>1，且s>0
B．a>1，且s<0
C．0<a<1，且s>0
D．0<a<1，且s<0
4．（2025·全国一卷·高考真题）已知2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z，则x，y，z 的大小关系不可能是
（ ）
A．x> y > z
B．x> z> y
C．y > x> z
D．y > z> x
5．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知函数f ( x)={
−x
2−2ax−a, x<0
e
x+ ln( x +1), x ≥0)
在R 上单调递增，则a 的取值范
围是（ ）
A．(−∞,0]
B．[−1,0]
C．[−1,1]
D．[0,+ ∞)
6．（2024·北京·高考真题）已知(x1, y1)，(x2, y2)是函数y =2
x的图象上两个不同的点，则（ ）
A．log2
y1+ y2
2
< x1+ x2
2
B．log2
y1+ y2
2
> x1+ x2
2
C．log2
y1+ y2
2
< x1+ x2
D．log2
y1+ y2
2
> x1+ x2
7．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 d = S−1
ln N
是河流水质的一个评价指标，其中S , N分别表示河
流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数
S没有变化，生物个体总数由N 1变为N 2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ）
A．3 N 2=2 N 1
B．2 N 2=3 N 1
C．N 2
2= N 1
3
D．N 2
3= N 1
2
8．（2024·天津·高考真题）设a= 4.2
−0.2，b= 4.2
0.2，c =log4.20.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<b<a
D．c<a<b
9．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）设函数f ( x)=( x +a)ln( x +b)，若f ( x)≥0，则a
2+b
2的最小值为
（ ）
A．1
8
B．1
4
C．1
2
D．1
10．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是（ ）
A．f ( x)=−ln x
B．f ( x)= 1
2
x
C．f ( x)=−1
x
D．f ( x)=3
| x−1|
二、填空题
11．（2024·全国甲卷·高考真题）已知a>1且
1
log8a −
1
loga4 =−5
2，则a=
．
12．（2023·北京·高考真题）已知函数f ( x)= 4
x+ log2 x，则f(
1
2)= ．
