文档内容
第一篇 热点、难点突破篇
专题02 函数的概念和性质（讲）
真题体验 感悟高考
1．（2022·天津·高考真题）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出 、 、 的大小关系.
【详解】因为 ，故 .
故答案为：C.
2．（2021·全国·高考真题（理））设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
通过 是奇函数和 是偶函数条件，可以确定出函数解析式 ，进而利用定义或周
期性结论，即可得到答案．
【详解】
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路一：从定义入手．
所以 ．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 的周期 ．
所以 ．
故选：D．
3．（2022·全国·高考真题）已知函数 的定义域为R，且 ，则
（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意赋值即可知函数 的一个周期为 ，求出函数一个周期中的 的值，即可解出．
【详解】
因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可得，，即 ，所以函数 为偶函数，令 得，
，即有 ，从而可知 ，
，故 ，即 ，所以函数 的一个周期为 ．
因为 ， ， ，
， ，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．
故选：A．
4．（2022·全国·高考真题（文））若 是奇函数，则 _____， ______．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若 ，则 的定义域为 ，不关于原点对称
若奇函数的 有意义，则 且
且 ，
函数 为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得 ，
由 得， ，
，故答案为： ； ．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数 为奇函数
[方法三]：
因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为
，再由 可得， ．即 ，在定义域内
满足 ，符合题意．
故答案为： ； ．
5.（2015·福建·高考真题（理））若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的
取值范围是__________．【答案】
【解析】
【详解】
试题分析：由于函数 的值域是 ，故当 时，满足 ，
当 时，由 ，所以 ，所以 ，所以实数 的取值范围
.
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等，主要考查求函数的定义域、分段
函数的函数值的求解或分段函数中参数的求解及函数图象的识别．难度属中等及以上.
2.以基本初等函数的图象、性质为载体，利用函数性质比较大小是常见题型.
3.函数的对称性、奇偶性、周期性及单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，考查性
质的综合、灵活地应用能力．
4.此部分内容多以选择题、填空题形式出现，函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，有时在压轴题的
位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题．
（二）本专题考向展示
考点突破 典例分析
考向一 函数的概念与表示【核心知识】
一． 函数的定义域
1. 求具体函数的定义域时，注意要使函数有意义.
2. 复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域．
二．分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．
【典例分析】
典例1.（2022·浙江·高考真题）已知 ，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为 ， ，即 ，所以 ．
故选：C.
典例2.（2022·北京·高考真题）函数 的定义域是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】
解：因为 ，所以 ，解得 且 ，
故函数的定义域为 ；
故答案为：
典例3.（2022·天津市瑞景中学高三期中）已知函数 ，则 （ ）A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据自变量所在的范围代入解析式求解即可.
【详解】∵ ，
∴ ，
则 .
故选：B.
典例4.（浙江·高考真题（理））已知函数 ，则 ， 的最小值是 ．
【答案】 ， .
【解析】
【详解】
，
若 ： ，当且仅当 时，等号成立；
若 ： ，当且仅当 时，等号成立，故可知 ．
【特别提醒】对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确找出利用哪一段求解.
考向二 单调性与奇偶性
【核心知识】
1．函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：
f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)．2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法．复合函数的单调性牢记“同增异减”.
3. 奇函数在其图象关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在其图象关于原点对称的单调区间内
有相反的单调性，即“奇同偶反”.
【典例分析】
典例5.（2021·全国·高考真题（理））设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】
由题意可得 ，
对于A， 不是奇函数；
对于B， 是奇函数；
对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
典例6.（2019·全国·高考真题（理））设 是定义域为 的偶函数，且在 单调递减，则（ ）
A．
B．
C．D．
【答案】C
【解析】
由已知函数为偶函数，把 ，转化为同一个单调区间上，再比较大小．
【详解】
是R的偶函数， ．
，
又 在(0，+∞)单调递减，
∴ ，
，故选C．
典例7.（2020·海南·高考真题）若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的x
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转
化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，
故选：D.
典例8.（2019·全国·高考真题（理））已知 是奇函数，且当 时， .若 ，则
__________.
【答案】-3
【解析】
【分析】
当 时 ， 代入条件即可得解.
【详解】
因为 是奇函数，且当 时 ， ．
又因为 ， ，
所以 ，两边取以 为底的对数得 ，所以 ，即 ．
【规律方法】
1.研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．
2.利用函数的奇偶性和周期性可以把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解.
考向三 基本初等函数的性质及其应用
【核心知识】
一．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝log x(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象
a
和性质分01两种情况，着重关注两函数图象的异同．二．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3， ，－1五种情况．
典例8.（2020·海南·高考真题）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出 的定义域，然后求出 的单调递增区间即可.
【详解】由 得 或
所以 的定义域为
因为 在 上单调递增
所以 在 上单调递增
所以
故选：D
典例9.（2022·福建·福州三中高三阶段练习）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先得到 在 上单调递增，则 ，然后再逐个分析判断即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
令 ，
因为 和 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
所以由 ，得 ，对于A，当 时，满足 ，而 ，所以A错误，
对于B，当 时，满足 ，而 ，所以B错误，
对于C，当 时，满足 ，而 ，所以C错误，
对于D，因为 ，所以 ，因为 在 上单调递增，所以 ，所以D正确，
故选：D
典例10.【多选题】（2022·重庆·高三阶段练习）已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合不等式的性质逐项分析即得.
【详解】A选项，∵ ，∴ 单调递增，∴ ，故A错误；
B选项，由 可知函数 单调递增，又 ，
故 ，∴ ，即 ，故B正确；
C选项，由题可知 ， ， ，故 ，即
，故C正确；
D选项，函数 单调递减， 单调递增， ，故 ，故D错误.
故选：BC.
典例11.（2022·重庆·高三阶段练习）已知 且 ，函数 有最小值，则 的取值范
围是___________.【答案】
【分析】根据对数函数的性质可得当 时函数无最小值，不符合题意；当 时，利用基本不等式求出
在 上的最小值 ，利用对数函数的性质求出 在 上的值域为 ，列出
不等式 ，解之即可.
【详解】当 时， x在（0，a）上单调递增，所以值域为（-∞，1），
故函数f（x）无最小值，不符合题意；
当 时， 上有 ，
所以 ，当且仅当 即 时等号成立，
所以 的最小值为
x在（0，a）上单调递减，所以值域为（1，+∞），
故函数f（x）有最小值只需 ，即 ，所 .
故答案为： .
【规律方法】
1．三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较
(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；
(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；
(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小．
2．[特别提醒]
(1)对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论；
(2)解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用性质求解.
考向四 周期性与对称性
【核心知识】1.周期性常用的几个结论如下：
（1） 对 时，若 或 （ ）恒成立，则 是
的一个周期；
（2） 对 时，若 或 或 （ ）恒
成立，则 是 的一个周期；
（3）若 为偶函数，其图象又关于 对称，则 是以 为一个周期的周期函数；
（4）若 为奇函数，其图象又关于 对称，则 是以 为一个周期的周期函数.
2.函数的对称性：
若 ，则函数 关于 中心对称；
若 ，则函数 关于 对称.
【典例分析】
典例12. （2021·全国·高考真题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
推导出函数 是以 为周期的周期函数，由已知条件得出 ，结合已知条件可得出结论.
【详解】
因为函数 为偶函数，则 ，可得 ，因为函数 为奇函数，则 ，所以， ，
所以， ，即 ，
故函数 是以 为周期的周期函数，
因为函数 为奇函数，则 ，
故 ，其它三个选项未知.
故选：B.
典例13.（2022·全国·高考真题（理））已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对称性和已知条件得到 ，从而得到 ，
，然后根据条件得到 的值，再由题意得到 从而得到 的值即可
求解.
【详解】
因为 的图像关于直线 对称，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，所以 ，
.
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，
所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为R，
所以
因为 ，所以 .
所以 .
故选：D
典例14.（2022·江苏·南京市第一中学高三期中）已知 是定义在 上的奇函数且 为偶函数，当
时， 且 ．若 ，则 ____．
【答案】8
【分析】根据已知条件可得 的对称中心 ，对称轴 ，可得 为 的一个周期，由
、 以及 列关于 的方程组，进而可得 时，
的解析式，再利用周期性即可求解.
【详解】解：因为 为奇函数，所以 的图象关于点 中心对称，因为 为偶函数，所以 的图象关于直线 对称，
根据条件可知 ，则 ，
即 为 的一个周期，则 ，
又因为 ， ，
所以 ，解得 或 （舍），
所以当 时， ，
所以 ，
故答案为： .
【总结提升】
1.函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是
函数值随自变量变化而变化的规律.因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定函数在另一个
区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.
2
2．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝ 计算．递
推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x
－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．
3.判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数
的其他性质综合命题．
4.根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是
函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
考向五 函数的零点
【核心知识】
1．函数的零点及其与方程根的关系
对于函数f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
2．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间
(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
典例15.（2022·北京·北师大实验中学高三期中）设函数 则其零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别计算 ， ， ， ， ，根据零点存在定理结合函数的单调性，得到答案.
【详解】函数 ，
所以 ， ，
， ， ，
又 ，因为函数 在 上为单调递增，函数 在 上单调
递减，所以函数 在 上单调递增，结合零点存在定理，可知 的零点所在区间为
.
故选：B.
典例16.【多选题】（2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高三阶段练习）已知函数 是定义在 上的
奇函数，对 都有 成立，当 且 时，有 ，则下列说法正确
的是（ ）
A．B． 在 上有5个零点
C．
D．直线 是函数 图象的一条对称轴
【答案】ABC
【分析】根据 和奇函数的结论：求出 和函数的周期，进而判断出ABC正确；举反例
判断出D正确性．
【详解】由题意，令x＝0代入 得， ，
∵函数 是定义在R上的奇函数，
∴ ，则f（1）＝0，故选项A正确；
又∵对 x∈R都有 成立，
∀
∴f（x）＝f（x＋2），
则函数 是以2为周期的周期函数，
又由 得
∴f（2022）＝f（2×1011＋0）＝f（0）＝0
故选项C正确；
又f（−2）＝f（0）＝f（2）＝0，
故在 上， 均为 的零点
∵当x∈（0，1]且 时，有 ，
即当 时有
∴ 在（0，1]上单调递减，
由奇函数的性质可得 上单调递减，再由周期性可得 在 ， ，（0，1]， 上均单调递减，
在[−2，2]上有5个零点，即选项B正确；
，若直线 是函数 图象的一条对称轴，
则
，得 ，
由选项C得 不是函数 的零点，故选项D不正确，
故选：ABC．
典例17.（2020·山东·高考真题）若 ，则实数 的值是______.
【答案】
【分析】根据对数运算化简为 ，求解 的值.
【详解】 ，
即 ，解得： .
故答案为：
典例18.（2022·上海大学附属南翔高级中学高三期中）已知函数 ，其中 ，
若方程 有三个不同的实数根，则实数k的取值范围_____________．
【答案】
【分析】根据题意，讨论 ， 与 时， 的图像与 的的图像的交点问题，利用数形
结合，即可得到答案.【详解】
如图， ，则 的图像如上，明显地， 与 不可能有交点，故
时不符题意；
如图， ，则 的图像如上，明显地， 与 有三个不同交点时，
必有 ，解得 ，
而 时，明显不符题意；
故答案为：
【总结提升】
（一）判断函数零点个数的方法：
(1)利用零点存在性定理判断法．
(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个
函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．
（二）利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
1.直接法：根据函数零点存在性定理构建不等式确定参数的取值范围；
2.数形结合法：把方程f(x)＝0化为g(x)＝h(x)，通过函数y＝g(x)，y＝h(x)的交点个数确定参数值的集合．把
方程f(x)＝0化为g(x)＝h(x)的基本思想是
（1）如果参数能够分离，且分离参数后，另一端的函数性质较易研究，则采用分离参数的方法．
（2）如果参数不易分离，或者分离参数后另一端的函数性质较难研究，则尽可能把参数与x的一次式放在一
起，这样含参数的函数图象为直线，利用直线与函数图象的交点确定参数范围.
3.分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题.
