专题3.1 导数的概念及其意义、导数的运算（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 导数的定义及其应用】..............................................................................................................................2
【题型2 （复合）函数的运算】..............................................................................................................................3
【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】..............................................................................................................4
【题型4 求曲线的切线方程】..................................................................................................................................4
【题型5 与切线有关的参数问题】..........................................................................................................................5
【题型6 切线的条数问题】......................................................................................................................................5
【题型7 两条切线平行、垂直、公切线问题】.....................................................................................................6
【题型8 与切线有关的最值问题】..........................................................................................................................6
1、导数的概念及其意义、导数的运算
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解导数的概念、掌握
基本初等函数的导数
(2)通过函数图象，理解导
数的几何意义
(3)能够用导数公式和导数
的运算法则求简单函数的
导数，能求简单的复合函
数的导数
2023 年全国甲卷（文数）：
第8 题，5 分
2024 年新课标I 卷：第13
题，5 分
2024 年全国甲卷（文数）：
第7 题，5 分
2024 年全国甲卷（理数）：
第6 题，5 分
2025 年全国一卷：第12 题，
5 分
导数是高考数学的必考内容，导数
的概念及其意义、导数的运算是高考常
考的热点内容，从近几年的高考情况来
看，主要涉及导数的运算及几何意义，
一般以选择题、填空题的形式考察导数
的运算、求曲线的切线方程，导数的几
何意义也可能会作为解答题中的一问进
行考查，试题难度属中低档.
知识点
1
导数的运算的方法技巧
1．导数的运算的方法技巧
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
知识点
2
复合函数的导数
1．复合函数的定义
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数
y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
2．复合函数的求导法则
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为
=
，即y 对x 的导数等于y 对u
的导数与u 对x 的导数的乘积.
3．求复合函数导数的步骤
第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步：变量回代：把中间变量代回.
知识点
3
切线问题及其解题策略
1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
(1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).
2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
(1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；
(2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；
(3)将已知条件代入②中的切线方程求解.
3．与切线有关的参数问题的解题策略：
(1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；
②切点在切线上，故满足切线方程；
③切点在曲线上，故满足曲线方程.
(2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.
4．公切线问题的解题思路
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把
两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切
可用判别式法.
【题型1 导数的定义及其应用】
【例1】（24-25 高二下·河南·期末）已知函数f (x)= x
2−2 x−3，则f (x)从1 到1+Δ x的平均变化率为
（ ）
A．Δ x +3
B．2Δ x−1
C．Δ x
D．(Δ x)
2−Δ x
【变式1-1】（24-25 高二下·海南海口·期中）一物体做直线运动，其位移y（单位：m）与时间t（单位：
s）的关系是y (t )=t
2+ 4t，则物体在t =2s时的瞬时速度为（ ）
A．2m /s
B．6 m /s
C．8 m /s
D．12m /s
【变式1-2】（24-25 高二下·湖北十堰·期末）已知函数f (x)在x = x0处可导，若
lim
Δ x→0 f (x0+2 Δ x)−f (x0−Δ x)
Δ x
=12
，则f
′(x0)=（ ）
A．4
B．6
C．−6
D．−4
【变式1-3】（24-25 高二下·北京·期中）物体甲、乙在时间0 到t1范围内，路程的变化情况如图所示，下列
说法正确的是（ ）
A．在0 到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在0 到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
C．在t =t0时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度
D．在t =t0时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
【题型2 （复合）函数的运算】
【例2】（2025·湖北·模拟预测）已知函数f (x)和它的导函数f
′ (x)的定义域均为R，且f (x +2)+ f (−x)=2
，f
′ (x +2)为奇函数．若f (0)=0，则∑
i=1
2025
f (i)=（ ）
A．1
B．2
C．2025
D．2026
【变式2-1】（2025·陕西安康·三模）已知函数f (x)及其导函数f
′ (x)的定义域均为R，若f
′ (x)为奇函数，
f (x +1)+ x为偶函数，则f
′ (101)=（ ）
A．−101
B．101
C．0
D．−1
【变式2-2】（2025·山东潍坊·模拟预测）已知函数f (x)及其导函数f
′ (x)的定义域均为(0,+∞)，
f (x
2+1)= f
2( x)+ f
2(1)+ x
2，且f (1)=1，f
′(1)= 1
2
，则f
′(5)=（ ）
A．9
4
B．11
4
C．13
4
D．15
4
【变式2-3】（2025·江西·一模）已知可导函数f (x)的定义域为R，f
′ (x)是f (x)的导函数，且f (2 x−1)为偶
函数f
′ (2 x +1)为奇函数，f
′ (0)=1，则f
′ (2024)+ f
′ (2025)+ f
′ (2026)=（ ）
A．−2
B．−1
C．0
D．1
【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】
【例3】（2024·福建厦门·一模）已知直线l与曲线y = x
3−x在原点处相切，则l的倾斜角为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．3π
4
D．5π
6
【变式3-1】（2025·福建泉州·模拟预测）如图是函数f (x)的部分图象，记f (x)的导数为f
′ (x)，则下列选项
中值最大的是（ ）
A．f (3)
B．3 f
′ (3)
C．f (−14)
D．f
′ (8)
【变式3-2】（24-25 高二下·福建福州·期中）设f (x)为R上的可导函数，且lim
Δ x→0 f (1)−f (1+2 Δ x)
Δ x
=1
，则
曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线斜率为（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．−1
2
【变式3-3】（24-25 高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数f (x)的导函数为f
′ (x)，f (x)的图象如图所示，
则（ ）
A．f
′(x1)>f
′(x3)>f
′(x2)
B．f
′(x2)>f
′(x1)>f
′(x3)
C．f
′(x3)>f
′(x1)>f
′(x2)
D．f
′(x1)>f
′(x2)>f
′(x3)
【题型4 求曲线的切线方程】
【例4】（2025·广东肇庆·一模）曲线y = x(x
2−1)在x =1处的切线方程为（ ）
A．x =1
B．y =1
C．y =2 x +1
D．y =2 x−2
【变式4-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数f (x)= x
2f
′(
1
3)+ ln x−9，则函数在x =1处的切线
方程是（ ）
A．y = 9
2 x−9
B．y =19 x−19
C．y =19 x−29
2
D．y = 9
2 x + 47
2
【变式4-2】（2025·江西景德镇·一模）过点A(0,1)且与曲线f ( x)= x
3+2 x −1相切的直线方程是（ ）
A．y =5 x +1
B．y =2 x +1
C．y = x +1
D．y =−2 x +1
【变式4-3】（2025·重庆·模拟预测）已知抛物线C : x
2=3 y和圆O: x
2+ y
2= 4在第一象限内的交点为P，
则以P 为切点的C 的切线方程为（ ）
A．2 x−❑√3 y −❑√3=0
B．❑√3 x−2 y −1=0
C．2 x + ❑√3 y −3 ❑√3=0
D．❑√3 x +2 y −4 =0
【题型5 与切线有关的参数问题】
【例5】（2025·重庆·三模）已知直线y＝ax－a 与曲线y = x + a
x
相切，则实数a＝（ ）
A．0
B．1
2
C．4
5
D．3
2
【变式5-1】（2025·山西·模拟预测）已知函数f ( x)=( x−a)( x−2)( x−3)( x−4)，若f ( x)的图象在
x =2处的切线方程为y =6 x +b，则a+b=（ ）
A．−11
B．−12
C．−13
D．−14
【变式5-2】（2025·全国一卷·高考真题）若直线y =2 x +5是曲线y =e
x+ x +a的切线，则a= .
【变式5-3】（2025·山东泰安·二模）若函数f (x)=e
x−ax与直线y = x相切，则实数a的值为 .
【题型6 切线的条数问题】
【例6】（2025·河南·模拟预测）过原点且与曲线y = x sin x相切的直线有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【变式6-1】（2025·全国·模拟预测）若曲线y =(1−x)e
x有两条过点A (a,0)的切线，则a的取值范围是
（ ）
A．(−∞,−1)∪(3,+∞)
B．(−3,1)
C．(−∞,−3)
D．(−∞,−3)∪(1,+ ∞)
【变式6-2】（2025·全国·一模）函数f ( x)= 4 x sin x cos x过原点的切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式6-3】（24-25 高三上·陕西·阶段练习）函数f (x)= x−aln x在区间(1,6)的图象上存在两条相互垂直
的切线，则a的取值范围（ ）
A．(1,6)
B．(1,3)
C．(3,4)
D．(4,6)
【题型7 两条切线平行、垂直、公切线问题】
【例7】（2025·辽宁大连·一模）斜率为1的直线l与曲线y = ln( x +a)和圆x
2+ y
2= 1
2
都相切，则实数a的值
为（ ）
A．0或2
B．−2或0
C．－1或0
D．0或1
【变式7-1】（2025·福建·模拟预测）已知直线y =kx +b既是曲线y = ln x的切线，也是曲线y =−ln(−x)
的切线，则（ ）
A．k = 1
e
，b=0
B．k =1，b=0
C．k = 1
e
，b=−1
D．k =1，b=−1
【变式7-2】（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）若曲线y =e
x+ x在点(0,1)处的切线也是曲线y = ln( x +1)+a
的切线，则a= .
【变式7-3】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数y = ❑√x的图象与函数y =a
x（a>0且a≠1）的图象在公
共点处有相同的切线，则公共点坐标为 .
【题型8 与切线有关的最值问题】
【例8】（24-25 高二下·山东枣庄·阶段练习）点P是曲线y = x
2−ln x上任意一点，则点P到直线y = x−4
的距离的最小值是（ ）
A．1
B．❑√2
C．2
D．2❑√2
【变式8-1】（2025·广东佛山·一模）若直线y = x +a与曲线y =ln(x +b)相切，则a
2+b
2的最小值为（ ）
A．1
2
B．1
C．3
2
D．2
【变式8-2】（2025·全国·模拟预测）若函数f (x)= x
2+3 x−4ln x，点P是曲线y = f (x)上任意一点，则点
P到直线l: x−y −3=0的距离的最小值为（ ）
A．4 ❑√2
B．3 ❑√2
2
C．3 ❑√2
D．
❑√6
2
【变式8-3】（2025·陕西汉中·模拟预测）已知A(x1, y1),B(x2, y2)为曲线y =e
x上两个不同的点，曲线
y =e
x在点A ,B处的切线相交于点C (x0, y0)，且这两条切线的斜率之积为1，则x0+1
y0
−y2
4
的最小值为
（ ）
A．ln2
2
B．
❑√2
2
C．e
D．ln2
4
一、单选题
1．（2025·甘肃白银·三模）如果质点按规律s(t )=2t
2−t（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在
2s 末的瞬时速度为（ ）
A．8 m/s
B．7m/s
C．6 m/s
D．5 m/s
2．（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（ ）
A．(sin a)
′ =cosa(a 为常数)
B．(sin 2 x)
′ =2cos2 x
C．(3
x)
′ =3
x log3e
D．(❑√x +1)
′ =
2
❑√x +1
3．（2025·湖南郴州·三模）曲线y =ln x在点(e,1)处的切线方程为（ ）
A．x−y =0
B．x−e y =0
C．x−y +1−e=0
D．e x−y =0
4．（2025·甘肃兰州·一模）若函数y =e
x+e
−x
2
（e 为自然对数的底）的一条切线与x 轴平行，则切点的坐
标为（ ）
A．(1,0)
B．(0,1)
C．(1,1)
D．(1,e)
5．（2025·山东聊城·三模）已知f (x)是定义域为R的可导函数，设其导函数为g(x)．若f (x +1)−2 x为偶
函数，且g(x)= g(4−x)，则∑
i=1
20
g(i)=（ ）
A．60
B．40
C．20
D．8
6．（2025·湖南·三模）若直线y =kx +1（k 为常数）是曲线y = ln x +1和曲线y =ae
x+1的公切线，则实数
a 的值为（ ）
A．1
e
B．1
e
2
C．1
D．e
7．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数f (x)是定义在R上的可导函数，且f (x)满足f (2−x)= f (x)，
f (x +2)=−f (x)，当x∈[0,1)时，f (x)=2❑√x，则f
′(
1011
2 )=（ ）
A．❑√2
B．−❑√2
C．
❑√2
2
D．−
❑√2
2
8．（2025·甘肃·二模）若函数f (x)=ln(x−1)+ x
2+ax的图象上存在两个不同点，使得f (x)在这两点的切
线与直线y =−1
2 x垂直，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,−2❑√2)
B．(−∞,−2❑√2)∪(4 ,+∞)
C．(−∞,3)
D．R
二、多选题
9．（2025·甘肃庆阳·三模）已知函数f (x)=e
x
x +a
，则下列结论正确的是（ ）
A．当a=1时，曲线y = f (x)在点(0,f (0))处的切线方程为y = x
B．当a=1时，曲线y = f (x)在点(0,f (0))处的切线方程为y =1
C．当a=0时，曲线y = f (x)上不存在斜率为0 的切线
D．当a=0时，曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线斜率为0
10．（2025·山东烟台·三模）已知定义在R上的函数f (x)的导函数为f
′ (x)，若对任意x , y ∈R，都有
f (x + y)−f (x−y)=2f (1−x)f ( y)，且f (1)=1．则（ ）
A．f (x)为偶函数
B．f
′ (0)+ f
′ (2)=0
C．f
′ (x)的周期为4
D．f
2(x)+ f
2(1−x)=1
11．（2025·四川巴中·三模）已知函数f ( x)及其导函数f ′( x)的定义域均为R，记g( x)= f ′( x)，若
f (2 x +1)与g( x +2)均为偶函数，则下列选项正确的是（ ）
A．∑
i
2025
❑g(i)=0
B．f ( x)和g( x)是周期为4 的周期函数
C．g( x +1)为奇函数
D．f ( x)图象关于点(2,0)对称
三、填空题
12．（2025·四川乐山·三模）曲线y =1−e
x与在点(0,0)处的切线方程为 .
13．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设a≠0，若曲线f (x)=aln(x−1)在点(2,f (2))处的切线也是曲线
g(x)=e
ax−2的切线，则a=
．
14．（2025·四川遂宁·模拟预测）已知函数f ( x)及其导函数f
'( x)的定义域为R，若f
'(2)=8，函数
f (2 x +1)和f
'( x +2)均为偶函数，则∑
i=1
2025
f
'(i)的值为
.
四、解答题
15．（2025 高二·全国·专题练习）已知某物体的运动方程为s={
3t
2+2,t ≥3
29+3(t −3)
2,0≤t <3)
（位移s的单位：
m，时间t的单位：s）．
(1)求该物体在t ∈[3,5)内的平均速度；
(2)求该物体的初速度v0；
(3)求该物体在t =1时的瞬时速度．
16．（24-25 高二下·上海浦东新·期中）已知函数y = f ( x)与y = g( x)满足f (1)=2，f
′(1)=3，g(1)= 4，
g
′(1)=5.对于下列函数y =ℎ( x)，求ℎ(1)和ℎ
′(1).
(1)ℎ( x)=3 g( x)+2f ( x)+1；
(2)ℎ( x)= 2g(2−x)−1
3 f (2 x−1)
.
17．（24-25 高二下·青海西宁·期中）已知函数f (x)= x
3+ x−16.
(1)直线l为曲线y = f (x)在点(2,−6)处的切线，求直线l的方程；
(2)求过原点且与曲线y = f (x)相切的切线方程及切点坐标.
18．（24-25 高二下·辽宁抚顺·期中）已知f
′ (x)是函数f ( x)的导函数，且f (x)=2ln x + f
′ (1) x
3+2f (1)．
(1)求f (1)；
(2)求曲线y = f ( x)在点(1,f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．
19．（24-25 高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数f (x)=e
x+ax +1.
(1)若函数f (x)的图象恒过定点P，且在定点P处的切线方程与直线3 x + y +1=0平行，求定点P的坐标和实
数a的值；
(2)若函数f (x)的图象存在与直线3 x + y +1=0垂直的切线，求实数a的取值范围.
