专题2.7 函数与方程（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 函数零点所在区间的判断】......................................................................................................................2
【题型2 求函数的零点或零点个数】......................................................................................................................3
【题型3 根据函数零点个数求参数】......................................................................................................................3
【题型4 根据函数零点的分布范围求参数】.........................................................................................................3
【题型5 求零点的和】..............................................................................................................................................4
【题型6 复合函数的零点问题】..............................................................................................................................4
【题型7 用二分法求方程的近似解】......................................................................................................................5
【题型8 函数零点的大小与范围问题】..................................................................................................................6
1、函数与方程
考点要求
真题统计
考情分析
(1)理解函数的零点与方程
的解的联系
(2)理解函数零点存在定
理，并能简单应用
(3)了解用二分法求方程的
近似解
2023 年新课标I 卷：第15
题，5 分
2024 年新课标Ⅱ卷：第6
题，5 分
2025 年天津卷：第7 题，5 分
2025 年上海卷：第21 题，18
分
函数的零点问题是高考常考的重
点、热点内容，从近几年的高考形势来
看，一般以选择题与填空题的形式出
现；函数与方程的综合应用也是历年高
考的一个热点内容，经常以客观题出
现，通过分析函数的性质，结合函数图
象研究函数的零点或方程的根的分布、
个数等，题目难度较大，一般出现在压
轴题位置.
知识点
1
确定函数零点所在区间的方法
1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若
有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)=
g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.
知识点
2
函数的零点个数和求参问题
1．函数零点个数的判断方法
函数零点个数的判定有下列几种方法：
(1)直接
法
：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数
的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同
的零点.
(4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函
数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.
2．已知函数零点求参数的方法
(1)已知函数的零点求参数的一般方法
①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；
②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟
悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
③分离参数
法
：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解.
(2)已知函数零点个数求参数范围的方法
已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出
两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.
知识点
3 嵌套函数的零点问题
1．嵌套函数的零点问题的解题策略
函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”,
设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.
【题型1 函数零点所在区间的判断】
【例1】（2025·天津·高考真题）函数f ( x)=0.3
x−❑√x的零点所在区间是（ ）
A．(0,0.3)
B．(0.3,0.5)
C．(0.5,1)
D．(1,2)
【变式1-1】（2025·河北沧州·二模）函数f (x)=2
x+ ln x−1的零点所在的区间为（ ）
A．(0, 1
2)
B．(
1
2 ,1)
C．(1, 3
2)
D．(
3
2 ,2)
【变式1-2】（2025·广东·模拟预测）已知函数f (x)= x
1
4 −(
1
3)
x，那么在下列区间中含有函数f (x)零点的是
（ ）
A．(0, 1
4)
B．(
1
4 , 1
3)
C．(
1
3 ,1)
D．(1,+∞)
【变式1-3】（24-25 高二下·云南·期中）函数f ( x)= ❑√x + 4
x−6的零点所在区间为（ ）
A．(0, 1
2 )
B．( 1
2 ,1)
C．(1, 3
2 )
D．( 3
2 ,2)
【题型2 求函数的零点或零点个数】
【例2】（2025·山东青岛·二模）函数f (x)=a
x−a(a>0，a≠1)的零点为（ ）
A．0
B．1
C．(1,0)
D．a
【变式2-1】（24-25 高三上·江西抚州·阶段练习）函数f ( x)={
ln x−x
2+2 x , x>0
x
2−2 x−3, x ≤0 )
的零点个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式2-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数f ( x)= ln x，则函数y = f (f ( x))的零点为（ ）
A．1
B．0
C．e
D．❑√e
【变式2-3】（24-25 高一下·甘肃平凉·开学考试）设定义域为R的函数f (x)=¿，则关于x的函数
y = f
2(x)−3 f (x)+2的零点的个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【题型3 根据函数零点个数求参数】
【例3】（2025·陕西西安·一模）已知函数f ( x)={
10
x , x<0
lg x , x>0)
，g( x)= f ( x)+2 x−m，若g( x)有一个零
点，则m 的取值范围是（ ）
A．(−∞,1]
B．(−∞,1)
C．[1,+ ∞)
D．(1,+∞)
【变式3-1】（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数f ( x)=|2
x−1)，g( x)=[ f ( x)]
2−tf ( x)(t ∈R)，若关
于x的方程g( x)=3−t
2有3 个不同的实数根，则实数t的取值范围是（ ）
A．(−2,2)
B．(❑√3,2)
C．(−2,−❑√3)
D．(2,+∞)
【变式3-2】（2025·湖南·二模）若函数f (x)={
|log2 x),0< x<4
1
2 x
2−2 x +1, x ≥4)
与直线y =a恰有三个交点，则a 的取
值范围是（ ）
A．[1,2)
B．(1,2)
C．(1,2)
D．[1,2)
【变式3-3】（24-25 高二下·内蒙古乌兰察布·期中）已知函数f ( x)={
f ( x−2), x>1
| x|−1,−1≤x ≤1)若函数
g( x)= f ( x)−loga( x +1)恰有3 个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A．[ 1
5 , 1
3 )
B．( 1
5 , 1
3 )
C．( 1
6 , 1
4 )
D．[ 1
6 , 1
4 )
【题型4 根据函数零点的分布范围求参数】
【例4】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数f (x)=kx −4 + x log2 x在区间[1,4)内有零点，则实数k的取值范
围为（ ）
A．[−4,1)
B．(−4,1)
C．[−1,4)
D．(−1,4)
【变式4-1】（2025·陕西西安·模拟预测）若函数f (x)=lg x +t在(1,10)上有零点，则t的取值范围为（ ）
A．(−10,0)
B．(−1
10 ,0)
C．(0,1)
D．(−1,0)
【变式4-2】（24-25 高一上·河南开封·期末）已知x0是函数f (x)=ln x−2
x
的零点，且x0∈(k ,k +1)，
k ∈Z，则k =（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【变式4-3】（2025·四川巴中·一模）若函数f (x)=2a x
2+3 x−1在区间(−1,1)内恰有一个零点，则实数a
的取值集合为（ ）
A．{a|−1<a<2)
B．{a|a=−9
8
或−1<a<2}.
C．{a|−1≤a≤2}
D．{a|a=−9
8
或−1≤a≤2}.
【题型5 求零点的和】
【例5】（2025·甘肃张掖·模拟预测）函数f (x)=e
x(x−1)−x−1的所有零点之和为（ ）
A．0
B．-1
C．❑√3
D．2
【变式5-1】（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知函数f ( x)=2
x+ x , g( x)= log2 x + x ,ℎ( x)= x
3+ x的零点
分别为a，b，c，则a+b+c =（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
【变式5-2】（2025·山东·模拟预测）函数f (x)=e
x与函数g(x)= x +1
x−1
的图象所有交点的横坐标之和为
（ ）
A．−ln2
B．ln2
C．0
D．1
【变式5-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数 f (x)={
e
x , x ≤0,
ln x , x>0,)
g(x)= x−3,方程
f (g(x))=−3−g(x)有两个不同的根，分别是x1, x2,则 x1+ x2=（ ）
A．0
B．3
C．6
D．9
【题型6 复合函数的零点问题】
【例6】（2025·山东临沂·三模）已知函数f (x)={
ln x , x>0
−x
2+2ax , x ≤0)
，若函数y = f (f (x))有8 个零点，则实
数a的取值范围为（ ）
A．a>1
B．a<0
C．−1<a<0
D．a<−1
【变式6-1】（2025·贵州毕节·一模）已知函数f ( x)={
−x
2−2 x +3, x ≤0
|ln x), x>0
)
，则函数
y =[f ( x))
2−5 f ( x)+6的零点个数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【变式6-2】（2025·安徽池州·二模）已知函数f (x)={
e
x+2, x ≤0
x + 1
x , x>0)
，若f
2(x)−(a+2)f (x)+2a=0有4 个
互不相同的根，则a的取值范围为（ ）
A．(2,3)
B．(2,3)
C．(3,+∞)
D．[3,+∞)
【变式6-3】（24-25 高一上·河北邯郸·期末）f (x)为定义在R上的偶函数，当x ≥0时，
f (x)={
2sin(
π
2 x),0≤x<1
3⋅2
−x +1−1, x ≥1 )
，g(x)=1−|2
x−1)，若函数F (x)= f (g(x))−a有4 个零点，则实数a的取
值范围为（ ）
A．(−1,0)
B．(0,2)
C．(−1,2)
D．(1,2)
【题型7 用二分法求方程的近似解】
【例7】（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数f (x)=ln x +2 x−6在(2,3)内的零点近似值，若精确
度要求为0.1，则需重复相同步骤的次数至少为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式7-1】（25-26 高一上·全国·课后作业）用二分法求函数y = f ( x)在区间[2,4 ]上零点的近似解，经验
证有f (2)⋅f (4)<0．若给定精确度ε =0.01，取区间的中点x1= 2+ 4
2
=3，计算得f (2)⋅f (x1)<0，则此
时零点x0所在的区间为（ ）
A．(2,3)
B．(1,2)
C．(0,1)
D．(3,4)
【变式7-2】（2025 高三下·全国·专题练习）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数
零点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-3】（24-25 高一·全国·课后作业）用二分法求方程ln (2 x +6)+2=3
x的根的近似值时，令
f (x)= ln (2 x +6)+2−3
x，并用计算器得到下表：
x
1.00
1.25
1.375
1.50
f ( x)
1.0794
0.1918
-0.3604
-0.9989
则由表中的数据，可得方程ln (2 x +6)+2=3
x的一个近似解（误差不超过0.1）为（ ）
A．1.125
B．1.3125
C．1.4375
D．1.46875
【题型8 函数零点的大小与范围问题】
【例8】（2025·内蒙古赤峰·二模）设函数 y = x
2+2 x −10, y =2
x+2 x −10, y =log2 x +2 x −10的零点分
别为a,b,c, 则（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．a<c<b
D．c<a<b
【变式8-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数f ( x)={
x
2+2 x +1, x ≤0
|ln x|, x>0 )
，若方程f (x)=a有四个根
x1, x2, x3, x4
，且x1< x2< x3< x4
，则下列说法错误的是（ ）
A．x1+ x2=−2
B．x3+ x4>2
C．x1 x2>4
D．0<a≤1
【变式8-2】（24-25 高一上·广东佛山·期末）已知函数
f (x)=|ln x +1)−m+2,g(x)=(m+1)|ln x−1)−16.
(1)讨论函数f (x)的零点个数；
(2)若f (x)有两个零点x1, x2(x1< x2), g(x)有两个零点x3, x4(x3< x4)，求x2 x4
x1 x3
的取值范围.
【变式8-3】（2025·海南·模拟预测）已知函数f (x)=e
x−m x
2(m∈R)．
(1)若m=1，判断并证明f (x)的单调性；
(2)当x∈(0,+∞)时，若函数f (x)有两个不同的零点x1，x2．
（
）求
ⅰ
m 的取值范围；
（
）证明：
ⅱ
x1+ x2>4．
一、单选题
1．（2025·湖北十堰·模拟预测）函数f ( x)= x + ln x−4的零点所在的区间是（ ）
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
2．（2025·北京昌平·二模）已知函数f (x)= x|x−2a)−a恰有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞,−1]
B．(−∞,−1)∪(1,+∞)
C．（−1，1）
D．[1,+∞)
3．（2025 高一·全国·专题练习）用二分法求方程的近似解，求得f (x)= x
3+2 x−9的部分函数值数据如表
所示：
x
1
2
1.5
1.625
1.75
1.875
1.812 5
f（x）
－6
3
－2.625
－1.459
－0.14
1.341 8
0.579 3
则当精确度为0.1 时，方程x
3+2 x−9=0的近似解可取为（ ）
A．1.6
B．1.7
C．1.8
D．1.9
4．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数f ( x)={
x
2+2 x−3, x ≤0
−2+ ln x , x>0 )
，若方程f ( x)=k的实数解恰有两个，
则实数k的取值范围是（ ）
A．k ≤−4
B．−4<k <−3
C．k =−4或k >−3
D．k =−4或k ≥−3
5．（2025·浙江·二模）定义在(0,+ ∞)上的函数f (x)满足f(
1
x)=−f (x),f(
2
x)=−f (2 x)，当x∈[1,2)
时，f (x)=(x−1)(x−2)，则函数y = f (x)+ 1
4
在区间[1,100)内的零点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
6．（2025·云南曲靖·一模）已知x1是函数f (x)= xln x−2025的零点，x2是函数g(x)=ln x + x−ln2025
的零点，则x1 x2的值为（ ）
A．2025
e
B．e
2025
C．❑√2025
D．2025
7．（2025·北京门头沟·一模）已知函数f (x)=a x
2−x +[x)(a∈R)，其中[x)表示不超过x的最大整数，例
如[2.1)=2，[−1.1)=−2，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在a，使得f (x)有无数个零点
B．f (x)有3 个零点的充要条件是a∈(1,+∞)
C．存在a，使得f (x)有4 个零点
D．存在a，使得f (x)有5 个零点
8．（2025·陕西西安·二模）已知函数f ( x)={
x
2+2 x−1, x ≤0
−2+|ln x), x>0)
，若函数g( x)= f ( x)−m的四个零点从小
到大排列依次为x1, x2, x3, x4，则x1+ x2+ x3+ x4的取值范围为（ ）
A．(−2,+∞)
B．(−2,1]
C．(−2,e+ 1
e)
D．(0,−2+e+ 1
e)
二、多选题
9．（2025·四川达州·模拟预测）若实数log2a,log3b都是一次函数f (x)=cx −1的零点，则下列不等关系
中可能成立的是（ ）
A．c<a<b
B．b<c<a
C．a<c<b
D．a<b<c
10．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知函数
f ( x)={
|2
x +1−1|−1, x ≤0
x + 1
x −1, x>0
,g( x)=[ f ( x)]
2+af ( x)−1)
，则（ ）
A．f ( x)的零点个数为2
B．当a=0时，g( x)有2 个不同的零点
C．当a<0时，g( x)有4 个不同的零点
D．a>0是g( x)有1 个零点的充要条件
11．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数f (x)=|log2|1−x))，若函数g(x)= f
2(x)+af (x)+2b有6 个不
同的零点，且最小的零点为x =−1，则下列说法正确的是（ ）
A．a=0
B．a+b=−1
C．b=−1
D．6 个零点之和是6
三、填空题
12．（2025·山东·模拟预测）函数f (x)=lg x +lg(x−3)−1的零点为 .
13．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数f (x)={
x
2+ x , x ≤0,
a x
2+bx , x>0)
是奇函数，则函数g(x)= f (x)−a
4
的零
点个数为 ．
14．（2025·北京海淀·三模）已知函数f (x)=¿，若函数g(x)= f (x)−mx有三个零点，则实数m 的取值范
围为 ．
四、解答题
15．（2025·河南·模拟预测）设a>0且a≠1，函数f (x)=loga(x−1), g(x)=loga(2 x +t )(t ∈R).
(1)当t =1时，求不等式2f (x)≤g(x)的解集；
(2)若函数ℎ(x)=af (x)+t x
2+2t +2
在区间(1,3)上有零点，求t的取值范围.
16．（24-25 高一上·江西萍乡·期末）已知函数f ( x)= x + 1
x −3．
(1)判断函数f (x)在区间(1,+ ∞)上的单调性，并用定义证明；
(2)用二分法求方程f (x)=0在区间(1,+∞)上的一个近似解（精确度为0.1）．
17．（2025·河南·模拟预测）已知a>1，函数f (x)=a
x−1+ x−3, g(x)=loga x + x−2.
(1)若f (x0)= g(x0)=−1，求x0
的值；
(2)若x1, x2分别为f (x),g(x)的零点，求x1+ x2的值.
18．（24-25 高一上·云南曲靖·期末）已知函数f ( x)={
x + 16
x , x ≥3
|
1
x−3), x<3)
.
(1)判断并用定义证明f ( x)在(−∞,3)上的单调性；
(2)若函数F( x)=[f ( x))
2−4 af ( x)+3a
2恰有4 个零点，求实数a的取值范围.
19．（2025·上海·高考真题）已知函数y = f ( x)的定义域为R．对于正实数a，定义集合
M a={x∣f ( x +a)= f ( x)}．
(1)若f ( x)=sin x，判断π
3
是否是M π中的元素，请说明理由；
(2)若f ( x)=¿，求a 的取值范围；
(3)若y = f ( x)是偶函数，当x∈(0,1]时，f ( x)=1−x，且对任意a∈(0,2)，均有M a⊆M 2．写出
y = f ( x)，x∈(1,2)解析式，并证明：对任意实数c，函数y = f ( x)−c在[−3,3]上至多有9 个零点．
