专题3.1 导数的概念及其意义、导数的运算（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 导数的定义及其应用】..............................................................................................................................2
【题型2 （复合）函数的运算】..............................................................................................................................4
【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】..............................................................................................................6
【题型4 求曲线的切线方程】..................................................................................................................................8
【题型5 与切线有关的参数问题】..........................................................................................................................9
【题型6 切线的条数问题】....................................................................................................................................11
【题型7 两条切线平行、垂直、公切线问题】...................................................................................................13
【题型8 与切线有关的最值问题】........................................................................................................................15
1、导数的概念及其意义、导数的运算
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解导数的概念、掌握
基本初等函数的导数
(2)通过函数图象，理解导
数的几何意义
(3)能够用导数公式和导数
的运算法则求简单函数的
导数，能求简单的复合函
数的导数
2023 年全国甲卷（文数）：
第8 题，5 分
2024 年新课标I 卷：第13
题，5 分
2024 年全国甲卷（文数）：
第7 题，5 分
2024 年全国甲卷（理数）：
第6 题，5 分
2025 年全国一卷：第12 题，
5 分
导数是高考数学的必考内容，导数
的概念及其意义、导数的运算是高考常
考的热点内容，从近几年的高考情况来
看，主要涉及导数的运算及几何意义，
一般以选择题、填空题的形式考察导数
的运算、求曲线的切线方程，导数的几
何意义也可能会作为解答题中的一问进
行考查，试题难度属中低档.
知识点
1 导数的运算的方法技巧
1．导数的运算的方法技巧
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
知识点
2 复合函数的导数
1．复合函数的定义
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数
y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
2．复合函数的求导法则
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为
=
，即y 对x 的导数等于y 对u
的导数与u 对x 的导数的乘积.
3．求复合函数导数的步骤
第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步：变量回代：把中间变量代回.
知识点
3 切线问题及其解题策略
1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
(1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).
2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
(1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；
(2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；
(3)将已知条件代入②中的切线方程求解.
3．与切线有关的参数问题的解题策略：
(1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；
②切点在切线上，故满足切线方程；
③切点在曲线上，故满足曲线方程.
(2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.
4．公切线问题的解题思路
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把
两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切
可用判别式法.
【题型1 导数的定义及其应用】
【例1】（24-25 高二下·河南·期末）已知函数f (x)= x
2−2 x−3，则f (x)从1 到1+Δ x的平均变化率为
（ ）
A．Δ x +3
B．2Δ x−1
C．Δ x
D．(Δ x)
2−Δ x
【答案】C
【解题思路】根据平均变化率的定义计算可得.
【解答过程】f (1+ Δ x)−f (1)
Δ x
= (1+ Δ x)
2−2(1+ Δ x)−3−(1−2−3)
Δ x
= (Δ x)
2
Δ x = Δ x.
故选：C.
【变式1-1】（24-25 高二下·海南海口·期中）一物体做直线运动，其位移y（单位：m）与时间t（单位：
s）的关系是y (t )=t
2+ 4 t，则物体在t =2s时的瞬时速度为（ ）
A．2m /s
B．6 m /s
C．8 m /s
D．12m /s
【答案】C
【解题思路】根据导数的运算公式，求得y
′ (t )=2t + 4，得到y
′ (2)的值，即可求解.
【解答过程】由题意知，位移y与时间t的关系是y (t )=t
2+ 4 t，可得y
′ (t )=2t + 4，
可得y
′ (2)=2×2+ 4 =8m/ s.
故选：C.
【变式1-2】（24-25 高二下·湖北十堰·期末）已知函数f (x)在x = x0处可导，若
lim
Δ x→0 f (x0+2 Δ x)−f (x0−Δ x)
Δ x
=12，则f
′(x0)=（ ）
A．4
B．6
C．−6
D．−4
【答案】A
【解题思路】应用导数定义计算求解.
【解答过程】因为
lim
Δ x→0 f (x0+2 Δ x)−f (x0−Δ x)
Δ x
=
lim
Δ x→0 f (x0+2 Δ x)−f (x0)+ f (x0)−f (x0−2 Δ x)
Δ x
=2
lim
Δ x→0 f (x0+2 Δ x)−f (x0)
2 Δ x
+
lim
−Δ x→0 f (x0−Δ x)−f (x0)
−Δ x
=3 f
′(x0)=12，所以f
′(x0)= 4.
故选：A.
【变式1-3】（24-25 高二下·北京·期中）物体甲、乙在时间0 到t1范围内，路程的变化情况如图所示，下列
说法正确的是（ ）
A．在0 到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在0 到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
C．在t =t0时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度
D．在t =t0时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
【答案】C
【解题思路】利用平均速度、瞬时速度的定义逐项判断即可.
【解答过程】在0 到t0范围内，甲、乙的平均速度都为s0
t0
，故A、B 错误；
因为甲对应的曲线在t =t0处的切线的斜率大于乙对应的曲线在t =t0处的切线的斜率
故在t =t0处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故C 正确，D 错误.
故选：C.
【题型2 （复合）函数的运算】
【例2】（2025·湖北·模拟预测）已知函数f (x)和它的导函数f
′ (x)的定义域均为R，且f (x +2)+ f (−x)=2
，f
′ (x +2)为奇函数．若f (0)=0，则∑
i=1
2025
f (i)=（ ）
A．1
B．2
C．2025
D．2026
【答案】C
【解题思路】根据虚拟函数的对称性，可知函数f (x)关于(1,1)中心对称，f
′ (2)=0，得出函数的规律，分
别求出x为整数是函数的值，求出前2025 项的和即可.
【解答过程】∵f (x +2)+ f (−x)=2，∴f (x +2)=2−f (−x)，即f (x)关于(1,1)中心对称，
∵f
′ (x +2)为奇函数，且定义域为R,
∴f
′ (x +2)关于(0,0)所中心对称，根据换元法则有f
′( x)关于(2,0)中心对称，
则f ( x)关于直线x =2轴对称，则有f ( x)= f (4−x)，
可知{
f ( x +2)+ f (−x)=2
f (−x)= f (4 + x) ),作差得f ( x +2)+ f ( x + 4)=2，换元得f ( x)+ f ( x +2)=2
再作差[ f ( x +2)+ f ( x + 4)]−[ f ( x)+ f ( x +2)]=0，化简得f ( x + 4)−f ( x)=0，
即f ( x + 4)= f ( x)，函数f ( x)周期为4.
当x =−1时，f (1)+ f (1)=2，解得f (1)=1，
当x =0时，f (2)+ f (0)=2，解得f (2)=2，
由f (x +2)+ f (−x)=2，可知f (3)+ f (−1)=2，结合f (3)= f (−1)
可知f (3)=1，又f (4)= f (0)=0，
故∑
i=1
2025
f (i)=（1+2+1+0）×506+ f (2025)=2024+1=2025，
故选：C.
【变式2-1】（2025·陕西安康·三模）已知函数f (x)及其导函数f
′ (x)的定义域均为R，若f
′ (x)为奇函数，
f (x +1)+ x为偶函数，则f
′ (101)=（ ）
A．−101
B．101
C．0
D．−1
【答案】A
【解题思路】由已知可得f
′ (−x)=−f
′ (x)，f (−x +1)−x = f (x +1)+ x，求导得f
′ (−x +1)=−f
′ (x−1)，
进而可得f
′ (x)−f
′ (x−2)=−2，累加可求得f
′ (101).
【解答过程】因为函数f (x)及其导函数f
′ (x)为奇函数，所以f
′ (−x)=−f
′ (x)，
又函数f (x +1)+ x为偶函数，所以f (−x +1)−x = f (x +1)+ x，
对两边求导，得−f
′ (−x +1)−1= f
′ (x +1)+1，所以−f
′ (−x +1)−f
′ (x +1)=2，
又f
′ (−x)=−f
′ (x)，所以f
′ (−x +1)=−f
′ (x−1)，
所以f
′ (x−1)−f
′ (x +1)=2，所以f
′ (x)−f
′ (x−2)=−2，
所以f
′ (101)−f
′ (99)=−2，f
′ (99)−f
′ (97)=−2，⋯，f
′ (3)−f
′ (1)=−2，
所以f
′ (101)−f
′ (1)=−2×50=−100，又f
′ (1)−f
′ (−1)=−2，所以f
′ (1)+ f
′ (1)=−2，所以f
′ (1)=−1，
所以f
′ (101)=−101.
故选：A.
【变式2-2】（2025·山东潍坊·模拟预测）已知函数f (x)及其导函数f
′ (x)的定义域均为(0,+∞)，
f (x
2+1)= f
2( x)+ f
2(1)+ x
2，且f (1)=1，f
′(1)= 1
2，则f
′(5)=（ ）
A．9
4
B．11
4
C．13
4
D．15
4
【答案】C
【解题思路】先应用赋值法计算f (2)，再结合复合函数求导得出 f
′ (2)= 3
2，最后赋值计算即可.
【解答过程】因为f (x
2+1)= f
2( x)+ f
2(1)+ x
2，且f (1)=1，令x =1，得f (2)= f
2(1)+ f
2(1)+1=3.
对f (x
2+1)= f
2( x)+ f
2(1)+ x
2两边同时求导，得2 x f
'(x
2+1)=2f
'( x)f ( x)+2 x，即
x f
'(x
2+1)= f
'( x)f ( x)+ x.
令x =1，得f
' (2)= f
'(1)f (1)+1= 1
2 +1= 3
2.
令x =2，得2f
' (5)= f
'(2)f (2)+2= 3
2 ·3+2= 13
2 ，故f
' (5)= 13
4 .
故选：C.
【变式2-3】（2025·江西·一模）已知可导函数f (x)的定义域为R，f
′ (x)是f (x)的导函数，且f (2 x−1)为偶
函数f
′ (2 x +1)为奇函数，f
′ (0)=1，则f
′ (2024)+ f
′ (2025)+ f
′ (2026)=（ ）
A．−2
B．−1
C．0
D．1
【答案】C
【解题思路】由题意可得f
′ (1−t )+ f
′ (1+t )=0，由函数奇偶性的定义得出f (−t −1)= f (t −1)，求导得出
−f
′ (−t −1)= f
′ (t −1)，进而可推出函数f
′ (x)是周期为4的周期函数，以及函数f
′ (x)的对称中心为(1,0)，
求出f
′ (1)、f
′ (0)+ f
′ (2)的值，结合函数周期性可求得f
′ (2024)+ f
′ (2025)+ f
′ (2026)的值.
【解答过程】因为函数f
′ (2 x +1)为奇函数，则f
′ (−2 x +1)=−f
′ (2 x +1)，
即f
′ (−2 x +1)+ f
′ (2 x +1)=0，令t =2 x，则f
′ (1−t )+ f
′ (1+t )=0，
所以，函数f
′ (x)的对称中心为(1,0)，且f
′ (2−t )+ f
′ (t )=0，①
在等式①中，令t =1可得2f
′ (1)=0，解得f
′ (1)=0，
在等式①中，令t =0可得f
′ (0)+ f
′ (2)=0,
因为函数f (2 x−1)为偶函数，则f (−2 x−1)= f (2 x−1)，
令t =2 x，可得f (−t −1)= f (t −1)，求导得−f
′ (−t −1)= f
′ (t −1)，
则f
′ (t )+ f
′ (−2−t )=0，②
由①②可得f
′ (2−t )= f
′ (−2−t )，令s=−2−t，则f
′ (4+ s)= f
′ (s)，
所以，函数f
′ (x)是周期为4的周期函数，
所以，f
′ (2024)+ f
′ (2025)+ f
′ (2026)= f
′ (0)+ f
′ (1)+ f
′ (2)=0.
故选：C.
【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】
【例3】（2024·福建厦门·一模）已知直线l与曲线y = x
3−x在原点处相切，则l的倾斜角为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．3π
4
D．5π
6
【答案】C
【解题思路】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角.
【解答过程】由y
′ =3 x
2−1，则y
′|x =0=−1，即直线l的斜率为−1，
根据倾斜角与斜率关系及其范围知：l的倾斜角为3π
4 .
故选：C.
【变式3-1】（2025·福建泉州·模拟预测）如图是函数f (x)的部分图象，记f (x)的导数为f
′ (x)，则下列选项
中值最大的是（ ）
A．f (3)
B．3 f
′ (3)
C．f (−14)
D．f
′ (8)
【答案】A
【解题思路】由函数f (x)的图象，结合导数的几何意义，即可判断.
【解答过程】
由图可知，f (−14),f
′ (8)为负数，f (3),3 f
′ (3)为正数，故不选f (−14),f
′ (8)，
设f (x)在x =3处的点为A，显然OA的斜率kOA大于f
′ (3)，
则f (3)−0
3−0
>f
′ (3)，可转化为f (3)>3 f
′ (3)，
所以f (3)的值最大.
故选：A．
【变式3-2】（24-25 高二下·福建福州·期中）设f (x)为R上的可导函数，且
lim
Δ x→0 f (1)−f (1+2 Δ x)
Δ x
=1，则
曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线斜率为（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．−1
2
【答案】D
【解题思路】利用导数定义以及导数的几何意义计算即可.
【解答过程】易知曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线斜率为f
′ (1)，
所以f
′ (1)=
lim
Δ x→0 f (1)−f (1+2 Δ x)
−2 Δ x
=−1
2
lim
Δ x→0 f (1)−f (1+2 Δ x)
Δ x
=−1
2
.
故选：D.
【变式3-3】（24-25 高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数f (x)的导函数为f
′ (x)，f (x)的图象如图所示，
则（ ）
A．f
′(x1)>f
′(x3)>f
′(x2)
B．f
′(x2)>f
′(x1)>f
′(x3)
C．f
′(x3)>f
′(x1)>f
′(x2)
D．f
′(x1)>f
′(x2)>f
′(x3)
【答案】A
【解题思路】根据导数的几何意义，结合图象即可求解.
【解答过程】根据导数的几何意义，结合图象可得f
'(x1)>0,f
'(x3)=0,f
'(x2)<0，
所以f
'(x1)>f
'(x3)>f
'(x2).
故选：A.
【题型4 求曲线的切线方程】
【例4】（2025·广东肇庆·一模）曲线y = x(x
2−1)在x =1处的切线方程为（ ）
A．x =1
B．y =1
C．y =2 x +1
D．y =2 x−2
【答案】D
【解题思路】利用导数的几何意义求出斜率，再代入直线的点斜式方程化简即可
【解答过程】令f (x)= x(x
2−1)，则f
′ (x)=3 x
2−1，即f
′ (1)=2，f (1)=0，
所以曲线y = x(x
2−1)在x =1处的切线方程为y −0=2(x−1)，即y =2 x−2，
故选：D.
【变式4-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数f (x)= x
2f
′(
1
3)+ ln x−9，则函数在x =1处的切线
方程是（ ）
A．y = 9
2 x−9
B．y =19 x−19
C．y =19 x−29
2
D．y = 9
2 x + 47
2
【答案】B
【解题思路】对f ( x)求导，注意f
′( 1
3 )是常数，令x = 1
3代入导函数中，可求得f
′( 1
3 )，进而可求
f
′(1),f (1)，可得f ( x)在x =1处的切线方程.
【解答过程】∵f
′( x)=2f
′( 1
3 )x + 1
x ，令x = 1
3，可得f
′( 1
3 )=9，
∴f (1)=9+0−9=0，f
′(1)=19，
所以f ( x)在x =1处的切线方程为y =19 x−19.
故选：B.
【变式4-2】（2025·江西景德镇·一模）过点A(0,1)且与曲线f ( x)= x
3+2 x −1相切的直线方程是（ ）
A．y =5 x +1
B．y =2 x +1
C．y = x +1
D．y =−2 x +1
【答案】A
【解题思路】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程.
【解答过程】f
′ (x)=3 x
2+2，点A不在曲线上，
设切点为( x0, x0
3+2 x0−1)，则f
′(x0)=3 x0
2+2= x0
3+2 x0−1−1
x0
，
解得：x0=−1，得切点(−1,−4)，则k = f
′(−1)=5
切线方程为：y =5 x +1，
故选：A．
【变式4-3】（2025·重庆·模拟预测）已知抛物线C : x
2=3 y和圆O: x
2+ y
2= 4在第一象限内的交点为P，
则以P 为切点的C 的切线方程为（ ）
A．2 x−❑√3 y −❑√3=0
B．❑√3 x−2 y −1=0
C．2 x + ❑√3 y −3 ❑√3=0
D．❑√3 x +2 y −4 =0
【答案】A
【解题思路】先根据联立得出点P，再求导函数得出切线斜率，最后点斜式写出直线方程.
【解答过程】联立抛物线C : x
2=3 y和圆O: x
2+ y
2= 4，可得y
2+3 y −4 =0，y =−4（舍），则
y =1, x = ❑√3，
在第一象限内的交点为P(❑√3,1)，
由抛物线C : x
2=3 y，则y
' = 2
3 x，所以在P(❑√3,1)处切线斜率为k = 2❑√3
3
，
所以切线方程为y −1= 2❑√3
3
(x−❑√3)，即得2 x−❑√3 y −❑√3=0.
故选：A.
【题型5 与切线有关的参数问题】
【例5】（2025·重庆·三模）已知直线y＝ax－a 与曲线y = x + a
x 相切，则实数a＝（ ）
A．0
B．1
2
C．4
5
D．3
2
【答案】C
【解题思路】根据导数的几何意义可得{
y0=a x0−a
y0= x0+ a
x0
1−a
x0
2 =a )
，求解即可.
【解答过程】由y = x + a
x 且x 不为0，得y
′ =1−a
x
2
设切点为(x0, y0)，则{
y0=a x0−a
y0= x0+ a
x0
1−a
x0
2 =a )
，即{
a x0−a= x0+ a
x0
a=
x0
2
x0
2+1 )
，
所以
x0
3
x0
2+1
−
x0
2
x0
2+1
= x0+
x0
x0
2+1
，可得x0=−2,a= 4
5 .
故选：C.
【变式5-1】（2025·山西·模拟预测）已知函数f ( x)=( x−a)( x−2)( x−3)( x−4)，若f ( x)的图象在
x =2处的切线方程为y =6 x +b，则a+b=（ ）
A．−11
B．−12
C．−13
D．−14
【答案】C
【解题思路】利用导数的几何意义，列方程组求解即可.
【解答过程】由题意知f (2)=(2−a)×(2−2)×(2−3)×(2−4)=0，
所以0=6×2+b，解得b=−12，
又f
′( x) =( x −a)( x −3)( x −4)+( x −2)[( x −a)( x −3)( x −4)]
′，
所以f
′(2)=(2−a)×(2−3)× (2−4)=6，解得a=−1，所以a+b=−1+(−12)=−13.
故选：C.
【变式5-2】（2025·全国一卷·高考真题）若直线y =2 x +5是曲线y =e
x+ x +a的切线，则a= .
【答案】4
【解题思路】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法
二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点(x0, y0)与a的方程组，解之即可得解.
【解答过程】法一：对于y =e
x+ x +a，其导数为y
′ =e
x+1，
因为直线y =2 x +5是曲线的切线，直线的斜率为2，
令y
′ =e
x+1=2，即e
x=1，解得x =0，
将x =0代入切线方程y =2 x +5，可得y =2×0+5=5，
所以切点坐标为(0,5)，
因为切点(0,5)在曲线y =e
x+ x +a上，
所以5=e
0+0+a，即5=1+a，解得a= 4.
故答案为：4.
法二：对于y =e
x+ x +a，其导数为y
′ =e
x+1，
假设y =2 x +5与y =e
x+ x +a的切点为(x0, y0)，
则{
e
x0+1=2
y0=2 x0+5
y0=e
x0+ x0+a)
，解得a= 4.
故答案为：4.
【变式5-3】（2025·山东泰安·二模）若函数f (x)=e
x−ax与直线y = x相切，则实数a的值为 .
【答案】e−1
【解题思路】设切点坐标，求导数表示斜率，结合切线过原点可计算切点横坐标，进而算出a的值.
【解答过程】设切点为(x0,e
x0−a x0)，
由f (x)=e
x−ax得，f
′ (x)=e
x−a，故切线斜率1=e
x0−a，
由直线y = x可知切线过(0,0)，故e
x0−a x0
x0
=1，
∴e
x0−a x0
x0
=e
x0−a，解得x0=1，
∴a=e−1.
故答案为：e−1.
【题型6 切线的条数问题】
【例6】（2025·河南·模拟预测）过原点且与曲线y = x sin x相切的直线有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】C
【解题思路】先求出导函数，再设切点，根据导函数得出切线斜率再应用两点求斜率计算求参进而得出切
线即可.
【解答过程】设切点(x0, x0sin x0)，因为曲线y = xsin x，所以y
' =sin x + xcos x，
所以
x0sin x0
x0
=sin x0+ x0cos x0，所以x0cos x0=0，
所以x0=0或cos x0=0，
当x0=0时，所以k =0，所以切线方程为y −0=0(x−0)，即y =0；
当x0=π
2 时，所以k =1，所以切线方程为y −0=1(x−0)，即y = x；
当x0=−π
2 时，所以k =−1，所以切线方程为y −0=−1(x−0)，即y =−x；
所以切线有3 条.
故选：C.
【变式6-1】（2025·全国·模拟预测）若曲线y =(1−x)e
x有两条过点A (a,0)的切线，则a的取值范围是
（ ）
A．(−∞,−1)∪(3,+∞)
B．(−3,1)
C．(−∞,−3)
D．(−∞,−3)∪(1,+ ∞)
【答案】D
【解题思路】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果.
【解答过程】设切点为(x0,(1−x0)e
x0)，由已知得y
′ =−xe
x，则切线斜率k =−x0e
x0，
切线方程为y −(1−x0)e
x0=−x0e
x0(x−x0)．
∵直线过点A (a,0)，∴−(1−x0)e
x0=−x0e
x0(a−x0)，
化简得x0
2−(a+1) x0+1=0．∵切线有2 条，
∴Δ=(a+1)
2−4>0，则a的取值范围是(−∞,−3)∪(1,+∞)，
故选：D.
【变式6-2】（2025·全国·一模）函数f ( x)= 4 x sin x cos x过原点的切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解题思路】利用二倍角的正弦公式变形后设切点为(x0,f (x0))，利用导数的意义得到切线方程，再对解
的情况进行讨论可得.
【解答过程】f ( x)= 4 x sin x cos x =2 x sin (2 x)，
f
′ (x)=2sin (2 x)+ 4 x cos(2 x)，
设切点为(x0,f (x0))，切线方程为y = f
′(x0)(x −x0)+ f (x0)，
将原点代入切线方程可得0= f
′(x0)(0−x0)+ f (x0)，
所以[2sin(2 x0)+ 4 x0cos(2 x0))(−x0)+2 x0sin(2 x0)=0，
化简可得−4 x0
2cos(2 x0)=0，解得x0=0或cos(2 x0)=0，
当x0=0时，f (0)=0，f
′ (0)=0，切线方程为y =0；
当cos(2 x0)=0时，解得x0=π
4 + 1
2 k π,k ∈Z，当k为偶数时，x0=π
4 + 1
2 k π,k ∈Z对应的切线方程为
y =2 x；当k为奇数时，x0=π
4 + 1
2 k π,k ∈Z对应的切线方程为y =−2 x；
所以共有3 条不同的切线.
故选：C.
【变式6-3】（24-25 高三上·陕西·阶段练习）函数f (x)= x−aln x在区间(1,6)的图象上存在两条相互垂直
的切线，则a的取值范围（ ）
A．(1,6)
B．(1,3)
C．(3,4)
D．(4,6)
【答案】C
【解题思路】由导数的几何意义求解即可.
【解答过程】设切点横坐标为x0，所作切线斜率为k，则k = f
′(x0)=1−a
x0
，
当a≤0时，k =1−a
x0
>0，故不存在k1k2=−1；
当a>0时，满足：{
1−a<0
1−a
6 >0
(1−a)(1−a
6)<−1)
.
所以：3<a<4.
故选：C.
【题型7 两条切线平行、垂直、公切线问题】
【例7】（2025·辽宁大连·一模）斜率为1的直线l与曲线y = ln( x +a)和圆x
2+ y
2= 1
2都相切，则实数a的值
为（ ）
A．0或2
B．−2或0
C．－1或0
D．0或1
【答案】A
【解题思路】设直线l的方程为y = x +b，先根据直线和圆相切算出b，在根据导数的几何意义算a.
【解答过程】依题意得，设直线l的方程为y = x +b，
由直线和圆x
2+ y
2= 1
2相切可得，
|b)
❑√1
2+(−1)
2 =
❑√2
2 ，解得b=±1，
当b=1时，y = x +1和y = ln( x +a)相切，
设切点为(m,n)，根据导数的几何意义，
1
m+a =1，
又切点同时在直线和曲线上，即{
n=m+1
n= ln(m+a))，解得{
n=0
m=−1
a=2 )，
即y = x +1和y = ln( x +2)相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位，
y = x−1和y = ln x仍会保持相切状态，即b=−1时，a=0，
综上所述，a=2或a=0.
故选：A.
【变式7-1】（2025·福建·模拟预测）已知直线y =kx +b既是曲线y = ln x的切线，也是曲线y =−ln(−x)
的切线，则（ ）
A．k = 1
e ，b=0
B．k =1，b=0
C．k = 1
e ，b=−1
D．k =1，b=−1
【答案】A
【解题思路】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可.
【解答过程】设直线与曲线y = ln x的切点为(x1,ln x1)且x1>0，
与曲线y =−ln(−x)的切点为(x2,−ln(−x2))且x2<0，
又y
′ =(ln x)
′ = 1
x ，y
′ =[−ln(−x))=−1
x ，
则直线y =kx +b与曲线y = ln x的切线方程为y −ln x1= 1
x1
(x−x1)，即y = 1
x1
x + ln x1−1，
直线y =kx +b与曲线y =−ln(−x)的切线方程为y + ln(−x2)=−1
x2
(x−x2)，即y =−1
x2
x +1−ln(−x2)，
则{
1
x1
=−1
x2
ln x1−1=1−ln(−x2))
，解得{
x1=e
x2=−e)，故k = 1
x1
= 1
e ,b= ln x1−1=0，
故选：A.
【变式7-2】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线y =e
x+ x在点(0,1)处的切线也是曲线y = ln( x +1)+a
的切线，则a= .
【答案】ln 2
【解题思路】先求出曲线y =e
x+ x在(0,1)的切线方程，再设曲线y = ln (x +1)+a的切点为
(x0,ln(x0+1)+a)，求出y
′，利用公切线斜率相等求出x0，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求
解.
【解答过程】由y =e
x+ x得y
′ =e
x+1，y
′|x =0=e
0+1=2，
故曲线y =e
x+ x在(0,1)处的切线方程为y =2 x +1；
由y = ln (x +1)+a得y
′ =
1
x +1，
设切线与曲线y = ln (x +1)+a相切的切点为(x0,ln(x0+1)+a)，
由两曲线有公切线得y
′ =
1
x0+1 =2，解得x0=−1
2，则切点为(−1
2 ,a+ ln 1
2)，
切线方程为y =2(x + 1
2)+a+ ln 1
2 =2 x +1+a−ln 2，
根据两切线重合,所以a−ln2=0，解得a= ln2.
故答案为：ln2.
【变式7-3】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数y = ❑√x的图象与函数y =a
x（a>0且a≠1）的图象在公
共点处有相同的切线，则公共点坐标为 .
【答案】(e ,❑√e)
【解题思路】设公共点为(x0, y0) ( x0>0)，即可得到a
x0= x0
1
2，再由导数的几何意义得到a
x0ln a= 1
2 x0
−1
2，
从而求出x0，即可求出切点坐标，从而求出a，再求出切线方程.
【解答过程】设公共点为(x0, y0) ( x0>0)，则{
y0= x0
1
2
y0=a
x0)
，即a
x0= x0
1
2，
所以x0ln a= 1
2 ln x0，所以ln a= 1
2 x0
ln x0，
由y1
′ = 1
2 x
−1
2，y2
′ =a
x ln a，所以y1
′|x = x0= 1
2 x0
−1
2，y2
′|x = x0=a
x0ln a，
又在公共点处有相同的切线，所以a
x0ln a= 1
2 x0
−1
2，即x0
1
2 · 1
2 x0
·ln x0= 1
2 x0
−1
2，
所以ln x0
❑=1，则x0
❑=e，所以y0= ❑√e，
所以公共点坐标为(e ,❑√e).
故答案为：(e ,❑√e).
【题型8 与切线有关的最值问题】
【例8】（24-25 高二下·山东枣庄·阶段练习）点P是曲线y = x
2−ln x上任意一点，则点P到直线y = x−4
的距离的最小值是（ ）
A．1
B．❑√2
C．2
D．2❑√2
【答案】D
【解题思路】问题转化为过点P的切线与直线y = x−4平行时，点P 到直线y = x−4的距离最小，利用导
数的几何意义求得点P的坐标，再用点到直线的距离公式即可求得答案.
【解答过程】因为点P是曲线y = x
2−ln x上任意一点，
所以当点P处的切线和直线y = x−4平行时，点P到直线y = x−4的距离最小．
因为直线y = x−4的斜率等于1，曲线y = x
2−ln x的导数y
′ =2 x−1
x ，
令y
′ =1，可得x =1或x =−1
2(舍去)，
所以在曲线y = x
2−ln x上与直线y = x−4平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，
所以点P 到直线y = x−4的最小距离为|1−1−4|
❑√1+1
=2❑√2.
故选：D.
【变式8-1】（2025·广东佛山·一模）若直线y = x +a与曲线y =ln(x +b)相切，则a
2+b
2的最小值为（ ）
A．1
2
B．1
C．3
2
D．2
【答案】A
【解题思路】通过设切点，利用导数的几何意义列出等式，再利用二次函数的性质求其最小值.
【解答过程】设直线y = x +a与曲线y = ln( x +b)的切点为( x0, y0).
对y = ln( x +b)求导，根据(lnu)
′ = 1
u u
′，可得y
′ =
1
x +b.
因为直线y = x +a的斜率为1，由导数的几何意义可知，
在切点处
1
x0+b =1，即x0=1−b.
又因为切点( x0, y0)既在直线上又在曲线上，
所以y0= x0+a且y0= ln( x0+b)，即ln( x0+b)= x0+a.
将x0=1−b代入ln( x0+b)= x0+a可得：ln(1−b+b)=1−b+a，即a=b−1.
将a=b−1代入a
2+b
2可得：
a
2+b
2=(b−1)
2+b
2=2b
2−2b+1=2(b−1
2)
2
+ 1
2，
所以当b= 1
2，a=−1
2时，a
2+b
2取得最小值为1
2.
故选：A.
【变式8-2】（2025·全国·模拟预测）若函数f (x)= x
2+3 x−4ln x，点P是曲线y = f (x)上任意一点，则点
P到直线l: x−y −3=0的距离的最小值为（ ）
A．4 ❑√2
B．3 ❑√2
2
C．3 ❑√2
D．
❑√6
2
【答案】C
【解题思路】利用导数的几何意义求出与直线l平行且与曲线y = f (x)相切的直线与曲线y = f (x)相切的切
点坐标，利用点到直线的距离公式即可求解.
【解答过程】f (x)= x
2+3 x−4ln x的定义域为(0,+∞)，
由函数f (x)= x
2+3 x−4ln x，可得f
′ (x)=2 x +3−4
x ，
令2 x +3−4
x =1，可得x =1，负值舍去，
又f (1)= 4，
所以平行于直线l且与曲线y = f (x)相切的直线与曲线y = f (x)的切点坐标为(1,4)．
点(1,4)到直线l的距离d =|1−4−3)
❑√2
=3 ❑√2，即点P到直线l的距离的最小值为3 ❑√2.
故选：C．
【变式8-3】（2025·陕西汉中·模拟预测）已知A(x1, y1),B(x2, y2)为曲线y =e
x上两个不同的点，曲线
y =e
x在点A ,B处的切线相交于点C (x0, y0)，且这两条切线的斜率之积为1，则x0+1
y0
−y2
4
的最小值为
（ ）
A．ln2
2
B．
❑√2
2
C．e
D．ln2
4
【答案】B
【解题思路】根据题意设A(x1, y1),B(x2, y2)，表示出切线方程，由两条切线的斜率之积为1，得到
x2=−x1，联立求出x0，y0，对
x0+1
y0
−y2
4 化简，利用基本不等式可求其最小值.
【解答过程】设A(x1, y1),B(x2, y2)，
∵y
′ =e
x，∴在A(x1, y1)处的切线方程l1: y =e
x1(x −x1)+e
x1，
在B(x2, y2)处的切线方程l2: y =e
x2(x −x2)+e
x2，
∵这两条切线的斜率之积为1，∴e
x1⋅e
x2=e
x1+ x2=1⇒x2=−x1，
∵切线相交于点C (x0, y0)，
∴联立解得，x0= x1e
x1−x2e
x2
e
x1−e
x2
−1= x1e
2 x1+ x1
e
2 x1−1
−1，
y0=e
x1( x1e
2 x1+ x1
e
2 x1−1
−1−x1)+e
x1= 2 x1e
x1
e
2 x1−1
，
即x0+1
y0
−y2
4 = e
2 x1+1
2e
x1 −e
−x1
4 = e
x1
2 +
1
4 e
x1 ≥2❑√
e
x1
2 ⋅1
4 e
x1 =
❑√2
2
，
当e
x1
2 =
1
4 e
x1 =
❑√2
4 时取等，
故选：B.
一、单选题
1．（2025·甘肃白银·三模）如果质点按规律s(t )=2t
2−t（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在
2s 末的瞬时速度为（ ）
A．8 m/s
B．7m/s
C．6 m/s
D．5 m/s
【答案】B
【解题思路】利用瞬时变化率的定义即可求得该质点在2s 末的瞬时速度.
【解答过程】
lim
Δt →0 Δs
Δt
=
lim
Δt →0 2(2+ Δt )
2−(2+ Δt )−(2×4−2)
Δt
= lim
Δt →0
(7+2 Δt )=7，
则质点在2s 末的瞬时速度为7m/s.
故选：B.
2．（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（ ）
A．(sin a)
′ =cosa(a 为常数)
B．(sin 2 x)
′ =2cos2 x
C．(3
x)
′ =3
x log3e
D．(❑√x +1)
′ =
2
❑√x +1
【答案】B
【解题思路】根据求导公式和简单复合函数的求导，依次计算即可判断选项.
【解答过程】A：因为a 为常数，所以(sin a)
′ =0，故A 错误；
B：(sin 2 x)
′ =cos2 x ⋅(2 x)
′ =2cos2 x，故B 正确；
C：(3
x)
′ =3
x ln3，故C 错误；
D：(❑√x +1)
′ =[( x +1)
1
2 ]
′ = 1
2 ( x +1)
−1
2 ⋅( x +1)
′ =
1
2❑√x +1
，故D 错误.
故选：B.
3．（2025·湖南郴州·三模）曲线y =ln x在点(e,1)处的切线方程为（ ）
A．x−y =0
B．x−e y =0
C．x−y +1−e=0
D．e x−y =0
【答案】B
【解题思路】由导数的几何意义求解即可.
【解答过程】根据题意可得y
′ = 1
x ，所以所求切线的斜率k = 1
e ，
所以所求切线的方程为y −1= 1
e (x−e)，即x−e y =0.
故选：B.
4．（2025·甘肃兰州·一模）若函数y =e
x+e
−x
2
（e 为自然对数的底）的一条切线与x 轴平行，则切点的坐
标为（ ）
A．(1,0)
B．(0,1)
C．(1,1)
D．(1,e)
【答案】B
【解题思路】设出切点(x0, y0)，利用在切点处的斜率等于0 即可求得结果.
【解答过程】设切点坐标为(x0, y0)，函数y =e
x+e
−x
2
，所以y
′ =e
x−e
−x
2
，
因为切线与x 轴平行，所以y
'|x = x0=e
x0−e
−x0
2
=0，解得x0=0，y0=e
x0+e
−x0
2
= 1+1
2
=1，故切点坐标为
(0,1)
故选：B.
5．（2025·山东聊城·三模）已知f (x)是定义域为R的可导函数，设其导函数为g(x)．若f (x +1)−2 x为偶
函数，且g(x)= g(4−x)，则∑
i=1
20
g(i)=（ ）
A．60
B．40
C．20
D．8
【答案】B
【解题思路】根据函数的奇偶性结合求导数，得出函数周期，应用周期计算求解函数值即可.
【解答过程】因为f (x +1)−2 x为偶函数，所以f (x +1)−2 x = f (−x +1)+2 x，
所以f
′ (x +1)−2=−f
′ (−x +1)+2，所以f
′ (x +1)+ f
′ (−x +1)= 4，
所以g(x +1)+ g(−x +1)= 4，且g(x)= g(4−x)，
所以g(x)+ g(−x +2)= 4，g(−x + 4)+ g(x−2)= 4，所以g(x−2)= g(2−x)，
所以g(x)= g(−x)= g(4−x)，所以g(x)的周期为4，
因为g(x +1)+ g(−x +1)= 4，令x =0,g(1)+ g(1)= 4，可得g(1)=2，
令x =1,g(2)+ g(0)= 4，
所以g(1)+ g(2)+ g(3)+ g(4)= g(1)+ g(2)+ g(−1)+ g(0)=8
所以∑
i=1
20
g(i)= g(1)+ g(2)+ g(3)+⋯+ g(20)=5×8= 40.
故选：B.
6．（2025·湖南·三模）若直线y =kx +1（k 为常数）是曲线y = ln x +1和曲线y =ae
x+1的公切线，则实数
a 的值为（ ）
A．1
e
B．1
e
2
C．1
D．e
【答案】B
【解题思路】解法一：先对f ( x)= ln x +1求导得f
′( x)= 1
x ，设与直线y =kx +1切点为( x1,ln x1+1)，写出
切线方程，根据直线y =kx +1得到关于x1和k的方程组，求出k.
再对g( x)=ae
x+1求导，设其与直线y = 1
e x +1切点为( x0,ae
x0+1)，根据导数等于切线斜率以及切点在
切线上列方程，求出a.
解法二：设两条曲线的切点分别为P( x1, y1)，Q( x2, y2)，分别根据切点在曲线上、在切线上以及切线斜
率列出方程组，求解得到x1，k，再同理求出x2，进而得到a.
【解答过程】解法一：令f (x)= ln x +1，x∈(0,+ ∞)，则f
′ (x)= 1
x ，
设直线y =kx +1与y = ln x +1的切点为(x1,ln x1+1)，
则切线方程为y −ln x1−1= 1
x1
(x−x1)，即y = 1
x1
x + ln x1，
又因为y =kx +1，所以{
1
x1
=k
ln x1=1)
，解得x1=e，k = 1
e ，所以切线方程为y = 1
e x +1，
令g(x)=ae
x+1，则g
′ (x)=ae
x，
设直线y = 1
e x +1与y =ae
x+1的切点为(x0,ae
x0+1)，所以g
′(x0)=ae
x0= 1
e ①，
又因为切点(x0,ae
x0+1)在直线y = 1
e x +1上，所以ae
x0+1= 1
e x0+1，即ae
x0= 1
e x0 ②，
由①和②可得x0=1，所以ae= 1
e ，解得a= 1
e
2 ．
解法二：设切点分别为P(x1, y1)，Q(x2, y2)，
{
y1=k x1+1
y1= ln x1+1
1
x1
=k )
⇒ln x1=k x1=1．∴x1=e，k = 1
e ．
同理{
y2=k x2+1,
y2=ae
x2+1,
ae
x2=k )
⇒ae
x2=k x2=k．∴x2=1，∴k =ae= 1
e ，∴a= 1
e
2 ．
故选：B．
7．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数f (x)是定义在R上的可导函数，且f (x)满足f (2−x)= f (x)，
f (x +2)=−f (x)，当x∈[0,1)时，f (x)=2❑√x，则f
′(
1011
2 )=（ ）
A．❑√2
B．−❑√2
C．
❑√2
2
D．−
❑√2
2
【答案】B
【解题思路】先判断函数的周期性，从而得到导数的周期性，再根据导函数的对称性和周期性可求
f
′(
1011
2 ) .
【解答过程】由f (x +2)=−f (x)可得f (x + 4)=−f (x +2)= f (x)，
所以函数f (x)周期是4，且f
′ (x)的周期也是4.
因为f (2−x)= f (x)，故−f
′ (2−x)= f
′ (x)，
故f
′ (x)的图象关于直线(1,0)对称.
对f (x)=2❑√x求导得f
′ (x)= 1
❑√x ，f
′(
1
2)= ❑√2.
则f
′(
1011
2 )= f
′(
3+126×8
2
)= f
′(4×126+ 3
2)= f
′(
3
2)=−f
′(
1
2)=−❑√2
故选：B.
8．（2025·甘肃·二模）若函数f (x)=ln(x−1)+ x
2+ax的图象上存在两个不同点，使得f (x)在这两点的切
线与直线y =−1
2 x垂直，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,−2❑√2)
B．(−∞,−2❑√2)∪(4 ,+∞)
C．(−∞,3)
D．R
【答案】A
【解题思路】由存在两个不同的点满足条件，可得出f
'( x)=2存在两个大于1 的解，结合根的分布讨论得
出a的取值范围.
【解答过程】由题意，函数的定义域为x∈(1,+∞)，f
' (x)=
1
x−1 +2 x +a．
因为函数f (x)图象上存在两点处的切线与直线y =−1
2 x垂直，
故f
' (x)=
1
x−1 +2 x +a=2有两个不同的大于1 的解，
即2 x
2+(a−4) x−a+3=0有两个不同的大于1 的根．
令g(x)=2 x
2+(a−4) x−a+3，
则{
g(1)>0,
Δ=(a−4)
2+8(a−3)>0
−a−4
4
>1.
)
，即{
a∈R ,
a<−2❑√2,或a>2❑√2
a<0.
)
，
所以a<−2❑√2．
故选：A.
二、多选题
9．（2025·甘肃庆阳·三模）已知函数f (x)=e
x
x +a，则下列结论正确的是（ ）
A．当a=1时，曲线y = f (x)在点(0,f (0))处的切线方程为y = x
B．当a=1时，曲线y = f (x)在点(0,f (0))处的切线方程为y =1
C．当a=0时，曲线y = f (x)上不存在斜率为0 的切线
D．当a=0时，曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线斜率为0
【答案】BD
【解题思路】对于选项A，B，当a=1时，f (x)=e
x
x +1，求出导函数，利用导数的几何意义求出点
(0,f (0))处切线斜率，即可求出切线方程，即可判断；对于选项C，D，当a=0时，f (x)=e
x
x ，求出导函
数，利用导数几何意义求出在点(1,f (1))处的切线斜率，即可判断.
【解答过程】对于选项A，B，当a=1时，f (x)=e
x
x +1，f
′ (x)=
xe
x
(x +1)
2，有f
′ (0)=0，
又f (0)=1，故曲线y = f (x)在点(0,f (0))处的切线方程为y =1，故选项B 正确，A 错误；
对于选项C，D，当a=0时，f (x)=e
x
x ，则f
′ (x)= (x−1)e
x
x
2
，
显然f
′ (1)=0，即曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线斜率为0，故选项C 错误，选项D 正确.
故选：BD.
10．（2025·山东烟台·三模）已知定义在R上的函数f (x)的导函数为f
′ (x)，若对任意x , y ∈R，都有
f (x + y)−f (x−y)=2f (1−x)f ( y)，且f (1)=1．则（ ）
A．f (x)为偶函数
B．f
′ (0)+ f
′ (2)=0
C．f
′ (x)的周期为4
D．f
2(x)+ f
2(1−x)=1
【答案】BCD
【解题思路】令x =0,判断f (x)的奇偶性,判断选项A;令x =1，求出f (x)的对称性，判断选项B;然后再由对
称性和奇偶性求解f
′ (x)周期，判断选项C;再赋值进行求解，判断选项D.
【解答过程】根据题意f (x + y)−f (x−y)=2f (1−x)f ( y)，且f (1)=1，
令x =0，则f ( y)−f (−y)=2f (1)f ( y)=2f ( y)，故f ( y)+ f (−y)=0，
故f (x)是奇函数，故A 错误；
由A 选项可得f (0)=0，令x =1，则f (1+ y)−f (1−y)=2f (0)f ( y)=0，
则f (2−x)−f (x)=0，故−f
′ (2−x)−f
′ (x)=0，
即f
′ (2−x)+ f
′ (x)=0，因此f
′ (2)+ f
′ (0)=0，故B 正确；
由f (x)+ f (−x)=0，则f
′ (x)−f
′ (−x)=0，
再由f
′ (2−x)+ f
′ (x)=0⇒f
′ (2+ x)=−f
′ (−x)=−f
′ (x)，故f
′ (x + 4)=−f
′ (x +2)= f
′ (x),故最小正周期为
T = 4,故C 正确；
令x =1−y，则f (1)−f (1−2 y)=2f
2( y)，即f (1)−f (1−2 x)=2f
2(x)，
令y =1−x，则f (1)−f (2 x−1)=2f
2(1−x)，
则2f
2(x)+2f
2(1−x)=2f (1)−f (1−2 x)−f (2 x−1)=2f (1)=2，
故f
2(x)+ f
2(1−x)=1,故D 正确.
故选：BCD.
11．（2025·四川巴中·三模）已知函数f ( x)及其导函数f ′( x)的定义域均为R，记g( x)= f ′( x)，若
f (2 x +1)与g( x +2)均为偶函数，则下列选项正确的是（ ）
A．∑
i
2025
❑g(i)=0
B．f ( x)和g( x)是周期为4 的周期函数
C．g( x +1)为奇函数
D．f ( x)图象关于点(2,0)对称
【答案】ABC
【解题思路】根据函数奇偶性，得到对称性和周期性，逐个计算判断即可.
【解答过程】因为g( x +2)为偶函数，所以g(−x +2)= g( x +2)，即g( x)= g(4−x)，
所以函数g( x)的图象关于x =2对称，则g(1)= g(3)，
又f (2 x +1)为偶函数，所以f (−2 x +1)= f (2 x +1)，即f ( x)= f (−x +2)，
两边求导得，f ′( x)=−f ′(−x +2)，即g( x)=−g(2−x)，g( x)的图象关于(1,0)对称，
则g( x +1)的图象关于原点对称，g( x +1)为奇函数，故C 正确，
g(1)=0，g(0)=−g(2)，
由以上分析得g(4−x)=−g(2−x)，即有g(x +2)=−g(x)
即g( x + 4)=−g( x +2)= g(x)，且g(x +2)+ g(x)=0，
所以g( x)是周期为4 的函数，g(1)+ g(3)=0，
故∑
i=1
2025
❑g(i)=506[g(1)+ g(2)+ g(3)+ g(4))+ g(1)= g(1)=0，故A 正确：
对于B，由于g(−x +2)= g( x +2)，则f ( x +2)=−f (−x +2)+c，
由于f ( x)= f (−x +2)，故f ( x +2)=−f (−x +2)+c =−f ( x)+c，
所以f ( x + 4)=−f ( x +2)+c =−[−f ( x)+c ]+c = f ( x)，因此f ( x)以4 为周期的周期函数，B 正确.
对于D，由于g( x)= g(4−x)，则f ( x)=−f (4−x)+d，故f ( x)图象关于(2, d
2)对称，由于d不一定为
0，故D 错误，
故选：ABC.
三、填空题
12．（2025·四川乐山·三模）曲线y =1−e
x与在点(0,0)处的切线方程为 .
【答案】y =−x
【解题思路】根据题意求得y
′ =−e
x，得到y
′|x =0=−1，结合导数的几何意义，即可求解.
【解答过程】由y =1−e
x，可得y
′ =−e
x，可得y
′|x =0=−1
所以曲线y =1−e
x在点(0,0)处的切线方程y =−x.
故答案为：y =−x.
13．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设a≠0，若曲线f (x)=aln(x−1)在点(2,f (2))处的切线也是曲线
g(x)=e
ax−2的切线，则a=
．
【答案】1
2
【解题思路】首先根据题意求出切线方程，然后对g(x)求导，根据斜率值和切点的函数值求出a的值.
【解答过程】因为f
' (x)=
a
x−1，所以f
' (2)=a,f (2)=aln1=0.
所以曲线f (x)在点(2,f (2))的切线方程为：y =a(x−2).
因为g
' (x)=ae
ax−2，设曲线g(x)与该切线的切点为(x0,a(x0−2)).
所以g
'(x0)=ae
a x0−2=a，所以a x0−2=0，即a x0=2.
又g(x0)=e
a x0−2=a(x0−2)=2−2a=e
0，
所以a= 1
2.
故答案为：1
2.
14．（2025·四川遂宁·模拟预测）已知函数f ( x)及其导函数f
'( x)的定义域为R，若f
'(2)=8，函数
f (2 x +1)和f
'( x +2)均为偶函数，则∑
i=1
2025
f
'(i)的值为
.
【答案】0
【解题思路】根据f (2 x +1)为偶函数，得出f
′( x)关于(1,0)中心对称，再根据f
′( x +2)为偶函数，得出
f
′( x)关于x =2对称，两者结合得出周期，再利用对称性和周期性，结合赋值法计算即可.
【解答过程】f (2 x +1)为偶函数，则f (2 x +1)= f (−2 x +1)，左右两边同时求导得，
2f
′(2 x +1)=−2f
′(−2 x +1)，将2 x +1看作整体得f
′( x)=−f
′(2−x)①，
将y = f
′( x +2)图象向右平移2个单位得到y = f
′( x)，
因为y = f
′( x +2)为偶函数，则y = f
′( x)图象关于x =2对称，即f
′( x)= f
′(4−x)②，
①②两式联立得−f
′(2−x)= f
′(4−x)，即−f
′( x)= f
′( x +2)，
用x +2代替x得−f
′( x +2)= f
′( x + 4)，故f
′( x)= f
′( x + 4)，
即y = f
′( x)的周期为4，
因f
′(2)=8，则①式中令x =1有f
′(1)=0，令x =0有f
′(0)=−f
′(2)=−8，
②式中令x = 4有f
′(4)= f
′(0)=−8，令x =3有f
′(3)= f
′(1)=0，
则∑
i=1
2025
f
′(i)=506[ f
′(1)+ f
′(2)+ f
′(3)+ f
′(4)]+ f
′(1)=0
故答案为：0.
四、解答题
15．（2025 高二·全国·专题练习）已知某物体的运动方程为s={
3t
2+2,t ≥3
29+3(t −3)
2,0≤t <3)（位移s的单位：
m，时间t的单位：s）．
(1)求该物体在t ∈[3,5)内的平均速度；
(2)求该物体的初速度v0；
(3)求该物体在t =1时的瞬时速度．
【答案】(1)24 m /s
(2)−18 m /s
(3)−12m /s．
【解题思路】（1）根据平均速度的概念求平均速度.
（2）根据v0=
lim
Δ x→0 s(0+ Δ x)−s(0)
Δ x
求初速度.
（3）根据v =
lim
Δ x→0 s(1+ Δ x)−s(1)
Δ x
求该物体在t =1时的瞬时速度.
【解答过程】（1）因为该物体在t ∈[3,5)内的时间变化量Δt =5−3=2，
该物体在t ∈[3,5)内的位移变化量Δ s=3×5
2+2−(3×3
2+2)=3×(5
2−3
2)= 48，
所以该物体在t ∈[3,5)内的平均速度为Δs
Δt = 48
2 =24 m /s．
（2）求该物体的初速度v0即求该物体在t =0时的瞬时速度．
因为该物体的位移在t =0附近的平均变化率Δs
Δt = s¿¿．
当Δt无限趋近于0 时，Δs
Δt =3 Δt −18无限趋近于−18，
所以该物体的初速度v0为−18 m /s．
（3）该物体在t =1时的瞬时速度即为位移s在t =1处的瞬时变化率．
因为该物体的位移在t =1附近的平均变化率Δs
Δt = s¿¿，
当Δt无限趋近于0 时，Δs
Δt =3 Δt −12无限趋近于−12，
所以该物体在t =1时的瞬时速度为−12m /s．
16．（24-25 高二下·上海浦东新·期中）已知函数y = f ( x)与y = g( x)满足f (1)=2，f
′(1)=3，g(1)= 4，
g
′(1)=5.对于下列函数y =ℎ( x)，求ℎ(1)和ℎ
′(1).
(1)ℎ( x)=3 g( x)+2f ( x)+1；
(2)ℎ( x)= 2g(2−x)−1
3 f (2 x−1) .
【答案】(1)ℎ(1)=17 ,ℎ
′ (1)=21
(2)ℎ(1)= 7
6 ,ℎ
′ (1)=−31
6
【解题思路】（1）求ℎ(1)赋值代入计算即可，求ℎ
′ (1)需要先求出ℎ(x)的导数然后赋值代入计算即可.
（2）求ℎ(1)赋值代入计算即可，求ℎ
′ (1)需要先应用复合函数求导及分式求导求出ℎ(x)的导数然后赋值
代入计算即可.
【解答过程】（1）因为ℎ( x)=3 g( x)+2f ( x)+1，
所以ℎ(1)=3 g(1)+2f (1)+1=3×4 +2×2+1=17.
因为ℎ
′ (x)=3 g
′ (x)+2f
′ (x)，
所以ℎ
′ (1)=3 g
′ (1)+2f
′ (1)=3×5+2×3=21.
（2）因为ℎ( x)= 2g(2−x)−1
3 f (2 x−1) ，
所以ℎ(1)= 2g(1)−1
3 f (1)
= 2×4−1
3×2
= 7
6 .
因为ℎ
' (x)= −2g
' (2−x)×3 f (2 x−1)−(2g(2−x)−1)×6 f
' (2 x−1)
(3 f (2 x−1))
2
，
所以ℎ
' (1)= −2g
' (1)×3 f (1)−(2g(1)−1)×6 f
' (1)
(3 f (1))
2
= −2×5×3×2−(2×4−1)×6×3
(3×2)
2
=−31
6 .
17．（24-25 高二下·青海西宁·期中）已知函数f (x)= x
3+ x−16.
(1)直线l为曲线y = f (x)在点(2,−6)处的切线，求直线l的方程；
(2)求过原点且与曲线y = f (x)相切的切线方程及切点坐标.
【答案】(1)y =13 x−32
(2)y =13 x，(−2,−26)
【解题思路】（1）求出函数f ( x)的导数，利用导数的几何意义求出切线方程/.
（2）设出过原点的切线与函数图象相切的切点坐标，表示出切线方程，进而求出切点坐标即可得解.
【解答过程】（1）由f (2)=2
3+2−16=−6，得点(2,−6)在曲线上，
求导得f
′ (x)=3 x
2+1，则f
′ (2)=3×2
2+1=13，
所以所求切线的方程为y +6=13( x−2)，即y =13 x−32.
（2）设切点为(x0, y0)，则切线l的斜率为f
'(x0)＝3 x0
2+1，
切线l的方程为：y =(3 x0
2+1)(x−x0)+ x0
3+ x0−16，
由切线l过点(0,0)，得0=(3 x0
2+1)(−x0)+ x0
3+ x0−16，整理得x0
3=−8，
解得x0=−2，y0=(−2)
3+(−2)−16=−26，切线l的斜率k =3×(−2)
2+1=13，
所以切线l的方程为y =13 x，切点坐标为(−2,−26).
18．（24-25 高二下·辽宁抚顺·期中）已知f
′ (x)是函数f ( x)的导函数，且f (x)=2ln x + f
′ (1) x
3+2f (1)．
(1)求f (1)；
(2)求曲线y = f ( x)在点(1,f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】(1)f (1)=1
(2)2
【解题思路】（1）求导，通过赋值即可求出f
'(1)，进而可求f (1)的值；
（2）根据导数的几何意义求出切线方程，再求出切线与两坐标轴的交点即可求出三角形面积.
【解答过程】（1）由题可知f
'( x)= 2
x +3 f
'(1)x
2，
令x =1，则f
'(1)=2+3 f
'(1)，解得f
'(1)=−1．
因为f (1)=2ln1−1+2f (1)，所以f (1)=1．
（2）由（1）可知f (1)=1，f
'(1)=−1，
则所求的切线方程为y −1=−1( x−1)，即x + y −2 =0，
所以该切线与坐标轴的交点为(0,2)和(2,0)，
则所求三角形的面积为1
2 ×2×2=2．
19．（24-25 高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数f (x)=e
x+ax +1.
(1)若函数f (x)的图象恒过定点P，且在定点P处的切线方程与直线3 x + y +1=0平行，求定点P的坐标和实
数a的值；
(2)若函数f (x)的图象存在与直线3 x + y +1=0垂直的切线，求实数a的取值范围.
【答案】(1)P(0,2),a的值为−4;
(2)(−∞, 1
3).
【解题思路】（1）令x =0可求出定点P的坐标，由导数的几何意义可得f
′ (0)=1+a，根据两直线平行对应
的斜率相等列方程可求实数a的值；
（2）由题意可得−3(e
x+a)=−1有解，分离参数即可求解.
【解答过程】（1）令x =0，可得f (0)=2，
所以函数f (x)的图象恒过定点P(0,2).
因为f
′ (x)=e
x+a，所以f
′ (0)=1+a.
因为在定点P处的切线方程与直线3 x + y +1=0平行，且直线3 x + y +1=0的斜率为−3，
所以f
′ (0)=1+a=−3，解得a=−4.
验证，点P(0,2)不在直线3 x + y +1=0上，故a=−4成立.
所以定点P的坐标为P(0,2)，a的值为−4.
（2）f
′ (x)=e
x+a，直线3 x + y +1=0的斜率为−3，
若函数f (x)的图象存在与直线3 x + y +1=0垂直的切线，
所以−3(e
x+a)=−1有解，即a= 1
3 −e
x有解.
因为e
x>0，所以1
3 −e
x< 1
3，即a< 1
3，
所以实数a的取值范围是(−∞, 1
3).
