专题3.3 导数与函数的极值、最值（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】.........................................................................................2
【题型2 求已知函数的极值（点）】......................................................................................................................3
【题型3 根据极值（点）求参数】..........................................................................................................................4
【题型4 由导数求函数的最值（不含参）】.........................................................................................................4
【题型5 由导数求函数的最值（含参）】..............................................................................................................4
【题型6 已知函数最值求参数】..............................................................................................................................5
【题型7 函数单调性、极值与最值的综合应用】.................................................................................................6
1、导数与函数的极值、最值
考点要求
真题统计
考情分析
(1)借助函数图象，了解
函数在某点取得极值的
必要和充分条件
(2)会用导数求函数的极
大值、极小值
(3)掌握利用导数研究函
数最值的方法
(4)会用导数研究生活中
的最优化问题
2023 年新课标I 卷：第11 题，5 分
2023 年新课标Ⅱ卷：第11 题，5 分
2024 年新课标I 卷：第10 题，6 分
2024 年新课标Ⅱ卷：第11 题，6
分、第16 题，15 分
2025 年全国一卷：第19 题，12 分
2025 年全国二卷：第10 题，6 分、
第13 题，5 分、第18 题，12 分
2025 年北京卷：第20 题，15 分
2025 年上海卷：第19 题，14 分
导数与函数是高中数学的核心内
容，高考对最值、极值的考查相对稳
定，是高考常考的热点内容，从近几
年的高考情况来看，高考中常涉及的
问题有利用导数解决函数的极值和最
值问题；与不等式、方程的根(或函数
的零点)等内容结合考查，此类问题体
现了分类讨论、转化与化归等数学思
想，此类问题在选择、填空、解答题
中都有考查，而在解答题中进行考查
时试题难度较大，复习时需要加强练
习.
知识点
1
函数的极值问题的求解思路
1．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f'(x)；
(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0 的根x0左右两侧值的符号；
(5)求出极值.
2．根据函数极值求参数的一般思路：
(1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0 和极值这两个条件列方程
组，利用待定系数法求解.
(2)导数值为0 不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.
知识点
2
函数的最值问题的解题策略
1．利用导数求函数最值的解题策略：
(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：
①求函数在(a,b)内的极值；
②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极
值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
2．求含有参数的函数的最值的解题策略：
求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从
而得到函数f(x)的最值.
【方法技巧与总结】
1．求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就
是最值.
2．函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
【题型1 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】
【例1】（2025·广东·一模）已知函数y=f(x)的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．f (x)在区间(1,4)上单调递增
B．x=7是y=f(x)的极大值点
C．当4<x<7时，f (x)>0
D．f (x)在区间(7,+∞)上单调递减
【变式1-1】（2025·贵州黔南·一模）三次函数f(x)=a x
3+ bx
2+cx+d的图象如图所示.下列说法正确的
是（ ）
A．a<0，b<0，c>0，d>0
B．a<0，b>0，c<0，d<0
C．a>0，b<0，c<0，d<0
D．a>0，b>0，c<0，d<0
【变式1-2】（2025·全国·模拟预测）如图是y=f (x)的导函数f
′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确
的判断是（ ）
A．当x= 1
−时，f (x)取得极大值
B．f (x)在[
2,1
−
)上是增函数
C．当x=1时，f (x)取得极大值
D．f (x)在[
1,2
−
)上是增函数，在[2,4)上是减函数
【变式1-3】（24-25 高三上·黑龙江·阶段练习）如图是函数y=f (x)的导函数y=f
′(x)的图象，下列结论正
确的是（ ）
A．y=f (x)在x= 1
−处取得极大值
B．x=1是函数y=f (x)的极值点
C．x= 2
−是函数y=f (x)的极小值点
D．函数y=f (x)在区间(
1,1
−
)上单调递减
【题型2 求已知函数的极值（点）】
【例2】（2025·新疆·模拟预测）已知函数f (x)=x(x−c)
2在x=2处有极小值，则极大值为（ ）
A．32
B．1
C．32
27
D．0
【变式2-1】（2025·浙江·模拟预测）函数f (x)= (x
2
−)e
x−e
2x
2
−的极小值为（ ）
A．e
2
2
−
B．2
−e
2
2
−
C．2 2
−e
2
D．
2
−
−e
2
【变式2-2】（2025·河北·模拟预测）函数f (x)=sin2x
2sin
−
(x+π
3 )在区间(0,2π)上所有极值点的和
为（ ）
A．2π
B．3π
C．4π
D．5π
【变式2-3】（2025·宁夏银川·一模）若函数f(x)=(x
2−ax
2
−)e
x在x= 2
−处取得极大值，则f(x)的极
小值为（ ）
A．6
−e
2
B．4e
−
C．2
−e
2
D．e
−
【题型3 根据极值（点）求参数】
【例3】（2025·河南新乡·三模）已知函数f (x)=x
3
3
−x+a的极小值为6，则实数a 的值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
【变式3-1】（2025·山东聊城·模拟预测）若f (x)=sinx−ax在(0,π)上的极大值大于1，则a的取值范围
为（ ）
A．(
∞,0
−
)
B．(−π
3
,0)
C．(
1,0
−
)
D．(0,1)
【变式3-2】（2025·江西·模拟预测）已知函数f(x)=e
2
−x+a x
2恰有两个极值点，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．(
∞
−
B．(
∞
−
C．( 2e,0)
−
D．(
∞
−
【变式3-3】（2025·浙江台州·二模）已知a∈R，若函数f (x)=x+a
x
ln
−
x既有极大值又有极小值，则a的
取值范围是（ ）
A．(
1
4 ,+∞)
B．(0,1
4)
C．(−1
4 ,0)
D．(−1
4 ,+∞)
【题型4 由导数求函数的最值（不含参）】
【例4】（2025·湖北黄冈·三模）已知函数f (x)=2cosx+sin2x，则f (x)的最小值是（ ）
A．−❑√5
B．−3❑√3
2
C．2
−
❑√2
D．3
−
【变式4-1】（2025·江苏南京·三模）已知函数f (x)=xe
−x，则当x∈[0,2)时，f (x)的最大值为（ ）
A．3
e
B．1
e
C．2
e
D．4
e
【变式4-2】（2025·陕西渭南·二模）函数f (x)=|x
1
−)+|x
3
−)+2e
x的最小值为（ ）
A．6
B．2+2e
C．6 2ln2
−
D．e
2+1
【变式4-3】（2025·贵州黔南·模拟预测）设函数f (x)= (x−a)(lnx−b)，若f (x)≥0，则ab的最小值为
（ ）
A．−1
2e
2
B．−1
e
2
C．−1
2e
D．−1
e
【题型5 由导数求函数的最值（含参）】
【例5】（2025·辽宁·三模）已知函数f(x)=a(x+1)e
x(a≠0)．
(1)当a =1时，判断过点( 1,0)
−
且与曲线f(x)相切的直线有几条，并求出切线方程；
(2)求f(x)的最值．
【变式5-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数f (x)=e
x+ax+a (a∈R).
(1)当a =1时，求f (x)在(0,f (0))处的切线方程；
(2)讨论f (x)的单调性，并求最值.
【变式5-2】（2025·浙江·模拟预测）设a>0，函数f (x)=a+x
2+ln(a−x
2)．
(1)若a≤1，讨论f (x)的单调性；
(2)求f (x)的最大值．
【变式5-3】（2025·河南驻马店·二模）已知函数f (x)=x(a−lnx
x
).
(1)讨论f (x)的最值；
(2)若a =1，且f (x)≤ke
x−x
x
，求k的取值范围.
【题型6 已知函数最值求参数】
【例6】（2025·重庆·模拟预测）若∀x∈R，a x
2+1
x
2+1
的最小值为3
4
，则a =（ ）
A．1
4
B．9
4
C．1
4
或9
4
D．5
4
【变式6-1】（2025·四川自贡·三模）函数f (x)= (x
5
−)2(x−b)，若f (x)在(b,b+3)有最大值，则实数b的
取值范围是（ ）
A．(
4,5
−
)
B．( 4,
−
11
4 )
C．( 4,
−
11
4 )
D．(
4,5
−
)
【变式6-2】（2025·福建·模拟预测）已知函数f (x)=x
2
2
−alnx(a>0).
(1)求函数f (x)的极值点；
(2)若函数f (x)在区间[1,e)上的最小值为0，求实数a的值.
【变式6-3】（2025·江西·模拟预测）已知函数f (x)=lnx−a (x
1
−)，其中a∈R
(1)若a =1，求函数f (x)的增区间；
(2)若f (x)在(0,1)上的最大值为0．求a 的取值范围．
【题型7 函数单调性、极值与最值的综合应用】
【例7】（2025·江西上饶·一模）利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利
用我们所学数学知识，探究函数f (x)=x
x,x∈(0,+∞)，下列说法正确的是（ ）
A．f (x)有且只有一个极大值点
B．f (x)在(0,1
e)上单调递增
C．存在实数a∈(0,+∞)，使得f (a)=1
e
D．f (x)有最小值，最小值为1
e
1
e
【变式7-1】（24-25 高二下·广东惠州·阶段练习）函数f (x)=a
e
x +lnx+ b(a∈R,b∈R)的两个极值点
x1,x2满足x1<x2≤2x1，则2x1+x2的最小值为（ ）
A．4ln2
B．4
C．3ln2
D．6ln2
【变式7-2】（2025·北京·二模）已知函数f (x)=a (x
1
−)e
x
ln
−
x，其中a>0．
(1)若曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的切线经过点(2,2)，求a的值；
(2)证明：函数f (x)存在极小值；
(3)记函数f (x)的最小值为g (a)，求g (a)的最大值．
【变式7-3】（2025·四川成都·模拟预测）已知f(x)=e
kx+e
−x(k>0).
(1)若x=0是f(x)的极值点，求k的值，并判断x=0是f(x)的极大值点还是极小值点；
(2)设f(x)的最小值为g(k).
（i）求g(k)的解析式；
（ii）证明：g(k)的最大值为2.
一、单选题
1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知x=1是函数f(x)=(a x
2+3x
3)
−
e
x的极值点，则函数f(x)的
极小值为（ ）
A．3
−
B．e
−
C．0
D．e
2．（2025·河南驻马店·模拟预测）函数f (x)=x+cosx在区间[−π
2 ,π)上的最大值为（ ）
A．π
B．π
2
+1
C．π
2
D．π 1
−
3．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数f(x)=ln(x+1)−a x
2有两个极值点，则实数a的取值范围为
（ ）
A．(
∞
−
B．(
∞,
−
−
1
2)
C．(
∞,
−
−
1
2)∪(0,+∞)
D．(−1
2 ,+∞)
4．（2025·安徽·模拟预测）已知f (x)={−x
2+ax,x≤1,
ax
1,
−
x>1,
)若函数y=f (x)有两个极值点，则实数a的取值
范围是（ ）
A．(0,2)
B．(0,2)
C．(0,3)
D．(0,3)
5．（2025·湖南·三模）已知函数f (x)=x
2−mx+2lnx在x=2时取极小值，则其导函数f
′(x)的最小值为
（ ）
A．5
−
B．3
−
C．1
−
D．−1
2
6．（2025·江苏·三模）设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，则（ ）
A．−x0是f(−x)的极小值点
B．−x0是−f(x)的极大值点
C．−x0是−f(−x)的极小值点
D．−x0是f(|x))的极大值点
7．（2025·广西·模拟预测）若对任意的x∈( 1,+∞)
−
，不等式(e
x−a)[ln(x+1)−b]≥0恒成立，则
a−b的最小值是（ ）
A．1
−
B．0
C．1
D．2
8．（2025·安徽·模拟预测）在同一平面直角坐标系xOy内，函数f (x)及其导函数f
′(x)的图象如图所示．
已知这两个函数图象恰有一个公共点(0,1)，则下列说法正确的是（ ）
A．函数y=e
xf (x)的最大值为1
B．函数y=e
xf (x)的最小值为1
C．函数y=f (x)
e
x
的最大值为1
D．函数y=f (x)
e
x
的最小值为1
二、多选题
9．（2025·云南·模拟预测）若函数f (x)=xlnx−ae
x有两个极值点，则a 的值可以是（ ）
A．0
B．1
4
C．1
3
D．1
2
10．（2025·全国二卷·高考真题）已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x>0时，f(x)=(x
2
3
−)e
x+2，
则（ ）
A．f(0)=0
B．当x<0时，f(x)=−(x
2
3
−)e
−x
2
−
C．f(x)≥2当且仅当x≥❑√3
D．x= 1
−是f(x)的极大值点
11．（2025·江苏苏州·三模）已知f (x)=a x
2+2lnx，则下列说法正确的是（ ）
A．a≥0时，f (x)有唯一的零点
B．a<0时，f (x)存在极小值
C．a<0时，f (x)存在极大值
D．若f (x)<0，则a的范围为−1
e <a<0
三、填空题
12．（2025·四川·三模）函数f (x)=x
3
2
−x
2+x
6
−的极小值是 .
13．（2025·全国二卷·高考真题）若x=2是函数f(x)=(x
1)(
−
x
2)(
−
x−a)的极值点，则f(0)=
.
14．（2025·河南信阳·模拟预测）若函数f (x)=ae
x
x
−x+lnx
ln
−
a的最小值为1，则实数a的取值范围为
.
四、解答题
15．（2025·湖南长沙·三模）已知函数f(x)=lnx+axe
x
1
−+x+1．
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线经过原点，求a；
(2)若a =−1
e
3 ，求f(x)的最大值．
16．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数f(x)=(ax+ b)e
x的图象在点(0,f(0))处的切线方程为
2x−y+1=0.
(1)求a，b 的值；
(2)求f(x)的单调区间与极值.
17．（2025·上海·高考真题）已知f(x)=x
2
(
−m +2)x+ m lnx,m ∈R．
(1)若f(1)=0，求不等式f(x)≤x
2
1
−的解集；
(2)若函数y=f(x)满足在(0,+∞)上存在极大值，求m 的取值范围；
18．（2025·海南·模拟预测）已知函数f(x)=(e
a−x+1)x,a∈R．
(1)当a =2时，求f(x)的单调区间与极值点；
(2)已知f(x)有两个极值点x1<2<x2，证明：x1+x2>3．
19．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数f(x)=ln(1+x)−x+1
2 x
2−kx
3，其中0<k<1
3
．
(1)证明：f(x)在区间(0,+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设x1,x2分别为f(x)在区间(0,+∞)的极值点和零点.
（i）设函数g(t)=f(x1+t)−f(x1−t)·证明：g(t)在区间(0,x1)单调递减；
（ii）比较2x1与x2的大小，并证明你的结论．
