专题3.2 导数与函数的单调性（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参）】.............................................................................................2
【题型2 判断不含参函数的单调性】......................................................................................................................3
【题型3 含参函数讨论单调性】..............................................................................................................................3
【题型4 根据函数的单调性求参数】......................................................................................................................4
【题型5 函数与导函数图象之间的关系】..............................................................................................................5
【题型6 函数单调性的应用
比较大小】
——
.........................................................................................................6
【题型7 函数单调性的应用
解不等式】
——
.........................................................................................................7
【题型8 导数关系构造函数解不等式】..................................................................................................................7
1、导数与函数的单调性
考点要求
真题统计
考情分析
(1)结合实例，借助几何直
观了解函数的单调性与导
数的关系
(2)能利用导数研究函数的
单调性，会求函数的单调
区间(其中多项式函数一
般不超过三次)
(3)会利用函数的单调性判
断大小，求参数的取值范
围等简单应用
2023 年新课标Ⅱ卷：第6
题，5 分
2024 年新课标I 卷：第10
题，6 分
2024 年北京卷：第20 题，15
分
2025 年全国二卷：第18 题，
17 分
导数与函数是高中数学的核心内
容，是高考常考的热点内容，从近三年
的高考情况来看，本节内容在高考中常
涉及的问题有：利用导数研究函数的单
调性、求函数的单调区间、利用函数的
单调性判断大小、解不等式、求参数范
围等；此类问题体现了分类讨论、转化
与化归等数学思想，此类问题在选择、
填空、解答题中都有考查，而在解答题
中时往往在第一小问中呈现，此时试题
整体难度较大，复习要加强训练.
知识点
1
导数中函数单调性问题的解题策略
1．确定函数单调区间的步骤；
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f'(x)；
(3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
2．含参函数的单调性的解题策略：
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分
解，则需讨论判别式Δ 的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
3．根据函数单调性求参数的一般思路：
(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x (
∈a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，
f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
知识点
2
导数中函数单调性的应用
1．比较大小：
利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构
造
辅助函数
，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函
数的单调性，进而根据单调性比较大小.
2．解不等式：
与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，
常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求
解不等式.
【解题方法与技巧】
导数关系构造函数的一些常见结构：
(1)对于不等式f'(x)+ g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)+g(x).
(2)对于不等式f'(x)-g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)-g(x).
特别地，对于不等式f'(x)> k，构造函数F(x)= f(x)-kx.
(3)对于不等式f'(x)g(x)+ f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)·g(x).
(4)对于不等式f'(x)g(x)-f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)=
.
(5)对于不等式xf'(x)+nf(x)>0，构造函数F(x)=
.
(6)对于不等式f'(x)+f(x)>0，构造函数F(x)=
.
(7)对于不等式f'(x)+kf(x)>0，构造函数F(x)=
.
【题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参）】
【例1】（2025·全国·模拟预测）函数y = ln x +1
x
的单调增区间为（ ）
A．(−∞,1)
B．(0,1)
C．(1,e)
D．(1,+∞)
【变式1-1】（2025·四川成都·模拟预测）函数y = 1
2 x
2−ln x的单调递减区间为（ ）
A．(−1,1)
B．[−1,1)
C．[1,+∞)
D．(0,1)
【变式1-2】（2025·浙江·模拟预测）函数f (x)=ln(2 x−1)−x
2+ x的单调递增区间是（ ）
A．(0,1)
B．(
1
2 ,1)
C．(
1−❑√2
2
, 1+ ❑√2
2 )
D．(
1
2 , 1+ ❑√2
2 )
【变式1-3】（2025·四川成都·三模）已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，
f (x)= x (1−ln x)，则当x<0时，f (x)的单调递增区间为（ ）
A．(−∞,−e)
B．(−e,0)
C．(−∞,0)
D．(−1,0)
【题型2 判断不含参函数的单调性】
【例2】（2025·湖北黄冈·二模）下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A．f (x)=ln 1−x
1+ x
B．f (x)=ln(e
2 x+1)−x
C．f (x)=ln(e
x−e
−x)
D．f (x)=ln(❑√x
2+1+ x)
【变式2-1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）下列函数在(0,+ ∞)上是单调递增的函数是（ ）
A．f (x)= x
3−x +2
B．f (x)=ln|x−1)
C．f (x)=−e
x+sin x
D．f (x)= x−1
x
【变式2-2】（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间[1,4)上单调递增的是（ ）
A．f (x)=
1
2−x
B．f (x)= x
e
x
C．f (x)= xln x
D．f (x)= x−ln x
2
【变式2-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）函数f (x)=ln(e
x+1)−x
2
（ ）
A．是偶函数，且在区间(0,+ ∞)上单调递增
B．是偶函数，且在区间(0,+ ∞)上单调递㺂
C．是奇函数，且在区间(0,+ ∞)上单调递增
D．既不是奇函数，也不是偶函数
【题型3 含参函数讨论单调性】
【例3】（2025·河北保定·一模）已知函数f ( x)= 3
2 a x
2−(a+3)x + ln x．
(1)当a=2时，求曲线y = f ( x)在(1,f (1))处的切线方程；
(2)讨论函数f ( x)的单调性．
【变式3-1】（2025·浙江绍兴·三模）已知函数f (x)=aln x−x−1，a∈R．
(1)若y = f (x)在x = ❑√e处的切线方程为y =(
2
❑√e −1)x +m，求实数m 的值；
(2)讨论f (x)的单调性.
【变式3-2】（2025·江西萍乡·一模）已知函数f (x)= 1
2 e
2 x−(a+2)e
x+2ax +1，其中a∈R.
(1)若f (x)的图象在(0,f (0))处的切线经过点(
1
2 ,0)，求a 的值；
(2)讨论f (x)的单调性.
【变式3-3】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数f (x)= x−ln x−2.
(1)求曲线y = f (x)在(e,e−3)处的切线方程；
(2)若a≥0，g(x)=a x
2−2(ax +1)−f (x)，讨论函数g(x)的单调性.
【题型4 根据函数的单调性求参数】
【例4】（2025·山东威海·三模）已知函数f ( x)=a
x−loga( x +1)(a>1)在(0,+∞)上存在单调递减区间，
则a的取值范围是（ ）
A．(1,e]
B．(1,e)
C．[e,+ ∞)
D．(e,+∞)
【变式4-1】（2025·陕西·模拟预测）已知函数f ( x)=( x−a−1)e
x−(
x
2 −a)bx是R上的增函数，则（ ）
A．a=b
B．a= 1
b
C．a= ln b
D．a=e
b
【变式4-2】（2025·河北·模拟预测）已知f (x)= x
2−mx，g(x)=(x +m)e
x，两个函数图象至少有一个在区
间(−1,2)上不单调，则m的取值范围是（ ）
A．(−2,4)
B．(−3,0)
C．(−3,−2)
D．(−3,4)
【变式4-3】（2025·河北张家口·三模）已知函数f (x)={
5 x
2+2a−1
x
, x ≥1,
ae
x−1+ 4 x , x<1, )
∀x1
，x2∈R，且x1< x2
，都有f (x1)−f (x2)
x1−x2
>4，则实数a的取值范围是（ ）
A．(0, 1
2)
B．(0,1)
C．[1,2)
D．(1,2)
【题型5 函数与导函数图象之间的关系】
【例5】（24-25 高二下·广东·阶段练习）设函数f (x)的导函数为f
′ (x)，若y = x f
′ (x)的图象如图所示，则
f (x)的单调递减区间为（ ）
A．(−3,−1)和(0,1)
B．(−3,−1)∪(0,1)
C．(−4 ,−3)和(−1,1)
D．(−3,−1)和(1,2)
【变式5-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数f ( x)= x
α( x >0)，α为实数，f ( x)的导函数为f
′( x)，在同
一直角坐标系中，f ( x)与f
′( x)的大致图象不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（24-25 高二下·江西·期末）若f (x)是定义在区间(−3,2)上的函数，其图象如图所示，设f (x)
的导函数为f
′ (x)，则f (x)f
′ (x)>0的解集为（ ）
A．(−2,−1)∪(1,2)
B．(−2,−1)∪(0,1)
C．(−3,−2)∪(0,1)
D．(−1,0)∪(1,2)
【变式5-3】（2025·山东济南·模拟预测）已知在同一平面直角坐标系中，函数y = f ( x)及其导函数
y = f
′( x)的部分图象如图所示，则（ ）
A．函数y =e
x⋅f ( x)在区间[a,b]上单调递增
B．函数y =e
x⋅f ( x)在区间[a,b]上单调递减
C．函数y =e
−x⋅f ( x)在区间[a,b]上单调递增
D．函数y =e
−x⋅f ( x)在区间[a,b]上单调递减
【题型6 函数单调性的应用
比较大小】
——
【例6】（2025·山西·三模）设a=e
2
4−ln 4
，b= 2
ln2
，c =e，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a<c<b
B．a<b<c
C．c<a<b
D．b<c<a
【变式6-1】（2025·辽宁·模拟预测）已知a=e
1
10 −1，b= ln 19
17
，c = 1
9
，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>c
B．c>a>b
C．b>a>c
D．b>c>a
【变式6-2】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数f (x)=e|x)−x
2，若a= f (−❑√2),b= f (e
1
e),c = f (π
1
π)
，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．b>a>c
B．a>c>b
C．c>a>b
D．b>c>a
【变式6-3】（2025·海南·模拟预测）已知函数f (x)= f
′ (1)e
1−x−ln x，设a= 1
5 , b=−ln 0.8, c =0.2e
0.2，
则（ ）
A．f (a)<f (b)<f (c)
B．f (b)<f (c)<f (a)
C．f (b)<f (a)<f (c)
D．f (c)<f (b)<f (a)
【题型7 函数单调性的应用
解不等式】
——
【例7】（2025·山东聊城·二模）函数f ( x)定义域为R，且满足f (−x)=−f ( x)，若y = f ( x)−x +e
x是偶
函数，则不等式f (xe
x−2)+ f (2e
x−x)<0的解集为（ ）
A．(−2,0)
B．(−∞,−2)∪(0,+ ∞)
C．(0,2) D．(−∞,0)∪(2,+∞)
【变式7-1】（2025·湖南邵阳·二模）已知函数f (x)=3 x
3−sin x + x，则满足f (x)+ f (4−3 x)<0的x的取
值范围是（ ）
A．(1,+∞)
B．(−∞,1)
C．(2,+∞)
D．(−∞,2)
【变式7-2】（2025·河南·二模）已知函数f (x)={
x ln(x
2+3), x ≥1
(2−x)ln(7−4 x + x
2), x<1)
，则满足f (5−a)<f (a+1)
的实数a的取值范围为（ ）
A．(1,+∞)
B．(2,+∞)
C．(3,+∞)
D．(4 ,+ ∞)
【变式7-3】（24-25 高二下·湖南娄底·期中）已知定义在R上的函数f (x)满足f (x)+ f
′ (x)>1，f (1)=3，则
不等式e
x f (x)>e
x+2e的解集为（ ）
A．(2,+∞)
B．(1,+∞)
C．(−∞,2)
D．(−∞,1)
【题型8 导数关系构造函数解不等式】
【例8】（2025·湖南·三模）已知y = f (x)是定义在(1,+ ∞)上连续可导函数，其导函数为y = f
′ (x)，若
x f
′ (x)<f (x)，且f (3)=6，则不等式f (ln x)>2ln x的解集为（ ）
A．(1,3)
B．(3,e
2)
C．(1,e
3)
D．(e,e
3)
【变式8-1】（2024·吉林长春·一模）已知定义在(0,+ ∞)上的函数f ( x),f
′( x)是f ( x)的导函数，满足
x f
′( x)−2f ( x)<0，且f (2)= 4，则不等式f (2
x)−4
x>0的解集是（ ）
A．(0,1)
B．(0,2)
C．(1,+∞)
D．(−∞,1)
【变式8-2】（2024·广东佛山·一模）设f
′ (x)是函数f (x)的导数，f (1−x)+ f (1+ x)=0，f (2)=0，当x>1
时，(x−1)f
′ (x)−f (x)>0，则使得f (x)<0成立的x的取值范围是（ ）
A．(0,1)∪(1,2) B．(0,1)∪(2,+ ∞)
C．(−∞,0)∪(1,2)
D．(−∞,0)∪(2,+∞)
【变式8-3】（2025·贵州毕节·二模）已知函数f (x)是定义域为R的奇函数，f
′ (x)是f (x)的导函数，
f (1)=0，当x<0时，x f
′ (x)+3 f (x)>0，则不等式f (x)<0的解集为（ ）
A．(−∞,−1)∪(0,1)
B．(−1,0)∪(0,1)
C．(−∞,−1)∪(1,+∞)
D．(−1,0)∪(1,+∞)
一、单选题
1．（2025·湖南长沙·二模）已知函数f ( x)=sin x +cos x +ax(a∈R)在R上单调递减，则实数a的取值范
围是（ ）
A．[ ❑√2,+∞)
B．(−∞,❑√2]
C．[−❑√2,+ ∞)
D．(−∞,−❑√2]
2．（2025·北京海淀·三模）下列函数中，在(−∞,0)上时单调递增函数的是（ ）
A．f (x)= 1
|x)
B．f (x)=e
x+e
−x
C．f (x)= x
2
3
D．f (x)=sin|x)
3．（2025·江苏·模拟预测）已知函数f ( x)= A sin(ωx +φ)( A >0,ω>0,|φ)< π
2 )和它的导函数f '( x)的部
分图象如图所示，则ω=（ ）
A．1
3
B．1
2
C．2
3
D．1
4．（2025·北京·三模）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,+∞)上单调递增的是（ ）
A．f (x)=−ln x
B．f (x)=3 x−3
x
C．f (x)= x
−1
3
D．f (x)= x
3−3 x
5．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知a=ln1.2,b=0.2,c = ❑√1.2−1，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a<c<b
B．c<a<b
C．c<b<a
D．a<b<c
6．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数f (x)=¿在R上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．(
1
2 ,1)
B．(
1
2 ,❑√2)
C．[1,❑√2)
D．(
1
2 ,+∞)
7．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义在(0, +∞)上的可导函数f (x)，满足f
′ (x)+ 2f (x)
x
= ln x
x
2 ，且
f (e)= 1
2e
，若a= f (3)，b= f (2)，c = f (e)，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>c>a
D．c>b>a
8．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数f ( x)及其导函数f
′( x)的定义域都是R，若函数f ( x)是偶函数，
f
′( x)+e
x+ x也是偶函数，且f (a)>f (3a−1)，则实数a 的取值范围是（ ）
A．(−∞, 1
2)
B．(
1
2 ,+ ∞)
C．(
1
4 , 1
2)
D．(−∞, 1
4)∪(
1
2 ,+ ∞)
二、多选题
9．（2025·新疆·模拟预测）若函数f (x)= 1
3 x
3−1
2 x
2−2 x +1是区间(m−1,m+3)上的单调函数，则实数m
的值可以是（ ）
A．−4
B．−3
C．3
D．4
10．（2025·山东威海·三模）已知f ( x)是定义在R上的增函数，且f ( x)可导，f ( x−1)为奇函数，记函数
g( x)=( x +1)f ( x), f
′( x), g
′( x)分别是f ( x),g( x)的导函数，则（ ）
A．g
′(−1)=0
B．f
′( x −1)= f
′(−x −1)
C．g
′( x−1)= g
′(−x−1)
D．g(ln1.02)< g(−1−❑√1.04)
11．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数f (x)为定义在R上的连续函数，f
′ (x)为f (x)的导函数，
f (2+ x)−f (2−x)=0，且f (x)在(−∞,2)上单调递减，则（ ）
A．f (x)在(2,+∞)上单调递增
B．f
′ (1)+ f
′ (3)=1
C．若x1< x2,f (x1)<f (x2)，则x1+ x2>4
D．∀a∈R ,f
′(a
2+2)≥f
′ (0)
三、填空题
12．（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数f (x)= x +2cos x (−π< x<π)的单调递减区间是 .
13．（2025·山西·模拟预测）若函数f (x)= x
3+a(x
2−x +1)在区间(
1
2 ,3)单调递增，则a的取值范围是
.
14．（2025·山西·模拟预测）已知函数f (x)在R 上可导，其导函数为f
′ (x)，且f
′ (x)+ f (x)<0，则不等式
e
2 x +2f (x +2)<f (−x)的解集为 ．
四、解答题
15．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数f (x)=(
1
2 x
2−2ax)ln x−1
4 x
2+2ax (a∈R)．
(1)当a=0时，求曲线y = f (x)在点(e,f (e))处的切线方程；
(2)若函数f (x)为增函数，求a的值；
16．（2025·湖北武汉·三模）已知函数f (x)=(x−2)(e
x+ ax
2 ).
(1)若a=e
2，求函数y = f (x)在点P(2,f (2))处的切线方程；
(2)讨论f (x)的单调性.
17．（2025·河北·模拟预测）已知函数f (x)= x +1
x−1 e
x.
(1)求曲线f (x)在点(2,f (2))处的切线方程；
(2)求f (x)的单调区间.
18．（2025·北京·三模）设函数 f (x)= x
2−kx +ln2 x，且在(1,f (1))处的切线方程为y =−2+ln2.
(1) 求k 的值；
(2) 求f （x ）的单调区间；
(3) 设y = g（x ）为f （x ）在点(t ,f (t ))切线方程，是否存在t 使得函数ℎ(x)= f (x)−g(x)单调？若存
在，求出所有t 的值；如不存在，说明理由.
19．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数f ( x)= ln(1+ x)−x + 1
2 x
2−k x
3，其中0<k < 1
3
．
(1)证明：f ( x)在区间(0,+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设x1, x2分别为f ( x)在区间(0,+ ∞)的极值点和零点.
（i）设函数g(t )= f (x1+t)−f (x1−t)·证明：g(t )在区间(0, x1)单调递减；
（ii）比较2 x1与x2的大小，并证明你的结论．
