文档文本内容
第02 讲 导数与函数的单调性
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................4
高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参）..............................................................................4
高频考点二：已知函数在区间上单调........................................................................................................5
高频考点三：已知函数存在单调区间........................................................................................................6
高频考点四：已知函数在区间上不单调....................................................................................................8
高频考点五：函数单调性之导函数与原函数图象的单调性.....................................................................11
高频考点六：函数单调性之比较大小......................................................................................................13
高频考点七：函数单调性之构造函数解不等式.......................................................................................16
高频考点八：含参问题讨论单调性（一次型）.......................................................................................18
高频考点九：含参问题讨论单调性（可因式分解二次型）.....................................................................20
高频考点十：含参问题讨论单调性（不可因式分解二次型）.................................................................25
第四部分：典型易错题型.................................................................................................................................29
第一部分：基础知识
1、函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）
条件
恒有
结论
函数
在区
间
上可导
在
内单调递增
在
内单调递减
在
内是常数函数
2、求已知函数（不含参）的单调区间
①求
的定义域
②求
③令
，解不等式，求单调增区间
④令
，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令
（或
）不跟等号.
3、由函数
的单调性求参数的取值范围的方法
（1）已知函数
在区间
上单调
①已知
在区间
上单调递增
，
恒成立.
②已知
在区间
上单调递减
，
恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数
在区间
上存在单调区间
①已知
在区间
上存在单调增区间
令
，解不等式，求单调增区间
，则
②已知
在区间
上存在单调减区间
令
，解不等式，求单调减区间
，则
（3）已知函数
在区间
上不单调
，使得
4、含参问题讨论单调性
第一步：求
的定义域
第二步：求
（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于
进行求导得到
，对
初步处理（如通分），提出
的恒正部分，将该部分
省略，留下的部分则为
的有效部分（如：
，则记
为
的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定
的正负.
第四步：确定导函数有效部分
的类型：
①
为一次型（或可化为一次型）②
为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论
的单调性
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数
在区间
上单调递增，则a 的最小值为
（ ）．
A．
B．e
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
在
上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知，
在
上恒成立，显然
，所以
，
设
，所以
，所以
在
上单调递增，
，故
，即
，即a 的最小值为
．
故选：C．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
【答案】(1)见解析
【详解】（1）
定义域为
，
当
时，
，故
在
上单调递减；
当
时，
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减.
综上所述，当
时，
的单调递减区间为
；
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
3．（2023·北京·高考真题）设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)设函数
，求
的单调区间；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）因为
，所以
，
因为
在
处的切线方程为
，
所以
，
，
则
，解得
，
所以
.
（2）由（1）得
，
则
，
令
，解得
，不妨设
，
，则
，
易知
恒成立，
所以令
，解得
或
；令
，解得
或
；
所以
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增，
即
的单调递减区间为
和
，单调递增区间为
和
.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参）
典型例题
例题1．（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数
的单调递减区间是 .
【答案】
（写成
，
，
，
同样给分）
【分析】根据导数和函数单调性的关系，即可求解.
【详解】因为
，
，
令
，得
，解得
，
所以
的单调递减区间是
.
故答案为：
例题2．（24-25 高二下·江西宜春·期中）函数
的单调增区间为 ．
【答案】
【分析】根据导数与函数单调性的关系，即可求解.
【详解】
，
，
，得
，所以函数的单调递增区间是
.
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25 高二下·四川·期中）函数
的单调递增区间为 ．
【答案】
【分析】求导，结合函数的定义域，利用
可得函数的单调递增区间.
【详解】因为
，
因为
，由
可得：
，
即
（舍去）或
.
所以函数
的单调递增区间为：
.
故答案为：
2．（23-24 高三上·山东烟台·阶段练习）已知函数
，则
在R 上的单调递减区间是
．
【答案】
（
均正确）
【分析】求导可得
，结合导数符号与原函数单调性之间的关系分析求解.
【详解】由题意可知：
的定义域为R，且
，
令
，解得
，
所以
在R 上的单调递减区间为
.
故答案为：
（
均正确）.
高频考点二：已知函数在区间上单调
典型例题
例题1．（2024·河南·模拟预测）若函数
的减区间为
，则
的值为 .
【答案】3
【分析】由
的解集，求出
的值.
【详解】
的解集为
，
即
的解集为
，所以
，
解得
.
故答案为：.
例题2．（23-24 高三上·新疆·期中）已知函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围为
.
【答案】
【分析】利用导函数研究函数单调性再结合指数函数的值域计算即可.
【详解】因为
在区间
上单调递增，
所以当
时，
恒成立，
即
在
恒成立，
又
，所以
.
故答案为：
.
精练高频考点
1．（24-25 高三上·广东深圳·阶段练习）若函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是
．
【答案】
【分析】由
在
上恒成立分离常数
，结合三角函数的值域求得正确答案.
【详解】因为
在
上单调递增，
则
恒成立，
即
恒成立，
由于
，
所以
，
即
的取值范围是
.
故答案为：
2．（2025 高三下·山东日照·专题练习）若
在
上是减函数，则实数a 的取
值范围是 .
【答案】
【分析】根据导数的性质，结合常变量分离法进行求解即可.
【详解】
，
因为
在
上是减函数，
所以
在
上恒成立，
即
，
当
时，
的最小值为
，所以
，
故答案为：
高频考点三：已知函数存在单调区间
典型例题
例题1．（2025·山东威海·三模）已知函数
在
上存在单调递减区间，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求导，由题意将问题转换成
有解，构造函数
，由其单调性
得到
，求解即可.
【详解】求导可得
，
由题意
有解，
即
有解，
即
有解，
令
，
因为
，易知
在
单调递增，
此时
，所以
，
又
，
，
所以
，解得：
，
所以
的取值范围是
.
故选：B.
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）若函数
在
上存在单调递减区间，则实数
的取值范围为
【答案】
【分析】利用
，经等价转化得到
在区间
上有解，故只需求
在
上
的最小值即可.
【详解】依题意，
在区间
上有解，
即
在区间
上有解，
设
，则
，故只需求
在
上的最小值，
而
在
时，取得最小值
，故得
，
则实数
的取值范围为
.
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25 高二下·福建·期中）已知函数
在
上存在单调递增区间，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分析可知
，即
在
上有解，结合能成立问题分析求解.
【详解】由题意可知：
，即
在
上有解，
又因为
在
上单调递增，则
，
则
，所以实数
的取值范围是
.
故选：B.
2．（24-25 高三下·天津·阶段练习）若函数
在区间
内存在单调递增区间，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用导数转化为能成立问题，分离参数法求解即可.
【详解】因为
（
），所以
.
函数在区间
内存在单调递增区间，则
在
上有解.
由
.
设
，则
在
上单调递增，所以
.
所以
.
故答案为：
高频考点四：已知函数在区间上不单调
典型例题
例题1．（24-25 高二下·江西南昌·期中）若函数
在区间
上不单调，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意转化为导数在
上有变号零点，列出不等式求解.
【详解】
，令
，
因为函数
在区间
上不单调，
所以
在
上有变号零点，
即
，解得
，
故选：C
例题2．（24-25 高三下·重庆城口·阶段练习）已知函数
，若
在
内不单
调，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求出函数的导数，由
在
内不单调知
在
内有实数根且无重根，再通过分类
讨论结合二次方程根的分布求得实数
的范围.
【详解】由
，得
，
因为
在
内不单调，所以
在
内有实数根且无重根.
若
在
内有且只有一个实数根，
的图象如图，
则
，
即
，显然不等式无解；
若
在
内有两个不相等的实数根，
的图象如图，
则
，即
，解得
.
综上，实数
的取值范围是
故答案为：
．
精练高频考点
1．（多选）（24-25 高三下·河北·期中）若函数
在区间
上不单调，则实数
的取值
可以是（ ）
A．e
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】利用导数研究函数单调性，根据题意确定区间
内导函数存在零点，从而利用零点存在性定理
来求解即可.
【详解】由题设，
，又
在
上不单调，
所以函数
在
上存在变号零点，
设
，则
，则
在
上单调递减，
所以
，即
，解得
，则
的取值范围是
.
故选：BC.
2．（2025·江苏苏州·三模）若
在
上不单调，则实数
的取值范围是
．
【答案】
【分析】由题意可得存在
，使得
，求解即可.
【详解】由
，可得
，
所以
在
上不单调，所以
在
上有解，
即
在
有解，即存在
，使得
，
又因为
在
上单调递减，所以
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
高频考点五：函数单调性之导函数与原函数图象的单调性
典型例题
例题1．（24-25 高二下·四川绵阳·阶段练习）设
是函数
的导函数，
的图象如图所示，
则
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先由
的图象分析其正负情况，再由函数单调性与导数关系得到函数单调性情况即可得解.
【详解】由
的图象可知，当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
所以只有选项A 符合条件.
故选：A
例题2．（24-25 高二下·广东·阶段练习）设函数
的导函数为
，若
的图象如图所示，则
的单调递减区间为（ ）
A．
和
B．
C．
和
D．
和
【答案】A
【分析】根据导数正负与单调性关系，结合图像逐个判断.
【详解】根据
的图象可知，当
时，
，
当
时，
，
所以
在
内单调递减，在
内单调递增，
故BCD 错误，A 正确.
故选：A.
精练高频考点
1．（24-25 高二下·甘肃定西·期中）如果函数
的图象如图，那么导函数
的图象可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据原函数的图形可得导数的符号，从而可得正确的选项.
【详解】由
的图象知，
的单调性为：先增后减再增再减，
故
的函数值先正，再负，再正，再负．
故选：A
2．（24-25 高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）设函数
在定义域内可导，
的图象如图所示，则其
导函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用导函数与原函数之间的关系分析选项即可.
【详解】由
的图象可知，当
时，函数单调递增，则
，故排除C，D；
当
时，
先递增，再递减最后递增，所以所对应的导数值应该先大于0，
再小于0，最后大于0，排除B.
故选:A.
高频考点六：函数单调性之比较大小
典型例题
例题1．（24-25 高二下·广东深圳·阶段练习）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，构造函数
，求导可得其单调性，即可判断大小关系.
【详解】设
，则
，
令
，即
，解得
，
当
时，
，即函数
单调递增，
当
时，
，即函数
单调递减，
且
，
，
，
其中
，则
，
所以
.
故选：C
例题2．（24-25 高二下·山东青岛·阶段练习）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性并比较大小.
【详解】令
，求导得
，函数
在
上单调递增，
则
，即
，
；
令函数
，求导得
，函数
在
上单调递减，
则
，即
，
所以
.
故选：A
精练高频考点
1．（山东省九五高中协作体2024-2025 学年高三下学期高考最后一卷数学试题）已知实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用导数判断函数
单调性， 确定a 范围； 由对数函数的单调性判
断
的单调性，确定b 的范围，利用指数函数的单调性判断
单调性，
确定c 范围， 最终确定a，b，c 的大小.
【详解】
单调递增，
因为
且
且
， 故
，
令
， 因为
，
在
均单调递增， 则
在
单调递增，
因为
且
， 故
， 即
；
令
， 因为
，
在R 上单调递减， 故
单调递减，
因为
且
， 则
，
因此
.
故选：D.
2．（24-25 高二下·广东中山·阶段练习）已知函数
，若
，则
．
【答案】
【分析】借助导数，研究函数
的单调性，利用指数函数和对数函数的性质得到三个数
所在的范围，即可借助
单调性比较出
的大小，进而求出
.
【详解】因为
，
其
，
所以
恒为负，所以函数
在
上单调递减.
因为
，所以
，
因为
，又因为
，所以
，
而
，即
，所以
.
因为
在
上单调递减，
，所以
，
即
，
因为函数
在
上单调递减，
所以
，
即
，所以
.
故答案为：
高频考点七：函数单调性之构造函数解不等式
典型例题
例题1．（24-25 高三下·黑龙江鸡西·阶段练习）已知定义在
上的函数
的导数为
，且
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题干条件可构造函数
，对
求导得
在
上单调递减，由已知条件可得
，结合
的单调性可解函数不等式.
【详解】由
，联想到积的导数公式，故构造函数
，
则
，故
在
上单调递减，
又
，所以不等式
即
的解集为
.
故选：B.
例题2．（24-25 高三下·广东·阶段练习）定义在
上的函数
的导函数为
，若
，且
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】设
，得到
，根据题意，求得
的单调性，且
，分类
讨论，即可求解不等式的解集.
【详解】设
，可得
，
因为
，所以
在
上单调递减，
因为
，可得
，
当
时，
；当
时，
，
故不等式
的解集为
．
故答案为：
．
精练高频考点
1．（24-25 高三下·辽宁·阶段练习）函数
的定义域为
，若
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，再利用函数的单调性求解即可
【详解】构造函数
，满足
，
所以
在
上是增函数，又因为
，
所以
的解集为
．
故选:B．
2．（24-25 高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，若
，且
，则不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】构造函数
的导数满足
，从而可得单调递增，再结合已知条件把原不等式转
化为
，从而即可求解.
【详解】令
，因为
，所以
，
即
在
上单调递增，
又
，所以
，
因此不等式
等价于
，
所以
，解得
，
即不等式
的解集为
.
故答案为：
.
高频考点八：含参问题讨论单调性（一次型）
典型例题
例题1．（24-25 高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数
，
．
(1)当
时，求函数
在点
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程；
（2）求出函数的定义域与导函数，分
、
两种情况讨论，分别求出函数的单调区间.
【详解】（1）当
时
，则
，
，
所以
，
所以函数
在点
处的切线方程为
，即
；
（2）函数
的定义域为
，
又
，
当
时
恒成立，所以
的单调递增区间为
，无单调递减区间；
当
时，由
，解得
，由
，解得
，
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
综上可得：当
时，单调递增区间为
，无单调递减区间；
当
时单调递增区间为
，单调递减区间为
.
例题2．（24-25 高二下·福建三明·期中）
(1)
，求曲线
在点
处的切线方程
(2)讨论
的单调性
【答案】(1)
；
(2)答案见解析.
【分析】（1）把
代入，求出
的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）求出
的导数，再分类讨论求出函数的单调区间.
【详解】（1）当
时，
，求导得
，则
，而
，
所以所求切线方程为：
，即
．
（2）函数
的定义域为R，求导得
，
当
时，
恒成立，函数
在R 上单调递减；
当
时，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，函数
在R 上单调递减；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
精练高频考点
1．（24-25 高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数
（
，为自然对数的底数）.
(1)若曲线
在点
处的切线平行于
轴，求
的值；
(2)讨论函数
的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出
，由导数的几何意义，解方程
即可；
（2）解方程
，注意分类讨论，以确定
的符号，从而确定
的单调性，
【详解】（1）由
,得
．
又曲线
在点
处的切线平行于
轴,
得
,即
,解得
．
（2）
,
①当
时,
,
为
上的增函数,
②当
时,令
,得
,则
．
,
；
,
．
所以
在
上单调递减,在
上单调递增,
综上,当
时,
为
上的增函数,
当
,
在
上单调递减,在
上单调递增,
2．（24-25 高二下·全国·随堂练习）已知函数
，讨论
的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】对
进行分类讨论，结合导函数的正负与函数单调性的关系即可得解.
【详解】因为
，
，
所以
，
若
，则
恒成立，此时
在
上单调递增；
若
，令
，得
，易得
时，
，
时，
，
此时
在
上单调递增，在
上单调递减，
综上所述：当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
高频考点九：含参问题讨论单调性（可因式分解二次型）
典型例题
例题1．（24-25 高二下·浙江杭州·阶段练习）已知函数
(1)当
时，求函数
的极值.
(2)求函数
的单调区间.
【答案】(1)极大值为
，极小值为
；
(2)答案见解析
【分析】（1）求出定义域，求导，令
得
或
，并得到函数单调性，求出极值；
（2）求定义域，求导，分
，
，
和
四种情况，求出函数单调区间.
【详解】（1）当
时，
的定义域为
，
故
，
令
得
或
，
令
得
或
，令
得
，
所以
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得极大值，在
处取得极小值，
故极大值为
，极小值为
；
（2）
的定义域为
，
，
当
时，令
得
，令
得
，
故
单调递增区间为
，单调递减区间为
；
当
时，
，令
得
或
，令
得
，
故
单调递增区间为
，单调递减区间为
；
当
时，
，此时
恒成立，故
单调递增区间为
；
当
时，
，令
得
或
，令
得
，
故
单调递增区间为
，单调递减区间为
；
综上，当
时，单调递增区间为
，单调递减区间为
；
当
时，单调递增区间为
，单调递减区间为
；
当
时，单调递增区间为
；
当
时，单调递增区间为
，单调递减区间为
.
例题2．（24-25 高二下·云南昆明·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)讨论
的单调性．
【答案】(1)极小值为
，无极大值
(2)当
时，
在R 上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．
【分析】（1）首先求出函数的解析式，然后对函数求导，令导数为0 求出极值点，并判断单调性，即可求
出函数的极值.
（2）首先对原函数求导，然后分别讨论当
时函数的单调性.
【详解】（1）当
时，
，
，
∴
，
∵
在
上恒成立，∴由
得
，
∵当
时，
；当
时，
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
的极小值为
，无极大值．
（2）由题意得
，
，
当
时，
，
，即
恒成立，所以
在R 上单调递减；
当
时，令
，则
，得
，
时，
，
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增．
综上，当
时，
在R 上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．
精练高频考点
1．（24-25 高三下·广东·开学考试）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）当
时，先求
确定切点，再求
确定切线斜率，利用直线方程的点斜式可得切
线方程.
（2）求导，分
，
，
讨论导函数的符号，可得函数的单调区间.
【详解】（1）当
时，
，则
，
从而
，
，
故所求切线方程为
，即
（或
）.
（2）由题意可得
.
当
，即
时，由
，得
或
，由
，得
，
则
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
，即
时，
恒成立，则
在
上单调递增；
当
，即
时，由
，得
或
，由
，得
，则
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
综上，当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
2．（2025·新疆·模拟预测）已知函数
．
(1)若函数
的图象在
处的切线与直线
垂直，求实数a 的值；
(2)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，根据垂直关系可得
求解.
（2）求导，讨论
时，
，得
，当
时，
，当
时，
，即可结合导函数的正负，确定函数的单调性，
【详解】（1）
，
因为函数
的图象在点
处的切线与直线
垂直，
所以
，解得
．
（2）当
时，令
，得
，当
时，
，
在
单调递减，
时，
，
在
单调递增；
当
时，令
，得
，
，
当
时，
，
，
所以当
，或
时，
，
在
，
单调递减，
当
时，
，
在
单调递增；
当
时，
恒成立，所以
在
单调递减；
当
时，
，
，所以当
，或
时，
，
在
，
单调递减，
当
时，
，
在
单调递增；
综上所述，
时，
在
单调递减，在
单调递增；
当
时，
在
，
单调递减，在
单调递增；
当
时，
在
单调递减；
当
时，
在
，
单调递减，在
单调递增．
3．（2025·湖北武汉·三模）已知函数
.
(1)若
，求函数
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先求出导函数得出切线斜率，再应用点斜式求出切线方程；
（2）分
，
，
，
四种情况讨论，结合导函数正负得出函数单调性.
【详解】（1）
，
，
，
，
切线方程为
，即
.
（2）
，
.
①当
时，
，
当
时，
单调递减；当
时，
单调递增.
②当
时，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
时等号成立，
所以
在
上单调递增.
③当
时，
，
当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增.
④当
时，
，
当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增.
综上所述：①当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
②当
时，
在
上单调递增；
③当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
④当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
高频考点十：含参问题讨论单调性（不可因式分解二次型）
典型例题
例题1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）
，
，
对于方程
，
当
，即
时，
，
函数
在
上单调递减；
当
，即
时，方程
有两个不相等的实数根，
，且
，
当
或
时，
；当
时，
，
即函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上所述，当
时，函数
的单调递减区间为
，无单调递增区间；
当
时，函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
.
例题2．（2025·山东烟台·三模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）函数
的定义域为
，
，
令
，
，
①当
时，
，
，
所以函数
在
上单调递减．
②当
时，
，
，
所以函数
在
，
上单调递减，
在
上单调递增．
精练高频考点
1．（24-25 高二下·湖北黄石·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求
的解集；
(2)当
时，求
的单调区间．
【答案】(1)
；
(2)答案见解析.
【分析】（1）利用导函数研究函数的单调性，结合
，即可得解集；
（2）对函数求导，构造
并结合二次函数性质，分类讨论确定导函数的符号研究单调区间.
【详解】（1）当
时，
，
，
所以
在
上单调递减，又
，
则当
时，
；当
时，
，
故
的解集为
．
（2）
，（
）
设
，（
）的对称轴
，
，
当
，有
，则
，
在
单调递减．
当
，则
有两个不等正根
，
，
所以
、
上
，
上
，
在
、
上单调递减，在
上单调递增；
当
，则
有一个正根
，即
上
，
上
，
在
上单调递增，在
上单调递减．
综上：
当
，
的单调减区间为
，无单调递增区间；
当
，
的单调减区间为
、
，单调递增区间为
；
当
，
的单调递增区间为
，单调减区间为
．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
．讨论
的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】把导函数转化为复合的一元二次方程，通过一元二次方程是有一个正根或两个正根或没有正根来
讨论导函数的正负区间，从而来判断原函数的单调性；
【详解】
，则
，
令
，
，则
，
因
，故
，
当
，即
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，令
，
，
，
，
，
，
在
和
单调递减，在
单调递增;
当
时，
，
，则
在
上单调递增，在
单调递减;
综上所述，当
时，则
在
上单调递减，
当
时，
在
和
单调递减，在
单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
单调递减.
3．（2025·重庆·三模）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)答案见解析；
【详解】（1）
，
①当
，即
时，
恒成立，
在
上单调递增．
②当
，即
或
时，令
，解得
，
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增．
即
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增．
第四部分：典型易错题型
备注：已知函数在某区间上单调，求解时容易忽视“等号”而存在单调区间却
容易误加了“等号”
1．（23-24 高二上·山西长治·期末）若函数
（
且
）在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】函数求导后，
在区间
上单调递增，转化为
在区间
上恒成立，然后
利用函数单调性求最值即得.
【详解】由函数
（
且
）在区间
上单调递增，
得
在区间
上恒成立，
又
在区间
上恒正，只需满足
在区间
上恒成立即可，
令
，
若
，则
，则一次函数
在区间
上单调递减，不可能恒正；
若
，则
，则一次函数
在区间
单调递增，
所以只需
，即
，解得
，
故答案为：
.
2．（2024 高三·全国·专题练习）若函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围
为 ．
【答案】
【分析】由函数在区间
递减可得
，参变分离后利用导数讨论新函数的单调性后可得实数
的
取值范围.
【详解】
函数
，
，
若函数
在区间
上递减，故
在
恒成立，
即
在
恒成立，
令
，
，
，
在
递增，而
，故
.
故答案为：
【点睛】本题考查导数在单调性中的应用，一般地，若可导函数
在
上为增函数，则
在
上恒成立，若
在
上为减函数，则
在
上恒成立.另外，含参数的一元二次不等
式在给定范围上的恒成立问题，优先考虑参变分离.
备注：解不等式时容易忽视定义域
1．（24-25 高二下·上海·期中）函数
的单调减区间是 .
【答案】
/
【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解.
【详解】函数
的定义域为
，
又
，
令
，解得
，所以
的单调递减区间为
.
故答案为：
2．（24-25 高二下·天津武清·阶段练习）已知函数
，则
的单调减区间为 ．
【答案】
【分析】求导，根据导数为负解不等式即可求解.
【详解】
的定义域为
,
，
令
，则
或
，
故
的单调减区间为
，
故答案为：
