专题2.8 指数与指数函数（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分 题型专
练
【题型1 指数幂的运算】..........................................................................................................................................1
【题型2 指数函数的图象及应用】..........................................................................................................................2
【题型3 比较指数幂的大小】..................................................................................................................................5
【题型4 解指数不等式】..........................................................................................................................................6
【题型5 指数（型）函数的单调性问题】..............................................................................................................8
【题型6 指数（型）函数的最值（值域）问题】...............................................................................................10
第二部分 分层突破
A 组 基础跟踪练
B 组 培优提升练
C 组 真题·实战演练
【题型1 指数幂的运算】
1．（2026·四川乐山·三模）已知2lg2=m，10
n=3，则10
3m−2n
2
的值为（ ）
A．64
9
B．8
3
C．4
3
D．2❑√2
3
【答案】B
【解题思路】根据指数式与对数式的互化以及指数幂的运算性质计算即可.
【解答过程】由2lg2=m可得10
m
2 =2，又因为10
n=3，
所以10
3m−2n
2
= 10
3m
2
10
n =(10
m
2)
3
10
n
= 8
3
，
故选：B.
2．（2026·河南新乡·二模）(
8
2
❑√5)
3+ ❑√5
=（ ）
A．16
B．8 ❑√2
C．32
D．16 ❑√2
【答案】A
【解题思路】应用指数幂运算的性质化简求值.
【解答过程】由(
8
2
❑√5)
3+ ❑√5
=(
2
3
2
❑√5)
3+ ❑√5
=2
(3−❑√5)(3+ ❑√5)=2
4=16.
故选：A.
3．（25-26 高一上·云南曲靖·期末）已知a>0，则
4√a⋅
3√a
5的分数指数幂形式为（ ）
A．a
2
3
B．a
3
2
C．a
2
5
D．a
3
5
【答案】A
【解题思路】利用分数指数幂的运算法则化简.
【解答过程】4√a⋅
3√a
5=(a⋅a
5
3)
1
4 =a
8
3 × 1
4 =a
2
3．
故选：A.
4．（25-26 高三上·河南许昌·期中）放射性物质的衰变规律为：M = M 0×(
1
2)
t
T ，其中M 0指初始质量，t
为衰变时间，T为半衰期，M为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为T 1，T 2（单
位：天），若两种物质的初始质量相同，1024 天后发现甲的质量是乙的质量的8 倍，则1
T 2
−1
T 1
=（ ）
A．
3
1024
B．1
512
C．
1
1024
D．3
512
【答案】A
【解答过程】由题意可得M 0×(
1
2)
1024
T 1 =8 M 0×(
1
2)
1024
T 2 ，计算即可得解.
【解题思路】由题意可得M 0×(
1
2)
1024
T 1 =8 M 0×(
1
2)
1024
T 2 ，
即1024
T 1
= 1024
T 2
−3，即1
T 2
−1
T 1
=
3
1024 .
故选：A.
【题型2 指数函数的图象及应用】
5．（2026·辽宁·模拟预测）函数f (x)= 9
x−1
3
x⋅x
2的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】根据函数解析式化简，应用奇函数定义及特殊值法分别判断各个选项.
【解答过程】由f (x)= 9
x−1
3
x⋅x
2 = 3
x−3
−x
x
2
，可得f (x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+ ∞)，
且f (−x)= 3
−x−3
x
(−x)
2 =−f (x)，所以f (x)为奇函数，图象关于原点对称，排除B 项；
f (1)= 8
3 >0，排除C 项；
当x→+ ∞时，f (x)→+ ∞，排除A 项.
故选：D.
6．（2026·天津·二模）已知函数y = f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）．
A．f (x)=e
x+1
e
x−1
B．f (x)=e
x−1
e
x+1
C．f (x)=
x
2
3√x
4−1
D．f (x)=
x
3√x
4−1
【答案】D
【解题思路】根据f (0)=0排除A，根据定义域排除B，根据奇偶性排除C，进而可得答案.
【解答过程】对于A， f (x)=e
x+1
e
x−1
在x =0处无意义，故A 错误；
对于B：f (x)=e
x−1
e
x+1
的定义域为R，故B 错误；
对于C：f (x)=
x
2
3√x
4−1
的定义域为{x| x≠±1)，
且f (−x)=
(−x)
2
3√(−x)
4−1
=
x
2
3√x
4−1
= f (x)，则f (x)为偶函数，故C 错误；
对于D，f (x)=
x
3√x
4−1
满足图中要求，故D 正确.
故选：D.
7．（25-26 高一上·江苏无锡·期中）函数y =e
x−e
−x
e
| x|
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】分析函数的奇偶性可排除选项B，根据x ≥0时0≤1−1
e
2 x <1可确定选项.
【解答过程】设f (x)=e
x−e
−x
e
| x|
，则f (−x)=e
−x−e
x
e
|−x|
=e
−x−e
x
e
| x|
=−f (x)，
函数
∴
f (x)为奇函数，选项B 错误.
当x ≥0时，f (x)=e
x−e
−x
e
x
=1−e
−2 x =1−1
e
2 x ，
由x ≥0得，e
2 x≥e
0=1，
∴0< 1
e
2 x ≤1，∴0≤1−1
e
2 x <1，CD 错误，选项A 符合要求.
故选：A.
8．（2026·陕西·模拟预测）已知函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）
A．f (x)=e
x−e
−xB．f (x)=1−
2
e
x+1
C．f (x)= x ❑√|x)
D．f (x)=
x
ln(x
2+2)
【答案】D
【解题思路】结合指数函数的图象与性质即可判断AB 选项错误，对C 代入x =2判断C 错误，则可得到D
正确.
【解答过程】根据函数 f ( x) 的图象， 知 f (1)≈1， 而对A 选项f (1)=e−e
−1>2排除A；
对B 选项f (x)=1−
2
e
x+1 ，因为e
x+1>1，则
2
e
x+1
∈(0,2)，
则f (x)=1−
2
e
x+1
∈(−1,1)，但图象中函数值可以大于 1 ， 排除B；
根据C 选项的解析式， f (2)=2❑√2≈2.8， 而根据函数 f ( x) 的图象， 知 f (2)≈1， 排除 C.
故选：D.
【题型3 比较指数幂的大小】
9．（2026·河南·模拟预测）设a=(
1
3)
1
3 ,b=log1
2
2
5 ,c =3
−1
4，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a<c<b
B．b<c<a
C．c<b<a
D．c<a<b
【答案】A
【解题思路】根据指数函数及对数函数的单调性计算判断大小.
【解答过程】因为y =(
1
3)
x
单调递减，所以a=(
1
3)
1
3 <c =3
−1
4 =(
1
3)
1
4 <(
1
3)
0
=1，
因为y =log1
2
x单调递减，所以b=log1
2
2
5 >log1
2
1
2 =1，
则a,b,c的大小关系为a<c<b.
故选：A.
10．（2026·四川眉山·模拟预测）已知a=0.75
0.1,b=1.01
2.7,c =1.01
3.5，则（ ）.
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>b>a
D．c>a>b
【答案】C
【解题思路】根据指数函数的单调性判断即可.
【解答过程】因为函数y =1.01
x在R上是增函数，函数y =0.75
x在R上是减函数，且3.5>2.7，
所以1.01
3.5>1.01
2.7>1.01
0=1=0.75
0>0.75
0.1，即c>b>a.
故选：C.
11．（2026·四川成都·模拟预测）已知a>2，5
a+12
a=13
b，则（ ）
A．a>2>b
B．a>b>2
C．b>a>2
D．b>2，但a和b的大小关系无法确
定
【答案】B
【解题思路】利用指数函数的单调性证出b>2且b<a，得出结论即可.
【解答过程】由于a>2，所以13
b=5
a+12
a>5
2+12
2=13
2，因此b>2，
又因为13
b−a=(
5
13)
a
+(
12
13)
a
<(
5
13)
2
+(
12
13)
2
=1，因此b−a<0，即b<a，
所以2<b<a.
故选：B.
12．（2026·河南许昌·模拟预测）已知a=3
log23.4，b=9
log163.3，c =( 1
3 )
log20.3
，则（ ）
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>a>b
D．a>c>b
【答案】D
【解题思路】根据指数函数及对数函数的单调性结合指对数运算比较大小.
【解答过程】由题意知b=9
log163.3=3
1
2 log23.3
=3
log2
❑√3.3，c =( 1
3 )
log20.3
=3
−log20.3=3
log2
10
3 ，
又函数y =log2 x在(0,+∞)上单调递增，而3.4> 10
3 >❑√3.3，即log23.4>log2 10
3 >log2
❑√3.3，
又y =3
x在R上单调递增，所以3
log23.4>3
log2
10
3 >3
log2
❑√3.3，即a>c>b.
故选:D.
【题型4 解指数不等式】
13．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知集合A =¿，B ={x|2
x> 1
2))，则（ ）
A．A ∩B ={x|x<−1))
B．A ∩B ={x|−1< x<1))
C．A ∪B =¿
D．A ∪B ={x|x<1))
【答案】B
【解题思路】根据幂函数、指数函数单调性解出不等式，再利用集合交并集定义即可得到答案.
【解答过程】因为集合A =¿，集合B ={x|2
x> 1
2))={x|x>−1))，
所以A ∩B ={x|−1< x<1))，A ∪B = R.
故选：B.
14．（2026·河北邯郸·一模）已知集合M ={x|2
−x<1)), N ={x|logx2>0))，若全集U = R，则
M ∩(∁U N )=（ ）
A．(−∞, 1)
B．[1, +∞)
C．(−1, 1)
D．(0, 1)
【答案】D
【解题思路】解出指数不等式与对数不等式后利用交集与补集定义计算即可得解.
【解答过程】由2
−x<1，可得x>0，
由logx2>0，可得x>1，
则M ={x|x>0)), N ={x|x>1))，则∁U N =(−∞, 1)，
则M ∩(∁U N )=(0, 1).
故选：D.
15．（25-26 高一上·广西·期末）已知函数f (x)=2
x−2
−x+3，则不等式f (a
2−2a)+ f (2a−9)>6的解集是
（ ）
A．(−3,0)∪(3,+ ∞)
B．(−∞,−3)∪(3,+ ∞)
C．(−∞,−3)∪(0,3)
D．(−3,0)∪(0,3)
【答案】B
【解题思路】构造函数g(x)= f (x)−3=2
x−2
−x，可得g(x)是奇函数，且在R上是增函数，将不等式转化
为f (a
2−2a)−3+ f (2a−9)−3>0，得到g(a
2−2a)> g(−2a+9)，结合g(x)的单调性，即可求解.
【解答过程】设函数g(x)= f (x)−3=2
x−2
−x，可得其定义域为R，关于原点对称，
且g(−x)=2
−x−2
x =−(2
x−2
−x)=−g(x)，即g(−x)=−g(x)，所以g(x)为奇函数，
因为y =2
x是R上的增函数，y =2
−x是R上的减函数，
所以g(x)=2
x−2
−x是R上的增函数，
由f (a
2−2a)+ f (2a−9)>6等价于f (a
2−2a)−3+ f (2a−9)−3>0，
即g(a
2−2a)+ g(2a−9)>0，
又因为g(x)是奇函数，可得g(a
2−2a)>−g(2a−9)= g(−2a+9)，
可得a
2−2a>−2a+9，即a
2>9，解得a>3或a<−3.
所以不等式的解集为(−∞,−3)∪(3,+∞).
故选：B.
16．（2026·广东肇庆·一模）已知f ( x)=e
x−e
−x，若f (x +1)+ f (x−1)>0成立，则x 的取值范围是（ ）
A．(0,+∞)
B．(1,+∞)
C．(−1,+∞)
D．(−∞,0)∪(0,+∞)
【答案】A
【解题思路】确定给定函数的奇偶性及单调性，进而求解不等式.
【解答过程】函数f ( x)=e
x−e
−x的定义域为R，f (−x)=e
−x−e
x =−f ( x)，则函数f ( x)是奇函数，
而函数y =e
x , y =−e
−x在R 上都单调递增，则函数f ( x)在R 上单调递增，
不等式f ( x +1)>−f ( x−1)= f (−x +1)，则x +1>−x +1，解得x>0，
所以x 的取值范围是(0,+ ∞).
故选：A.
【题型5 指数（型）函数的单调性问题】
17．（2026·甘肃白银·模拟预测）若函数f (x)=5
| x−a|在(1,+∞)上单调递增，则a 的取值范围为（ ）
A．[1,+ ∞)
B．(1,+∞)
C．(−∞,1)
D．(−∞,1)
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，利用指数型复合函数的单调性列式求出a的范围.
【解答过程】函数y =5
| x−a|在(1,+ ∞)上单调递增，而函数y =5
x是R 上的增函数，
则函数y =| x−a|={
x−a, x ≥a
−x +a, x<a)在(1,+∞)上单调递增，于是a≤1，
所以a 的取值范围为(−∞,1)．
故选：D.
18．（2026·新疆喀什·模拟预测）已知ln a
2−ln a=1，则函数f ( x)=a
x
2−2 x的单调递增区间为（ ）
A．(−∞,0)
B．(−∞,1)
C．[0,+ ∞)
D．[1,+∞)
【答案】D
【解题思路】根据给定条件求出a，再利用复合函数单调性求出递增区间.
【解答过程】由ln a
2−ln a=1，得ln a=1，解得a=e，函数f ( x)=e
x
2−2 x定义域为R，
函数u= x
2−2 x在(−∞,1]上单调递减，在[1,+∞)上单调递增，
而函数y =e
u在R 上单调递增，所以函数f ( x)的单调递增区间为[1,+ ∞).
故选：D.
19．（2026·山东济宁·二模）若函数f (x)=(
1
2)
x
2−ax
在[1,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤2
B．a≥2
C．a≤1
D．a≥1
【答案】A
【解题思路】f ( x)=( 1
2 )
x
2−ax
是由y =( 1
2 )
u
与u= x
2−ax复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函
数单调性确定内层函数单调性，进而求出a的取值范围.
【解答过程】f ( x)=( 1
2 )
x
2−ax
是由y =( 1
2 )
u
与u= x
2−ax复合而成，
在y =( 1
2 )
u
中，b= 1
2，，所以y =( 1
2 )
u
在R上单调递减.
因为f ( x)=( 1
2 )
x
2−ax
在[1,+ ∞)上单调递减，且外层函数y =( 1
2 )
u
在R上单调递减，
根据复合函数
同增异减
的原则，可知内层函数
“
”
u= x
2−ax在[1,+∞)上单调递增.
对于二次函数u= x
2−ax，其图象开口向上，对称轴为x =−−a
2×1 = a
2.
二次函数在对称轴右侧单调递增，要使u= x
2−ax在[1,+∞)上单调递增，
则对称轴需满足a
2 ≤1，解得a≤2.
故选：A.
20．（2026·浙江绍兴·二模）已知函数f (x)=e
x
1+ λe
2 x ，则（ ）
A．当λ =1时，f (x)是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增
B．当λ =1时，f (x)是奇函数，且在区间(0,1)上单调递减
C．当λ =−1时，f (x)是偶函数，且在区间(0,1)上单调递减
D．当λ =−1时，f (x)是奇函数，且在区间(0,1)上单调递增
【答案】D
【解题思路】根据函数奇偶性和单调性的判断方法，针对不同的λ取值，对函数进行分析，即可判断和选
择.
【解答过程】对AB：当λ =1时，f (x)=
e
x
1+e
2 x ，其定义域为R，f (−x)=
e
−x
1+e
−2 x =
e
x
1+e
2 x = f ( x)，故
f ( x)为偶函数；
又f (x)=
e
x
1+e
2 x =
1
e
x+e
−x ，当x∈(0,1)时，令t =e
x∈(1,e)，
因为y =t + 1
t 在t ∈(1,e)单调递增，t =e
x在x∈(0,1)单调递增，故y =e
x+e
−x在(0,1)单调递增，
故f (x)=
1
e
x+e
−x 在(0,1)单调递减，故AB 都错误；
对CD：当λ =−1时，f (x)=
e
x
1−e
2 x ，其定义域为R，f (−x)=
e
−x
1−e
−2 x =
e
x
e
2 x−1
=−f ( x)，故f ( x)为奇函
数；
又f (x)=
e
x
1−e
2 x =
1
e
−x−e
x ，当x∈(0,1)时，y =e
−x, y =−e
x均为减函数，故y =e
−x−e
x为(0,1)上的减
函数，
故f (x)=
1
e
−x−e
x 为(0,1)上的增函数，故C 错误，D 正确.
故选：D.
【题型6 指数（型）函数的最值（值域）问题】
21．（25-26 高二上·贵州铜仁·阶段检测）函数f (x)=2
x+1在区间[0,1)上的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【解题思路】分析可知函数f (x)=2
x+1在区间[0,1)上单调递增，结合单调性求最值.
【解答过程】因为y =2
x在区间[0,1)上单调递增，则函数f (x)=2
x+1在区间[0,1)上单调递增，
所以函数f (x)=2
x+1在区间[0,1)上的最小值为f (0)=2
0+1=2.
故选：A.
22．（2026·云南昆明·模拟预测）函数f (x)={
2
x−1, x<−2
x
2−1, x ≥−2)的值域为（ ）
A．[−1,+∞)
B．(−1,−3
4)
C．R
D．[−1,−3
4)
【答案】A
【解题思路】利用函数f (x)在(−∞,−2)、[−2,+∞)上的值域，取并集即可得出函数f (x)的值域.
【解答过程】当x<−2时，f (x)=2
x−1，因为函数y =2
x在(−∞,−2)上单调递增，
所以0<2
x<2
−2= 1
4 ，此时f (x)=2
x−1∈(−1,−3
4)；
当x ≥−2时，因为函数f (x)= x
2−1在[−1,0)上为减函数，在(0,+∞)上为增函数，
故f (x)≥f (0)=−1，即f (x)= x
2−1在[−2,+∞)上的值域为[−1,+∞).
综上所述，函数f (x)的值域为[−1,+∞).
故选：A.
23．（2026 高三·全国·专题练习）若函数f (x)=a
x(a>0)且a≠1)在[−1,2)上的值域为[3
m,9)，则m的值为
（ ）
A．−4或−1
B．0 或−2
C．−2或−1
D．−4或−2
【答案】A
【解题思路】分0<a<1和a>1两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解．
【解答过程】函数
∵
y =a
x在[−1,2)上的值域为[3
m,9)，
当0<a<1时，y =a
x在[−1,2)上单调递减，则a
−1=9，解得a= 1
9，
则3
m=a
2= 1
81，得m=−4，
当a>1时，y =a
x在[−1,2)上单调递增，则a
2=9，解得a=3或−3（舍去），
则3
m=a
−1= 1
3，得m=−1，
综上，m=−4或−1．
故选：A．
24．（25-26 高三上·北京·阶段检测）若函数f (x)=t ⋅4
x+(2t −1)⋅2
x有最小值，则t 的取值范围是（ ）
A．(0, 1
2)
B．(0, 1
2)
C．(
1
2 ,+∞)
D．[
1
2 ,+ ∞)
【答案】A
【解题思路】设m=2
x，将f (x)转化为关于g(m)的函数，讨论开口方向与对称轴判断即可.
【解答过程】设m=2
x，则m>0，f (x)= g(m)=t ⋅m
2+(2t −1)⋅m，(m>0)有最小值.
当t <0时，二次函数g(m)开口向下，无最小值；
当t =0时，g(m)=−m无最小值；
当t >0时，若g(m)在(0,+ ∞)上有最小值，则对称轴−2t −1
2t
>0，解得0<t < 1
2.
故选：A.
一、单选题
1．（2026·广西·三模）已知集合A ={x|2< x<5}，B ={ x|2
x≤8}，则A ∪B =（ ）
A．{x|2< x ≤3}
B．{ x| x<5}
C．{x|3≤x<5}
D．{ x| x ≤3}
【答案】B
【解题思路】先求出集合B，再根据并集的定义求解即可.
【解答过程】由2
x≤8=2
3，解得x ≤3，所以B ={x| x ≤3}，
因为A ={ x|2< x<5}，所以A ∪B ={x| x<5}.
故选：B．
2．（25-26 高三上·北京·开学考试）设a=log30.4 ,b=log43,c =3
0.4，则（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．a<c<b
D．b<a<c
【答案】A
【解题思路】借助指数函数与对数函数的单调性可得a、b、c范围，即可得解.
【解答过程】由a=log30.4<log31=0，log41<b=log43<log4 4，即0<b<1，
c =3
0.4>3
0=1，故a<b<c.
故选：A.
3．（2026·湖南·模拟预测）“2026
a>2026
b≥1
是
”
“a
2>b
2
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】化简2026
a>2026
b≥1可得a>b≥0，然后根据a>b≥0与a
2>b
2的推出关系判断即可.
【解答过程】由2026
a>2026
b≥1及指数函数的单调性可得a>b≥0，此时a
2>b
2成立，
反之不成立，例如a=−2,b=−1，显然2026
a>2026
b≥1不成立，
所以“2026
a>2026
b≥1
是
”
“a
2>b
2
的充分不必要条件，
”
故选：A．
4．（2026·山东聊城·模拟预测）若c⋅2
a=c⋅log2b=1，则下列式子可能成立的是（ ）
A．c<b<a
B．a<b=c
C．a=b<c
D．b<c<a
【答案】B
【解题思路】根据题意，得到b>1,c>0，所以2
a= log2b= 1
c ，分别作出指数函数、对数函数和幂函数的
图象，结合图象，即可求解.
【解答过程】因为c⋅2
a=c⋅log2b=1，可得b>1,c>0，所以2
a= log2b= 1
c ，
作出函数y =2
x，y = log2 x( x>1)，y = 1
x ( x>0)，以及y =t的大致图象，
如图所示，当t取不同值时，可能得到：a<b<c ,a<b=c ,a<c<b,a=c<b,c<a<b，
可得c<b<a,a=b<c ,b<c<a均不可能成立，
只有a<b=c可能成立.
故选：B.
5．（2026·甘肃白银·二模）已知2025
m=2024 , x =2024
m−2023, y =2026
m−2025，则（ ）
A．y < x<0
B．0< x< y
C．y <0< x
D．x<0< y
【答案】C
【解题思路】由已知可得0<m<1,然后结合指数函数单调性和分式不等式性质可以判定x , y的正负，进而
做出判定.
【解答过程】∵2025
m=2024，∴0<m<1，∴2025
m
2024
m =(
2025
2024)
m
< 2025
2024 < 2024
2023 ，
又∵2025
m=2024，∴2024
m>2023，∴x =2024
m−2023>0；
又2025
m
2026
m =(
2025
2026)
m
> 2025
2026 > 2024
2025 ，且2025
m=2024，
∴2026
m<2025，∴y =2026
m−2025<0，
∴y <0< x.
故选：C.
6．（2026·天津北辰·三模）已知a,b∈R，则“2
a>2
b
是
”
“❑√a>❑√b
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】根据充分必要条件的定义、以及指数函数的性质判断即可.
【解答过程】取a=−1,b=−2，满足2
a>2
b，但得不出❑√a>❑√b，
所以“2
a>2
b
是
”
“❑√a>❑√b
的不充分条件；
”
由❑√a>❑√b，可得a>b，又因为y =2
x在R上单调递增，
所以2
a>2
b，所以“2
a>2
b
是
”
“❑√a>❑√b
的必要条件；
”
所以“2
a>2
b
是
”
“❑√a>❑√b
的必要不充分条件
”
.
故选：B.
7．（2026·黑龙江佳木斯·三模）已知正数x，y满足2
x⋅4
y = 4
xy，则2 x + y的最小值是（ ）
A．2❑√2
B．9
C．9
2
D．13
【答案】C
【解题思路】由2
x⋅4
y = 4
xy可得1
2 y + 1
x =1，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可.
【解答过程】由2
x⋅4
y = 4
xy，则2
x⋅2
2 y =2
2 xy，即x +2 y =2 xy，则1
2 y + 1
x =1，
所以2 x + y =(2 x + y)(
1
2 y + 1
x)= x
y + y
x + 5
2 ≥2❑√
x
y ⋅y
x + 5
2 = 9
2，
当且仅当x
y = y
x ，即x = y = 3
2时等号成立，
所以2 x + y的最小值是9
2.
故选：C.
8．（25-26 高三上·江西·阶段检测）已知函数f ( x)={
−x
2−ax−a
2 , x<0
3e
x−
1
x +1 , x ≥0 )
在R上单调递增，则a的取值范
围是（ ）
A．(−∞,−4)
B．[0,+ ∞)
C．[−4,0)
D．[−4,0)
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，利用指数型复合函数单调性、二次函数单调性列式求解.
【解答过程】由函数f ( x)={
−x
2−ax−a
2 , x<0
3e
x−
1
x +1 , x ≥0 )
在R上单调递增，得{
−a
2 ≥0
−a
2 ≤2)
，解得−4≤a≤0，
所以a的取值范围是[−4,0).
故选：D.
二、填空题
9．（2026·北京丰台·二模）不等式2
x< 1
4 的解集是___________.
【答案】(−∞,−2)
【解题思路】把不等式化为2
x<2
−2，结合指数函数y =2
x的单调性，即可求解.
【解答过程】由不等式2
x< 1
4 ，可化为2
x<2
−2，
因为函数y =2
x为定义域R上的单调递增函数，所以x<−2，
所以不等式2
x< 1
4 的解集为(−∞,−2).
故答案为：(−∞,−2).
10．（2026·陕西安康·三模）若2
a=m,3
b=n，则4
a⋅27
−b=___________．（用m，n 表示）
【答案】m
2
n
3
【解题思路】由条件结合指数幂的运算性质可得4
a=m
2,27
b=n
3，结合关系4
a⋅27
−b= 4
a
27
b可得结论.
【解答过程】因为2
a=m,3
b=n，所以4
a=m
2,27
b=n
3，
所以4
a⋅27
−b= 4
a
27
b = m
2
n
3 ．
故答案为：m
2
n
3 ．
11．（2026·宁夏银川·三模）在冷链物流中，某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位：
）之间满足：
℃
y =e
ax +b（其中a，b为常数）.若该蔬菜在贮藏温度x为9℃的环境下保鲜时间y为261小
时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时.若该蔬菜运输总物流时间为87小时，为保障运输安全，要求保鲜
时间不少于运输时长的1.2倍，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度x的最大整数数值为________.（参考数
据：ln3≈1.099，ln29≈3.367，ln104.4≈4.648）
【答案】14
【解题思路】把x与y的值直接代入y =e
ax +b得到关于a、b的方程组，解出参数a的值；根据保鲜的实际要
求列出不等式e
ax +b≥87×1.2；对其两边取自然对数转化为不等式，结合a的值即可解出x的取值范围，并
从中确定x的最大数值.
【解答过程】已知保鲜时间y与贮藏温度x的关系为y =e
ax +b（a，b为常数）.
当x =9时，y =261，代入得261=e
9a+b
，
①
当x =23时，y =29，代入得29=e
23a+b
，
②
将①÷
化简可得
②
9=e
(9a+b)−(23a+b)，即9=e
−14 a，解得a=−ln3
7 ，
由运输要求y ≥87×1.2=104.4，即e
ax +b≥104.4，
又因261=e
9a+b，所以ea(x−9)=e
ax +b
e
9a+b ≥104.4
261 =0.4 ，
即a(x−9)≥ln0.4 ，而ln0.4 =ln104.4−ln261，
其中ln261=ln(9×29)=2ln3+ln29≈2×1.099+3.367=5.565 ，
所以ln0.4≈4.648−5.565=−0.917，
代入a=−ln3
7 可得−ln3
7
(x−9)≥−0.917，因此x−9≤7×0.917
1.099
≈5.84，
解得x ≤14.84.
所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度最大整数值为14℃.
故答案为：14．
12．（2026·河北张家口·一模）已知函数f (x)满足f (−x)= f (2+ x)，当x∈(−∞,1)时，f (x)=e
2 x−e
−x，
则不等式xf (x)>0的解集为__________．
【答案】(−∞,0)∪(0,2)
【解题思路】根据函数的对称性与单调性的关系列不等式组求解即可.
【解答过程】根据题意，因为函数f (x)满足f (−x)= f (2+ x)，所以函数f (x)的对称轴为直线x =1，
因为函数y =e
2 x在x∈(−∞,1)上单调递增，函数y =e
−x在x∈(−∞,1)上单调递减，
所以函数f (x)=e
2 x−e
−x在x∈(−∞,1)上单调递增，
则函数f (x)在x∈[1,+ ∞)上单调递减，
由f (0)=0得f (2)=0，xf (x)>0等价于{
x>0
f (x)>0)或{
x<0
f (x)<0)，
解得0< x<2或x<0，所以不等式xf (x)>0的解集为(−∞,0)∪(0,2).
故答案为：(−∞,0)∪(0,2)．
一、单选题
1．（2026·山东济宁·模拟预测）已知函数f (x)=
2
3−3
x ，则下列是奇函数的是（ ）
A．f (x +2)+ 1
3
B．f (x +1)−1
3
C．f (x +2)+3
D．f (x +1)−3
【答案】B
【解题思路】分别求得定义域，由定义域不关于原点对称，可判断AC；BD 定义域关于原点对称，进而令
g(x)= f (x +1)−1
3，利用奇函数的定义计算可判断B，令g(x)=
2
3−3
x +1 −3，利用奇函数的定义计算可判
断D.
【解答过程】因为f (x)=
2
3−3
x (x≠1)，
对于A，f (x +2)+ 1
3 =
2
3−3
x +2 + 1
3
(x≠−1)，定义域不关于原点对称，
所以f (x +2)+ 1
3不是奇函数，故A 错误；
对于B，所以f (x +1)=
2
3−3
x +1 = 2
3(
1
1−3
x)(x≠0)，则f (x +1)−1
3 = 1
3(
1+3
x
1−3
x)，
令g(x)= f (x +1)−1
3 = 1
3(
1+3
x
1−3
x)(x≠0)，定义域关于原点对称，
g(−x)= 1
3(
1+3
x
3
x−1)=−g(x)，所以B 正确；
对于C，f (x +2)+3=
2
3−3
x +2 +3(x≠−1)，定义域不关于原点对称，
所以f (x +2)+3不是奇函数，故C 错误；
对于D，所以f (x +1)=
2
3−3
x +1 (x≠0)，则f (x +1)−3=
2
3−3
x +1 −3，
令g(x)=
2
3−3
x +1 −3，定义域关于原点对称，
g(−x)=
2
3−3
−x +1 −3= 2×3
x
3
x−3
−3=2+
6
3
x−3
−3=
6
3
x−3
−1≠−g(x)，
所以f (x +1)−3不是奇函数，所以D 不正确；
故选：B.
2．（25-26 高二下·浙江·阶段检测）已知函数f ( x)=−
1
4
x+1
+2 x
3+ 3
2，若对任意x∈[−2,2]，都有
f ( x +1)+ f (a−x
2)>2，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a< 4
5 }
B．{a∣a<5}
C．{a|0<a< 4
5 }
D．{a∣a>5)
【答案】D
【解题思路】结合指数函数、幂函数的单调性确定f ( x)的单调性，构造函数g( x)= f ( x)−1并探讨奇偶
性，再利用性质求解不等式.
【解答过程】函数y =−
1
4
x+1
, y =2 x
3+ 3
2在[−2,2]上单调递增，则函数f ( x)在[−2,2]上单调递增，
令g( x)= f ( x)−1=−
1
4
x+1
+2 x
3+ 1
2，则函数g( x)在[−2,2]上单调递增，
g(−x)+ g( x)=−
1
4
−x+1
+2(−x)
3+ 1
2 −
1
4
x+1
+2 x
3+ 1
2 =0，即函数g( x)是奇函数，
不等式f ( x +1)+ f (a−x
2)>2⇔f ( x +1)−1+ f (a−x
2)−1>0
⇔g( x +1)+ g(a−x
2)>0⇔g( x +1)>−g(a−x
2)= g( x
2−a)，则x +1> x
2−a，
依题意，a> x
2−x−1在[−2,2]上恒成立，而当x∈[−2,2]时，x
2−x−1≤5，当且仅当x =−2时取等
号，
则a>5，所以实数a的取值范围是a>5.
故选：D.
3．（2026·四川绵阳·模拟预测）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m
2）与时间t（单位：周）的关系为
y =a
t（a为常数），则下列说法中正确的是（ ）
A．浮萍每周的面积与上周面积之比不为定值
B．t = 4时，浮萍面积就会超过20 m
2
C．浮萍每周增加的面积都相等
D．若浮萍面积为2m
2，3 m
2，6 m
2时所对应的时间分别是t1，t2，t3，则t1+t2=t3
【答案】D
【解题思路】根据题意可得y =2
t，利用指数函数的性质与对数运算，结合图像逐一判断即可.
【解答过程】由图可得：函数y =a
t过点(1,2)，
则2=a
1，解得a=2，即y =2
t.
对于选项A：浮萍每周的面积与上周面积之比为2
t +1
2
t =2，为定值，故A 错误；
对于选项B：若t = 4时，则y =2
4=16<20，
所以浮萍面积不会超过20 m
2，故B 错误；
对于选项C：第二周比第一周增加y2−y1=2
2−2
1=2，第三周比第二周增加y3−y2=2
3−2
2= 4，
即y2−y1≠y3−y2，所以浮萍每周增加的面积不一定相等，故C 错误；
对于选项D：由题意可得：2=2
t1,3=2
t2,6=2
t3，则t1= log22,t2= log23,t3= log26，
所以t1+t2= log22+ log23= log22×3= log26=t3，故D 正确.
故选：D.
4．（2026·天津和平·三模）定义域为R的函数f (x)满足f (x + 4)=2f (x)，当x∈[0,4)时，
f (x)={
1
2 x
2−x , x∈[0,2)
−(
1
3)
|x−3)
, x∈[2,4)
，若x∈[−8,−4)时，f (x)≥m−1
4
−1
m
，则实数m的取值范围是（ ）
A．(−∞,−2)∪(0,2)
B．[−2,2)
C．[−2,0)∪(0,2)
D．[−2,0)∪[2,+ ∞)
【答案】A
【解题思路】结合题意求出函数f (x)在区间[−8,−4)上的最小值，根据题意得出f (x)min≥m−1
4
−1
m，解
该不等式即可得解.
【解答过程】当x∈[−8,−4)时，f (x)≥m−1
4
−1
m恒成立，则f (x)min≥m−1
4
−1
m，
因为定义域为R的函数f (x)满足f (x + 4)=2f (x)，
当x∈[0,4)时，f (x)={
1
2 x
2−x , x∈[0,2)
−(
1
3)
|x−3)
, x∈[2,4)
，
当x∈[−8,−6)时，x +8∈[0,2)，
则f (x)= 1
2 f (x + 4)= 1
4 f (x +8)= 1
4 ×[
1
2
(x +8)
2−(x +8))= 1
8
(x +8)
2−1
4
(x +8)
= 1
8 [(x +8)
2−2(x +8)+1)−1
8 = 1
8
(x +7)
2−1
8，
因为−1≤x +7<1，此时f (x)≥f (−7)=−1
8；
当x∈[−6,−4)时，x +8∈[2,4)，
则f (x)= 1
2 f (x + 4)= 1
4 f (x +8)= 1
4 ×[−(
1
3)
|x +8−3))=−1
4 ⋅(
1
3)
|x +5)
，
因为−1≤x +5<1，则0≤|x +5)≤1，则1
3 ≤(
1
3)
|x +5)
≤1，所以f (x)≥f (−5)=−1
4 ，
所以，函数f (x)在[−8,−4)上的最小值为f (x)min= f (−5)=−1
4 ，
所以，m−1
4
−1
m ≤f (x)min=−1
4 ，即m
4 −1
m ≤0，即m
2−4
4 m ≤0，解得m≤−2或0<m≤2.
因此，实数m的取值范围是(−∞,−2)∪(0,2).
故选：A.
二、解答题
5．（25-26 高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数f ( x)=k a
x−a
−x (a>0且a≠1)是定义在[−8,8]上的奇
函数.
(1)若f (1)>0，求不等式f (x
2+2 x)+ f ( x−4)>0的解集；
(2)若f (1)= 3
2，且g( x)=a
2 x+a
−2 x−4 f ( x)，求函数y = g( x)在[1,2)上的值域.
【答案】(1)(1,2]
(2)[−2, 17
16)
【解题思路】(1)利用奇函数的性质确定参数k，由f (1)>0判断函数单调性，结合奇函数性质转化不等式，
再根据定义域列不等式组求解，得到不等式的解集；
(2)由f (1)= 3
2求出底数a，通过换元法将g( x)转化为关于t的二次函数，根据x的取值范围确定t的区间，
再利用二次函数的单调性求解值域.
【解答过程】（1）由f ( x)为定义在[−8,8]上的奇函数，得f (0)=0，即k a
0−a
0=k −1=0，
故k =1，f ( x)=a
x−a
−x.
由f (1)=a−1
a >0，结合a>0，得a
2−1>0，故a>1.
f ( x)=a
x−a
−x在[−8,8]上单调递增，且f (−x)=−f ( x).
由f ( x
2+2 x)+ f ( x−4)>0，得f ( x
2+2 x)>f (4−x).
所以¿，解得1< x ≤2.
所以不等式f (x
2+2 x)+ f ( x−4)>0的解集为(1,2].
（2）由f (1)=a−1
a = 3
2，整理得2a
2−3a−2=0，
解得a=2（a=−1
2舍去），故f ( x)=2
x−2
−x.
g( x)=2
2 x+2
−2 x−4(2
x−2
−x)，令t =2
x−2
−x，
则2
2 x+2
−2 x=t
2+2，故g( x)=t
2−4t +2.
当x∈[1,2]时，t =2
x−2
−x单调递增，得t ∈[
3
2 , 15
4 ].
函数y =t
2−4t +2=(t −2)
2−2，开口向上，对称轴为t =2.
当t =2时，ymin=−2；当t = 15
4 时，ymax =(
15
4 −2)
2
−2= 17
16 ，
故函数y = g( x)在[1,2)上的值域为[−2, 17
16].
6．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数f ( x)=2
x+ a
2
x （a∈R 且 a≠0）是偶函数.
(1)求实数a的值；
(2)若 g( x)= f ( x)−2a
2
x ，且对于 ∀x∈R，不等式 g(x
2−x−3
4)+ g(−m
2+2m+ 4)>0 恒成立，求
整数m的取值集合．
【答案】(1)1
(2){0,1,2)
【解题思路】（1）利用偶函数满足f (−x)= f ( x)，求解a的值；
（2）利用函数g( x)的奇偶性和单调性，将不等式恒成立转化为关于整数m的条件求解.
【解答过程】（1）因为 f (x)=2
x+ a
2
x 是偶函数，根据偶函数满足f (−x)= f ( x)，
得2
−x+ a
2
−x =2
x+ a
2
x ，即1
2
x +a⋅2
x =2
x+ a
2
x ，
整理得(a−1)2
x+(1−a) 1
2
x =0，即(a−1)(2
x−1
2
x )=0，
因为∀x∈R, 2
x−1
2
x 不恒为 0，所以必须 a−1=0，所以a=1；
（2）由（1）知 a=1，则g(x)= f (x)−2
2
x =2
x+ 1
2
x −2
2
x =2
x−1
2
x
因为 ∀x∈R，g(−x)=2
−x−1
2
−x = 1
2
x −2
x =−g(x)，故 g( x) 是奇函数，
而y =2
x 单调递增，y = 1
2
x 单调递减，
故 y =−1
2
x 单调递增，因此 g( x)在R上单调递增，
不等式 g( x
2−x−3
4 )+ g(−m
2+2m+ 4)>0 可化为g( x
2−x−3
4 )>−g(−m
2+2m+ 4)，
即g( x
2−x−3
4 )>g(m
2−2m−4)，
因为g( x)单调递增，所以x
2−x−3
4 >m
2−2m−4，∀x∈R，
只需左边的最小值大于右边即可，令 h(x)= x
2−x−3
4 ，
这是开口向上的二次函数，其最小值为h(x)min=h(
1
2)=( 1
2 )
2
−1
2 −3
4 =−1
因此−1>m
2−2m−4，整理得m
2−2m−3<0，即(m−3)(m+1)<0，
解得−1<m<3，又 m 为整数，故m的值为0,1,2，
整数m的取值集合是{0,1,2).
7．（25-26 高三上·福建莆田·开学考试）已知定义域都为R的函数f (x)与g(x)满足：f (x)是偶函数，g(x)
是奇函数，且f (x)+ g(x)=2⋅3
x．
(1)求函数f (x)、g(x)的解析式；
(2)设p(x)= 3
x−2
3
x+2
，h(x)= f (2 x)−2 g(x)+2m−3，对于∀x1∈R，都有∃x2∈[0,+ ∞)，使得
p(x1)=h(x2)，求实数m的取值范围．
【答案】(1)f (x)=3
x+3
−x，g(x)=3
x−3
−x；
(2)m≤1
2
【解题思路】（1）根据函数奇偶性得到f (x)−g(x)=2⋅3
−x，结合条件得到方程组，求出答案；
（2）p(x)在R 上的值域为h(x)在x∈[0,+ ∞)上的值域的子集，求出p(x)在R 上的值域为(−1,1)，换元
得到h(x)=r (t )=(t −1)
2+2m−2，h(x)在x∈[0,+∞)上的值域为[2m−2,+∞)，所以
(−1,1)⊆[2m−2,+∞)，故2m−2≤−1，解得m≤1
2.
【解答过程】（1）因为f (x)+ g(x)=2⋅3
x
，所以
①
f (−x)+ g(−x)=2⋅3
−x，
f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，故f (−x)= f (x),g(−x)=−g(x)，
故f (x)−g(x)=2⋅3
−x
，
②
故①+②得f (x)=3
x+3
−x，则g(x)=2⋅3
x−3
x−3
−x=3
x−3
−x，
（2）对于∀x1∈R，都有∃x2∈[0,+ ∞)，使得p(x1)=h(x2)，
则p(x)在R 上的值域为h(x)在x∈[0,+ ∞)上的值域的子集，
其中p(x)= 3
x−2
3
x+2
= 3
x+2−4
3
x+2
=1−
4
3
x+2
，
因为3
x+2>2，0<
1
3
x+2
< 1
2，−1<1−
4
3
x+2
<1，
所以p(x)在R 上的值域为(−1,1)，
h(x)= f (2 x)−2 g(x)+2m−3=3
2 x+3
−2 x−2⋅3
x+2⋅3
−x+2m−3
=(3
x−3
−x)
2−2(3
x−3
−x)+2m−1，
令3
x−3
−x =t，显然t =3
x−3
−x在x∈[0,+ ∞)上单调递增，
所以t =3
x−3
−x∈[3
0−3
−0,+∞)=[0,+∞)，
故h(x)=r (t )=t
2−2t +2m−1=(t −1)
2+2m−2，
当t =1时，r (t )=(t −1)
2+2m−2取得最小值，最小值为2m−2，
故h(x)在x∈[0,+ ∞)上的值域为[2m−2,+ ∞)，
所以(−1,1)⊆[2m−2,+∞)，故2m−2≤−1，解得m≤1
2.
8．（2026·辽宁沈阳·一模）已知函数f ( x)= b⋅2
x−1+1
a⋅2
x−1+1
是定义域为R的奇函数，a,b∈R.
(1)求a,b的值；
(2)用定义法证明f ( x)的单调性；
(3)当x∈[1,4 ]时，f (kx)+ f (−x
2−4)>0恒成立，求实数k 的取值范围.
【答案】(1)a=2，b=−2；
(2)减函数；
(3)(−∞,4)
【解题思路】（1）利用奇函数性质得f (0)=0,f (−1)=−f (1)，进而解得a,b即可.
（2）利用定义法得到函数f (x)的单调性即可.
（3）利用奇函数性质得f (kx)>f (4 + x
2)，再由单调性得kx<4 + x
2，即k < x + 4
x ，最后利用均值不等式求
解参数范围即可.
【解答过程】（1）因为函数f (x)是定义域为R的奇函数，
所以f (0)=
b
2 +1
a
2 +1
=0，得b=−2，
又f (−1)=−f (1)，即
−1
2 +1
a
4 +1
=−−2+1
a+1 ，解得a=2，
则f (x)= −2
x+1
2
x+1
，经检验符合题意.
(2)由已知得f (x)= −2
x+1
2
x+1
，则f (x)=−1+
2
2
x+1，
任取x1, x2，且令x1< x2，则f (x1)−f (x2)=−1+
2
2
x1+1
−(−1+
2
2
x2+1
)
=
2
2
x1+1
−
2
2
x2+1
=
2(2
x2+1)
(2
x1+1)(2
x2+1)
−
2(2
x1+1)
(2
x1+1)(2
x2+1)
=
2(2
x2−2
x1)
(2
x1+1)(2
x2+1)
>0，得到f (x1)−f (x2)>0，
故f (x1)>f (x2)，则f ( x)是减函数.
（3）由题意得f (kx)>−f (−x
2−4)在x∈[1,4)时恒成立，
因为f (x)是单调递减的奇函数，
所以f (kx)>f (4 + x
2)，即kx <4 + x
2在x∈[1,4)时恒成立，
得到k < x + 4
x ，且令g( x)= x + 4
x ，即k < g( x)min恒成立，
又x + 4
x ≥2❑√x× 4
x = 4，当且仅当x =2时等号成立，
得到g( x)min= 4，得到k <4，即k ∈(−∞,4).
一、单选题
1．（2026·上海·高考真题）a为不为1 的任意实数，则a⋅
3√a=（ ）
A．a
3
2
B．a
4
3
C．a
5
2
D．a
5
3
【答案】B
【解题思路】根据指数运算即可得解.
【解答过程】由a≠1，则a⋅
3√a=a⋅a
1
3 =a
1+ 1
3 =a
4
3.
故选：B.
2．（2026·天津·高考真题）已知函数f ( x)=|ln x)，若a= f (2
0.3)，b= f (3
0.3)，c = f (3
−0.5)，则a，b，c
的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<b<a
D．c<a<b
【答案】A
【解题思路】根据对数函数与绝对值的性质化简f ( x)，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大
小即可.
【解答过程】由题意可得f ( x)={
ln x , x>1
−ln x ,0< x<1)，
因为函数y = x
0.3在(0,+ ∞)上单调递增，所以1<2
0.3<3
0.3，
又因函数y =3
x在R上单调递增，则0<3
−0.5<1<3
0.5，
所以c = f (3
−0.5)=−ln3
−0.5= ln3
0.5= f (3
0.5)，
因1<2
0.3<3
0.3<3
0.5，且f ( x)在(1,+ ∞)上单调递增，
所以f (2
0.3)<f (3
0.3)<f (3
0.5)，即f (2
0.3)<f (3
0.3)<f (3
−0.5).
故a<b<c.
故选：A.
3．（2025·天津·高考真题）函数f ( x)=0.3
x−❑√x的零点所在区间是（ ）
A．(0,0.3)
B．(0.3,0.5)
C．(0.5,1)
D．(1,2)
【答案】B
【解题思路】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
【解答过程】由指数函数、幂函数的单调性可知：y =0.3
x在R上单调递减，y = ❑√x在[0,+∞)单调递增，
所以f (x)=0.3
x−❑√x在定义域上单调递减，
显然f (0)=1>0,f (0.3)=0.3
0.3−0.3
0.5>0,f (0.5)=0.3
0.5−0.5
0.5<0，
所以根据零点存在性定理可知f (x)的零点位于(0.3,0.5).
故选：B.
4．（2025·上海·高考真题）设a>0,s∈R．下列各项中，能推出a
s>a的一项是（ ）
A．a>1，且s>0
B．a>1，且s<0
C．0<a<1，且s>0
D．0<a<1，且s<0
【答案】D
【解题思路】利用指数函数的性质分类讨论a与1 的关系即可判定选项.
【解答过程】∵a>0,a
s>a，∴a
s−1>1=a
0，
当a∈(0,1)时，y =a
x定义域上严格单调递减，
此时若s−1<0，则一定有a
s−1>1=a
0成立，故D 正确，C 错误；
当a∈(1,+∞)时，y =a
x定义域上严格单调递增，要满足a
s−1>1=a
0，需s>1，即A、B 错误.
故选：D.
5．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 d = S−1
ln N 是河流水质的一个评价指标，其中S , N分别表示河
流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数
S没有变化，生物个体总数由N 1变为N 2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ）
A．3 N 2=2 N 1
B．2 N 2=3 N 1
C．N 2
2= N 1
3
D．N 2
3= N 1
2
【答案】D
【解题思路】根据题意分析可得S−1
ln N 1
=2.1, S−1
ln N 2
=3.15，消去S即可求解.
【解答过程】由题意得S−1
ln N 1
=2.1, S−1
ln N 2
=3.15，则2.1ln N 1=3.15ln N 2，即2ln N 1=3 ln N 2，所以
N 2
3= N 1
2.
故选：D.
6．（2024·天津·高考真题）设a= 4.2
−0.2，b= 4.2
0.2，c =log4.20.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<b<a
D．c<a<b
【答案】D
【解题思路】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【解答过程】因为y = 4.2
x在R上递增，且−0.2<0<0.2，
所以0<4.2
−0.2<4.2
0<4.2
0.2，
所以0<4.2
−0.2<1<4.2
0.2，即0<a<1<b，
因为y = log4.2 x在(0,+∞)上递增，且0<0.2<1，
所以log4.20.2<log4.21=0，即c<0，
所以c<a<b，
故选：D.
7．（2024·天津·高考真题）已知a,b∈R，则“a
3=b
3
是
”
“3
a=3
b
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解题思路】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【解答过程】根据立方的性质和指数函数的性质，a
3=b
3和3
a=3
b都当且仅当a=b，所以二者互为充要条
件.
故选：C.
