专题2.9 对数与对数函数（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数
(2)通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与
特殊点
(3)了解指数函数y=ax（a>0 且a≠1）与对数函数y=logax（a>0 且a≠1）互为反函数
高考真题
统计
考点
2024 年
2025 年
2026 年
对数与对数
函数
新课标I 卷：第6
题，5 分
北京卷：第7 题，4
分
全国一卷：第8 题，5
分
北京卷：第9 题，4
分
天津卷：第6 题，5
分
命题规律
分析
1、对数与对数函数
对数函数是常见的重要函数，对数与对数函数是高考常考的热点内容，
从近三年的高考情况来看，主要考查对数的运算、对数函数的性质及应
用；对数函数往往与幂函数、指数函数结合考查，考查内容包括：比较指
对幂数的大小、解不等式等题型，主要以单选题的形式考察，难度较易。
知识点
1
对数运算的解题策略
1．对数的换底公式及其推论
(1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则
.
(2)换底公式的推论：
①
=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；
②
(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；
③
(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).
2．对数运算的常用技巧
(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然
对数与对数函数
考点1
后用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的
积、商、幂再运算.
(3)指对互化：
(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意
互化.
知识点
2
对数函数的常见问题及解题思路
1．比较对数式的大小
比较对数式的大小的方法是：(1)底数相同的，直接利用对数函数的单调性比较大小；
(2)底数不同的，利用换底公式化成同底数的对数式，再利用对数函数的单调性比较大小.
2．对数函数图象的识别及应用
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最
低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
3．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：
一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与
1 的大小关系；三是复合函数的构成，即它是
由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
【题型1 对数的运算】
【例1】（2026·浙江金华·一模）已知
1
log9a +
1
log27a = 5
3，则a=（ ）
A．3
B．9
C．27
D．81
【变式1-1】（25-26 高二下·山东日照·期末）若logam=2，b
3=m，则logm(ab)=（ ）
A．1
6
B．1
5
C．5
6
D．6
5
【变式1-2】（2026·四川绵阳·一模）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以m %的增长率呈指数增长.若增长
为原来的2.5 倍经过了10 天，则增长为原来的5 倍需要经过的天数约为（ ）（参考数据：lg2≈0.3）
A．12
B．15
C．18
D．20
【变式1-3】（2026·天津河北·模拟预测）已知a=lg2，b=lg3，则lg12可以表示为（ ）
A．a
2b
B．2ab
C．a+2b
D．2a+b
【题型2 对数函数的图象及应用】
【例2】（2026·湖南长沙·一模）已知lga+lgb=0(a>0,b>0，且a≠1,b≠1)，则函数f (x)=a
−x与
g(x)=logb x的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】（2026·河北廊坊·一模）函数f (x)=ln|x−1)
e
x
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2026·福建泉州·模拟预测）若实数x，y，z满足2
x−2=3
y−3=5
z−5，则x，y，z的大小关
系不可能是（ ）
A．x = y = z
B．x> y > z
C．z> y > x
D．z> x> y
【变式2-3】（25-26 高一上·湖南益阳·期末）已知函数f (x)=ln|x)
x
，则它的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型3 比较指对幂数的大小】
【例3】（2026·天津河西·三模）设a=2.1
0.7，b=0.7
2.1，c =log2.10.7，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a<b<c
B．c<a<b
C．a<c<b
D．c<b<a
【变式3-1】（2026·河南·模拟预测）已知a= log0.50.4，b=0.5
0.4，c = log45，则（ ）
A．a>c>b
B．a>b>c
C．c>a>b
D．b>c>a
【变式3-2】（2026·湖北武汉·三模）已知a=log32，b=log511，c =log23，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A．a<c<b
B．b<c<a
C．b<a<c
D．a<b<c
【变式3-3】（2026·广东深圳·模拟预测）若a= log0.10.2，b= log40.3，c =3
−0.3，d =2
−0.3，则下列选项
正确的是（ ）
A．a<b,c<d
B．a<b,c>d
C．a>b,c<d
D．a>b,c>d
【题型4 解对数不等式】
【例4】（2026·天津滨海新区·三模）已知p：log2(x +1)≤1，q：1
x ≥1，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式4-1】（2026·山东枣庄·三模）已知集合A ={x| x
2<4)，B ={x|lg(x−1)<1)，则A ∪B =（ ）
A．(−∞,11)
B．(−2,11)
C．(1,2)
D．(2,11)
【变式4-2】（2026·辽宁大连·模拟预测）不等式log2(−x)−1< x的解集为（ ）
A．(−1,+ ∞)
B．(−∞,−1)
C．(−1,0)
D．(−∞,−2)
【变式4-3】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数f (x)= log2(4
x+1)−x， 则不等式f (2 x)>f (x−1)
的解集为（ ）
A．(0，1
3)
B．(−∞，−1)∪(
1
3 ，+∞)
C．(−1，0)
D．(−∞，−1
3)∪(1，+ ∞)
【题型5 对数（型）函数的单调性问题】
【例5】（2026·河北沧州·一模）已知函数f (x)= log 1
2
(−x
2+ax +3)在区间[1, 2)上单调递增，则a的取值
范围为（ ）
A．[
1
2 , 2)
B．(−∞, 2)
C．(
1
2 , +∞)
D．(
1
2 , 2)
【变式5-1】（2026·湖南·二模）已知函数f (x)= loga| x|（a>0且a≠1），若f (2)= 4，则f (x)的递增区
间是（ ）
A．[0,+ ∞)
B．(−∞,0)
C．(0,+∞)
D．(−∞,0]
【变式5-2】（2026·陕西·模拟预测）已知函数f ( x)= log3( x
2−2ax +1)在(−∞,−2)上是减函数，则实数
a的取值范围是（ ）
A．(−5
4 ,+ ∞)
B．[−5
4 ,+∞)
C．(−2,+∞)
D．[−2,+∞)
【变式5-3】（2026·云南昆明·二模）已知函数f (x)=ln(e
2 x+1)−x，则（ ）
A．f (x)是奇函数，且在(0,+ ∞)上单调递增
B．f (x)是奇函数，且在(0,+ ∞)上单调递减
C．f (x)是偶函数，且在(0,+ ∞)上单调递增
D．f (x)是偶函数，且在(0,+ ∞)上单调递减
【题型6 对数函数性质的综合应用】
【例6】（2026·陕西西安·模拟预测）关于函数f (x)=lg(
2
1−x −1)，下列说法不正确的是（ ）
A．f (x)的定义域为(−1,1)
B．f (x)在区间(0,1)上单调递增
C．f (x)的值域为(
1
10 ,10)
D．f (x)的图象关于原点对称
【变式6-1】（2026·海南·模拟预测）若函数f (x)={
x +1, x ≤0,
loga(x +2), x>0)
的值域为R，则实数a的取值范围是
（ ）
A．(1,2)
B．[2,+∞)
C．（0，1）
D．(0,1)∪(1,2)
【变式6-2】（2026·海南儋州·模拟预测）已知函数f ( x)= log3(3 x)⋅log3 x
27 + 4，x∈[1,27].
(1)求函数f ( x)的值域及单调区间；
(2)若不等式f (3
t)−kt ≥0在t ∈[
1
2 ,4)上有解，求实数k 的取值范围.
【变式6-3】（25-26 高一下·湖北黄石·阶段检测）已知f (x)= loga x + loga(6−x)，a>0且a≠1，且
f (3)=2．
(1)求a 的值及f (x)的单调区间.
(2)若对于∀x1∈(0,6)，∃x2∈[1,9)，使得f (x1)≤t + log3 x2
成立，求实数t 的取值范围.
一、单选题
1．（2026·湖南株洲·模拟预测）函数f (x)=log3(x−3)的定义域为（ ）
A．R
B．{x|x >3))
C．{x|x ≥3))
D．{x|x ≠3))
2．（2026·四川自贡·一模）已知a>b>1，若logab+ logba= 5
2
，a
b=b
a，则ab=（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知a=3
0.3，b= log315，c = log9207，则（ ）
A．c<a<b
B．c<b<a
C．a<b<c
D．a<c<b
4．（2026·湖南·模拟预测）已知函数f (x)是定义在R上的增函数．若f (log2(x−1))<f (1)，则x 的取值范
围是（ ）
A．(1,2)
B．(1,3)
C．(2,+∞)
D．(3,+∞)
5．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数f ( x)= loga x +e
b（a>0，a≠1，b>0）的图象如图所示，则下
列关系式一定不成立的是（ ）
A．a>1
B．0<b<1
C．b
a>a
b
D．ab≤1
6．（2026·河南·模拟预测）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，
风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：lgn= 2
3 lg v + 1
20
（其中v为轮毂高度风速，单位：m/s，n为
风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到32m /s，则该瞬时风速对应
的风力等级约为（ ）（注：10
0.05≈1.12，lg2≈0.3010）
A．9 级
B．11 级
C．13 级
D．15 级
7．（2026·河南周口·模拟预测）若函数f ( x)={
(2a−1)x +a, x<1
loga x , x ≥1
),(a>0 且a≠1)的值域为R，则实数a
的取值范围（ ）
A．(0, 1
3)
B．(0, 1
3)∪(1,+∞)
C．(
1
3 , 1
2)
D．(
1
3 , 1
2)∪(1,+∞)
8．（2026·四川成都·三模）已知y = f (x +1)是定义在R上的周期为2 的偶函数，当x∈[1,2)时，
f (x)=log2 x，设a= f(
1
2)，b= f(
4
3)，c = f(−5
4)，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a<c<b
B．c<a<b
C．b<c<a
D．c<b<a
二、多选题
9．（2026·湖南·三模）若0<a<b<1，则下列结论正确的是（ ）
A．(logab)
2<1
B．logab+logba>2
C．logab<logba
D．|logab)+|logba)>|logab+logba)
10．（2026·广东深圳·模拟预测）若函数f ( x)= ln(ax +b)的图象经过第二、三、四象限，则（ ）
A．a>0
B．a<0
C．b>1
D．0<b<1
11．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数f (x)=lg x +lg(π−x)，则（ ）
A．f (x)的定义域为(0,π)
B．f (x)在(0,π)单调递减
C．y = f (x)的图像关于直线x =π
2
对称
D．f (x)有最大值
三、填空题
12．（2026·北京顺义·一模）函数f (x)= ❑√1−log2 x的定义域为__________.
13．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数y =loga(x +2)+1(a>0且a≠1)的图像过定点(s,t )，正实数m､
n 满足nt −ms=1，则1
m + 3
n
的最小值为__________.
14．（2026·宁夏银川·三模）在冷链物流中，某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位：
）之间满足：
℃
y =e
ax +b（其中a，b为常数）.若该蔬菜在贮藏温度x为9℃的环境下保鲜时间y为261小
时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时.若该蔬菜运输总物流时间为87小时，为保障运输安全，要求保鲜
时间不少于运输时长的1.2倍，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度x的最大整数数值为__________.（参考数
据：ln3≈1.099，ln29≈3.367，ln104.4≈4.648）
四、解答题
15．（2026·上海·模拟预测）已知f (x)=loga x（a>0且a≠1）．
(1)若a=3，解方程f(
27
x )f (3 x)=−5；
(2)若f (4 a−1)>f (a)，求a的取值范围．
16．（2026·山西吕梁·模拟预测）已知函数f (x)=log2(a+ x)+log2(3−x)．
(1)若f (x)是偶函数，求实数a的值；
(2)解不等式f (x)<f (3−x)(a>0)．
17．（25-26 高二下·陕西商洛·阶段检测）已知f (x)=log2(ax +1)(a∈R).
(1)当a=1时，求不等式f (4 x−2)<0的解集；
(2)若函数g(x)= f (2 x)+log2 x有且只有一个零点，求实数a的取值范围.
18．（2025·上海崇明·二模）已知f ( x)= log3( x +a)+ log3(6−x)．
(1)是否存在实数a，使得函数y = f ( x)是偶函数？若存在，求实数a 的值，若不存在，请说明理由；
(2)若a>−3且a≠0，解关于x 的不等式f ( x)≤f (6−x)．
19．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知函数f (x)= loga(1+ x)，g(x)= loga(1−x)（a>0，且a≠1）．
(1)求函数f (x)+ g(x)的定义域；
(2)求f (x)+ g(x)的单调性；
(3)当a=3时，若h(x)= f (x)+ g(x)+m有两个零点，求实数m的取值范围．
