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2026 年高考数学百日冲刺考点全通关（上海专用）
专题07 空间向量与立体几何
考点01：空间向量的概念与运算
1. （2025 上海市徐汇中学高三三模）空间向量
的单位向量的坐标是__________．
2.（2025 华东师范大学二附中高三5 月冲刺试卷） 已知空间向量
，
，
共面，则实数
______
3. （2025-26 复旦大学附属中学高三（上）阶段练习）在正四面体
中，点
是
的中心，若
（
），则
__________.
4. 为空间任意一点，若
，若，，，四点共面，则
________
5. （2025 行知中学高三6 月模拟）如图，在四面体OABC 中，
，
，
．点M 在OA
上，且
，N 为BC 中点，则
等于______.
6.（2026 届高三青浦区一模）如图，在四面体
中，
为
的中点，
，且
为
的
中点,设
,用
表示
，则
_____.
7. 已知空间向量
、
、
两两垂直，空间中点
满足
，记
，则
的取值范围为________.
考点02：平面基本性质的理解
8.以下选项正确的是_______
(1)空间中两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
(2)过空间中任意三点有且仅有一个平面.
(3)若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
(4)若直线
平面
，直线
平面
，则
.
9．在空间中，下列命题是真命题的是（ ）
A．经过三个点有且只有一个平面
B．平行于同一平面的两直线相互平行
C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
D．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面
10.如图，水平放置的
的斜二测直观图为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点03：异面直线的判定
11. 如图，下列正方体中，M，N，P，Q 分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN 和PQ 为异
面直线的是（ ）
A.
B.
C.
D.
12.（2026 届高三长宁区一模）如图,已知
分别是正方体所在棱的中点,则下列直
线中与直线
异面的是（ ）
A.直线
; B.直线
;C.直线
; D.直线
.
13.（2025 上海宝山区高三三模） 如图所示，长方体
中，
，P
是线段
上的动点，则下列直线中，始终与直线BP 异面的是（ ）
A.
B.
C.
D.
14．（2025·上海·模拟预测）如图，
是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是
（ ）．
A．
和
；
B．
和
；
C．
和
；
D．
和
．
考点04：空间中的位置关系的判定
15. 已知
是两个不同的平面，a，b 是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线
的是
（ ）
A.
B.
C.
D.
16.（2026 届高三黄埔区一模）设
是两个不同的平面, 是一条直线,以下命题正确的是( ).
A.若
,则
B.若
,则
C.若
,则
D.若
,则
17. （2024 青浦区高三三次学业监测）已知
是两个不同的平面，a，b 是两条不同的直线，下列条件
中，一定得到直线
的是（ ）
A.
B.
C.
D.
18.（2026 届高三奉贤区一模）设
是互不重合的平面,
是互不重合的直线,给出四个命题:
①若
，则
②若
，则
③若
，则
④若
，则
其中正确命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
19. （2025 建平中学高三下学期三模）已知m，n 是两条直线，
是一个平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若
，
，则
B. 若
，
，则
C. 若
，
，则
D. 若
，
，则
20.（2026 届高三静安一模）在三维空间中，下列命题是真命题的一个是（ ）
A.垂直于同一条直线的两条直线平行.
B.垂直于同一个平面的两个平面平行.
C.若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与这个平面平行，则这两条直线互相垂直.
D.若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直.
21. （2025 上海市金山中学高三三模）在棱长为1 的正方体
中，点
分别是棱
的中点，动点
在正方形
（包括边界）内运动，则
平面
的一个充分非必要条
件是（ ）
A.
为
B.
为
的中点
C.
的轨迹长度为
D.
为
的中点
考点05：空间几何体的表面积和体积
22. （2025 进才中学高三模拟）已知扇形的弧长为
，面积为
，则扇形所在圆的半径为______．
23. （2024 上海市曹杨第二中学高三三模）已知圆锥的底面积为
，高为
，则该圆锥的侧面积为
________．
24. （2025 届上海市大同中学高三三模）某圆锥高为1，母线与底面所成的角为
，则该圆锥的表面积为
________
25. （2025 上海市崇明中学高三三模）若一个圆锥的侧面展开图是面积为
的半圆面，则该圆锥的体积为
.
26. （2025 上海宝山区高三三模）若球的大圆的面积为
，则该球的体积为________
27. （2025 华东师范大学二附中高三5 月冲刺试卷）将一个圆心角为
、面积为
的扇形卷成一个圆
锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为_________．
28. 已知三棱锥
的四个顶点均在球
的表面上，且
，
，
，
．若点
到底面
的距离为1，则球
的表面积为（ ）．
A.
B.
C.
D.
29. （2025 上海市徐汇中学高三三模）已知四棱台
的侧棱
垂直于底面，底面
是边长为2 的正方形，四边形
是边长为1 的正方形，
，则四棱台
的体积为______.
30. （2025 上海市格致中学高三三模）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．
已知在鳖臑
中，
，
平面
，当该鳖臑的外接球的表面积为
时，则该
鳖臑的体积为________．
31.如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为
，则
该正四棱台的体积为_______
32. “阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称
美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的
“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的体积为_______
考点06：空间中角与距离问题
33. 若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB 与CD 所成角的大小不可能为（
）
A.
B.
C.
D.
34. （2025 复旦大学附属中学高三期末）已知一圆锥的侧面积与底面积的比值为2，则该圆锥的母线与底面
所成的角为_____.
35. （2024 学年宜川中学高三模拟）正四面体中，相邻两个面所成的锐二面角的大小为______.
36.（2025 复旦大学附属中学高三6 月检测） 已知圆锥底面半径为
，母线长为2，点A 为底面圆周上一
点，若一只蚂蚁从点A 出发沿着圆锥的侧面爬行一周回到A 点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．
37. （2024 上海市曹杨第二中学高三三模）已知圆柱的底面半径为，高为
，A、B 分别为该圆柱上、下底
面圆周上的动点．若直线
和该圆柱的轴始终是异面直线，则线段AB 长度的取值范围是________．
考点07：直线与平面平行、垂直的证明（综合题）
38. （2025 上海宝山区高三三模）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
为矩
形，
为线段
的中点，
.
（1）求证：
平面
；
（2）求直线
与平面
的夹角的正弦值.
39. （2025 上海市格致中学高三三模）图一，四边形
是边长为2 的菱形，且
，点
为
的中点，现将
沿直线
折起，形成如图二的四棱锥
，点
为
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）若三棱锥
的体积为
，求二面角
的正弦值.
40. （2025 上海市崇明区高三三模）如图，已知点
在圆柱
的底面圆
的圆周上，
为圆
的直径.
（1）求证：
；
（2）若
，
，圆柱
体积为
，求异面直线
与
所成角的大小.
41. （2025 届上海市大同中学高三三模）如图，在四面体
中，
为棱
上一点，
，
，
，且
，
，二面角
大小为
.
（1）证明：
平面
；
（2）求
的长.
42. （2024 上海市曹杨第二中学高三三模）如图，三棱柱
中四边形
､
是菱形，且
，
，
，
，
（1）证明：平面
平面
；
（2）求直线
和平面
所成角的正弦值；
考点08：空间中的角与距离问题（综合题）
43. （2025 进才中学高三模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P
AD1中点，Q 是BD 中点，E 是DD1中
点．
（1）求证：PQ∥平面D1DCC1；
（2）求异面直线CE 和DP 所成角的余弦值．
44. （2025 七宝中学高三三模）如图，
是圆锥的顶点，
是底面圆
的一条直径，
是一条半径.且
，已知该圆锥的侧面展开图是一个面积为
的半圆面.
（1）求该圆锥的体积：
（2）求异面直线
与
所成角的大小.
45. （2025 华东师范大学二附中高三5 月冲刺试卷）如图，四边形
是圆柱
的轴截面，
，
，以圆柱上底面为底面作高为
的圆锥
，
、
分别在
、
上，
，
.
（1）求这个几何体的表面积和体积；
（2）求二面角
的余弦值.
46. 如图，已知一个由半圆柱与多面体
构成的几何体，平面
与半圆柱的下底面共面，且
．
为半圆弧
上的动点（与
，
不重合）
（1）证明：平面
平面
；
（2）若四边形
为正方形，且
，
，求二面角
的余弦值．
47. （2025 上海市徐汇中学高三三模）如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆O
的半径为1，圆锥的高
，三棱锥
的底面
是以圆锥的底面圆的直径AB 为斜边的等腰
直角三角形，且与圆锥底面在同一个平面上．
（1）求直线
和平面
所成角的大小；
（2）求该几何体的表面积．
考点09：存在性问题（综合题）
48. （2024-25 长宁区高三监测练习试卷）图1 所示的平行四边形
中，
，
现
将
沿
折起，得到如图2 所示的三棱锥
，记棱
的中点为
，且.
.
（1）求证：
；
（2）记棱
的中点为
，在直线
上作出点
，使得
平面
，请说明理由，并求出二面角
的大小.
考点10：最值与范围问题（综合题）
49.（2026 届高三普陀一模）如图所示，过圆柱的轴
的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2 的正
方形
是该圆柱底面圆周上异于
、
两点的点.
（1）设平面
平面
，求证:
；
（2）当三棱锥
的体积最大时，求二面角
的余弦值.
1.（2025·全国2 卷·14 题）一个底面半径为
，高为
的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有
两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为
．
2．（2025·天津卷·4 题）若
为直线，
，
为两个平面，则下列结论中正确的是
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
3．（2024·甲卷（文）·11 题）设
是两个平面，
是两条直线，且
.下列四个命题：
①若
，则
或
②若
，则
③若
，且
，则
④若
与
和
所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③
B．②④
C．①②③
D．①③④
4.（2024·新高考Ⅰ卷·5 题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为
，则圆锥的
体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
5.（2024·新高考Ⅱ卷·7 题）已知正三棱台
的体积为
，
，
，则
与平面ABC
所成角的正切值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
6．【2022 年上海市高考数学第5 题】已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为 ．
7.（2022·新课标甲卷·文10 题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为
，侧面积分
别为
和
，体积分别为
和
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．【2021 年上海市高考数学第9 题】已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB 为上底面圆的一条直径，C
是下底面圆周上的一个动点，则△ABC 的面积的取值范围为 ．
9.（2021·新高考2 卷·5 题）正四棱台的上下底面的边长分别为
､
2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
10.（2021·新课标甲卷·文14 题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为
则该圆锥的侧面积为________.
11.（2025·上海·18 题）如图，
是圆锥的顶点，
是底面圆心，
是底面直径，且
．
（1）若直线
与圆锥底面的所成角为
，求圆锥的侧面积；
（2）已知
是母线
的中点，点
、
在底面圆周上，且弧
的长为
，
．设点
在线段
上，证明：直线
平面
．
12．（2024·北京·17 题）已知四棱锥P-ABCD，
，
，
，
，E 是
上一点，
．
(1)若F 是PE 中点，证明：
平面
．
(2)若
平面
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
