文档文本内容
新定义问题
猜押考点
3 年真题
考情分析
押题依据
新定义压
轴（解答
题）
2024 年新高考
Ⅰ卷第19 题
2024 年新高考
Ⅱ卷第19 题
2024 年新高考数学新结构
体系下，新定义类试题更综合
性的考查学生的思维能力和推
理能力；以问题为抓手，创新
设问方式，搭建思维平台，引
导考生思考，在思维过程中领
悟数学方法。
题目更加注重综合性、应
用性、创新性，本题分值最
高，试题容量明显增大，对学
科核心素养的考查也更深入。
新定义题型的特点是通过给出一个新概
念，或约定一种新运算，或给出几个新模型
来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理
解的基础上，依据题目提供的信息，联系所
学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵
活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读
题，分析新定义的特点，弄清新定义的性
质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条
分析、验证、运算，使问题得以解决.
难度较难，可以预测2024 年新高考大
题压轴题命题方向将会以新定义类题型展开
命题．
题型一 立体几何新定义问题
1．（24-25 高三下·广东深圳·阶段练习）（多选）莱昂哈德•医拉是历史上最杰出的数学家之一，在数学许
多分支上都可以见到以欧拉命名的常数，公式和定理．在拓扑学中，欧拉公式描述了凸多面体顶点数，棱
数和面数之间的关系：记凸多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则
．根据欧拉公式，
判断下列说法正确的是（ ）
注：若多面体上任意两点的连线段都在该多面体内（含表面），则称该多面体为凸多面体
A．若某棱锥的棱数比顶点数多5，则该棱锥为六棱锥
B．存在7 条棱的多面体
C．存在每个面都是五边形或六边形的凸多面体，且任意相邻两个面的边数都不同
D．若某凸多面体每个面都是边长为1 的正方形或正五边形，且每个顶点与其相连接的棱所形成的空间
图形均相同，则面数的所有可能取值为6，7，12
2．（2025 高三·全国·专题练习）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之
一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，
在勒洛四面体中，正四面体
的棱长为4，给出下列四个结论：正确的是
①勒洛四面体最大的截面是正三角形
②若
是勒洛四面体
表面上的任意两点，则
的最大值为4
③勒洛四面体
的体积是
④勒洛四面体
内切球的半径是
3．（24-25 高三下·辽宁本溪·开学考试）如果拉伸两个端头，下列绳子会打结的是？ .
4．（2024 高三下·全国·竞赛）如图为一种在机场常见的一次性水杯，可简化为如下模型：设
，在空间
直角坐标系中，考虑顶点在原点，旋转轴为
轴，高为，底面圆半径为
的倒立的圆锥，水杯为该圆锥
的侧面上的到
轴距离不超过的部分（厚度忽略不计）．设
为有效容积，即水面平行于
平面时所
盛水的最大体积，为水杯的侧面积，为了尽可能提高材料的利用率，我们要让
最大，此时
为（
）
A．1
B．
C．
D．
5．（24-25 高二上·辽宁·开学考试）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设
为多面体
的一个顶点，
定义多面体
在点
处的离散曲率为
，其中
为多面体
的所有与点
相邻的顶点，且平面
，平面
，平面
和平面
为多面体
的所有以
为公共点的面．如图，在三棱锥
中．
(1)求三棱锥
在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若
平面
，三棱锥
在顶点
处的离散曲率为
，求点A 到平面
的距离；
(3)在（2）的前提下，又知点
在棱
上，直线
与平面
所成角的余弦值为
，求
的长度．
6．（24-25 高二上·江西上饶·期末）在空间直角坐标系
中，定义：过点
，且方向向量为
的直线的点方向式方程为
；
过点
，且法向量为
的平面的点法向式方程为
，将其整理为一般式方程为
，其中
．
(1)已知直线的点方向式方程为
，平面
的一般式方程为
，求直线与
平面
所成角的余弦值；
(2)已知平面
的一般式方程为
，平面
的一般式方程为
，平面
的一般
式方程为
，若
，证明：
；
(3)已知斜三棱柱
中，侧面
所在平面
经过三点
，侧
面
所在平面
的一般式方程为
，侧面
所在平面
的一般式方程为
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
7．（24-25 高二上·广东汕头·期末）“出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由十九世纪赫
尔曼-闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标
系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点
，
之间的曼哈顿距离为
．
(1)在平面直角坐标系中，已知点O 为坐标原点，记
为点M 与直线l 上的所有点的曼哈顿距离的最
小值．
（i）已知点
，求
；
（ii）已知点
，直线l：
，求证：
．
(2)在空间直角坐标系中，已知点O 为坐标原点，动点P 满足
，求动点P 围成的几何体的体积．
题型二 数列新定义问题
1．（2025 高三·全国·专题练习）罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有
关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于
年提出的．它的表达如下：如果函数
满足在闭区间
内连
续，在开区间
内可导，且
，那么在区间
内至少存在一点
，使得（
为
的导函数）．若函数
．
(1)证明：当
时，存在唯一
，使得
；
(2)当
时，
，求
的取值范围；
(3)若等比数列
满足
，
，
，记数列
的前
项和为
，试比较
与
的大小，并说明理由．
2．（2025·湖南岳阳·二模）中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并
发展了名为“垛积术”的算法，推导出了三角垛､方垛､刍甍多､刍童垛等的公式.我们把公差不为0 的等差
数列
称为“一阶等差数列”，若数列
是“一阶等差数列”，则称数列
是“二阶等
差数列”.定义：若数列
是“
阶等差数列”，则称原数列
为“
阶等差数列”.例如：数列
，它的后项与前项之差组成新数列
，新数列
是公差为1 的等差数列，则称数列
为二阶等差数列.
(1)若数列
满足
，且
，求证：数列
为二阶等差数列；
(2)若三阶等差数列
的前4 项依次为
，求
的前
项和
；
(3)若
阶等差数列
的通项公式为
.
①求
的值；
②求
的前
项和
.
3．（2024·广东肇庆·一模）对于一个给定的数列
，令
，则数列
称为数列
的一阶和
数列，再令
，则数列
是数列
的二阶和数列，以此类推，可得数列
的
阶和数列．
(1)若
的二阶和数列是等比数列，且
，
，
，
，求
；
(2)若
，求
的二阶和数列的前
项和；
(3)若
是首项为1 的等差数列，
是
的一阶和数列，且
，
，求正整数
的最大值，以及
取最大值时
的公差．
4．（24-25 高二下·安徽铜陵·阶段练习）对于数列
，若存在常数
满足
，则称
为“上界数
列”，
为
的“上界”，并把最小的
值叫做“上界临界值”，记为
．记数列
的前
项
和为
，已知
，
．
(1)判断
是否为“上界数列”，并说明理由；
(2)若
，
为数列
的前
项和，求数列
的“上界临界值”
；
(3)若
，数列
的“上界临界值”为
，证明：
．
5．（2025·河南开封·二模）设
为不小于3 的正整数，项数为
的数列
是公差大于0 的等差数列，
若存在项数为
的数列
同时满足：
①数列
中任意两项均不相同；
②任意正整数
，
从小到大排列恰好为数列
．
此时称数列
是
-可拆分等差数列．
(1)写出一个3-可拆分等差数列
及其对应的一个数列
；
(2)若数列
是一个4-可拆分等差数列，
表示事件“数列
的前三项成等差数列”，求事件
发生的
概率
；
(3)求所有满足数列
是
-可拆分等差数列的正整数
的值．
6．（2025·陕西汉中·二模）对于数列
，记区间
内偶数的个数为
，则称数列
为
的偶数
列．
(1)若数列
为数列
的偶数列，求
．
(2)若数列
为数列
的偶数列，证明：数列
为等比数列．
(3)在（2）的前提下，若数列
为等差数列
的偶数列，
，求数列
的前
项和
．
6．（24-25 高二下·四川绵阳·阶段练习）已知数列
的前n 项和为
，若对
，有且仅有一个
，使得
，则称
为“K 数列”.记
，
，称数列
为数列
的
“配对数列”.
(1)若数列
的前四项依次为1，2，0，2，试判断数列
是否为“K 数列”，并说明理由；
(2)若
，证明数列
为“K 数列”，并求它的“配对数列”的通项公式；
(3)已知正项数列
为“K 数列”，且数列
的“配对数列”为等差数列，证明：
.
题型三 导数新定义问题
1．（2025·河南新乡·二模）曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量，对于平面曲线
，其曲
率
（
是
的导数，
是
的导数），曲率半径
是曲率
的倒数，其表示与曲线在某点
处具有相同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率沿曲率半径为
的曲线作曲线运动时，向心加速度的
大小为
.若该质点以恒定速率
沿形状满足
的光滑轨道运动，则其在点
处的向心加速度
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·湖北武汉·一模）已知函数
的导函数为
，若
在区间
上单调递增，则称
为
区间
上的凹函数；若
在区间
上单调递减，则称
为区间
上的凸函数.已知函数
.
(1)若
在
上为凹函数，求实数
的取值范围；
(2)已知
，且
在
上存在零点，求实数
的取值范围.
3．（24-25 高二下·贵州六盘水·阶段练习）定义：若函数
与
在公共定义域内存在
，使得
，则称
与
为“契合函数”，
为“契合点”．
(1)若函数
和
为“契合函数”，求
的取值范围．
(2)已知函数
和
为“契合函数”且有两个“契合点”
．
①求
的取值范围；
②若
，证明：
．
4．（24-25 高二下·湖北·阶段练习）意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然
下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、
双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数
的图象，现定
义双曲正弦函数
，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知
）
(1)证明：①倍元关系：
；②平方关系：
(2)对任意
，恒有
成立，求实数a 的取值范围；
(3)证明：
．
5．（2025·贵州安顺·模拟预测）有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认
知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线
弯曲度．曲线的曲率定义如下：记
为
的导函数，
为
的导函数，则曲
线
在点
处的曲率为
．
(1)已知函数
，求曲线
在点
处的曲率
；
(2)已知函数
，求曲线
的曲率
的范围．
6．（24-25 高三上·江苏扬州·阶段练习）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线
的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线
：
上的曲线段
，其弧长为
，当动点从
沿曲线段
运动到
点时，
点的切线
也随着转动到
点的切线
，记这两条切线之间的夹角为
（它等于
的倾斜角与
的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，
弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义
为曲线段
的平均曲率；显然当
越接近
，即
越
小，
就越能精确刻画曲线
在点
处的弯曲程度，因此定义
（若极限存在）为
曲线
在点
处的曲率.（其中
，
分别表示
在点
处的一阶、二阶导数）
(1)求单位圆上圆心角为
的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆
在
处的曲率；
(3)定义
为曲线
的“柯西曲率”.已知在曲线
上存在两点
和
，若
且
处的“柯西曲率”相同，求
的最小值.
题型四 圆锥曲线新定义问题
1．（2025·辽宁·二模）我们规定：在四面体
中，取其异面的两条棱的中点连线称为
的一
条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”，如左图.
如右图，在空间直角坐标系中，
平面内有椭圆
，
为其下焦点，经过
的直线
与
交于
两点，
为
平面下方一点，若
为垂棱四面体，则其外接球表面积是
的函数
.
（1）
的定义域是 ；（2）
的最小值是 .
2．（2025·河北沧州·一模）（多选）在平面直角坐标系中，若
，
，则称“
”为M，N 两点的“曼哈顿距离”，若动点E 到两定点
，
的“曼
哈顿距离”之和为定值
，则称点E 的轨迹为“曼哈顿椭圆”，若点P 为该“曼哈顿椭圆”上一点，
则（ ）
A．
的周长为
B．
面积的最大值为
C．该“曼哈顿椭圆”的面积为
D．该“曼哈顿椭圆”的周长为
3．（2025·江西九江·二模）在平面直角坐标系
中，把一个图形绕定点
旋转一个定角
的图形变换叫
作旋转变换.定点
叫作旋转中心，定角
叫作旋转角（规定逆时针方向为正）.如果图形上的点
经
过旋转变为点
，那么这两个点叫作这个旋转变换的对应点.现将曲线
绕
顺时针旋
转
后，得到新曲线
，其变换关系为
，点
在曲线
上.
(1)求曲线
的方程并确定点
的位置；
(2)点
的坐标为
，按照如下方式依次构造点
：过点
作斜率为2 的直线交
于另一点
，设
是点
关于
轴的对称点.记
的坐标为
.
（i）求数列
的前
项和
；
（ii）记
为直线
与直线
的交点，
为直线
与直线
的交点，
为直线
与直线
的交点，证明：
在定直线上.
4．（2025·江西萍乡·一模）如图所示，由椭圆
（
）和抛物线
（
）
组合成曲线
，若
与
存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲
线
为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭
圆”.
(1)求“等差椭圆”的离心率；
(2)在“七星瓢虫曲线”
中，若
是“等差椭圆”，且
.
（ⅰ）求与
和
都相切的直线的方程；
（ⅱ）直线
（
），且l 与
相交所得弦的中点为M，与
相交所得弦的中点为N，证明：
直线OM，ON（O 为原点）的斜率之积
为定值.
5．（2025 高三·全国·专题练习）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，抛物线
以坐标原点
为顶点，
为焦点，
的一个公共点为
．若
，则称
为“
－相伴”．
(1)若
为“
－相伴”，求直线
的斜率．
(2)若
为“
－相伴”．
（ⅰ）求
的取值范围；
（ⅱ）若
，
，
的方程为
，直线
与
交于点
，判断是否存在定点
，使得直线
与
的倾斜角互补，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
6．（2025·黑龙江·一模）在平面直角坐标系
中，若圆
与抛物线
有公共点
，且圆
与抛物线
在点
处有相同的切线，则称
为抛物线
的和谐数，圆
为
的和谐圆.
(1)试判断3 是否为抛物线
的和谐数.若是，求出3 的和谐圆；否则，请说明理由.
(2)设
，
，…，
均为抛物线
的和谐数，且
，记
，
，…，
的和谐圆分别
为圆
，
，…，
，设圆
，
，…，
与抛物线
的公共点分别为
，
，…，
，已知
，
且
，圆
与
外切.
（ⅰ）求数列
的通项公式；
（ⅱ）设点
，记
的面积为
，证明：
.
7．（24-25 高二上·浙江绍兴·期末）曲线
的方程
中，用
替换
，
替换
得到
曲线
的方程
，把这种
的变换称为“伸缩变换”，
，
分别称为
轴和
轴的伸缩比.
(1)若曲线
的方程为
，伸缩比
，求
经过“伸缩变换”后所得到曲线
的标准方程；
(2)若曲线
的方程为
，经过“伸缩变换”后所得到曲线
是离心率为
的椭圆，求
的值；
(3)对抛物线
作变换
，得抛物线
；对抛物线
作变
换
，得抛物线
，如此进行下去，对抛物线
作变换
，得抛物线
，若
，记数列
的前
项和为
，
求证：
.
8．（2025 高三·全国·专题练习）定义：对于椭圆
上不同的两点
，
，
若向量
，
满足
，则称点
为该椭圆的一个“ 类共轭点对”，点
为一对类互为共轭点．已知
为坐标原点，点
，
是焦距为4 的椭圆
的一个“0 类共轭点对”，且
．
(1)求椭圆
的标准方程．
(2)已知点
是椭圆
上的一个动点，点
是
上不同的两点，且都与点
是一对
类互为共轭
点，点
关于
轴的对称点为
，若直线
的斜率都存在，设直线
的斜率分别为
，试探
究
是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
