中考数学考前重点题型归纳
内容导览
题型01 科学记数法
题型02 轴对称、中心对称图形、视图
题型03 整式运算的正误
题型04 平行线中求角
题型05 函数图象共存问题
题型06 函数图象与几何图形综合
题型07 三角形中的计算
题型08 特殊的平行四边形中的计算
题型09 圆中的计算
题型10 实数的运算
题型11 分式的化简求值
题型12 方程、不等式组的解法
题型13 用列表法或树状图求概率
题型14 统计的综合问题
题型15 尺规作图与无刻度作图
题型16 一次函数与反比例函数的综合
题型17 二次函数的综合
题型18 利用函数解决实际问题
题型19 用锐角三角函数解决测高问题
题型20 圆中的证明与计算
题型21 特殊的平行四边形中的证明与计算
题型22 项目式学习问题
题型23 几何与函数新定义型问题
题型归纳
(每个题型5 道题左右)
题型01 科学记数法
1．（2026·山东青岛·一模）中央广播电视总台《2026 年春节联欢晚会》海内外多项传播数据刷新纪录．截
至2 月17 日8 时，春晚境内全媒体总触达230.63亿次，将23063000000 用科学记数法表示应为（ ）
A．230.63 10
´
B．
9
23063 10
´
C．
10
2.3063 10
´
D．
10
0.23063 10
´
2．（2026·广西玉林·一模）2026 年国务院政府工作报告提出民生保障相关目标，其中全国城镇新增就业预
期目标为12000000 人以上，全力保障民生就业大局稳定．数据12000000 用科学记数法表示为（ ）
A．
6
12 10
´
B．
7
1.2 10
´
C．
6
1.2 10
´
D．
8
0.12 10
´
3．（2026·安徽马鞍山·一模）据安徽省汽车办消息，2025 年上半年，安徽汽车产量达149.95万辆，位居全
国第一．数据149.95万用科学记数法表示为（ ）
A．
5
149.95 10
´
B．
5
1.4995 10
´
C．
6
1.4995 10
´
D．
7
1.4995 10
´
4．（2026·四川成都·一模）国家统计局2026 年1 月19 日发布数据．初步核算，2025 全年国内生产总值1401879
亿元，按不变价格计算，比上年增长5.0%．经济社会发展主要目标任务圆满实现，“十四五”胜利收官．“十
四五”时期，中国经济总量先后突破110 万亿元、120 万亿元、130 万亿元、140 万亿元，实现“四连跳”．将
数据1400000 亿用科学记数法表示为（ ）
A．
12
140 10
´
B．
13
14 10
´
C．
14
1.4 10
´
D．
15
1.4 10
´
5．（2026·山东聊城·一模）2026 年央视春晚舞台上，人形机器人“组团炫技”，成为全网热议的“顶流”．工
业和信息化部部长李乐成介绍，2025 年我国人工智能核心产业规模超过了1.2 万亿元，企业数量超过6200
家．1.2万亿用科学记数法表示为（ ）
A．
8
1.2 10
´
B．
10
1.2 10
´
C．
12
1.2 10
´
D．
13
1.2 10
´
题型02 轴对称、中心对称图形、视图
6．（2026·山西运城·一模）数学世界中有许多美妙的几何图形等待着你去发现，下列四个几何图形中，既
是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·广东佛山·一模）根据中国汽车工业协会最新发布数据显示，我国新能源汽车产业在2025 年继续
保持强劲增长态势，全年产销双双突破1600 万辆大关，连续第11 年稳居全球首位．下列新能源汽车的车
标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·贵州遵义·一模）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2026·安徽合肥·一模）合肥渡江战役纪念馆，主体建筑如两艘并行的巨型战舰，直指长江方向；馆身
与地面呈49°角上扬，明确象征1949年渡江战役胜利，寓意“中国号”巨轮乘风破浪、扬帆起航．其中一艘战
舰简化几何体如图所示，其俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）下图为2026 年米兰冬奥会颁奖现场领奖台的示意图，则此领奖台的主
视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 整式运算的正误
11．（2026·四川成都·一模）下列计算正确的是（ ）
A．3
3
9
x
y
xy
+
=
B．
4
4
8
xy
xy
=
C．
2
2
2
(
)
x
y
x
y
-
=
-
D．
2
2
(
2 )(
2 )
4
x
y x
y
x
y
-
+
=
-
12．（2026·山东聊城·一模）下列运算结果正确的是（ ）
A．
2
2
4
2
m
m
m
+
=
B．
2
3
5
a
a
a
×
=
C．
2
3
6
(
)
mn
mn
-
-
=
D．
0
( 20)
1
-
= -
13．（2026·广东江门·一模）下列计算正确的是（ ）
A．
2
2
2
x
y
x
y
-
=
-
B．
m
n
m n
x
x
x
-
×
=
C．
3
3
2
6
m
m
x
x
-
-
-
=
D．
2
4
2
2
+
=
+
14．（2026·湖南长沙·二模）下列计算正确的是（ ）
A．
2
3
5
+
=
B．
3
3
a
a
a
¸
=
C．
2
3
6
a
a
-
=
D．
2
3
6
a
a
a
×
=
15．（2026·江苏徐州·一模）下列运算正确的是（ ）
A．
3
2
5
a
a
=
B．
2
3
5
a
a
a
-
×
=
C．
6
3
2
a
a
a
¸
=
D．
2
2
2
2
ab
a b
=
题型04 平行线中求角
16．（2026·四川南充·一模）如图，直线m
n
∥，点A、B 分别在直线n、m 上，连接AB ，过点A 作
AC
AB
^
，交直线m 于C ．若
2
50
Ð =
°，则
1
Ð 的度数是（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
17．（2026·甘肃平凉·一模）如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章ABCDE 上，若直尺的下沿MN
DE
^
于
点O，且经过点B，上沿PQ经过点E，且与AB 相交于点F，则
AFE
Ð
的度数为（ ）
A．45°
B．54°
C．60°
D．72°
18．（2026·山东东营·一模）2026 年米兰冬季奥林匹克运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，已知
滑雪杖AB 和滑雪板DE 平行，滑雪杖AB 与大腿BC 的夹角为30°，小腿CE 与滑雪板DE 的夹角为80° ，则
大腿与小腿的夹角
C
Ð
的度数为（）
A．80°
B．90°
C．100°
D．110°
19．（2026·山西吕梁·一模）图1 是2026 年米兰—科尔蒂纳冬奥会会徽，主体是一笔连贯线条勾勒出的数
字“26”，图2 是其示意图，其中BC
ED
FG
∥
∥
，且FD
FG
=
，若
36
BCD
Ð
=
°，则
G
Ð
的度数为（ ）
A．36°
B．54°
C．60°
D．72°
20．（2026·山西晋中·一模）折叠电动车是一种超轻便的电动车，其体积小、节能环保、可伸缩折叠、精巧
的设计，可快速拆装，制作材料采用镁合金等特殊轻材质制成，分量极轻．图1 为折叠电动车实物图，图2
为示意图，AB 、CD 为支架，
1
O 、
2
O 为车轮，点
2
O 、B 、E 共线．已知，CD
BE
∥
，
1
135
OAC
Ð
=
°，
50
ADC
Ð
=
° ，则
2
ABO
Ð
度数是（ ）
A．85°
B．92°
C．95°
D．105°
题型05 函数图象共存问题
21．（2026·广西梧州·模拟预测）若
0
ab <
，则正比例函数y
ax
=
与反比例函数
b
y
x
=
在同一坐标系中的大致
图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（2026·安徽·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，反比例函数
0
k
y
k
x
=
¹
与二次函数
2
0
y
ax
bx a
=
+
¹
的图象如图，则一次函数y
abx
k
=
+
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（2026·广东东莞·模拟预测）二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
¹
的图像如图所示，则一次函数y
ax
b
=
+
与
反比例函数
c
y
x
=
在同一直角坐标系内的大致图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（2026·安徽合肥·一模）在同一平面直角坐标系中，函数
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
¹
的图象大致如图所示，
则函数
0
y
ax
b a
=
+
¹
和
0
c
y
c
x
-
=
¹
的大致图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
25．（2026·安徽蚌埠·一模）一次函数
3
y
kx
=
+ 与反比例函数
0)
m
y
x
x
=
>
的图象如图所示，则二次函数
2
y
kx
k
m x
n
=
+
-
-
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型06 函数图象与几何图形综合
26．（2026·甘肃陇南·一模）如图1，在菱形ABCD 中，
60
ABC
Ð
=
° ，连接BD ，点M 从点B 出发，沿BD
方向以
3cm/s 的速度运动至点D ，同时点N 从点B 出发，沿B
C
D
®
®
方向以2cm/s的速度运动至点
D ．设运动的时间为s,
x
BMN
V
的面积为
2
cm
y
．已知y 与x 之间的函数图象如图2 所示，则a 的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
27．（2026·安徽合肥·一模）如图1，在等腰Rt
ABC
△
中，
90
ABC
Ð
=
°，动点D 从点A 开始沿AB 边以每
秒1 个单位长度的速度运动到点B，同时，动点E 从点B 开始沿BC 边以相同速度运动到点C，连接DE ，
点F 为DE 中点．设时间为s
t
，
2
DE 为y，y 关于t 的函数图象如图2 所示，下列结论不正确的是（ ）
A．
4
AB =
B．连接BF ，BF 有最小值为2
C．若点M 是边AC 的中点，则MF 的最小值为1
D．连接AF
CF
，
，则AF
CF
+
的最小值为2 10
28．（2026·天津河东·一模）平行四边形ABCD 中，
60
A
Ð
=
°，
6
AB =
，
4
=
AD
．动点P 从点A 出发，以每
秒2 个单位长度的速度沿边AB 、边BC 向终点C 运动；动点Q 从点C 同时出发，以每秒1 个单位长度的速
度沿边CD 向终点D 运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t
秒．当
1
t = 时，点P ，Q 的位置如图所示．
有下列结论：
①当
2
t =
时，
4
PQ =
；
②当0
4
t
£ £
时，
APQ
△
的最大面积为6 3 ；
③存在两个t 的值，使得
APQ
△
的面积为5 3 ．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
29．（2026·天津南开·一模）四边形ABCD 中，AD
BC
∥
，
90
B
Ð
=
°，
4cm
AB =
，
5cm
AD =
，
8cm
BC =
．动点M 从点C 出发，以1cm/s 的速度沿边CB 运动，过点M 作边BC 的垂线交四边形的边于点
N；同时动点P 从点B 出发，以3cm/s 的速度沿边BA ，边AD 运动．规定点N 与P 相遇时，停止运动．连
接PM ，PN ．设运动的时间为st ．当
1s
t =
时，点M，N，P 的位置如图所示．有下列结论：
①
1s
t =
时，MC
AP
=
；
②当
2s
t =
时，PMN
V
的面积为
2
16 cm
3
；
③当1
2
t
< <
时，PMN
V
的最大面积为
2
5cm ．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
30．（2026·北京·一模）已知：如图，在平面直角坐标系中，有菱形OABC ，点A 的坐标为
10,0 ，对角线
OABC 相交于点D，双曲线
0
k
y
x
x
=
>
经过点D，交BC 的延长线于点E，且
160
OB AC
×
=
，有下列四个结
论：
①双曲线的解析式为
32
0
y
x
x
=
>
；
②点C 的坐标是
6,8 ；
③
4
sin
5
COA
Ð
=
；
④
6 5
AC
OB
+
=
．
其中正确的结论有（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②③④
题型07 三角形中的计算
31．（2026·陕西西安·二模）如图，在
ABC
V
中，
16
AB
AC
=
=
，点D 是BC 的中点，连接AD ，DE
AC
^
于点E，
30
ADE
Ð
=
°，连接BE ，则ABE
V
的周长为______．
32．（2026·吉林·一模）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
A
Ð
=
°，
30
B
Ð
=
° ，
4
AC =
，点D 在边AB 上，
2
AD =
，
动点E 在边AC 上．将
ADE
V
沿DE 折叠得到
FDE
V
，则点F 到BC 的最短距离为_____．
33．（2026·四川成都·一模）如图，在
ABC
V
中，
2
AC
AB
BC
=
=
，D 为BC 的中点，BE 平分
ABC
Ð
，交
AC ，AD 于点E，F，则EF
AC = _____________．
34．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，ABC
V
为等边三角形，点D 为直线BC 上一点，将射线DA 绕点D
逆时针旋转60°，交过点B 平行于AC 的直线于点E，若
2
AB =
，则线段DE 的最小值是________．
35．（2026·江苏徐州·一模）如图，在
ABC
V
中，
90
8
ABC
AB
BC
Ð
=
°
=
=
，
，P 是线段BC 外一动点，
6
BP =
，连接CP ，将线段CP 绕点P 逆时针旋转90°得到线段DP ，连接BD ，则BD 的长最大值为_______．
题型08 特殊的平行四边形中的计算
36．（2026·山东日照·模拟预测）如图，在矩形ABCD 中，
1
DC = ，
22.5
CAD
Ð
=
° ，P 为线段AD 上一个动
点，过P 作PG
AC
^
，垂足为G ，连接BP ，取BP 的中点E ，连接EG ，则线段EG 的最小值为______．
37．（2026·陕西西安·一模）如图正方形ABCD 中，E 为AD 边上任意一点（不与点A、D 重合），将CE 绕
点C 逆时针旋转90°至F，连接EF ，取EF 的中点P，若
2
BP =
，则AE 的长为______．
38．（2026·四川成都·二模）如图，将菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转到菱形AB C D
¢
¢
¢ 的位置，使点B¢落在BC
上，B C
¢ ¢与CD 交于点E，若
5
AB =
，
3
B B
¢
=
，则CE 的长为 _____________ ．
39．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形MNPQ 内正好放置一个立方体的表面展开图，正方形ABCD
是原立方体的一个面，点E ，F ，G 是原立方体的顶点，展开后点A ，E ，F ，G 均在矩形MNPQ 的边上，
若点C ，D ，Q 在同一直线上，则tan AEM
Ð
的值是______．
40．（2026·黑龙江·一模）为满足新能源汽车的充电需求，某停车场增设了充电站，建立如图所示的平面直
角坐标系，矩形POMN 是充电站的平面示意图，矩形
1
1
1
1
D
C
B
A
是第一个停车位，矩形
2
2
2
2
A B C D 是第二个停
车位……，所有车位长，宽相同，按图示并列划定．若
1
1
60
A B O
Ð
=
°，
1
B 点坐标为
3,0 ，
2
B 点坐标为
5,0 ，则
20
D 的坐标为______．
题型09 圆中的计算
41．（2026·山东聊城·一模）如图，在
ABC
V
中，AB
AC
=
，
O
e
是
ABC
V
的外接圆，D 为
AC 的中点，E
为BA 延长线上一点，若
111
DAE
Ð
=
°，则
ACD
Ð
=________．
42．（2026·湖南长沙·二模）如图，在
O
e
中，M 为直径AB 上一点，弦CD 经过点M ．若
60
DMB
Ð
=
° ，
1
AM = ，
5
BM =
，则弦CD 的长为___________．
43．（2026·山东日照·模拟预测）如图，AB 为
O
e
的弦，AC 为
O
e
的切线，OC 分别与AB ，
O
e
相交于
点D ，E ，且CA
CD
=
，
1
CE = ，
5
AC =
，求阴影部分的面积为______．
44．（2026·河南周口·一模）如图，在扇形AOB 中，已知
90
AOB
Ð
=
° ，
2
OA
OB
=
=
，正方形OECD 的顶
点D 、C 、E 分别在OA、
AB 、OB 上，把正方形OECD 的沿直线OB 向右平移，得到正方形GNMF ，其
中点D 的对应点F 恰好与C 重合，如图所示，则图中阴影部分的面积为___________．
45．（2026·河南周口·一模）定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”．如图，等边
ABC
V
的边长为a ，点D 在以C 为圆心，a 为半径的优弧上，若
ABD
△
为“反直角三角形”，则AD =___________．
题型10 实数的运算
46．（2026·江苏苏州·模拟预测）计算：1
2
2sin45
cos60
-
-
°+
°
47．（2026·湖南长沙·二模）计算：
1
0
1
12
2
3
2sin 60
3
-
æ
ö
-
-
+
-
°
ç
÷
è
ø
．
48．（2026·广东梅州·模拟预测）计算：
2026
1
1
1
3
2cos30
2
-
-
°
+
-
-
+ -
49．（2026·山东济南·一模）计算：
1
2
2026
1
1
2
5
tan 45
5
-
°
æ
ö
-
- -
+
-
+
ç
÷
è
ø
．
50．（2026·山东济南·一模）计算：
1
0
1
4
2cos45
π
2026
2
3
-
æ
ö
-
°+
-
+ -
+ ç
÷
è
ø
．
题型11 分式的化简求值
51．（2026·陕西西安·二模）先化简，再求值：
2
2
2
1
2
1
1
x
x
x
x
x
x
x
+
+
æ
ö
-
¸
ç
÷
-
-
è
ø
，其中
5
x = - ．
52．（2026·甘肃平凉·一模）先化简
2
2
2
1
3
1
4
2
x
x
x
x
-
+
æ
ö
¸
-
ç
÷
-
+
è
ø
，再从2
- ，1
- ，1，2 中选取一个合适的数作为x
的值代入求值．
53．（2026·重庆·一模）先化简，再求值：
2
2
2
1
2
2
1
2
1
3
3
x
x
x
x x
x
x
x
æ
ö
-
-
+
-
+
+
¸
+ -
ç
÷
-
-
è
ø
，其中
1
0
1
sin30
π
3
2
x
-
æ
ö
=
+ -
+
÷
è
°
-
ç
ø
．
54．（2026·山东东营·一模）计算、化简求值：
(1)计算：
1
0
1
π
3.14
2sin60
12
1
3 3
2026
-
æ
ö
+
-
-
° -
+
-
ç
÷
è
ø
；
(2)先化简，再求值：
2
4
5
1
1
1
1
a
a
a
a
a
a
-
æ
ö
æ
ö
+ -
¸
-
ç
÷
ç
÷
-
-
è
ø
è
ø ，其中
2
3
a =
+
．
55．（2026·山东菏泽·一模）计算
(1)计算：
1
0
1
3
25
2026
2cos30
2
-
æ
ö
- -
+
-
-
°
ç
÷
è
ø
(2)先化简，再求值：
2
2
1
4
4
1
1
1
x
x
x
x
-
+
æ
ö
-
¸
ç
÷
-
-
è
ø
，其中
tan 45
2
x =
°+
题型12 方程、不等式组的解法
56．（2026·浙江金华·一模）解方程组：
4
5
3
3
5
x
y
x
y
-
=
ì
í
-
=
î
57．（2026·陕西榆林·模拟预测）解方程：3
5
3
5
x
x
x
-
=
+
．
58．（2026·安徽六安·二模）解方程：
(1)
2
3
4
0
x
x
-
-
=
(2)
3
2
1
x
x
=
+
59．（2026·甘肃平凉·一模）解不等式组
3
2
4
1
2
1
3
x
x
x
x
ì -
-
³
ïí +
>
-
ïî
①
②
，并写出不等式组的非负整数解．
60．（2026·天津河北·一模）解不等式组
4
3
3 ,
1
1
1.
2
x
x
x
+
³
ìïí -
³ -
ïî
①
②，请结合解题过程，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得________；
(2)解不等式②，得________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为________．
题型13 用列表法或树状图求概率
61．（2026·陕西西安·二模）2026 年两会期间，航天科技工作者表示火箭重复使用技术将支撑航天产品化
发展．某校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动，
其中甲同学在这次航天知识科普竞赛活动中的成绩为A 等级，乙、丙、丁三名同学的成绩均为B 等级．
(1)若从甲、乙、丙、丁这四名同学中随机抽取1 人进行知识分享，则选中的同学成绩为A 等级的概率为
______；
(2)若从甲、乙、丙、丁这四名同学中随机抽取2 人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求
出选中的两名同学的成绩等级不同的概率．
62．（2026·江西上饶·二模）在学校组织的国学比赛中，小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选
手需在每个环节中抽取一道题目．
第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙；
第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读．
(1)“小明在第一环节抽到的题目是经典诵读”是 事件；（填“必然”“随机”或“不可能”）
(2)请用列表法或画树状图法，求小明参加总决赛所抽取题目都是成语题目（成语故事，成语接龙，成语听
写）的概率．
63．（2026·甘肃平凉·一模）中国象棋源于先秦时期的六博等游戏，历经演变，唐代牛僧孺加入“炮”使其接
近现代形制，至宋代完全定型，融合古代兵法智慧，传承至今．张彤和李颖利用象棋棋盘和棋子做游戏，
张彤将四枚棋子（除正面汉字不同外，其余均相同）反面朝上搅匀后放在棋盘上，其中有两个“马”、一个
“兵”、一个“士”．李颖随机从这四枚棋子中摸一枚棋子，记下正面汉字，不放回，张彤再随机从剩下的三枚
棋子中摸一枚棋子．
(1)李颖摸到的棋子正面上的汉字是“马”的概率为_____；
(2)游戏规定：若两人摸到的棋子中只要正面上的汉字有“士”，则李颖胜，否则，张彤胜．请用画树状图或
列表的方法判断这个游戏对双方是否公平．
64．（2026·陕西宝鸡·一模）中国画讲求“以形写神、形神兼备”的基本造型法则，其按题材可分为人物画、
山水画、花鸟画三大类（如图），爱好美术的晓伟同学计划从这三类中选择一类进行学习，他制作了两个
不透明的小盒子，在A 盒中放了3 个黄球和1 个红球，在B 盒中放了3 个红球和1 个黄球（这些球除颜色
不同外其他均相同），分别摇匀后，先从A 盒中随机摸出一个球，再从B 盒中随机摸出一个球．若摸出的
两个球均为黄球，则选择人物画进行学习；若摸出的两个球均为红球，则选择山水画进行学习；若摸出的
两个球颜色不同，则选择花鸟画进行学习．
(1)晓伟从A 盒中摸出的是黄球的概率为___________；
(2)请用列表或画树状图的方法求晓伟最终选择花鸟画进行学习的概率．
65．（2026·甘肃陇南·一模）数学活动小组在网上找到了四张图片（用A,B,C,D 分别表示燃放烟花、晾干衣
服、水果发霉、冰雪消融），有的是物理变化，有的是化学变化．他们设置了一次跨学科的游戏活动，制
作了如下四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，将四张卡片背面朝上．
(1)从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是物理变化的概率是____；
(2)从中随机抽取两张，利用画树状图或列表的方法求抽到的卡片内容都是物理变化的概率．
题型14 统计的综合问题
66．（2026·陕西榆林·模拟预测）为科学掌握校园餐饮节约情况，进一步推动“光盘行动”常态化开展，某校
从七、八年级各随机抽取20 名学生，对其午餐剩余饭菜重量（以下简称“餐余重量”，单位：克）的数据进
行整理、描述和分析，为后续开展针对性节约宣传提供依据．已知所有学生的餐余重量均不超过500 克（餐
余重量用x 表示，共分成五组：A．0
100
x
<
£
；B．100
200
x
<
£
；C．200
300
x
<
£
；D．300
400
x
<
£
；
E．400
500
x
£
£
），下面给出了部分信息：
七年级20 名学生的餐余重量数据：52，60，76，83，87，120，130，151，151，178，212，220，228，
255，260，274，320，350，375，418．
八年级20 名学生的餐余重量在B 组中的数据：120，123，144，153，172，180，198．
七、八年级20 名学生的餐余重量统计表
年级
平均数
中位数
众数
七
200
195
a
八
190
b
220
根据以上信息，解答下列问题：
(1)图表中的a = ，b = ，m = ；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生“光盘行动”落实得更好？并说明理由（写出一条
理由即可）；
(3)该校七、八年级共有980 名学生，请估计该校七、八年级餐余重量不超过100 克的学生共有多少人．
67．（2026·重庆·模拟预测）为了加强学生的传统文化和非遗保护意识，某校对学生进行传统文化知识测评，
从该校七年级、八年级两个年级各随机抽取20 名学生的测试成绩（满分为100 分）进行整理和分析，所有
学生的成绩均高于60 分（成绩得分用x 表示，共分成四组：A：60
70
x
<
£
，B：70
80
x
<
£
，C：
80
90
x
<
£
，D：90
100
x
<
£
，下面给出了部分信息：
七年级20 名学生的测试成绩是：61，63，65，68，72，73，76, 81, 85，86，88，88，88，89，92，94，
95，97，99，100；
八年级20 名学生的成绩在C 组中的数据是：81，83，85，88，89，90；
七年级、八年级抽取的学生测试成绩统计表
年级
平均数
众数
中位数
七年级
83
a
87
八年级
83
91
b
根据上述信息，解答下列问题：
(1)填空：a =______，b = ______，m = ______；
(2)请根据以上数据进行分析，该校七年级和八年级的学生中，哪个年级的学生掌握传统文化知识更好？并
说明理由；
(3)若该校七年级有学生400 名，八年级有学生500 名，请估计七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀
（90
100
x
<
£
）的学生总共有多少名？
68．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）2025 年，人工智能正深度融入各行各业，Deepseek 等AI模型备受瞩目，
相关技术突破与应用场景不断拓展，成为社会各界热议的焦点话题．目前人工智能市场分为A：学习辅助类
人工智能，B：娱乐互动类人工智能，C：生活服务类人工智能，D：创意设计类人工智能四大类型．为了
解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果
绘制成如下统计图（不完整）．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)此次共调查了________人，条形统计图中A 类所对应的人数为________；
(2)扇形统计图中A 类对应圆心角的度数为________；若将这些被调查者按照关注的类型按ABCD 进行排序，
试求这些学生关注类型的中位数在________类；
(3)若该学校共有学生2000 人，请根据本次调查结果，估计全校最关注“生活服务类人工智能（C 类）”的学
生约有多少人？
69．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）为增强学生的交通安全意识，某校开展了“交通安全知识竞赛”活动，并
从七年级和八年级中各随机抽取50 名学生的竞赛成绩进行数据整理，得到统计图表如下：
平均数
众数
中位数
方差
七年级
8.2
8
8
3.1
八年级
7.46
b
c
1.8084
根据以上信息解答问题：
(1)填空：表中的b = ___________，c = ___________；
(2)你认为___________年级的成绩更整齐，理由是___________；
(3)若规定7 分及以上为优秀，该校八年级共2000 名学生参加了此次竞赛，估计此次竞赛成绩优秀的学生人
数是多少？
70．（2026·四川德阳·一模）百度推出了“文心一言” AI 聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包” AI
聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别
随机抽取20 份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用x 表示，分为四个等级：（A：
60
70
x
<
£
，B：70
80
x
<
£
，C：80
90
x
<
£
，D：90
100
x
<
£
）．下面给出了部分信息，甲款评分数据：
64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．乙款评分数据
中C 组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．
甲、乙款评分统计表
设备
平均数
中位数
众数
甲
86
85.5
a
乙
86
b
87
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中a =____________，b = ____________．
(2)计算乙款聊天机器人的评分扇形统计图中D 组对应的圆心角；
(3) Deepseek （简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选
择其中一款进行体验测评，请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择
Deepseek 的概率．
题型15 尺规作图与无刻度作图
71．（2026·广西钦州·一模）如图，在正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，连接AE ．
(1)尺规作图：作
DCF
BAE
Ð
= Ð
，CF 交线段AD 于点F（要求保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)求证：
ABE
CDF
△
≌△
．
72．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在Rt ABC
V
中，
90
ACB
Ð
=
°，
4
AC =
，
3
BC = ，请用无刻度直尺
和圆规完成作图并解答．
(1)在AC 边上作点O ，使
O
e
经过点C ，且与AB 相切于点P （不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求线段AP 的长．
73．（2026·广西南宁·二模）如图，
ABCD
Y
的对角线
,
AC BD 相交于点O ，点E 是OD 的中点，连接CE ．
(1)尺规作图：作BO 的中点F ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接AF ，证明：AF
CE
=
．
74．（2026·宁夏银川·一模）如图，在平行四边形ABCD 中，AC
BC
^
，且AC
BC
=
，点E 为AB 的中点，
请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图1 中，作出DC 的中点F ；
(2)在图2 中，作一个以AB 为对角线的正方形；
(3)在图3 中，作一个以EC 为对角线的正方形．
75．（2026·广西桂林·一模）如图，
ABC
V
内接于
O
e
，BC 为
O
e
的直径，点D 是弧AC 的中点，连接
OD ，交AC 于点M ．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作直线DE ，使得
∥
DE
AC，且交BC 的延长线于点E （保留作图痕迹，不写作
法）；
(2)求证：DE 是
O
e
的切线；
(3)若
6
AB =
，
10
BC =
，求DE 的长．
题型16 一次函数与反比例函数的综合
76．（2026·河南开封·模拟预测）如图，正比例函数
1
2
y
x
=
的图象与反比例函数
k
y
x
=
0
0
k
x
¹ ，＞
的图象
相交于点
4
A a，，点P 为射线OA上位于点A 右侧的一点，且
2
OA
AP
=
，过点P 作PQ
x
^
轴，垂足为Q，
交反比例函数的图象于点M．
(1)求反比例函数
k
y
x
=
的解析式；
(2)求AP ，PM 的长．
77．（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A 在反比例函数
4 (
0)
y
x
x
=
<
的图象上，点B
在反比例函数
(
0,
0)
k
y
k
x
x
=
¹
<
的图象上，连接AB 交x 轴于点C，AB
y
∥
轴，点D 在x 轴正半轴上，
OC
OD
=
，连接
,
AD BD ，已知
ABD
△
的面积为12．
(1)求k 的值；
(2)若点
2,0
D
，在反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
<
的图象上是否存在点E 使得四边形ADBE 为平行四边形，若存
在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．
78．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，直线
1
1
y
k x
b
=
+
与双曲线
2
2
k
y
x
=
在第一象限内交于A
B
、两点，
已知
2,
A
n ，
3,2
B
．
(1)分别求出直线和双曲线的函数表达式；
(2)设点M 是线段AB 上的一个动点，过点M 作MC
x
^
轴于点C ，N 是y 轴上一点，当MNC
V
的面积最大
时，请求出此时M 点的坐标．
79．（2026·四川南充·一模）如图，直线
2
y
x
= - +
与双曲线
k
y
x
=
相交于
( 2,4)
A -
，B 两点，与y 轴交于点C ．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求点B 的坐标；
(3)若点D 与点C 关于x 轴对称，求
ABD
△
的面积．
80．（2026·河南周口·一模）如图，已知一次函数
2
10
y
x
=
+
与
1
5
2
y
x
= -
-
，它们的图象与x 轴分别交于
,
A B
两点，交点C 在反比例函数
0
k
y
x
x
=
<
的图象上，AD 是
ABC
V
的角平分线，与BC 交于点D ．
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)尺规作图：求作
ABD
△
的高线DE （保留作图痕迹，不写作法）；
(3)在（2）的条件下，连接CE ，求证：AD 垂直平分CE ．
题型17 二次函数的综合
81．（2026·山东日照·模拟预测）已知抛物线
2
4
4
0
y
mx
mx
m m
=
-
+
¹
．
(1)求该抛物线的顶点坐标；
(2)已知
1
3,
A
y
-
，
2
,
B s y
是该抛物线上的两个点，且
1
2
y
y
=
，求s的值：
(3)当2
3
x
- £
£
时，函数y 的最大值为32．
①求m 的值；
②若
1
,
M a y
，
2
,
(
0)
N a
t y
t
+
>
是该抛物线上两点且位于其对称轴的两侧，在点M 和点N 之间的抛物线
部分，最高点与最低点的纵坐标之差为2，求t 的取值范围．
82．（2026·天津河北·一模）已知抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ （a ，b ，c 为常数，
0
a >
），与y 轴交于点C ，点
D 为拋物线顶点，2
0
a
b
-
=
．
(1)若
2
b =
，
3
c = ，求抛物线顶点D 的坐标；
(2)若点
3,3
P
在抛物线上，过点
3,5
M
作x 轴的平行线交抛物线第一象限的部分于点H ，连接PH ，过点
2,3
N
作y 轴的平行线交抛物线于点I ，连接PN ．
①当
2
MP
NI
=
时，求点I 的坐标与拋物线的解析式；
②当15
7
7
NI
MH
-
=
时，求a 的值．
83．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
3
4 (
0)
y
ax
ax
a a
=
+
-
>
与x 轴交于
A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ．
(1)当
10
ABC
S
=
△
时，求抛物线的表达式；
(2)在（1）的条件下，若点D 位于直线AC 下方的抛物线上，线段BD 与AC 交于点E ，当DE
BE 最大时，求点
D 的坐标；
(3)点F 坐标为( 3, 3)
-
-
，点G 坐标为(0, 2)
-
，连接FG ，若抛物线
2
3
4
y
ax
ax
a
=
+
-
与线段FG 有交点，求a
的取值范围．
84．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与探究
如图①，在平面直角坐标系中，已知二次函数
2
y
x
bx
c
= -
+
+
的图象与x 轴交于点
1,0 ,
3,0
A
B
-
，与y 轴
交于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图②，连接BC ，过点C 作CD
BC
^
与抛物线相交于另一点D．
①求点D 的坐标；
②将直线CD 平移，若直线CD 与第一象限的抛物线和线段BC （不包括点B 和点C）分别交于点M，N，
在平移过程中，求出线段MN 长度的取值范围；
③如图③，E，F 为线段BC 上两个动点（点E 在点F 的右侧），且
2
EF =
，连接OF ，DE ，则OF
DE
+
的最小值是______．
85．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）抛物线
2
1
1
:
1
L
y
x
x
=
-
- 与抛物线
2
2
2
:
L
y
x
bx
c
= -
+
+
交于
1,
A
m
-
，
3,
B
n 两点．
(1)求抛物线
2
L 的解析式；
(2)如图，过点
,0 ( 1
3)
T t
t
- < <
作x 轴的垂线交抛物线
1L 于点D ，交抛物线
2
L 于点C ，交线段AB 于点E ．
①求证：CE
DE
=
②顺次连接AD ，DB ，BC ，CA ，四边形ADBC 的形状随着t 值的变化而变化，判定四边形ADBC 能否是
矩形，如果能是矩形，求出相应的t 值；如果不能是矩形，说明理由；
(3)已知y 是x 的函数，其图象记为L ，当
1
2
y
y
³
时，
1
y
y
=
；当
1
2
y
y
<
时，
2
y
y
=
．直线y
x
k
=
+
与图象L
有四个交点，自左向右依次标记为M ，N ，P ，Q ．
①直接写出图象L 的解析式，并指明自变量的取值范围；
②若
2
MQ
PN
=
，直接写出k 的值．
题型18 利用函数解决实际问题
86．（2026·四川成都·一模）爱媛46 号柑橘（又名“阿蜜达”）是近年引进的新品种，由“红美人”与“春见”杂
交育成．某农户种植了4 亩“阿蜜达”，去年处于盛果期，年产量平均2000kg /亩．为提高收益和风险可控，
采用电商零售和地头统货两种销售方式，且电商零售销量不超过地头统货销量的60% ．除去采果、运输等
成本，电商零售净收入平均12元/ kg ，地头统货净收入10元/ kg ．
(1)求销售总收入y（元）与地头统货销量x （kg ）之间的函数关系式；
(2)若人工、化肥等种植成本为7000 元/亩，求该农户去年种植“阿蜜达”的最大利润．
87．（2026·陕西榆林·模拟预测）为进一步提升公园景观设施安全性，优化通行体验，某公园拟对园内抛物
线形观景拱桥ACB 进行加固修缮．该拱桥的跨度
20m
AB =
，最高点C 到地面AB 的竖直距离为5m ．施工期
间搭建的“脚手架”可看成矩形EFGH （点H
G
，
分别在抛物线上，点E
F
，
分别在直线AB 上）．以AB 的中
点O 为原点，AB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．
(1)求拱桥所在抛物线的函数表达式；
(2)若“脚手架” EFGH 的三边所用钢材长度为18.4m （EF 是地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E 与
拱桥端点A 的距离AE ．
88．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）端午节是我国的传统节日，吃粽子是中华民族传统习俗．市场上每盒豆沙
粽的进价比海鲜粽的进价便宜10 元，某商家用8000 元购进的海鲜粽和用6000 元购进的豆沙粽盒数相
同．根据市场经验：当售价不高于50 元/盒时，每天销量稳定在100 盒；当售价高于50 元/盒时，售价每提
高1 元，每天少售2 盒．
(1)求海鲜粽和豆沙粽每盒的进价；
(2)若设海鲜粽每盒售价为x 元，每天销售海鲜粽的利润为y 元，求y 与x 之间的关系式；
(3)若海鲜粽每盒售价不得低于进价，且每天至少售出70 盒，求该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润及
此时的售价．
89．（2026·浙江湖州·模拟预测）为探究绕中心轴匀速转动时机械臂展开半径对转动速度的影响，某数学兴
趣小组开展了机械双臂旋转实验【机械臂档案】如图1，机械双臂质量均匀分布，对称展开可绕中心轴自
转．上臂AB ，下臂BC 长均为25cm ．双臂对称张开时，AC 始终保持水平，即AC
MN
P
．
【资料链接】该机械双臂近似满足：匀速绕轴旋转时的半径r 与转动速度v 的乘积为定值，即k
vr
=
，k 为
常数（图1 中，r 为最远点C 到中心轴的垂直距离，v 为最远点C 的旋转速度，中心轴粗细忽略不计）
【实验数据】经测试，机械臂的旋转半径r 与转动速度v 部分数据如下表：
旋转半径r（cm ）
30
40
50
转动速度v（
/ s
cm
）
200
150
120
(1)请根据以上信息，求k 的值（单位：
2 / s
cm
）．
(2)为确保测试实验不失控，机械臂的转动速度不能超过300
/ s
cm
，则旋转半径r 至少为多少cm ?
(3)某动作设计需要机械双臂的转动速度v 为160
/ s
cm
，工程师调整机械臂夹角，以改变旋转半径r．求满足
设计要求时，上臂与中心轴夹角
BAD
Ð
的正弦值．
90．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）篮球投篮抛物线运动分析综合实践活动表
活动主题
分析篮球投篮的抛物线运动轨迹，判断投篮是否命中篮筐
活动准备
1．查阅抛物线运动相关的数学知识；2 ．准备纸笔用于建立平面直角坐
标系并计算、
采集数据
右图为篮球投篮轨迹的平面示意图，信息
如下：
1．篮球出手点A 距地面高度为2m；
2 ．篮球运动到最高点E 时，距地面高度
为4.5m ，且水平距离出手点5m ；
3．篮筐中心距地面高度为3.05m ．
设计方案
考虑分析投篮轨迹的需要，确定原点，建
立平面直角坐标系．
确定思路
小组成员经过讨论，确定以小明出手点在
地面的垂直投影为原点O ，水平方向为x
轴，竖直方向为y 轴，建立平面直角坐标
系．顶点E 的坐标为
5,4.5 ，分析数据得
到点A 的坐标为
0,2 ，进而求出抛物线
的表达式，从而解决问题．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求篮球飞行的抛物线解析式（不写自变量取值范围）
(2)若篮筐中心与出手点的水平距离是9m ，判断此次投篮能否命中篮筐？
题型19 用锐角三角函数解决测高问题
91．（2026·湖南长沙·二模）2025 年8 月17 日，岳麓山顶的长沙广播电视发射塔（如图1）焕新升级后以“长
沙之眼”观景平台的新身份亮相，在“长沙之眼”里踱着步，转个圈，橘子洲、五一商圈、梅溪湖国际艺术中
心等长沙地标就尽收眼底．如图2．“长沙之眼”高度为AB ，从距离塔底A 点26 米的C 点出发，沿着一段坡
度为7 24
：的斜坡走50 米到达D 点，此时回头看塔顶B 点，仰角刚好是45o ，已知E 点在D 点的正下方，
A
C
E
，，
三点在同一水平线上．点A
B
，
，C
D
E
，，在同一平面内，请回答下列问题：
(1)求斜坡的高度DE ；
(2)求“长沙之眼”的高度AB ．
92．（2026·山东聊城·一模）聊城古城始建于宋熙宁三年，城墙历史悠久，北门（宣威门）为古城重要出入
口，建筑风格古朴典雅．某数学兴趣小组想用无人机测量聊城古城区北门城楼PQ的高度（PQ ^ 水平地
面）．
测量方案如下：先将无人机垂直上升至距水平地面30m 高的点A 处，在此处测得北门城楼顶端P 的俯角为
28°；再将无人机沿水平方向向城楼飞行6m 到达点B，此时测得城楼底端Q 的俯角为45°．若A，B，P，Q
在同一平面内，求北门城楼PQ的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin28
0.47
»
°
，cos28
0.88
»
°
，
tan28
0.53
° »
）
93．（2026·山西晋中·一模）城市雕塑能够折射出城市的历史底蕴、精神气质和文化内涵．图1 是某红色文
化主题公园内的雕塑，它能够提醒人们不忘初心和使命，砥砺前行；如图2 所示是其抽象成的示意图．四
边形ABCD 为雕塑侧面图，四边形EFNM 为石基底座，连接BD ，已知BD
EF
MN
∥
∥
，测得
45
BCE
Ð
=
°，
38
DCF
Ð
=
°，AD
CD
^
，BC 的长为4m ，AD 的长为1.2m ，石基底座的高为0.5m ．（结果精确到0.1m，
参考数据：sin52
0.79
° »
，cos52
0.62
° »
，tan52
1.28
° »
，
2
1.41
»
）
(1)求CD 的长；
(2)求点A 到地面MN 的距离．
94．（2026·重庆·模拟预测）端午安康，某古城文旅局举办“端午探宝”定向寻宝赛，以古城街巷为场地还原
古驿道寻宝路线：打卡点B 在打卡点A 的正南方向150米处：打卡点B 在打卡点C 的北偏西60°方向：打卡
点D 在打卡点C 的正东方，同时D 在A 的东南方向：打卡点E 在D 的正北方300米处，且恰好位于A 的北
偏东75°方向．（参考数据：
2
1.41
»
，3
1.73
»
，
6
2.45
»
）
(1)求打卡点B 、C 之间的距离；（结果保留整数）
(2)比赛中，小育从打卡点D 出发，沿线段DA 向A 匀速奔跑；小陶从打卡点E 出发，沿某方向匀速直线奔
跑．两人同时出发，小育与小陶的速度之比为4:3，并在线段DA 上某处相遇．当两人相遇时，小育跑了多
少米？（结果保留整数）
95．（2026·山东济南·一模）图1 是我国古代提水的器具桔槔（jiegao ）；创造于春秋时期．它选择大小两
根竹竿；大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物；前端连接小竹竿（小竹竿始终与
地面垂直）；小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力；从而提水出井．当
放松大竹竿时；小竹竿下降；水桶就会回到井里．如图2 是桔槔的示意图；大竹竿
4
AB =
米，O 为AB 的中
点，支架OD 垂直地面EF ，此时水桶在井里时，
120
AOD
Ð
=
°．
(1)如图2，求支点O 到小竹竿AC 的距离（结果精确到0.1 米）；
(2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB 旋转至
1
1
A B 的位置，小竹竿AC 至
1
1
AC 的位置；此时
1
144
AOD
Ð
=
° ；求点A 上升的高度（结果精确到0.1 米）．
（参考数据：tan
3
1.73,sin36
0.59,cos36
0.81,tan36
0.73
»
° »
° »
° »
）
题型20 圆中的证明与计算
96．（2026·安徽六安·一模）如图，已知
ABC
V
内接于
O
e
，AB 是
O
e
的直径，点D 为
BC 的中点，过点D
作DE
AC
^
，交AC 的延长线于点E ，连接BD ．
(1)求证：DE 是
O
e
的切线；
(2)若
10
AB =
，
6
BD =
，求AC 的长．
97．（2026·甘肃平凉·一模）如图，AB 是
O
e
的直径，点C 在
O
e
上，D 为
BC 的中点，连接AC ，BC ，
AD ，AD 与BC 相交于点H，过点D 作直线DG
BC
∥
，交AC 的延长线于点G．
(1)求证：DG 是
O
e
的切线．
(2)若
AC
BD
=
，
2
CG =
，求阴影部分的面积．
98．（2026·内蒙古通辽·一模）如图，
O
e
是
ADC
△
的外接圆，AB 为
O
e
的直径，DE
AC
∥
，连接OD ，
OC ，OC 的延长线交DE 于点E，OD 交AC 于点F，若
1
2
ACD
COD
Ð
=
Ð
．
(1)求证：DE 是
O
e
的切线；
(2)若
3
tan
4
ACD
Ð
=
，
6
AD =
．
①求
O
e
的半径；
②求CE 的长．
99．（2026·浙江湖州·模拟预测）如图，在
ABC
V
中，D 是边AB 上一点（不与点A，B 重合），
O
e
经过
点A，C，D．
(1)如图1，连接OC
OD
CD
，
，
，若
150
DOC
Ð
=
°，CD
CA
=
，
①求
ADO
Ð
的度数；
②若又满足tan
1
B = ，
2
OD =
，求AB 的长．
(2)如图2，过点D 作DE
BC
P
，交
O
e
于点E，连接OE ，若
2
ACB
AEO
Ð
= Ð
，求证：DE
AC
=
．
100．（2026·陕西西安·二模）探究圆与直角三角形结合的几何性质与动态路径的关系，并完成以下问题
(1)【问题提出】如图1，四边形ABCD 内接于
O
e
，
70
B
Ð
=
°，则
D
Ð
的度数为______°；
(2)【问题探究】如图2，在四边形ABCD 中，
90
BAD
Ð
=
° ，连接AC ，AC
BC
^
，过点C 作CE
CD
^
交AB
于点E，
9
BC =
，
12
AC
AE
=
=
，求AD 的长；
(3)【问题解决】如图3，
ABC
V
是某公园的一个三角形水池，现要对该水池进行重新规划与扩建，在AC 边
上修一个入水口M ，再修一个经过点B 、C 、M 的圆形水池
O
e
，MN 为
O
e
的直径，沿BM 、BN 和MN
架设木桥，在BMN
V
区域内种植荷花，已知
90
ABC
Ð
=
°，
20m
AB =
，
60m
BC =
，设AM 的长为
m
x
，BMN
V
区域的面积为
2
m
S
．（木桥的宽度及入水口的大小均忽略不计）
①求S 与x 之间的函数关系式；
②由于预算有限，要求BMN
V
区域的面积尽可能的小，求种植荷花面积的最小值（即BMN
V
面积S 的最小
值）．
题型21 特殊的平行四边形中的证明与计算
101．（2026·四川成都·一模）在平行四边形ABCD 中，
BAD
a
Ð
=
，点E 为直线AD 上一点，将ABE
V
沿直
线BE 翻折得到FBE
V
．
(1)如图1，当
90
a =
°时，点F 恰好落在四边形ABCD 的对角线BD 上，连接AF ，求证：AF DE
BE DF
×
=
×
；
(2)如图2，当
90
a =
°，
12
13
BC
AB
=
时，点F 恰好落在边CD 上，连接CE ，与BF 交于点G ，求FG
BG 的值；
(3)如图3，当sin
0.6
a =
，
8
AB =
，
5
BC =
时，在翻折过程中，请探究C ，D ，F 三点能否构成直角三角形，
若能，请直接写出AE 的值，若不能，请说明理由．
102．（2026·山东青岛·一模）在解决几何问题中，通常我们可以利用平移变换来解决图形中边与角的相关
问题．
(1)【问题情境】如图1，在正方形ABCD 中，E ，F ，G 分别是边BC ，AB ，CD 上的点，FG
AE
^
于点
Q ．判断线段AE ，FG 的数量关系____________；
(2)【尝试应用】如图2 ，在正方形网格中，点A ，B ，C ，D 为格点，AB 交CD 于点O ，则tan
AOC
Ð
=
____________；
(3)【拓展提升】如图3，点P 是线段AB 上的动点，分别以AP ，BP 为边在AB 的同侧作正方形APCD 与正
方形PBEF ，连接DE ，分别交线段BC ，PC 于点M ，N ．则sin
DMC
Ð
= ____________．
103．（2026·江苏无锡·一模）如图1，在矩形ABCD 中，点E，F 分别在边AD ，BC 上，将矩形ABCD 沿EF
折叠，使点A 的对应点P 落在边CD 上，点B 的对应点为点G，PG 交BC 于点H．
(1)如图2，当P 为CD 的中点，
2
AB =
，
3
AD =
时．
①PE 长度为_______；
②求GH 的长；
(2)如图3，连接BG ，当P，H 分别为CD ，BC 的中点时，设BG 为y，AB 为x ，求y 与x 的函数关系．
104．（2026·山西晋中·一模）综合与探究：
【问题情境】如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ．将
BCD
△
绕点B 按逆时针方向旋
转得到
BC D
¢ ¢
△
，C ，D 两点旋转后的对应点分别为C¢ ，D¢，旋转角为
0
180
a
a
<
<
° ．
(1)【操作验证】如图1，当点D¢落在对角线AC 上时，连接DD¢，求证：DBD¢
V
是等边三角形．
(2)【猜想探究】如图2，在旋转过程中，C D
BD
¢ ¢∥
时，C D
¢
¢交AD 于点E ，试判断四边形BDED¢的形状，
并说明理由．
(3)【拓展延伸】如图3，在旋转过程中，当BC¢ 与AB 重合时，连接CD¢．若
3
AB = ，
2
BD = ，请你直接写
出线段CD¢的长．
105．（2026·广东汕头·一模）【图形感知】
如图1，在四边形ABCD 中，已知
90
BAD
ABC
BDC
Ð
°
= Ð
= Ð
=
，
2
AD =
，
4
AB =
．
(1)求CD 的长；
【探究发现】
老师指导同学们对图1 所示的纸片进行了折叠探究．
在线段CD 上取一点E ，连接BE ．将四边形ABED 沿BE 翻折得到四边形A BED
¢
¢，其中A¢，D¢分别是A，D
的对应点．
(2)其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
①甲：点D¢恰好落在边BC 上，延长A D
¢ ¢交CD 于点F ，如图2．判断四边形DBA F
¢
的形状，并说明理由；
②乙：点A¢恰好落在边BC 上，如图3．求DE 的长；
(3)如图4，连接DD¢交BE 于点P，连接CP ．当点E 在线段CD 上运动时，线段CP 是否存在最小值？若存
在，直接写出；若不存在，说明理由．
题型22 项目式学习问题
106．（2025·山西·中考真题）项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两
栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综
合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．
项
目
主
题
景物的测量与计算
驱
动
问
题
如何测量内栏墙围成泉池的直径
活
动
内
容
利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
活
动
过
方
案
说
图1为该景，点俯视图的示意图，点A ，D 是正八边形中一组平行边的中点，BC 为圆的直
径图中点A
B
C
D
、、、
在同一条直线上．
图2 为测量方案示意图，直径BC 所在水平直线与外栏墙分别交于，点E ，F ，外栏墙AE
明
与DF 均与水平地面垂直，且AE
DF
=
．BE ，CF 均表示步道的宽，BE
CF
=
．图中各点都
在同一竖直平面内．
数
据
测
量
在点A 处测得，点B 和点C 的俯角分别为
37
DAB
Ð
=
° ，
8.5
DAC
Ð
=
° ，
26
AD =
米．图中墙
的厚度均忽略不计
程
计
算
……
交
流
展
示
……
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC 的长（结果精确到1米．参考数据：
sin8.5
0.15
° »
，cos8.5
0.99
° »
，tan8.5
0.15
° »
，sin37
0.60
° »
，cos37
0.80
° »
，tan37
0.75
° »
）．
107．（2026·湖南株洲·一模）某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目式学习活动，
如表是活动的设计方案．请你参与该项目式学习活动，并完成下列问题：
项目主题
桥梁模型的承重试验
活动目标
经历项目化学习的全过程，引导学生在实际情境中发现问题，
并将其转化为合理的数学问题
驱动问题
当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度
方案设计
工具
状态一
状态二
（空水桶）
（水桶内加一定量的水）
示意图
说明：C 为AB 的中点
(1)当水桶为空水桶状态时，桥梁没有发生形变，如图1（A 、C 、B 在同一条直线上），已知两课桌之间的
距离
60 3cm
AB =
，
120
ADB
Ð
=
° ，求吊绳CD 的长．
(2)移动课桌，并在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2 所示的形变，若其他因素忽略不计，测得
12
C AC
Ð ¢
=
° ，
45
C AD
Ð ¢
=
°，请计算此时水桶下降的高度CC¢ （参考数据：sin12
0.2
° »
，cos12
1.0
° »
，
tan12
0.2
° »
）．
108．（2025·山西大同·二模）项目化学习
【项目主题】研究击球运动
【项目背景】甲、乙、丙、丁四个学习小组开展实践活动，探究击球运动中蕴含的数学知识，并运用所学
知识解决相关问题．
【项目素材】
素材一：甲小组调试击球机器，保证每一次的击球方式相同，球在空中的飞行路线是相同的抛物线．
素材二：乙小组用监测仪器测得球的飞行高度h （米）与水平距离x （米）的部分数据如下：
水平距离
x /米
0
6
18
30
36
飞行高度
h /米
0
9
21
25
24
素材三：丙小组用监测仪器测得球的水平距离x （米）与飞行时间t （秒）的部分数据如下：
飞行时间
t /秒
0
1
1.5
2
2.5
水平距离
x /米
0
15
22.5
30
37.5
素材四：如图，丁小组在草坪边山坡上的点C 处放置一个球框，并测得山坡BC 的坡角
37 ,
24
CBB
AB
Ð
=
°
=
¢
米，
30
BC =
米．（参考数据：
3
3
4
tan37
sin37
cos37
4
5
5
° »
° »
° »
，
，
）
【解决问题】
(1)求h 与x 之间的函数关系式．
(2)当球的飞行时间为16
5 秒时，求球的飞行高度．
(3)若在点A 处击球，球能否落在点C 处的球筐中？请说明理由．
109．（2026·江苏南京·模拟预测）【项目式学习】
项目主题：车轮的形状
项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮
制作成圆形的相关原理．
【合作探究】
(1)探究A 组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变．另外圆形车轮在
滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为4cm ，其车轮最高点到地面的距离
始终为______cm ；
(2)探究B 组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为O ，若
正方形的边长为6cm，车轮轴心O 距离地面的最高点与最低点的高度差为______cm ；
(3)探究C 组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为6cm，车轮轴心为O （三边垂直平分线的交点），车
轮在地面上无滑动地滚动一周，求点O 经过的路径长．
探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．
【拓展延伸】
如图4，分别以正三角形的三个顶点A ，B ，C 为圆心，以正三角形的边长为半径作60°圆弧，这样形成的
曲线图形叫做“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够
保持平衡，但其车轴中心并不稳定．
(4)探究D 组：使“莱洛三角形”以图4 为初始位置沿水平方向向右滚动．在滚动过程中，其“最高点”和“车轮
轴心O ”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心O ”所形成的
图形按上、下放置，应大致为______．
A．
B．
C．
D．
(5)已知M 、N 分别是
AB 、
AC 上的两个动点：点M 沿
AB 从点A 运动到点B ，点N 沿
CA 从点C 运动到点
A ，它们同时出发且速度相同，连接MN ．请简要说明此时线段MN 的中点F 的运动轨迹．
110．（2025·山西·一模）项目式学习
项目主题：无人机喷洒农药研究．
项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的
安全性．
驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济．
建立模型：如图1 是无人机的示意图，其中点O 为无人机的摄像头，A
B
，
是喷药口，A ，B
O
，
在同一条
水平直线上，
60 cm
AB =
．如图2，以无人机摄像头所在位置O 为坐标原点，竖直方向为y 轴，以AB 所在
直线为x 轴，建立平面直角坐标系．喷药口点A 和点B 到点O 的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方
向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y 轴的交点为
300 cm
C
OC =
，
．
（1）试确定点A 所在抛物线的函数表达式．
问题解决：
（2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为300 cm ，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到
图3 位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为EF 的区域，且
30 cm
EF =
，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒
农药，求无人机应该下降的高度．
（3）如图4，在直线AB 上再增加2 个喷药口M 和N ，M 在A 左侧，N 在B 右侧，且MA = AB
BN
=
，当
无人机上升到距地面的高度为480 cm 时，直接写出此时喷洒农药覆盖区域宽度PQ的长．
题型23 几何与函数新定义型问题
111．（2026·河南开封·模拟预测）定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，
叫作菱形的“和谐线”．如图1，在菱形ABCD 中，P 是CD 的中点，连接AP ，BP ，则折线APB 叫作菱形ABCD
的“和谐线”，折线APB 的长叫作“和谐线”的长．已知在菱形ABCD 中，AB
a
=
，P 是CD 的中点，连接AP ，
BP ．
(1)如图1，若
6
a =
，
60
C
Ð
=
°，求“和谐线” APB 的长；
(2)如图2，若
APB
C
Ð
= Ð
，请探究“和谐线” APB 的长与菱形的边长a 之间满足的等量关系式，并说明理由；
(3)若
6
a =
，且“和谐线” APB 中的AP 或BP 与菱形ABCD 的一条对角线相等，求“和谐线” APB 的长．
112．（2026·河南周口·模拟预测）综合与实践
在以往的学习过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“豫式四边形”进行研究．
定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“豫式四边形”．
(1)初步判断
下列初中阶段常见的四边形中，一定属于“豫式四边形”的是________（填序号）．
①矩形 ②正方形 ③菱形 ④平行四边形
(2)性质探究
根据定义可得出“豫式四边形”的边、角的性质．下面继续进行相关探究．
①如图1，“豫式四边形” ABCD 中，AB
AD
=
，
B
D
Ð
= Ð
．写出图中除条件外相等的线段，并说明理由；
②如图2，在四边形ABCD 中，
180
B
ADC
Ð
+ Ð
=
°，AC 平分
BCD
Ð
，若BC
CD
>
，求证：四边形ABCD 为“豫
式四边形”；
(3)拓展应用
如图3，
ABC
V
中
90
B
Ð
=
°，
1
AB
BC
=
= ，在直线AC 的右上方存在点D，使得四边形ABCD 为“豫式四边
形”，当该“豫式四边形”中有一内角为60°时，请直接写出CD 的长．
113．（2026·江西·模拟预测）定义：已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ ，则称二次函数
2
y
a x
t
b x
t
c
=
-
+
-
+
是二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的伴随二次函数，t 是伴随值．
定义理解
（1）下列二次函数中，是二次函数
2
2
y
x
x
=
+
+
的伴随二次函数的是（ ）
A．
2
1
3
y
x
x
=
-
+
+ B．
2
1
1
y
x
x
=
+
+
+
C．
2
2
y
x
x
=
-
+ D．
2
2
2
y
x
x
=
+
+
+
深入探究
（2）已知二次函数
2
1
2
3
y
x
x
=
-
- 的图象如图所示，其伴随二次函数是
2
2
6
5
y
x
x
=
-
+ ．
①伴随值为 ；
②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象；
③当
2
m
x
m
£
£
+
时，记二次函数
1y 与
2y 的图象为W，若W 的最高点的纵坐标为12，求W 的最低点的坐
标．
x
L
0
2
3
4
6
L
2
2
6
5
y
x
x
=
-
+
L
5
3
-
4
-
3
-
5
L
114．（2025·黑龙江大庆·二模）新定义
【定义与性质】
如图，记二次函数
2
y
a x
b
c
=
-
+ 和
2
0
y
a x
p
q a
= -
-
+
¹
的图象分别为抛物线C 和
1
C ．
定义：若抛物线
1
C 的顶点
,
Q p q 在抛物线C 上，则称
1
C 是C 的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若
1
C 是C 的伴随抛物线，则C 也是
1
C 的伴随抛物线，即C 的顶点
,
P b c 在
1
C 上．
【理解与运用】
（1）若二次函数
2
1
3
3
y
x
m
= -
-
+
和
2
1
1
3
3
y
x
n
= -
-
+
的图象都是抛物线
2
1
3
y
x
=
的伴随抛物线，则m = ，
n = ．
【思考与探究】
（2）设函数
2
2
6
3
y
x
kx
k
=
-
+
+
的图象为抛物线
2
C ．
①若函数
2
y
x
dx
e
= -
+
+ 的图象为抛物线
0
C ，且
2
C 始终是
0
C 的伴随抛物线，求d，e 的值；
②如图（2），在①的条件下，抛物线
0
C 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，过点C 作x 轴的平行线
交抛物线于点D，P 为抛物线上任意一点，当tan
2
PCD
Ð
=
时，求点P 的坐标
③在①的条件下，若抛物线
2
C 与x 轴有两个不同的交点
1,0
x
，
2,0
x
1
2
x
x
<
，请直接写出
1x 的取值范围．
115．（2026·广东深圳·一模）【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分
割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”．
(1)【理解定义】
如图，在
ABC
V
中，AB
AC
=
，
120
BAC
Ð
=
° ，D 是线段BC 上一点，连接AD ，若AD
BD
=
，那么线段
AD （填“是”或“不是”）
ABC
V
的“奇妙分割线”．
(2)【运用定义】
如图，在平行四边形ABCD 中，
5
AB =
，
5
BC =
，连接AC ，若
90
BAC
Ð
=
°，E 是线段BC 上一点，
3
CE =
，连接DE 交AC 与点F．求证：线段CF 是
DCE
△
的“奇妙分割线”．
(3)【拓展提升】
如图，在
ABC
V
中，
5
AB =
，
3
BC = ，
3
sin
5
ABC
Ð
=
，点D 是线段BC 上的动点（点D 不与B、C 重合），
连接AD ，将
ABD
△
沿AD 翻折得到
AED
△
，点B 的对应点为点E，连接BE 、CE ，当ED 是BCE
V
的“奇
妙分割线”时，求线段BD 的长．
