中考数学考前重点题型归纳
内容导览
题型01 科学记数法
题型02 轴对称、中心对称图形、视图
题型03 整式运算的正误
题型04 平行线中求角
题型05 函数图象共存问题
题型06 函数图象与几何图形综合
题型07 三角形中的计算
题型08 特殊的平行四边形中的计算
题型09 圆中的计算
题型10 实数的运算
题型11 分式的化简求值
题型12 方程、不等式组的解法
题型13 用列表法或树状图求概率
题型14 统计的综合问题
题型15 尺规作图与无刻度作图
题型16 一次函数与反比例函数的综合
题型17 二次函数的综合
题型18 利用函数解决实际问题
题型19 用锐角三角函数解决测高问题
题型20 圆中的证明与计算
题型21 特殊的平行四边形中的证明与计算
题型22 项目式学习问题
题型23 几何与函数新定义型问题
题型归纳
(每个题型5 道题左右)
题型01 科学记数法
1．（2026·山东青岛·一模）中央广播电视总台《2026 年春节联欢晚会》海内外多项传播数据刷新纪录．截
至2 月17 日8 时，春晚境内全媒体总触达230.63亿次，将23063000000 用科学记数法表示应为（ ）
A．230.63 10
´
B．
9
23063 10
´
C．
10
2.3063 10
´
D．
10
0.23063 10
´
【答案】C
【分析】科学记数法的表现形式为
10n
a´
，其中1
10
a
£
<
，n 为整数，确定a 和n 的值即可得到答案．
【详解】解：
10
23063000000
2.3063 10
=
´
．
2．（2026·广西玉林·一模）2026 年国务院政府工作报告提出民生保障相关目标，其中全国城镇新增就业预
期目标为12000000 人以上，全力保障民生就业大局稳定．数据12000000 用科学记数法表示为（ ）
A．
6
12 10
´
B．
7
1.2 10
´
C．
6
1.2 10
´
D．
8
0.12 10
´
【答案】B
【分析】根据科学记数法的形式为
10n
a´
，其中
£
<
1
10
a
，n 为整数，解答即可．
【详解】解：数据12000000 用科学记数法表示为
7
1.2 10
´
．
3．（2026·安徽马鞍山·一模）据安徽省汽车办消息，2025 年上半年，安徽汽车产量达149.95万辆，位居全
国第一．数据149.95万用科学记数法表示为（ ）
A．
5
149.95 10
´
B．
5
1.4995 10
´
C．
6
1.4995 10
´
D．
7
1.4995 10
´
【答案】C
【分析】将149.95万表示成形式为
10n
a´
的形式，其中1
10
a
£
<
，n 为整数，确定a、n 的值即可解答．
【详解】解：∵1 万
4
10
=
，
∴149.95万
4
6
149.95 10
1.4995 10
=
´
=
´
，即选项C 符合题意．
4．（2026·四川成都·一模）国家统计局2026 年1 月19 日发布数据．初步核算，2025 全年国内生产总值1401879
亿元，按不变价格计算，比上年增长5.0%．经济社会发展主要目标任务圆满实现，“十四五”胜利收官．“十
四五”时期，中国经济总量先后突破110 万亿元、120 万亿元、130 万亿元、140 万亿元，实现“四连跳”．将
数据1400000 亿用科学记数法表示为（ ）
A．
12
140 10
´
B．
13
14 10
´
C．
14
1.4 10
´
D．
15
1.4 10
´
【答案】C
【分析】根据科学记数法的表示形式为
10n
a´
，其中
£
<
1
10
a
，n 为整数，n 的绝对值与小数点移动的
位数相同，即可求解．
【详解】解：
14
1400000
140000000000000
1.4 10
=
=
´
亿
．
5．（2026·山东聊城·一模）2026 年央视春晚舞台上，人形机器人“组团炫技”，成为全网热议的“顶流”．工
业和信息化部部长李乐成介绍，2025 年我国人工智能核心产业规模超过了1.2 万亿元，企业数量超过6200
家．1.2万亿用科学记数法表示为（ ）
A．
8
1.2 10
´
B．
10
1.2 10
´
C．
12
1.2 10
´
D．
13
1.2 10
´
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法．将1.2万亿用科学记数法表示，即写成
10n
a´
的形式，其中
£
<
1
10
a
，n
为整数，即可作答．
【详解】解：1.2万亿
4
8
12
1.2 10
10
1.2 10
=
´
´
=
´
．
题型02 轴对称、中心对称图形、视图
6．（2026·山西运城·一模）数学世界中有许多美妙的几何图形等待着你去发现，下列四个几何图形中，既
是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在
平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做
中心对称图形．
【详解】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
B．该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求；
C．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
D．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求．
7．（2026·广东佛山·一模）根据中国汽车工业协会最新发布数据显示，我国新能源汽车产业在2025 年继续
保持强劲增长态势，全年产销双双突破1600 万辆大关，连续第11 年稳居全球首位．下列新能源汽车的车
标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么
这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样
的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
8．（2026·贵州遵义·一模）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出．
【详解】解：根据定义可知A 选项为中心对称图形．
9．（2026·安徽合肥·一模）合肥渡江战役纪念馆，主体建筑如两艘并行的巨型战舰，直指长江方向；馆身
与地面呈49°角上扬，明确象征1949年渡江战役胜利，寓意“中国号”巨轮乘风破浪、扬帆起航．其中一艘战
舰简化几何体如图所示，其俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查三视图的知识，解题的关键是学会观察图形，得到相对应的三视图，进行解答，即可．
【详解】解：由图可得，战舰简化几何体的俯视图为：
故选：C．
10．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）下图为2026 年米兰冬奥会颁奖现场领奖台的示意图，则此领奖台的主
视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：从正面看，该几何体是由三个矩形组成的图形，中间的矩形最高，左边的矩形高度次之，右
边的矩形最矮，
故此领奖台的主视图是
．
题型03 整式运算的正误
11．（2026·四川成都·一模）下列计算正确的是（ ）
A．3
3
9
x
y
xy
+
=
B．
4
4
8
xy
xy
=
C．
2
2
2
(
)
x
y
x
y
-
=
-
D．
2
2
(
2 )(
2 )
4
x
y x
y
x
y
-
+
=
-
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则，完全平方公式和平方差公式，逐一判断选项即
可．
【详解】解：选项A：∵3 ,3
x
y 不是同类项，不能合并，∴A 错误；
选项B：∵根据积的乘方运算法则得
4
4
4
16
(
)
xy
x y
=
，∴B 错误；
选项C：∵根据完全平方公式得
2
2
2
(
)
2
x
y
x
xy
y
-
=
-
+
，∴C 错误；
选项D：∵根据平方差公式得
2
2
2
2
(
2 )(
2 )
(2 )
4
x
y x
y
x
y
x
y
-
+
=
-
=
-
，等式成立，∴D 正确．
12．（2026·山东聊城·一模）下列运算结果正确的是（ ）
A．
2
2
4
2
m
m
m
+
=
B．
2
3
5
a
a
a
×
=
C．
2
3
6
(
)
mn
mn
-
-
=
D．
0
( 20)
1
-
= -
【答案】B
【分析】运用合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方、零指数幂的运算法则逐一计算判断即可．
【详解】解：选项A：Q 合并同类项时，系数相加，字母和对应指数不变，
2
2
2
4
2
2
m
m
m
m
\
+
=
¹
，A 错
误．
选项B：Q 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
2
3
2 3
5
a
a
a
a
+
\
×
=
=
，B 正确．
选项C：Q 积的乘方等于各因式乘方的积，(
)n
n
n
ab
a b
=
，
2
3
3
2
3
3
6
6
(
)
(
)
mn
m
n
m n
mn
-
-
-
-
-
-
\
=
×
=
¹
，C 错误．
选项D：Q 任何非零数的0 次幂都等于1，
0
( 20)
1
1
\ -
= ¹ - ，D 错误．
13．（2026·广东江门·一模）下列计算正确的是（ ）
A．
2
2
2
x
y
x
y
-
=
-
B．
m
n
m n
x
x
x
-
×
=
C．
3
3
2
6
m
m
x
x
-
-
-
=
D．
2
4
2
2
+
=
+
【答案】D
【分析】根据完全平方公式、同底数幂乘法、积的乘方与负整数指数幂、二次根式化简，各运算法则逐一
判断选项即可．
【详解】解：A、
2
2
2
2
2
2
x
y
x
xy
y
x
y
-
=
-
+
¹
-
，计算错误，不符合题意；
B、
·
m
n
m n
m n
x
x
x
x
+
-
=
¹
，计算错误，不符合题意；
C、
3
3
3
3
3
1
2
2
·
6
8
m
m
m
m
x
x
x
x
-
-
-
-
-
-
= -
= -
¹
，计算错误，不符合题意；
D、
2
4
2
2
+
=
+
，计算正确，符合题意．
14．（2026·湖南长沙·二模）下列计算正确的是（ ）
A．
2
3
5
+
=
B．
3
3
a
a
a
¸
=
C．
2
3
6
a
a
-
=
D．
2
3
6
a
a
a
×
=
【答案】C
【分析】根据二次根式的加法运算法则、同底数幂的乘法、除法运算法则，幂的乘方、积的乘方运算法则
一一判断即可．
【详解】解：A：2 与
3 不是同类二次根式，不能合并，∴A 错误；
B：
3
3
3 3
0
1
a
a
a
a
a
-
¸
=
=
= ¹
，∴B 错误；
C：
2
2
2
3
3
3 2
6
1
a
a
a
a
´
-
=
=
-
=
×
，∴C 正确；
D：
2
3
2
3
5
6
·
a
a
a
a
a
+
=
=
¹
，∴D 错误．
15．（2026·江苏徐州·一模）下列运算正确的是（ ）
A．
3
2
5
a
a
=
B．
2
3
5
a
a
a
-
×
=
C．
6
3
2
a
a
a
¸
=
D．
2
2
2
2
ab
a b
=
【答案】B
【分析】根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除法法则，逐一计算判断即可．
【详解】解：
2 3
2 3
6
5
(
)
a
a
a
a
´
=
=
¹
Q
，
\A 错误；
2
2
(
)
a
a
-
=
Q
，
2
3
2 3
5
a
a
a
a
+
×
=
=
，
\B 正确；
6
3
6 3
3
2
a
a
a
a
a
-
¸
=
=
¹
Q
，
\C 错误；
2
2
2
2
2
2
4
2
2
(
)
(
)
ab
a
b
a b
a b
=
×
=
¹
Q
，
\D 错误．
题型04 平行线中求角
16．（2026·四川南充·一模）如图，直线m
n
∥，点A、B 分别在直线n、m 上，连接AB ，过点A 作
AC
AB
^
，交直线m 于C ．若
2
50
Ð =
°，则
1
Ð 的度数是（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【答案】B
【分析】平行线的性质和直角三角形的性质．根据垂直定义得到
90
BAC
Ð
=
o ，利用平行线性质“两直线平行，
内错角相等”得到
2
3
50
Ð = Ð =
° ，即可求出
1
Ð 的度数．
【详解】解：
AC
AB
^
Q
，
90
BAC
\Ð
=
°，
∵m
n
∥，
2
50
Ð =
°，
∴
2
3
50
Ð = Ð =
° ，
∴
1
180
3
40
BAC
Ð
Ð =
°-
- Ð =
°，
故选：B．
17．（2026·甘肃平凉·一模）如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章ABCDE 上，若直尺的下沿MN
DE
^
于
点O，且经过点B，上沿PQ经过点E，且与AB 相交于点F，则
AFE
Ð
的度数为（ ）
A．45°
B．54°
C．60°
D．72°
【答案】B
【分析】根据正多边形的内角和公式可求出正五边形ABCDE 的每个内角度数，在四边形ABOE 中求出
ABO
Ð
即可求解．
【详解】解：∵MN
DE
^
，
∴
90
EOB
Ð
=
° ，
正五边形ABCDE 的每个内角度数为：
5
2
180
108
5
-
´
° =
° ，
在四边形ABOE 中，
360
360
108
108
90
54
ABO
A
AEO
EOB
Ð
=
°- Ð - Ð
- Ð
=
°-
°-
°-
° =
° ，
∵EF
BO
∥
，
∴
54
A
AFE
BO
Ð
Ð
=
=
° ．
18．（2026·山东东营·一模）2026 年米兰冬季奥林匹克运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，已知
滑雪杖AB 和滑雪板DE 平行，滑雪杖AB 与大腿BC 的夹角为30°，小腿CE 与滑雪板DE 的夹角为80° ，则
大腿与小腿的夹角
C
Ð
的度数为（）
A．80°
B．90°
C．100°
D．110°
【答案】D
【分析】过点C 作CF
AB
∥
，则AB
CF
DE
∥
∥
，根据平行线的性质得到
30
BCF
B
Ð
= Ð
=
° ，
30
FCE
E
Ð
= Ð
=
° ，进而由角的和差即可求解．
【详解】解：过点C 作CF
AB
∥
，
∵AB
DE
∥
，
∴AB
CF
DE
∥
∥
，
∴
30
BCF
B
Ð
= Ð
=
° ，
80
FCE
E
Ð
= Ð
=
°，
∴
30
80
110
BCE
BCF
FCE
Ð
= Ð
+ Ð
=
°+
° =
° ．
19．（2026·山西吕梁·一模）图1 是2026 年米兰—科尔蒂纳冬奥会会徽，主体是一笔连贯线条勾勒出的数
字“26”，图2 是其示意图，其中BC
ED
FG
∥
∥
，且FD
FG
=
，若
36
BCD
Ð
=
°，则
G
Ð
的度数为（ ）
A．36°
B．54°
C．60°
D．72°
【答案】D
【分析】根据平行线的性质，求出
F
BCD
Ð
= Ð
，等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可.
【详解】解：∵BC
ED
FG
∥
∥
，
36
BCD
Ð
=
°，
∴
36
F
EDF
BCD
Ð
= Ð
= Ð
=
° ，
∵FD
FG
=
，
∴
1 180
72
2
G
FDG
F
Ð
= Ð
=
°- Ð
=
° .
20．（2026·山西晋中·一模）折叠电动车是一种超轻便的电动车，其体积小、节能环保、可伸缩折叠、精巧
的设计，可快速拆装，制作材料采用镁合金等特殊轻材质制成，分量极轻．图1 为折叠电动车实物图，图2
为示意图，AB 、CD 为支架，
1
O 、
2
O 为车轮，点
2
O 、B 、E 共线．已知，CD
BE
∥
，
1
135
OAC
Ð
=
°，
50
ADC
Ð
=
° ，则
2
ABO
Ð
度数是（ ）
A．85°
B．92°
C．95°
D．105°
【答案】C
【分析】先根据平角的定义求出
CAD
Ð
，再根据外角的性质求出
BCD
Ð
，然后根据两直线平行，内错角相
等得
2
D
ABO
BC
Ð
Ð
=
，即可得解．
【详解】解：∵
1
135
OAC
Ð
=
°，
∴
1
180
45
CAD
O AC
Ð
=
°- Ð
=
° ，
∵
50
ADC
Ð
=
° ，
∴
45
50
95
BCD
CAD
ADC
Ð
= Ð
+ Ð
=
°+
° =
° ，
∵CD
BE
∥
，
∴
2
95
B
ABO
CD
Ð
=
°
Ð
=
．
题型05 函数图象共存问题
21．（2026·广西梧州·模拟预测）若
0
ab <
，则正比例函数y
ax
=
与反比例函数
b
y
x
=
在同一坐标系中的大致
图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质和正比例函数的图象和性质，要掌握它们的性质才能灵
活解题．
根据
0
ab <
及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从
0,
0
a
b
<
和
0,
0
a
b
<
两方面分类讨论得出答
案．
【详解】解：
0
ab <
Q
，
\分两种情况：
（1）当
0,
0
a
b
<
时，正比例函数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此
选项；
（2）当
0,
0
a
b
<
时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D
符合．
故选D
22．（2026·安徽·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，反比例函数
0
k
y
k
x
=
¹
与二次函数
2
0
y
ax
bx a
=
+
¹
的图象如图，则一次函数y
abx
k
=
+
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数和二次函数的图象得到
0
k
，
0
ab <
，然后判断一次函数的图象．
【详解】解：∵反比例函数
0
k
y
k
x
=
¹
图象在第一，三象限
∴
0
k
∴一次函数y
abx
k
=
+
的图象与y 轴交于正半轴，
∵二次函数
2
0
y
ax
bx a
=
+
¹
的图象开口向下，顶点在第一象限
∴
0
a <
，
0
2
b
a
-
∴
0
b
∴
0
ab <
∴一次函数y
abx
k
=
+
的图象y 随x 的增大而减小，
∴一次函数y
abx
k
=
+
的图象大致是：
23．（2026·广东东莞·模拟预测）二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
¹
的图像如图所示，则一次函数y
ax
b
=
+
与
反比例函数
c
y
x
=
在同一直角坐标系内的大致图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y 轴交点位置判断a ，b ，c 的符号，从而可得直线与
反比例函数图像的大致位置．
【详解】解：∵二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
¹
的图像开口向上，
∴
0
a
，
∵抛物线的对称轴在y 轴右侧，
∴
0
2
b
a
-
，
∴
0
b <
，
∵抛物线与y 轴交点在x 轴上方，
∴
0
c
，
∴一次函数y
ax
b
=
+
经过第一、三、四象限，反比例函数
c
y
x
=
的图像分布在第一、三象限．
24．（2026·安徽合肥·一模）在同一平面直角坐标系中，函数
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
¹
的图象大致如图所示，
则函数
0
y
ax
b a
=
+
¹
和
0
c
y
c
x
-
=
¹
的大致图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由抛物线可得，
0,
1,
0
2
b
a
c
a
<
-
= -
，则
2
0
b
a
=
< ，
0
c
- <
，再由一次函数与反比例函数经过的象
限即可判断．
【详解】解：由抛物线可得，
0,
1,
0
2
b
a
c
a
<
-
= -
，
∴
2
0
b
a
=
< ，
0
c
- <
∴直线
0
y
ax
b a
=
+
¹
经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限
故D 选项符合题意．
25．（2026·安徽蚌埠·一模）一次函数
3
y
kx
=
+ 与反比例函数
0)
m
y
x
x
=
的图象如图所示，则二次函数
2
y
kx
k
m x
n
=
+
-
-
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意求得
0
k
，
0
m
，
3
k
n
+
=
，m
n
=
，求得
3
0
k
m
-
= - <
，再根据二次函数的性质判断即
可．
【详解】解：根据题意可得
0
k
，
0
m
，
∵一次函数
3
y
kx
=
+ 与反比例函数
0)
m
y
x
x
=
的交点
1,n ，
∴
3
k
n
+
=
，
1
m
n =
，即m
n
=
，
∴
3
k
m
+
=
，
∴
3
0
k
m
-
= - <
，
∴二次函数
2
y
kx
k
m x
n
=
+
-
-
的图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，与y 轴交于负半轴，
当
1
x = - 时，
3
0
y
k
n
=
+ -
=
，
∴B 选项中的图象符合题意．
题型06 函数图象与几何图形综合
26．（2026·甘肃陇南·一模）如图1，在菱形ABCD 中，
60
ABC
Ð
=
° ，连接BD ，点M 从点B 出发，沿BD
方向以
3cm/s 的速度运动至点D ，同时点N 从点B 出发，沿B
C
D
®
®
方向以2cm/s的速度运动至点
D ．设运动的时间为s,
x
BMN
V
的面积为
2
cm
y
．已知y 与x 之间的函数图象如图2 所示，则a 的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】先根据点M 和点N 的运动速度和路径，分情况讨论BMN
V
的面积表达式，再结合函数图象即可求
解a 的值．
【详解】解：Q四边形ABCD 是菱形，
60
ABC
Ð
=
° ，
BC
CD
\
=
，
30
CBD
BDC
Ð
= Ð
=
°．
如图1，当点N 在BC 上运动时，则
2 cm
BN
x
=
，
3
cm
BM
x
=
．
过点M 作ME
BC
^
于点E．
在Rt
BME
△
中，
30
MBE
Ð
=
°，
1
3 cm
2
2
ME
BM
x
\
=
=
．
2
1
1
3
3
2
2
2
2
2
y
BN ME
x
x
x
\
=
×
=
´
×
=
．
当点N 在点C 时，
2 3
y =
，即
2
3
2 3
2 x =
．解得
2
x =
（负值已舍）．
4cm
BC
CD
\
=
=
．
如图2，当点N 在CD 上运动时，
3 cm
BM
x
=
，
(8
2 )cm
DN
x
=
-
．
过点N 作NH
BD
^
于点H．
在Rt
DHN
△
中，
30
HDN
Ð
=
° ，
1
1
8
2
4
cm
2
2
NH
DN
x
x
\
=
=
´
-
=
-
．
2
1
1
3
3
(4
)
2 3
2
2
2
y
BM NH
x
x
x
x
\
=
×
=
´
×
-
= -
+
．
当
3 3
2
y =
时，
2
3
3 3
2 3
2
2
x
x
-
+
=
．
解得
1
3
x =
，
2
1
x = （不符合题意，舍去）．
3
a
\
= ．
27．（2026·安徽合肥·一模）如图1，在等腰Rt
ABC
△
中，
90
ABC
Ð
=
°，动点D 从点A 开始沿AB 边以每
秒1 个单位长度的速度运动到点B，同时，动点E 从点B 开始沿BC 边以相同速度运动到点C，连接DE ，
点F 为DE 中点．设时间为s
t
，
2
DE 为y，y 关于t 的函数图象如图2 所示，下列结论不正确的是（ ）
A．
4
AB =
B．连接BF ，BF 有最小值为2
C．若点M 是边AC 的中点，则MF 的最小值为1
D．连接AF
CF
，
，则AF
CF
+
的最小值为2 10
【答案】C
【详解】解：由题意得AD
t
BE
= =
，
∴当
1
t = 时，
1
AD
BE
=
= ，
2
10
y
DE
=
=
，
在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
Ð
=
°，
∴
2
2
2
BD
BE
DE
+
=
，即
2
21
10
BD +
=
，
解得
3
BD =
（负值已舍），
∴
4
AB
BD
AD
=
+
=
，故选项A 正确，不符合题意；
∵Rt
BDE
△
中，F 是斜边上的中点，
∴
1
2
BF
DE
=
，
∵
2
2
2
BD
BE
DE
+
=
，即
2
2
2
4
t
t
DE
-
+
=
，
∴
2
2
2
2
8
16
2
2
8
DE
t
t
t
=
-
+
=
-
+ ，
∵2
0
，
∴当
2
t =
时，
2
DE 取最小值，此时最小值为8，即DE 的最小值为2 2 ，
∴BF 有最小值为2 ，故选项B 正确，不符合题意；
以点B 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系：
那么
4
,0
D
t
-
，
0,
E
t ，
0,4
C
，
4,0
A
，
∵F 和M 分别为DE 和AC 的中点，
∴
4
,
2
2
t t
F
-
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
2,2
M
，
2
2
2
4
1
2
2
2
2
2
2
2
t
t
MF
t
-
æ
ö
æ
ö
\
=
-
+
-
=
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
2
1
2
2 t -
Q
，
2
t
\ =
时，MF 取最小值，此时最小值为2 ，故选项C 错误，符合题意；
∵已知
0,4
C
，
4,0
A
，
4
,
2
2
t t
F
-
æ
ö
ç
÷
è
ø ，设
,
F x y ，
∴
4
2
t
x
-
=
，
2
t
y =
，
消去t 得
2
y
x
= - +
，
∴点F 在直线
2
y
x
= - +
上运动，
作点
4,0
A
关于直线
2
y
x
= - +
的对称点
2, 2
A¢
-
，
∴AF
CF
+
的最小值为A C
¢
的长，
∴AF
CF
+
的最小值
2
2
2
0
4
2
2 10
=
-
+
+
=
，故选项D 正确，不符合题意．
28．（2026·天津河东·一模）平行四边形ABCD 中，
60
A
Ð
=
°，
6
AB =
，
4
=
AD
．动点P 从点A 出发，以每
秒2 个单位长度的速度沿边AB 、边BC 向终点C 运动；动点Q 从点C 同时出发，以每秒1 个单位长度的速
度沿边CD 向终点D 运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t
秒．当
1
t = 时，点P ，Q 的位置如图所示．
有下列结论：
①当
2
t =
时，
4
PQ =
；
②当0
4
t
£ £
时，
APQ
△
的最大面积为6 3 ；
③存在两个t 的值，使得
APQ
△
的面积为5 3 ．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】C
【分析】由题中的点P ，Q 运动过程，分情况作图，运用平行四边形判定与性质、解直角三角形及二次函
数图象与性质讨论求解．
【详解】解：当
2
t =
时，
2 2
4
1 2
2
AP
CQ
=
´
=
= ´
=
，
，
Q
6
AB =
，
6
4
2
PB
AB
AP
\
=
-
=
-
=
，
则PB
CQ
∥
，且PB
CQ
=
，
\四边形PBCQ 是平行四边形，
在平行四边形ABCD 中，
4
BC
AD
=
=
，
则
4
PQ
BC
=
=
，故①正确；
6
AB =
Q
，动点P 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度运动，
\走完AB 用时6
2
3
¸
=
（秒），
过点D 作DE
AB
^
，如图所示：
在Rt ADE
V
中，
60
A
Ð
=
°，则
30
ADE
Ð
=
°，
1
2
2
AE
AD
\
=
=
，则由勾股定理可得
2
2
2 3
DE
AD
AE
=
-
=
，
当0
3
t
£ £
时，
2
AP
t
=
，则
1
1
2
2 3
2 3
2
2
APQ
S
AP DE
t
t
=
×
=
´
´
=
V
，
\当
3
t =
时，
APQ
△
的最大面积为6 3 ；
当3
4
t
£ £
时，过点Q 作QF
BC
^
，过点P 作PG
AB
^
，如图所示：
1
1
6 2 3
6 3
2
2
ABQ
S
AB DE
\
=
×
=
´ ´
=
V
，
2
3
2
6
BP
t
t
=
-
=
- ，
在Rt QFC
V
中，
60
C
DAB
Ð
= Ð
=
° ，则
30
FQC
Ð
=
° ，
1
CQ
t
t
= ´ =
Q
，
1
2
CF
t
\
=
，则由勾股定理可得
2
2
3
2
QF
QC
CF
t
=
-
=
，
2
1
1
3
3
3 3
2
6
2
2
2
2
2
BPQ
S
BP QF
t
t
t
t
\
=
×
=
-
´
=
-
V
，
在平行四边形ABCD 中，BC
AD
∥
，则
60
CBG
A
Ð
= Ð
=
° ，
在Rt
PBG
△
中，
30
BPG
Ð
=
° ，
2
6
PB
t
=
- ，则
1
3
2
BG
PB
t
=
= - ，
\由勾股定理可得
2
2
3
3 3
PG
PB
BG
t
=
-
=
-
，
则
1
1
6
3
3 3
3 3
9 3
2
2
PAB
S
AB PG
t
t
=
×
=
´ ´
-
=
-
V
，
APQ
ABQ
BPQ
PAB
S
S
S
S
\
=
+
-
V
V
V
V
2
3
3 3
6 3
3 3
9 3
2
2
t
t
t
æ
ö
=
+
-
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
2
3
9 3
15 3
2
2
t
t
=
-
+
2
3
9
15 3
2
t
t
=
-
+
2
3
9
39
3
2
2
8
tæ
ö
=
-
+
ç
÷
è
ø
，
由抛物线开口向上、对称轴为
9
2
t =
，则当3
4
t
£ £
时，
APQ
SV
随着t 的增大而减小，
\当
3
t =
时，
APQ
SV
有最大值，为6 3 ；
综上所述，当0
4
t
£ £
时，
APQ
△
的最大面积为6 3 ，故②正确；
由题意，当P 停止运动时，共用时为
6
4
2
5
+
¸
=
（秒），而此时Q 还为到达D ，
\点P ，Q 总共运动时间为5 秒，
由②的判定过程可知，当0
3
t
£ £
时，
APQ
△
的最大面积为6 3 ，
\
1
5 3
2
2 3
2
APQ
S
t
=
=
´
´
V
，
解得
5
2
=
t
；
当3
5
t
< £
时，
2
3
9
39
5 3
3
2
2
8
APQ
S
tæ
ö
=
=
-
+
ç
÷
è
ø
V
，
2
9
1
2
4
tæ
ö
\
-
=
ç
÷
è
ø
解得
4
t =
或
5
t =
；
综上所述，存在
5
2
=
t
、
4
t =
或
5
t =
三个值，使得
APQ
△
的面积为5 3 ，故③错误；
则题中正确结论是①②，共2 个．
29．（2026·天津南开·一模）四边形ABCD 中，AD
BC
∥
，
90
B
Ð
=
°，
4cm
AB =
，
5cm
AD =
，
8cm
BC =
．动点M 从点C 出发，以1cm/s 的速度沿边CB 运动，过点M 作边BC 的垂线交四边形的边于点
N；同时动点P 从点B 出发，以3cm/s 的速度沿边BA ，边AD 运动．规定点N 与P 相遇时，停止运动．连
接PM ，PN ．设运动的时间为st ．当
1s
t =
时，点M，N，P 的位置如图所示．有下列结论：
①
1s
t =
时，MC
AP
=
；
②当
2s
t =
时，PMN
V
的面积为
2
16 cm
3
；
③当1
2
t
< <
时，PMN
V
的最大面积为
2
5cm ．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】对于结论①根据已知条件分别计算
1s
t =
时MC 和AP 的长度，然后比较两者是否相等；对于结论②
当
2s
t =
时，分别确定点M、N、P 的位置，进而求出PMN
V
的底和高，最后根据三角形面积公式计算其面
积；对于结论③分情况讨论，得到面积关于t 的二次函数，利用二次函数的性质求解即可。
【详解】解：已知动点M 从点C 出发，速度为1cm/s ，
当
1s
t =
时，
1 1
1cm
MC = ´ =
；
动点P 从点B 出发，速度为3cm/s ，
当
1s
t =
时，
3 1
3cm
BP = ´ =
，
∵
4cm
AB =
，
∴
4
3
1cm
AP
AB
BP
=
-
=
-
=
，
∴
1cm
MC
AP
=
=
，结论①正确；
作DG
BC
^
于点G ，则四边形ABGD 是矩形，
∵
4cm
AB =
，
5cm
AD =
，
8cm
BC =
，
∴
4cm
DG
AB
=
=
，
3cm
CG
CB
BG
CB
AD
=
-
=
-
=
，
∵DG
BC
^
，MN
BC
^
，
∴DG
MN
∥
，
∴
CMN
CGD
∽
△
△
，
∴MN
CM
DG
CG
=
，即4
3
MN
t
=
，
∴
4
3
MN
t
=
，
当
2s
t =
时，
1 2
2cm
MC = ´
=
，
4
8
2
3
3
MN =
´
=
，
8
2
6cm
BM
BC
MC
=
-
=
-
=
；
3 2
6cm
´
=
，此时点P 在AD 上，且
6
4
2cm
AP
BP
AB
=
-
=
-
=
；
过点P 作PH
MN
^
于点H，
则
2cm
BH
AP
=
=
，
∴
8
2
2
4cm
MH =
-
-
=
，
∴
2
1
1
8
16
4
cm
2
2
3
3
PMN
S
MN
PH
=
´
´
=
´ ´
=
V
，结论②正确；
当
4
1
3
t
< £
，
∴
2
1
4
2
2
32
8
8
4
2
3
3
3
3
S
t
t
t
t
t
=
´
´
-
=
-
= -
-
+
，
∵
2
0
3
-
<
，
∴当
4
3
t =
时，S 有最大值，最大值为
2
2 4
32
160
4
3 3
3
27
æ
ö
-
-
+
=
ç
÷
è
ø
；
当4
2
3
t
< <
，
同理，
3
4
BH
AP
t
=
=
-
，
∴
8
3
4
12
4
cm
MH
t
t
t
=
- -
-
=
-
，
∴
2
1
4
8
2
3
12
4
3
6
2
3
3
3
2
S
t
t
t
t
tæ
ö
=
´
´
-
=
-
= -
-
+
ç
÷
è
ø
，
∵
32
0
3
-
<
，
∴当
3
2
t =
时，S 有最大值，最大值为6 ；
综上，当1
2
t
< <
时，PMN
V
的最大面积为
2
6cm ，结论③错误．
综上，正确结论的个数是2 个．
30．（2026·北京·一模）已知：如图，在平面直角坐标系中，有菱形OABC ，点A 的坐标为
10,0 ，对角线
OABC 相交于点D，双曲线
0
k
y
x
x
=
经过点D，交BC 的延长线于点E，且
160
OB AC
×
=
，有下列四个结
论：
①双曲线的解析式为
32
0
y
x
x
=
>
；
②点C 的坐标是
6,8 ；
③
4
sin
5
COA
Ð
=
；
④
6 5
AC
OB
+
=
．
其中正确的结论有（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②③④
【答案】A
【分析】过B 作BF
x
^
轴于点F ，由菱形的面积可求得BF ，在Rt ABF
V
中，可求得AF ，过D 作DG
x
^
轴
于点G ，由菱形的性质可求得D 点坐标，则可求得双曲线解析式；过C 作CH
x
^
轴于点H ，则HF
BC
=
，
可求得OH ，可求得C 点坐标和sin
COA
Ð
；在Rt
OBF
△
中，由勾股定理可求得OB ，结合条件可求得AC ，
则可求得AC
OB
+
，可得出答案．
【详解】如图，过B 作BF
x
^
轴于点F ，过D 作DG
x
^
轴于点G ，过C 作CH
x
^
轴于点H ，
10,0
A
Q
，
10
OA
\
=
，
1
1 160
80
2
2
ABCD
S
OA BF
AC OB
\
=
×
=
×
=
´
=
菱形
，即10
80
BF =
，
8
BF
\
=
，
在Rt ABF
V
中，
10
AB =
，
8
BF =
，由勾股定理可得
6
AF =
，
10
6
16
OF
OA
AF
\
=
+
=
+
=
，
Q四边形OABC 为菱形，
D
\
为OB 中点，
1
1
8
4
2
2
DG
BF
\
=
=
´ =
，
1
1 16
8
2
2
OG
OF
=
=
´
=
，
8,4
D
\
，
Q双曲线过点D ，
4
8
k
\
=
，解得
32
k =
，
\双曲线解析式为
32
y
x
=
，
故①正确；
又由上可知四边形BCHF 为矩形，
10
HF
BC
\
=
=
，
16 10
6
OH
OF
HF
\
=
-
=
-
=
，且
8
CH
BF
=
=
，
6,8
C
\
，
故②正确；
在Rt OCH
V
中，
10
OC =
，
8
CH =
，
8
4
sin
10
5
CH
COA
OC
\
Ð
=
=
=
，
故③正确；
在Rt
OBF
△
中，
16
OF =
，
8
BF =
，
2
2
2
2
16
8
8 5
OB
OF
BF
\
=
+
=
+
=
，
160
AC OB
×
=
Q
，
160
160
4 5
8 5
AC
OB
\
=
=
=
，
4 5
8 5
12 5
AC
OB
\
+
=
+
=
，
故④不正确；
综上可知正确的为①②③共三个．
题型07 三角形中的计算
31．（2026·陕西西安·二模）如图，在
ABC
V
中，
16
AB
AC
=
=
，点D 是BC 的中点，连接AD ，DE
AC
^
于点E，
30
ADE
Ð
=
°，连接BE ，则ABE
V
的周长为______．
【答案】20
4 21
+
/ 4 21
20
+
【分析】过点E 作EF
BC
^
于点F ，利用等腰三角形性质，直角三角形性质，以及勾股定理求出
,
BD CD ，
EF ，CF ，进而求出BF ，AF ，再利用勾股定理求出BE ，最后根据三角形周长公式求解，即可解题．
解题的关键在于灵活运用等腰三角形性质，直角三角形性质，以及勾股定理分析问题．
【详解】解：过点E 作EF
BC
^
于点F
Q
16
AB
AC
=
=
，点D 是BC 的中点，
\ AD
BC
^
，
Q DE
AC
^
，
30
ADE
Ð
=
°，
90
30
C
ADE
DAE
\Ð
= Ð
=
°- Ð
=
°，
1
8
2
AD
AC
\
=
=
，
2
2
8 3
BD
CD
AC
AD
\
=
=
-
=
，
1
4 3
2
DE
DC
\
=
=
，
2
2
12
CE
CD
DE
\
=
-
=
，
1
6
2
EF
CE
\
=
=
，
4
AE
AC
CE
=
-
=
，
2
2
6 3
CF
CE
EF
\
=
-
=
，
10 3
BF
BD
CD
CF
\
=
+
-
=
，
2
2
10 3
6
4 21
BE
\
=
+
=
，
\
ABE
V
的周长为：16
4
4 21
20
4 21
+
+
=
+
．
32．（2026·吉林·一模）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
A
Ð
=
°，
30
B
Ð
=
° ，
4
AC =
，点D 在边AB 上，
2
AD =
，
动点E 在边AC 上．将
ADE
V
沿DE 折叠得到
FDE
V
，则点F 到BC 的最短距离为_____．
【答案】2 3
3
-
【分析】本题考查了垂线段最短，勾股定理，30 度角的直角三角形的性质，折叠的性质，正确掌握相关性
质内容是解题的关键．先理解题意，求出BC 的值，再运用勾股定理求出
2
2
4 3
AB
CB
AC
=
-
=
，同理得
1
2 3
1
2
DH
DB
=
=
- ，结合三角形三边关系以及垂线段最短进行列式计算，即可作答．
【详解】解：分别过点F，D 作FT
BC
^
，DH
BC
^
，连接DT ，如图所示：
∵在Rt
ABC
△
中，
90
A
Ð
=
°，
30
B
Ð
=
° ，
4
AC =
，
∴
2
2 4
8
BC
AC
=
=
´
=
，
∴
2
2
64 16
4 3
AB
CB
AC
=
-
=
-
=
，
∴
4 3
4 3
2
BD
AD
=
-
=
-
，
∵DH
BC
^
，
30
B
Ð
=
° ，
∴
1
1
4 3
2
2 3
1
2
2
DH
DB
=
=
´
-
=
- ，
∴折叠，
∴
2
DF
DA
=
=
，
则在DFT
V
中，DT
FD
FT
DT
FD
-
<
<
+
，
∵垂线段最短，
∴
2 3
1
DT
DH
³
=
- ，
∴FT 的最小值为
2 3
1 2
2 3
3
DT
FD
-
=
- -
=
- ，
即点F 到BC 的最短距离为2 3
3
- ．
33．（2026·四川成都·一模）如图，在
ABC
V
中，
2
AC
AB
BC
=
=
，D 为BC 的中点，BE 平分
ABC
Ð
，交
AC ，AD 于点E，F，则EF
AC = _____________．
【答案】
10
15
【分析】过点E 作EM
AB
^
，EN
BC
^
，过点D 作DG
BE
∥
交AC 于点G ，设
2
BC
a
=
，则
4
AC
AB
a
=
=
，
CD
a
=
，利用角平分线的性质和面积公式求得EB ，根据CGD
CEB
V
V
∽
和
AGD
AEF
△
∽△
，计算出EF 即
可解答．
【详解】解：如图，过点E 作EM
AB
^
，EN
BC
^
，过点D 作DG
BE
∥
交AC 于点G ，
2
AC
AB
BC
=
=
Q
，D 为BC 的中点，
AD
BC
\
^
，
设
2
BC
a
=
，则
4
AC
AB
a
=
=
，CD
a
=
，
可得
2
2
15
AD
AC
CD
a
=
-
=
，
2
1
15
2
ABC
S
BC AD
a
\
=
×
=
△
，
BE
Q
平分
ABC
Ð
，EM
AB
^
，EN
BC
^
，
EM
EN
\
=
，
1
2
2
1
2
ABE
CBE
AB EM
S
S
BC EN
×
\
=
=
×
△
△
，
2
AE
EC
\
=
，
2
2
2 15
3
3
ABE
ABC
S
S
a
=
=
△
△
，
2
8
3
3
AE
AC
a
\
=
=
，
1
4
3
3
CE
AC
a
=
=
，
2
15
3
ABE
S
EM
a
AB
=
=
△
，
2
2
7
3
AM
AE
EM
a
\
=
-
=
，
5
3
MB
AB
AM
a
\
=
-
=
，
2
2
2 10
3
EB
EM
MB
a
\
=
+
=
，
DG
BE
Q
∥
，
CGD
CEB
\△
∽△
，
1
2
GD
CD
CG
EB
CB
CE
\
=
=
=
，
1
10
2
3
GD
EB
a
\
=
=
，
1
2
2
3
EG
CE
a
=
=
DG
BE
Q
∥
，
AGD
AEF
\V
V
∽
，
8
4
3
8
2
5
3
3
a
EF
AE
AE
GD
AG
AE
EG
a
a
\
=
=
=
=
+
+
，
4
4 10
5
15
EF
GD
a
\
=
=
，
4 10
10
15
4
15
a
EF
AC
a
\
=
=
．
34．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，ABC
V
为等边三角形，点D 为直线BC 上一点，将射线DA 绕点D
逆时针旋转60°，交过点B 平行于AC 的直线于点E，若
2
AB =
，则线段DE 的最小值是________．
【答案】
3
【分析】在直线BC 上取点F，使BF
BE
=
，连接AF ，可得
BEF
△
为等边三角形，设
,
BF
EF
a CD
x
=
=
=
，
则
2
DF
x
a
=
+
-
，证明ACD
DFE
V
V
∽
，可得x
a
=
，即EF
CD
=
，可得DE
AD
=
，从而得到当AD 最小时，
DE 最小，且当AD
BC
^
时，AD 取得最小值，即可求解．
【详解】解：如图，在直线BC 上取点F，使BF
BE
=
，连接AF ，
∵
ABC
V
为等边三角形，
2
AB =
，
∴
60 ,
2
ACB
BC
AC
AB
Ð
=
°
=
=
=
，
∴
120
ACD
Ð
=
°，
∵BE
AC
∥
，
∴
60
EBF
ACB
Ð
= Ð
=
° ，
∴
BEF
△
为等边三角形，
∴EF
BE
=
，
60
BFE
Ð
=
° ，
∴
120
DFE
ACD
Ð
=
° = Ð
，
设
,
BF
EF
a CD
x
=
=
=
，则
2
DF
x
a
=
+
-
，
由旋转的性质得：
60
ADE
Ð
=
°，
即
60
ADC
EDF
Ð
+ Ð
=
°，
∵
60
ADC
CAD
ACB
Ð
+ Ð
= Ð
=
°，
∴
CAD
EDF
Ð
= Ð
，
∴ACD
DFE
V
V
∽
，
∴AC
CD
DF
EF
=
，即
2
2
x
x
a
a
=
+
-
，
∴x
a
=
或
2
x = - （舍去），
即EF
CD
=
，
∴
AAS
ACD
DFE
V
V
≌
，
∴DE
AD
=
，
∴当AD 最小时，DE 最小，且当AD
BC
^
时，AD 取得最小值，
如图，
此时
1
1
2
BD
BC
=
= ，
∴
2
2
3
AD
AB
BD
=
-
=
，
即DE 的最小值为
3 ．
35．（2026·江苏徐州·一模）如图，在
ABC
V
中，
90
8
ABC
AB
BC
Ð
=
°
=
=
，
，P 是线段BC 外一动点，
6
BP =
，连接CP ，将线段CP 绕点P 逆时针旋转90°得到线段DP ，连接BD ，则BD 的长最大值为_______．
【答案】6 2
8
+
/8
6 2
+
【分析】连接
,
AD CD ，根据三角形的三边关系得出当点D 在BA 的延长线时，BD 的长度取得最大值，证明
BCP
ACD
V
V
∽
，得出
6
2
AD =
，即可求解．
【详解】解：如图，连接
,
AD CD ，
∵BD
AB
AD
£
+
，
∴当点D 在BA 的延长线时，BD 的长度取得最大值，
由题意得，ABC
CDP
V
V
、
均为等腰直角三角形，
∴
45
ACB
DCP
Ð
= Ð
=
° ，
∴
ACB
ACP
DCP
ACP
Ð
- Ð
= Ð
- Ð
，
即
PCB
DCA
Ð
= Ð
，
∵
2
2
cos
,cos
2
2
BC
PC
ACB
DCP
AC
CD
Ð
=
=
Ð
=
=
，
∴BC
PC
AC
CD
=
，
∴BCP
ACD
V
V
∽
，
∴
2
2
BP
BC
AD
AC
=
=
，
∵
6
BP =
，
∴
6
2
AD =
，
∵
8
AB
BC
=
=
，
∴BD 的长最大值为6
2
8
+
．
题型08 特殊的平行四边形中的计算
36．（2026·山东日照·模拟预测）如图，在矩形ABCD 中，
1
DC = ，
22.5
CAD
Ð
=
° ，P 为线段AD 上一个动
点，过P 作PG
AC
^
，垂足为G ，连接BP ，取BP 的中点E ，连接EG ，则线段EG 的最小值为______．
【答案】
2
4
【分析】延长PG 至F，使得PG
GF
=
，连接BF ，可得AG 垂直平分PF ，得
45
PAF
Ð
=
° ，得
45
BAF
BAD
PAF
Ð
= Ð
- Ð
=
°，得点F 在射线AF 上运动，当BF
AF
^
时，BF 最短，为
2
2
BF =
, 根据三
角形中位线性质得
1
2
2
4
EG
BF
=
=
即可．
【详解】解：延长PG 至F，使得PG
GF
=
，连接BF ，如图:
∵PG
AC
^
，
∴AG 垂直平分PF ，
∴AP
AF
=
，
∴
22.5
PAG
FAG
Ð
= Ð
=
°，
∴
45
PAF
Ð
=
° ，
∵矩形ABCD 中，
90
BAD
Ð
=
° ，
∴
45
BAF
BAD
PAF
Ð
= Ð
- Ð
=
°，
∴点F 在与AB 成45°角的射线AF 上运动，
∴当BF
AF
^
时，BF 最短，
此时，
90
45
ABF
BAF
Ð
=
°- Ð
=
° ，
∴AF
BF
=
，
∵
2
2
2
1
AB
CD
AF
BF
AB
=
=
+
=
，
，
∴
2
2
BF =
,
∵E 是BP 的中点，
∴PE
BE
=
，
∴EG 是PBF
V
的中位线，
∴
1
2
2
4
EG
BF
=
=
,
故线段EG 的最小值为
2
4
．
37．（2026·陕西西安·一模）如图正方形ABCD 中，E 为AD 边上任意一点（不与点A、D 重合），将CE 绕
点C 逆时针旋转90°至F，连接EF ，取EF 的中点P，若
2
BP =
，则AE 的长为______．
【答案】2 2
【分析】根据题意，证明
DCE
BCF SAS
V
V
≌
，得点
, ,
A B F 共线，再证明
ABP
CBP SSS
V
V
≌
，得到
45
PBQ
Ð
=
°，则
2
PQ =
，证明AEF
QPF
V
V
∽
，得
1
2
PQ
FP
AE
EF
=
=
，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接
,
,
BF AP CP ，作PQ
AB
^
于点Q ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴
90 ,
ABC
BCD
CDA
DAB
AB
BC
CD
DA
Ð
= Ð
= Ð
= Ð
=
°
=
=
=
，
∵将CE 绕点C 逆时针旋转90°至F，
∴
,
90
CE
CF
ECF
=
Ð
=
°，
∴
90
DCE
ECB
ECB
BCF
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
=
°，则
DCE
BCF
Ð
= Ð
，
∴
DCE
BCF SAS
V
V
≌
，
∴
90
D
CBF
Ð
= Ð
=
°，则
180
ABC
CBF
Ð
+ Ð
=
°，
∴点
, ,
A B F 共线，
∵点P 是EF 中点，
∴在Rt AEF
V
中，
1
2
AP
EF
=
，在Rt ECF
V
中，
1
2
CP
EF
=
，
∴AP
CP
=
，且
,
AB
CB BP
BP
=
=
，
∴
ABP
CBP SSS
V
V
≌
，
∴
45
ABP
CBP
Ð
= Ð
=
° ，
在Rt BPQ
V
中，
90 ,
45
BQP
PBQ
Ð
=
° Ð
=
°，
2
BP =
，
∴
2
2
2
PQ
BQ
BP
=
=
=
，
∵
90
DAB
PQB
Ð
= Ð
=
°，
∴AD
PQ
P
，
∴AEF
QPF
V
V
∽
，
∴
1
2
PQ
FP
AE
EF
=
=
，
∴
2
2 2
AE
PQ
=
=
，
故答案为：2 2 ．
38．（2026·四川成都·二模）如图，将菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转到菱形AB C D
¢
¢
¢ 的位置，使点B¢落在BC
上，B C
¢ ¢与CD 交于点E，若
5
AB =
，
3
B B
¢
=
，则CE 的长为 _____________ ．
【答案】15
8
【分析】先证明
SAS
ABB
ADD
¢
¢
V
V
≌
，过点C 作CF
AB¢
∥
交B C
¢ ¢于点F ，然后根据平行线的性质证明
ABB
B FC
¢
¢
V
V
∽
，CFE
DC E¢
V
V
∽
，求解即可．
【详解】解：根据题意，得
5
AB
AB
AD
AD
¢ =
=
¢
=
=
，
BAB
DAD¢
¢
Ð
= Ð
，
AB C
B
¢ ¢
Ð
= Ð
在ABB¢
V
和ADD¢
V
中
AB
AD
BAB
DAD
AB
AD
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
¢
=
¢
¢
î
¢
SAS
ABB
ADD
\
¢
¢
V
V
≌
3
DD
BB
\
=
¢ =
¢
，
AD D
AB B
¢
¢
Ð
= Ð
AB
AB¢
=
Q
AB B
B
¢
\Ð
= Ð ，
Q四边形AB C D
¢
¢
¢ 是菱形，
D
AB C
B
¢
¢
\
Ð
¢
Ð
=
= Ð ，
5
C D
AD
=
¢
¢ =
¢
，AB
C D
¢
¢ ¢
∥
，
∴AD
AD
¢ =
，
AD D
D
¢
Ð
= Ð ¢
\
，
\点D 在C D
¢
¢上，
5
3
2
C D
C D
DD
\
=
-
¢ =
¢
-
¢
=
¢
过点C 作CF
AB¢
∥
交B C
¢ ¢于点F
CF
AB¢
Q
P
FCB
AB B
B
\
=
¢
¢
Ð
Ð
= Ð
，
B FC
AB F
Ð
=
¢
Ð
¢
AB F
AB C
B
¢
Ð
= Ð
¢
¢
= Ð
Q
B FC
B
¢
\Ð
= Ð
FCB
B FC
\
Ð
¢
¢
Ð
=
B F
B C
\ ¢
=
¢
5
BC =
Q
，
3
BB¢ =
2
B C
BC
BB
=
¢
-
¢
\
=
2
B F
\ ¢
=
180
2
BAB
B
=
¢
Ð
°- Ð
Q
，
180
180
2
CB F
AB B
AB C
B
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
¢
¢ ¢
-
¢
°
Ð
BAB
CB F
\
Ð
¢
¢
Ð
=
B
FCB
Ð
= Ð
¢
Q
ABB
B FC
\
¢
¢
V
V
∽
AB
BB
B F
FC
\
¢
¢
=
∴5
3
2
FC
=
6
5
FC
\
=
CF
AB¢
Q
P
，AB
C D
¢
¢ ¢
∥
CF
C D
¢
\
P
，
CFE
DC E¢
\V
V
∽
，
CF
CE
DC
DE
\
=
¢
,
6
5
2
5
CE
CE
\
=
-
,
15
8
CE
\
=
;
39．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形MNPQ 内正好放置一个立方体的表面展开图，正方形ABCD
是原立方体的一个面，点E ，F ，G 是原立方体的顶点，展开后点A ，E ，F ，G 均在矩形MNPQ 的边上，
若点C ，D ，Q 在同一直线上，则tan AEM
Ð
的值是______．
【答案】13
1
2
+
【分析】过点G 作GH
QC
^
于点H ，不妨设QH
x
=
，小正方形的边长为1，先证明四边形HCFG 是矩形，
根据
90
GQH
AQH
AQH
QAD
Ð
+ Ð
=
° = Ð
+ Ð
，得到
GQH
QAD
Ð
= Ð
，接着tan
tan
GQH
QAD
Ð
=
Ð
，算得
QH ，再证明
AEM
QAD
Ð
= Ð
，从而得出答案．
【详解】解：过点G 作GH
QC
^
于点H ，不妨设QH
x
=
，小正方形的边长为1，如图所示：
∵四边形MNPQ 是矩形，
∴
90
PQM
M
Ð
= Ð
=
° ，
∵
90
GHD
HGF
HCF
Ð
= Ð
= Ð
=
°，
∴四边形HCFG 是矩形，
∴
2,
3
GF
HC
CF
HG
=
=
=
= ，
∵
90
ADQ
AQP
Ð
= Ð
=
° ，
∵
90
GQH
AQH
AQH
QAD
Ð
+ Ð
=
° = Ð
+ Ð
，
∴
GQH
QAD
Ð
= Ð
，
∴tan
tan
GQH
QAD
Ð
=
Ð
，
∵GH
QD
QH
AD
=
，
∴3
1
1
x
x
+
=
，
∴
1
13
2
x
- +
=
（舍去负值），
∴
1
13
2
QH
- +
=
，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB
CD
∥
，
∴AE
QC
∥
，
∴
MAE
AQD
Ð
= Ð
，
∴180
180
M
MAE
QDA
AQD
°- Ð
- Ð
=
°- Ð
- Ð
，
∴
AEM
QAD
Ð
= Ð
，
∴
2
t
1
an
13
1
1
13
tan
2
1
QD
QAD
AD
AEM
- +
+
+
Ð
=
=
Ð
=
=
．
40．（2026·黑龙江·一模）为满足新能源汽车的充电需求，某停车场增设了充电站，建立如图所示的平面直
角坐标系，矩形POMN 是充电站的平面示意图，矩形
1
1
1
1
D
C
B
A
是第一个停车位，矩形
2
2
2
2
A B C D 是第二个停
车位……，所有车位长，宽相同，按图示并列划定．若
1
1
60
A B O
Ð
=
°，
1
B 点坐标为
3,0 ，
2
B 点坐标为
5,0 ，则
20
D 的坐标为______．
【答案】79 7 3
,
2
2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
【分析】分别求出
1
3 3
AO =
，
1
2
2
B B =
，再求出车库的宽度
1
1
1
1
3
A D
B C
=
=
，求出
1A P ，可求出
20
D 的纵
坐标，求出
1
D P ，可求出
20
D 的横坐标，即可解决问题．
【详解】解：∵
1
B 点坐标为
3,0 ，
2
B 点坐标为
5,0 ，
∴
1
OB
3
=
，
1
2
5
3
2
B B =
-
=
，
∵
1
1
60
A B O
Ð
=
°，
1
1
90
AOB
Ð
=
° ，
∴
1
1 30
OA B
Ð
°
=
，
∴
1
1
1
2
6
A B
OB
=
=
，
∴
1
3 3
AO =
，
∵
1
1
60
A B O
Ð
=
°，
1
1
1
90
A B C
Ð
=
°，
∴
1
1
2
30
C B B
°
Ð
=
,
∴
1
2
1
C B = ,
∴
1
1
3
B C =
，
∴
1
1
3
A D =
,
同理可得：
1
3
2
A P =
，
1
3
2
D P =
，
∴
3
7
3 3
3
2
2
OP =
+
=
，
20
3
79
2
20 1
2
2
D P =
+ ´
-
=
,
∴
20
D 的坐标为79 7 3
,
2
2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
．
题型09 圆中的计算
41．（2026·山东聊城·一模）如图，在
ABC
V
中，AB
AC
=
，
O
e
是
ABC
V
的外接圆，D 为
AC 的中点，E
为BA 延长线上一点，若
111
DAE
Ð
=
°，则
ACD
Ð
=________．
【答案】37°/37 度
【分析】先设
DCA
x
Ð
=
，
ACB
y
Ð
=
，根据同弧所对的圆周角相等，推出
ABC
ACB
y
Ð
Ð
=
=
，
CAD
DCA
x
Ð
= Ð
=
，根据三角形的内角和定理得到
180
2
ADC
x
Ð
=
°-
，再根据四点共圆得到
180
ADC
y
Ð
=
°-
，
111
DAE
DCB
Ð
= Ð
=
°，通过计算可推出
2
y
x
=
，最后根据
111
DCB
DCA
ACB
Ð
= Ð
+ Ð
=
°，列出方程计算即可．
【详解】解：设
DCA
x
Ð
=
，
ACB
y
Ð
=
，
∵AB
AC
=
，
∴
AB
AC
=
，
ABC
ACB
y
Ð
Ð
=
=
，
∵D 为
AC 的中点，
∴
AD
CD
=
，
∴
CAD
DCA
x
Ð
= Ð
=
，
∴
180
2
ADC
x
Ð
=
°-
，
∵A
B
C
D
、、、
四点共圆，
∴
180
ADC
y
Ð
=
°-
，
111
DAE
DCB
Ð
= Ð
=
°，
∴180
2
180
x
y
°-
=
°-
，即
2
y
x
=
，
∵
DAB
DCA
ACB
x
y
Ð
= Ð
+ Ð
=
+
，
∴
2
3
111
x
y
x
x
x
+
=
+
=
=
° ，
解得：
37
x =
°，
∴
37
DCA
Ð
=
° ．
42．（2026·湖南长沙·二模）如图，在
O
e
中，M 为直径AB 上一点，弦CD 经过点M ．若
60
DMB
Ð
=
° ，
1
AM = ，
5
BM =
，则弦CD 的长为___________．
【答案】2 6
【分析】先求出OM ，过点O 作OE
CD
^
于点E ，连接OD ，解Rt
OME
△
求出OE 的长，再在Rt
ODE
△
中
利用勾股定理求出DE 的长，最后根据垂径定理求出CD 的长．
【详解】解：
1
AM =
Q
，
5
BM =
1
5
6
AB
AM
BM
\
=
+
= +
=
\圆的半径
1
3
2
OD
OA
AB
=
=
=
Q点O 为AB 的中点
3
OA
\
=
3 1
2
OM
OA
AM
\
=
-
=
- =
过点O 作OE
CD
^
于点E ，连接OD
OE
CD
^
Q
90
OEM
Ð
\
=
o ，
2
CD
DE
=
在Rt
OME
△
中，
60
OME
DMB
Ð
Ð
=
=
o
3
sin60
2
3
2
OE
OM
\
=
×
=
´
=
o
在Rt
ODE
△
中，
3
OD = ，
3
OE =
根据勾股定理得：
2
2
2
2
3
( 3)
6
DE
OD
OE
=
-
=
-
=
2
2 6
CD
DE
\
=
=
．
43．（2026·山东日照·模拟预测）如图，AB 为
O
e
的弦，AC 为
O
e
的切线，OC 分别与AB ，
O
e
相交于
点D ，E ，且CA
CD
=
，
1
CE = ，
5
AC =
，求阴影部分的面积为______．
【答案】36π
48
-
【分析】连接 OA ，根据切线的性质可得
90
OAB
CAB
Ð
+ Ð
=
° ，再根据等腰三角形的性质可证
90
BDO
B
Ð
+ Ð
=
° ，设 OA
OE
x
=
=
，则
1
OC
x
=
+ ，根据勾股定理列方程
2
2
2
5
1
x
x
+
=
+
，即可求
得半径，再根据阴影部分的面积
OBD
OBE
S
S
=
-
V
扇形
即可求解．
【详解】解：连接 OA ，
为
O
e
的切线，
OA
AC
\
^
，
90
OAC
\Ð
=
° ，
90
OAB
CAB
\Ð
+ Ð
=
° ，
,
CA
CD OA
OB
=
=
Q
，
,
CAB
CDA
OAB
B
\Ð
= Ð
Ð
= Ð
，
BDO
CDA
Ð
= Ð
Q
，
BDO
CAB
\Ð
= Ð
，
90
BDO
B
\Ð
+ Ð
=
° ，
90
BOD =
\Ð
° ，
设 OA
OE
x
=
=
，则
1
OC
x
=
+ ，
2
2
2
OA
AC
OC
+
=
Q
，
2
2
2
5
1
x
x
\
+
=
+
，
解得
12
x =
，
13,
12
OC
OB
OE
\
=
=
=
，
5
CA
CD
=
=
Q
，
13
5
8
OD
CO
CD
\
=
-
=
-
=
，
1
1 12 8
48
2
2
OBD
S
OD OB
\
=
×
=
´
´ =
V
，
2
90π 12
36π
360
OBE
S
´
=
=
Q
扇形
，
\ 阴影部分的面积
36π
48
OBD
OBE
S
S
=
-
=
-
V
扇形
．
44．（2026·河南周口·一模）如图，在扇形AOB 中，已知
90
AOB
Ð
=
° ，
2
OA
OB
=
=
，正方形OECD 的顶
点D 、C 、E 分别在OA、
AB 、OB 上，把正方形OECD 的沿直线OB 向右平移，得到正方形GNMF ，其
中点D 的对应点F 恰好与C 重合，如图所示，则图中阴影部分的面积为___________．
【答案】
3
2
p
-
【分析】先求出正方形的边长，再结合扇形及三角形的面积公式求出正方形中空白部分的面积，据此可解
决问题．熟知图形平移的性质及正方形的性质是解题的关键．
【详解】解：连接OC ，
∴
2
OC
OA
=
=
，
由平移可得：OG
CG
=
，
90
AOB
Ð
=
° ，
∴
2
2
2
2
2
OC
OG
CG
CG
=
+
=
，
45
BOC
Ð
=
°，
∴
2
CG =
，
∴正方形的面积为：
2
CG GN
´
=
，
2
45
2 π
π
360
2
COB
S
°´
=
=
°
扇形
，
∵
1
1
2
2
1
2
2
COE
S
OG CG
=
´
´
=
´
´
=
V
，
∴阴影部分的面积为：
π
π
2
1
3
2
2
æ
ö
-
-
=
-
ç
÷
è
ø
．
45．（2026·河南周口·一模）定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”．如图，等边
ABC
V
的边长为a ，点D 在以C 为圆心，a 为半径的优弧上，若
ABD
△
为“反直角三角形”，则AD =___________．
【答案】a 或3a
【分析】分两种情况，根据“反直角三角形”定义和圆周角定理、等边三角形的性质、锐角三角函数进行解
答即可．
【详解】解：如图，
∵等边
ABC
V
的边长为a ，
∴
,
60
AB
AC
BC
a
ACB
=
=
=
Ð
=
°，
∴
1
30
2
Ð
=
Ð
=
°
ADB
ACB
，
∵
ABD
△
为“反直角三角形”，
∴
90
30
120
BAD
Ð
=
° +
° =
° ，
∴
180
30
ABD
BAD
BDA
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
° ，
∴AD
AB
a
=
=
当点D 落在点D¢上时，
1
30
2
AD B
ACB
¢
Ð
=
Ð
=
° ，
∵
ABD¢
△
为“反直角三角形”，
∴
90
30
120
ABD¢
Ð
=
°+
° =
° ，
∴
180
30
BAD
ABD
BD A
¢
¢
¢
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
° ，
∴BD
AB
a
¢ =
=
作BE
AD¢
^
于点E ，
∴
1
2
AE
AD¢
=
，
∵
3
cos
cos30
2
AE
AB
BAD
a
a
¢
=
Ð
=
° =
，
∴
2
3
AD
AE
a
¢ =
=
，
综上可知，AD
a
=
或3a ．
题型10 实数的运算
46．（2026·江苏苏州·模拟预测）计算：1
2
2sin45
cos60
-
-
°+
°
【答案】
1
2
-
【详解】解：原式
2
1
2
1
2
2
2
=
- - ´
+
1
2
1
2
2
=
- -
+
1
2
= -
．
47．（2026·湖南长沙·二模）计算：
1
0
1
12
2
3
2sin 60
3
-
æ
ö
-
-
+
-
°
ç
÷
è
ø
．
【答案】2
3
+
【详解】解：
1
0
1
12
2
3
2sin 60
3
-
æ
ö
-
-
+
-
°
ç
÷
è
ø
3
2 3
1 3
2
2
=
- + - ´
2 3
1 3
3
=
- + -
2
3
=
+
．
48．（2026·广东梅州·模拟预测）计算：
2026
1
1
1
3
2cos30
2
-
-
°
+
-
-
+ -
【答案】
1
2
-
【分析】先计算乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法．
【详解】解：
2026
1
1
1
3
2cos30
2
-
-
°
+
-
-
+ -
3
1
3
1
2
2
2
1
æ
ö
+
-
- ´
+ -
ç
÷
è
ø
=
1
3
1
3
2
1+
- -
-
=
1
2
= -
．
49．（2026·山东济南·一模）计算：
1
2
2026
1
1
2
5
tan 45
5
-
°
æ
ö
-
- -
+
-
+
ç
÷
è
ø
．
【答案】2
-
【分析】先分别计算有理数乘方、绝对值、二次根式的平方、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，再按
有理数加减法则从左到右依次计算即可．
【详解】解：原式
1 2
5
5 1
= - -
+ - +
2
= - ．
50．（2026·山东济南·一模）计算：
1
0
1
4
2cos45
π
2026
2
3
-
æ
ö
-
°+
-
+ -
+ ç
÷
è
ø
．
【答案】6 ．
【分析】先进行算术平方根、特殊三角函数值、零指数幂、化简绝对值、负整数指数幂运算，然后合并计
算即可得到最终结果．
【详解】解：
1
0
1
4
2cos45
π
2026
2
3
-
æ
ö
-
°+
-
+ -
+ ç
÷
è
ø
2
2
2
1
2
3
2
=
- ´
+ +
+
2
2
1
2
3
=
-
+ +
+
6
=
．
题型11 分式的化简求值
51．（2026·陕西西安·二模）先化简，再求值：
2
2
2
1
2
1
1
x
x
x
x
x
x
x
+
+
æ
ö
-
¸
ç
÷
-
-
è
ø
，其中
5
x = - ．
【答案】
5
,
1 4
x
x +
【分析】原式括号内先通分计算减法，再进行除法运算，然后把
5
x = - 代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
2
2
2
1
2
1
1
x
x
x
x
x
x
x
+
+
æ
ö
-
¸
ç
÷
-
-
è
ø
2
2
1
1
1
1
x
x
x
x x
x
é
ù
+
=
-
¸
ê
ú
-
-
ê
ú
ë
û
2
2
2
1
1
1
x
x
x x
x
-
=
´
-
+
2
2
1
1
1
1
x
x
x
x x
x
+
-
=
´
-
+
1
x
x
=
+ ；
当
5
x = - ，
5
5
1
5 1
4
x
x
-
=
=
+
- +
．
52．（2026·甘肃平凉·一模）先化简
2
2
2
1
3
1
4
2
x
x
x
x
-
+
æ
ö
¸
-
ç
÷
-
+
è
ø
，再从2
- ，1
- ，1，2 中选取一个合适的数作为x
的值代入求值．
【答案】1
2
x
x
-
-
，
2
3
-
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x 的值，代入计算即可．
【详解】解：原式
2
2
2
1
3
2
4
2
2
x
x
x
x
x
x
-
+
+
æ
ö
=
¸
-
ç
÷
-
+
+
è
ø
2
2
2
1
3
2
4
2
x
x
x
x
x
-
+
-
-
=
¸
-
+
2
1
2
2
2
1
x
x
x
x
x
-
+
=
×
+
-
-
1
2
x
x
-
=
-
，
Q当
2,1,2
x = -
时，分式无意义，
\取
1
x = - ，
当
1
x = - 时，原式
1
1
2
1 2
3
- -
=
= -
- -
．
53．（2026·重庆·一模）先化简，再求值：
2
2
2
1
2
2
1
2
1
3
3
x
x
x
x x
x
x
x
æ
ö
-
-
+
-
+
+
¸
+ -
ç
÷
-
-
è
ø
，其中
1
0
1
sin30
π
3
2
x
-
æ
ö
=
+ -
+
÷
è
°
-
ç
ø
．
【答案】
2
1
x + ，4
【分析】先利用分式的混合运算进行化简，再根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，确定
字母的值，求值即可．
【详解】解：原式
2
2
2
2
1
3
2
2
1
2
1
2
3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
é
ù
+
-
-
+
-
=
+
+ -
-
+
¸ ê
ú
-
-
ë
û
2
1
1
1
1
3
3
x
x
x
x
x
-
+
-
+
= +
¸
-
-
，
2
1
1
3
1
3
1
x
x
x
x
x
-
+
-
= -
´
-
+
1
1
1
x
x
-
= -
+
2
1
x
=
+ ；
由
1
0
1
sin30
π
3
2
x
-
æ
ö
=
°+ -
+
-
ç
÷
è
ø
，
得
1
1
2 1
2
2
x
-
= -
=
+
，
故原式
2
4
1
1
2
=
=
-
+
．
54．（2026·山东东营·一模）计算、化简求值：
(1)计算：
1
0
1
π
3.14
2sin60
12
1
3 3
2026
-
æ
ö
+
-
-
° -
+
-
ç
÷
è
ø
；
(2)先化简，再求值：
2
4
5
1
1
1
1
a
a
a
a
a
a
-
æ
ö
æ
ö
+ -
¸
-
ç
÷
ç
÷
-
-
è
ø
è
ø ，其中
2
3
a =
+
．
【答案】(1)2026
(2)
2
2
a
a
-
，2 3
3
+
【分析】（1）根据负整数指数幂、零次幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质化简即可求解；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，
把a 的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：
1
0
1
π
3.14
2sin60
12
1
3 3
2026
-
æ
ö
+
-
-
° -
+
-
ç
÷
è
ø
3
2026 1 2
2 3
3 3
1
2
=
+ - ´
-
+
-
2026 1
3
2 3
3 3
1
=
+ -
-
+
-
2026
=
；
（2）解：
2
4
5
1
1
1
1
a
a
a
a
a
a
-
æ
ö
æ
ö
+ -
¸
-
ç
÷
ç
÷
-
-
è
ø
è
ø
2
1
4
5
1 1
1
1
a
a
a
a
a a
- -
+
- -
=
¸
-
-
2
4
4
2
1
1
a
a
a
a
a a
-
+
-
=
¸
-
-
2
2
1
1
2
a
a a
a
a
-
-
=
×
-
-
2
a a
=
-
2
2
a
a
=
-
，
当
2
3
a =
+
时，
原式
2
3
2
3
2
2
3
3
2 3
3
=
+
+
-
=
+
×
=
+ ．
55．（2026·山东菏泽·一模）计算
(1)计算：
1
0
1
3
25
2026
2cos30
2
-
æ
ö
- -
+
-
-
°
ç
÷
è
ø
(2)先化简，再求值：
2
2
1
4
4
1
1
1
x
x
x
x
-
+
æ
ö
-
¸
ç
÷
-
-
è
ø
，其中
tan 45
2
x =
°+
【答案】(1)5
3
-
(2)
1
2
x
x
+
-
-
，4
-
【分析】（1）先化简绝对值，计算负整数指数幂、求算术平方根、计算零次幂、将特殊角的三角函数值代
入，然后计算加减法即可；
（2）先计算分式的混合运算，然后代入求解即可
【详解】（1）解：原式
1
1
3
3
5 1 2
2
1
2
=
-
+ - - ´
æ
ö
ç
÷
è
ø
3
2
5 1
3
=
-
+ - -
5
3
=
-
（2）
2
2
1
4
4
1
1
1
x
x
x
x
-
+
æ
ö
-
¸
ç
÷
-
-
è
ø
2
)
1 1
(
2
(
1
1
)(
)
1
x
x
x
x
x
- -
-
=
-
+
-
¸
2
1
1
2
1
2
x
x
x
x
x
+
-
-
=
´
-
-
1
2
x
x
+
= -
-
，
当
tan 45
2
1
2
3
x =
°+
= +
=
时，
原式
3 1
4
3
2
+
= -
= -
-
题型12 方程、不等式组的解法
56．（2026·浙江金华·一模）解方程组：
4
5
3
3
5
x
y
x
y
-
=
ì
í
-
=
î
【答案】
2
{
1
x
y
=
=
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可．
掌握消元法解方程组是解题的关键．
【详解】解：
4
5
3
3
5
x
y
x
y
-
=
ì
í
-
=
î
①
②，
由
5
´ -
②
①得：11
22
x =
，
解得
2
x =
，
将
2
x =
代入②中得：3 2
5
y
´
-
=
，
解得
1
y = ，
\方程组的解为
2
{
1
x
y
=
= ．
57．（2026·陕西榆林·模拟预测）解方程：3
5
3
5
x
x
x
-
=
+
．
【答案】
5
4
x = -
【分析】根据解分式方程的步骤计算即可得出结果，注意检验．
【详解】解：去分母可得：
2
3
3
5
5
5
x
x x
x
-
+
=
+
，
去括号可得：
2
2
3
3
15
5
25
x
x
x
x
-
-
=
+
，
解得：
5
4
x = -
．
经检验，
5
4
x = -
是原分式方程的根，
∴分式方程的解为
5
4
x = -
．
58．（2026·安徽六安·二模）解方程：
(1)
2
3
4
0
x
x
-
-
=
(2)
3
2
1
x
x
=
+
【答案】(1)
1
4
x =
，
2
1
x = -
(2)
2
x =
【分析】（1）因式分解法求解即可．
（2）根据分式方程的求解步骤求解即可．
【详解】（1）解：
2
3
4
0
x
x
-
-
=
∴
4
1
0
x
x
-
+
=
解得
1
4
x =
，
2
1
x = - ．
（2）解：
3
2
1
x
x
=
+
方程两边同乘
1
x x +
，去分母得
3
2
1
x
x
=
+
，
去括号，得3
2
2
=
+
x
x
，
移项，得3
2
2
x
x
-
=
，
合并同类项，得
2
x =
，
检验：当
2
x =
时，
1
6
0
x x +
=
¹
，
∴
2
x =
是原分式方程的根．
59．（2026·甘肃平凉·一模）解不等式组
3
2
4
1
2
1
3
x
x
x
x
ì -
-
³
ïí +
-
ïî
①
②
，并写出不等式组的非负整数解．
【答案】
1
x £ ，非负整数解为0 ，1．
【分析】分别解两个不等式，取公共部分，即为不等式组的解集，写出非负整数解即可．
【详解】解：
3
2
4
1
2
1
3
x
x
x
x
ì -
-
³
ïí +
-
ïî
①
②
，
由①得
1
x £ ，
由②得
4
x <
，
∴不等式组的解集为
1
x £ ，
∴不等式组的非负整数解为0 ，1．
60．（2026·天津河北·一模）解不等式组
4
3
3 ,
1
1
1.
2
x
x
x
+
³
ìïí -
³ -
ïî
①
②，请结合解题过程，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得________；
(2)解不等式②，得________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为________．
【答案】(1)
3
x ³ -
(2)
4
x £
(3)见解析
(4) 3
4
x
- £
£
【分析】（1）根据解不等式的基本步骤解答即可；
（2）根据解不等式的基本步骤解答即可；
（3）根据不等式的意义表示即可；
（4）根据不等式组解集的意义求解即可．
【详解】（1）解：4
3
3
x
x
+
³
，
移项，得4
3
3
x
x
-
³ - ，
合并同类项，得
3
x ³ - ；
（2）解：
1
1
1
2 x
-
³ - ，
去分母，得2
2
x
-
³ - ，
移项，得
2
2
x
- ³ - -
，
合并同类项，得
4
x
- ³ - ；
系数化为1，得
4
x £
；
（3）解：根据题意，表示如下：
（4）解：根据题意，得原不等式组的解集为3
4
x
- £
£
．
题型13 用列表法或树状图求概率
61．（2026·陕西西安·二模）2026 年两会期间，航天科技工作者表示火箭重复使用技术将支撑航天产品化
发展．某校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动，
其中甲同学在这次航天知识科普竞赛活动中的成绩为A 等级，乙、丙、丁三名同学的成绩均为B 等级．
(1)若从甲、乙、丙、丁这四名同学中随机抽取1 人进行知识分享，则选中的同学成绩为A 等级的概率为
______；
(2)若从甲、乙、丙、丁这四名同学中随机抽取2 人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求
出选中的两名同学的成绩等级不同的概率．
【答案】(1) 1
4
(2) 1
2
【分析】（1）根据题意可知成绩为A 等级的只有甲，利用概率公式计算即可；
（2）根据题意画树状图，得到所有等可能的结果12 种，其中选中的两名同学的成绩等级不同的结果有6 种，
用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可知成绩为A 等级的只有甲，
\选中的同学成绩为A 等级的概率为1
4 ；
（2）解：根据题意画树状图如下，
得到所有等可能的结果12 种，其中选中的两名同学的成绩等级不同的结果有6 种，
\选中的两名同学的成绩等级不同的概率为6
1
12
2
=
．
62．（2026·江西上饶·二模）在学校组织的国学比赛中，小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选
手需在每个环节中抽取一道题目．
第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙；
第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读．
(1)“小明在第一环节抽到的题目是经典诵读”是 事件；（填“必然”“随机”或“不可能”）
(2)请用列表法或画树状图法，求小明参加总决赛所抽取题目都是成语题目（成语故事，成语接龙，成语听
写）的概率．
【答案】(1)不可能
(2) 1
6
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据画树状图可进行求解概率．
【详解】（1）解：由题意可知：在第一环节中没有经典诵读这道题，所以“小明在第一环节抽到的题目是
经典诵读”是不可能事件；
（2）解：令第一环节的四个题目分别用
1A ，
2
A ，
3
A ，
4
A 表示，第二环节的三个题目分别用
1
2
3
,
,
B B B 表示，
画树状图如图，
由树状图可知，共有12 种等可能的结果，其中小明参加总决赛所抽取题目都是成语题目的结果有2 种，
∴P（小明参加总决赛所抽取题目都是成语题目）
2
1
12
6
=
=
．
63．（2026·甘肃平凉·一模）中国象棋源于先秦时期的六博等游戏，历经演变，唐代牛僧孺加入“炮”使其接
近现代形制，至宋代完全定型，融合古代兵法智慧，传承至今．张彤和李颖利用象棋棋盘和棋子做游戏，
张彤将四枚棋子（除正面汉字不同外，其余均相同）反面朝上搅匀后放在棋盘上，其中有两个“马”、一个
“兵”、一个“士”．李颖随机从这四枚棋子中摸一枚棋子，记下正面汉字，不放回，张彤再随机从剩下的三枚
棋子中摸一枚棋子．
(1)李颖摸到的棋子正面上的汉字是“马”的概率为_____；
(2)游戏规定：若两人摸到的棋子中只要正面上的汉字有“士”，则李颖胜，否则，张彤胜．请用画树状图或
列表的方法判断这个游戏对双方是否公平．
【答案】(1) 1
2
(2)公平
【分析】（1）利用简单事件的概率公式直接计算即可；
（2）将两个“马”、一个“兵”、一个“士”分别记为
1
2
,
, ,
A A B C ，画出树状图，则可得在两人摸到的棋子中的所
有等可能的结果，以及两人摸到的棋子中正面上的汉字有“士”的结果、汉字没有“士”的结果，再利用概率公
式计算他们各自获胜的概率，据此进行判断即可．
【详解】（1）解：∵李颖随机从这四枚棋子中摸一枚棋子共有4 种等可能的结果，其中，摸到的棋子正面
上的汉字是“马”的结果有2 种，
∴李颖摸到的棋子正面上的汉字是“马”的概率为
2
1
4
2
P =
=
．
（2）解：将两个“马”、一个“兵”、一个“士”分别记为
1
2
,
, ,
A A B C ，画出树状图如下：
由图可知，在两人摸到的棋子中，共有12 种等可能的结果，其中，两人摸到的棋子中正面上的汉字有“士”
的结果有6 种，汉字没有“士”的结果也有6 种，
则李颖胜的概率为
6
1
12
2
P =
=
，张彤胜的概率为
6
1
12
2
P =
=
，
∴两人获胜的概率相等，
∴这个游戏对双方公平．
64．（2026·陕西宝鸡·一模）中国画讲求“以形写神、形神兼备”的基本造型法则，其按题材可分为人物画、
山水画、花鸟画三大类（如图），爱好美术的晓伟同学计划从这三类中选择一类进行学习，他制作了两个
不透明的小盒子，在A 盒中放了3 个黄球和1 个红球，在B 盒中放了3 个红球和1 个黄球（这些球除颜色
不同外其他均相同），分别摇匀后，先从A 盒中随机摸出一个球，再从B 盒中随机摸出一个球．若摸出的
两个球均为黄球，则选择人物画进行学习；若摸出的两个球均为红球，则选择山水画进行学习；若摸出的
两个球颜色不同，则选择花鸟画进行学习．
(1)晓伟从A 盒中摸出的是黄球的概率为___________；
(2)请用列表或画树状图的方法求晓伟最终选择花鸟画进行学习的概率．
【答案】(1) 3
4
(2)见解析，5
8
【分析】（1）根据概率公式进行计算即可；
（2）先画出树状图，然后根据概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵在A 盒中放了3 个黄球和1 个红球，
∴晓伟从A 盒中摸出的是黄球的概率为3
4 ；
（2）解：根据题意画出树状图，如图所示：
∵共有16种等可能的情况数，其中摸出的两个球颜色不同的情况数有10 种情况，
∴晓伟最终选择花鸟画进行学习的概率为10
5
16
8
=
．
65．（2026·甘肃陇南·一模）数学活动小组在网上找到了四张图片（用A,B,C,D 分别表示燃放烟花、晾干衣
服、水果发霉、冰雪消融），有的是物理变化，有的是化学变化．他们设置了一次跨学科的游戏活动，制
作了如下四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，将四张卡片背面朝上．
(1)从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是物理变化的概率是____；
(2)从中随机抽取两张，利用画树状图或列表的方法求抽到的卡片内容都是物理变化的概率．
【答案】(1) 1
2
(2) 1
6
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）先根据题意画出树状图，可知共有12 种等可能的结果，其中抽到的卡片内容都是物理变化的结果有2
种，然后利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：四张图片中，物理变化有两张，故从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是物理变化的概
率是2
1
4
2
=
．
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12 种等可能的结果，其中抽到的卡片内容都是物理变化的结果有
,
B D ，
,
2
D B
种，
2
1
12
6
P
\
=
=
．
题型14 统计的综合问题
66．（2026·陕西榆林·模拟预测）为科学掌握校园餐饮节约情况，进一步推动“光盘行动”常态化开展，某校
从七、八年级各随机抽取20 名学生，对其午餐剩余饭菜重量（以下简称“餐余重量”，单位：克）的数据进
行整理、描述和分析，为后续开展针对性节约宣传提供依据．已知所有学生的餐余重量均不超过500 克（餐
余重量用x 表示，共分成五组：A．0
100
x
<
£
；B．100
200
x
<
£
；C．200
300
x
<
£
；D．300
400
x
<
£
；
E．400
500
x
£
£
），下面给出了部分信息：
七年级20 名学生的餐余重量数据：52，60，76，83，87，120，130，151，151，178，212，220，228，
255，260，274，320，350，375，418．
八年级20 名学生的餐余重量在B 组中的数据：120，123，144，153，172，180，198．
七、八年级20 名学生的餐余重量统计表
年级
平均数
中位数
众数
七
200
195
a
八
190
b
220
根据以上信息，解答下列问题：
(1)图表中的a = ，b = ，m = ；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生“光盘行动”落实得更好？并说明理由（写出一条
理由即可）；
(3)该校七、八年级共有980 名学生，请估计该校七、八年级餐余重量不超过100 克的学生共有多少人．
【答案】(1)151，176，20
(2)八年级的学生“光盘行动”落实得更好，因为七年级学生餐余重量的平均数和中位数均大于八年级
(3)估计该校七、八年级餐余重量不超过100 克的学生共有245 人
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求出a
b
、，由各项百分比和为1求出m ；
（2）根据平均数和中位数进行判断即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【详解】（1）解：七年级的数据中出现次数最多的是151，故
151
a =
；
八年级A 组的人数为20 25%
5
´
=
（人），则把八年级20 名学生的餐余重量按照从低到高的顺序排列，第
10 个和第11 个数据分别为172 和180，故
172 180
176
2
b
+
=
=
；
B 组占比为7
100%
35%
20 ´
=
，则
%
1 5% 15%
25%
35%
20%
m
= -
-
-
-
=
，故
20
m =
；
（2）解：八年级的学生“光盘行动”落实得更好，
理由如下：
七年级所抽学生的餐余重量的平均数和中位数均高于八年级，故八年级的学生“光盘行动”落实得更好；
（3）解：该校七、八年级共有980 名学生，则
5
5
980
100%
245
40
+
´
´
=
（人），
答：估计该校七、八年级午餐餐余重量不超过100 克的学生共有245 人．
67．（2026·重庆·模拟预测）为了加强学生的传统文化和非遗保护意识，某校对学生进行传统文化知识测评，
从该校七年级、八年级两个年级各随机抽取20 名学生的测试成绩（满分为100 分）进行整理和分析，所有
学生的成绩均高于60 分（成绩得分用x 表示，共分成四组：A：60
70
x
<
£
，B：70
80
x
<
£
，C：
80
90
x
<
£
，D：90
100
x
<
£
，下面给出了部分信息：
七年级20 名学生的测试成绩是：61，63，65，68，72，73，76, 81, 85，86，88，88，88，89，92，94，
95，97，99，100；
八年级20 名学生的成绩在C 组中的数据是：81，83，85，88，89，90；
七年级、八年级抽取的学生测试成绩统计表
年级
平均数
众数
中位数
七年级
83
a
87
八年级
83
91
b
根据上述信息，解答下列问题：
(1)填空：a =______，b = ______，m = ______；
(2)请根据以上数据进行分析，该校七年级和八年级的学生中，哪个年级的学生掌握传统文化知识更好？并
说明理由；
(3)若该校七年级有学生400 名，八年级有学生500 名，请估计七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀
（90
100
x
<
£
）的学生总共有多少名？
【答案】(1)88；88.5；40
(2)八年级的学生掌握传统文化知识更好，理由见解析
(3)估计七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（90
100
x
<
£
）的学生总共有320 名．
【分析】（1）根据中位数、众数的定义可求出a
b
、的值，再根据八年级20 名学生测试成绩在D 组的人数
可求出m ；
（2）根据中位数和众数的大小可得答案；
（3）求出样本中七、八年级中优秀所占的百分比，即可求解．
【详解】（1）解：七年级学生的测试成绩出现次数最多的是88 分，共出现3 次，
∴众数
88
a =
，
八年级20 名学生成绩A 组有20 10%
2
´
=
（人），B 组有20
20%
4
´
=
（人），C 组有6 人，D 组有
20
2
4
6
8
-
-
-
=
（人），
将20 名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数为88，89，
∴
88
89
88.5
2
b
+
=
=
，
8
%
100%
40%
20
m
=
´
=
，
∴
40
m =
；
（2）解：八年级的学生掌握传统文化知识更好，
理由：八年级学生的测试成绩的中位数，众数均比七年级学生成绩的中位数，众数要高；
（3）解：
6
400
500 40%
320
20
´
+
´
=
（名）．
估计七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（90
100
x
<
£
）的学生总共有320 名．
68．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）2025 年，人工智能正深度融入各行各业，Deepseek 等AI模型备受瞩目，
相关技术突破与应用场景不断拓展，成为社会各界热议的焦点话题．目前人工智能市场分为A：学习辅助类
人工智能，B：娱乐互动类人工智能，C：生活服务类人工智能，D：创意设计类人工智能四大类型．为了
解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果
绘制成如下统计图（不完整）．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)此次共调查了________人，条形统计图中A 类所对应的人数为________；
(2)扇形统计图中A 类对应圆心角的度数为________；若将这些被调查者按照关注的类型按ABCD 进行排序，
试求这些学生关注类型的中位数在________类；
(3)若该学校共有学生2000 人，请根据本次调查结果，估计全校最关注“生活服务类人工智能（C 类）”的学
生约有多少人？
【答案】(1)500，150
(2)108°，C
(3)680 人
【分析】（1）用B 类的人数除以占比即可求解共调查的人数；再由总数减去
,
,
B C D 的人数即可求解A 类的
人数；
（2）用360°乘以A 类的占比，即可求解圆心角；再由中位数的定义即可求解中位数在哪一类；
（3）用样本估计总体的方法求解即可．
【详解】（1）解：此次共调查了：80
16%
500
¸
=
（人）；
条形统计图中A 类所对应的人数：500
80 170 100
150
-
-
-
=
（人）；
（2）解：
150
360
108
500
´
=
°
°；
由于调查总数500 人，那么中位数为第250 和第251个数据的平均数，由条形统计图可得第250 和第251个
数据在C 类；
（3）解：
170
2000
680
500
´
=
（人），
答：全校最关注“生活服务类人工智能（C 类）”的学生约有680 人．
69．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）为增强学生的交通安全意识，某校开展了“交通安全知识竞赛”活动，并
从七年级和八年级中各随机抽取50 名学生的竞赛成绩进行数据整理，得到统计图表如下：
平均数
众数
中位数
方差
七年级
8.2
8
8
3.1
八年级
7.46
b
c
1.8084
根据以上信息解答问题：
(1)填空：表中的b = ___________，c = ___________；
(2)你认为___________年级的成绩更整齐，理由是___________；
(3)若规定7 分及以上为优秀，该校八年级共2000 名学生参加了此次竞赛，估计此次竞赛成绩优秀的学生人
数是多少？
【答案】(1)8，8
(2)八，八年级的方差更小
(3)此次竞赛成绩优秀的学生人数约是1520 人
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据方差越小越稳定判断即可；
（3）用样本中优秀学生的占比来估计总体优秀学生的占比，进一步可求得答案．
【详解】（1）解：八年级随机抽取50 名学生的竞赛成绩中，分值为8 分的学生人数最多，有15 人，所以
众数
8
b =
；
将八年级随机抽取的50 名学生的竞赛成绩从小到大排列，中间两名学生的竞赛成绩都为8 分，所以中位数
8
8
8
2
c
+
=
= ；
（2）解：八年级的成绩更整齐，理由是八年级的方差更小；
（3）解：
12 15
8
3
2000
1520
50
+
+ +
´
=
（人），
答：此次竞赛成绩优秀的学生人数约是1520 人．
70．（2026·四川德阳·一模）百度推出了“文心一言” AI 聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包” AI
聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别
随机抽取20 份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用x 表示，分为四个等级：（A：
60
70
x
<
£
，B：70
80
x
<
£
，C：80
90
x
<
£
，D：90
100
x
<
£
）．下面给出了部分信息，甲款评分数据：
64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．乙款评分数据
中C 组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．
甲、乙款评分统计表
设备
平均数
中位数
众数
甲
86
85.5
a
乙
86
b
87
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中a =____________，b = ____________．
(2)计算乙款聊天机器人的评分扇形统计图中D 组对应的圆心角；
(3) Deepseek （简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选
择其中一款进行体验测评，请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择
Deepseek 的概率．
【答案】(1)85，86.5
(2)72°
(3) 5
9
【分析】（1）先找出甲款评分中出现次数最多的数得到众数a ，再根据乙款各等级人数确定中位数位置，
取第10、11 个数的平均数得到b ；
（2）先算出乙款D 组人数占样本的比例，再用360°乘以该比例得到对应圆心角；
（3）用树状图列出所有9种等可能结果，数出至少一人选丙的5 种情况，用符合条件的结果数除以总结果
数得到概率．
【详解】（1）解：根据题意可知，甲款满意度的众数为85，故
85
a =
；
乙款A、B 组共有
20
10%
30%
8
´
+
=
个数据，
则乙组的中位数为第10 个、第11 个数的平均数，即86
87
86.5
2
+
=
，故
86.5
b =
；
（2）解：根据（1）可知，乙款C 组人数为8 人，则D 组人数为
20
20
10%
30%
8
4
-
´
+
-
=
人，
则其对应圆心角：
4
360
72
20
°´
=
° ；
（3）解：画树状图列出所有可能的结果为：
共有9种等可能的结果数，其中两人中至少有一人选择Deepseek 的结果数为5 种，
故两人中至少有一人选择Deepseek 的概率为5
9 ．
题型15 尺规作图与无刻度作图
71．（2026·广西钦州·一模）如图，在正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，连接AE ．
(1)尺规作图：作
DCF
BAE
Ð
= Ð
，CF 交线段AD 于点F（要求保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)求证：
ABE
CDF
△
≌△
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）首先由正方形的性质得到
90
B
D
Ð
= Ð
=
° ，AB
CD
=
，然后根据ASA 证明
ABE
CDF
△
≌△
即可．
【详解】（1）解：如图，
DCF
Ð
即为所求．
（2）证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴
90
B
D
Ð
= Ð
=
° ，AB
CD
=
．
在ABE
V
和CDF
V
中，
BAE
DCF
AB
CD
B
D
Ð
= Ð
ì
ï
=
í
ïÐ
= Ð
î
∴
ASA
ABE
CDF
V
V
≌
．
72．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在Rt ABC
V
中，
90
ACB
Ð
=
°，
4
AC =
，
3
BC = ，请用无刻度直尺
和圆规完成作图并解答．
(1)在AC 边上作点O ，使
O
e
经过点C ，且与AB 相切于点P （不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求线段AP 的长．
【答案】(1)图见解析
(2)
2
AP =
【分析】（1）作
ABC
Ð
的平分线，与AC 的交点即为点O ，以点O 为圆心，OC 为半径作圆，
O
e
与AB 的
交点即为点P ；
（2）连接OP ，由切线的性质可得∠
90
∠
APO
ACB
=
° =
，进而可证明
AOP
ABC
△
∽△
，则OA
OP
AB
BC
=
，化
简得
5
3
OA
OP
=
，结合OP
OC
=
和
4
AC =
可计算出
3
2
OP =
，进一步可计算出OA和AP ．
【详解】（1）解：
O
e
和点P 如图所示：
由角平分线性质可知，点O 到BC 和AB 的距离相等，都等于半径OC ，因此
O
e
与AB 相切于点P ；
（2）解：如图，连接OP ，
∵AB 与
O
e
相切于点P ，
∴OP
AB
^
，
∴∠
90
∠
APO
ACB
=
° =
，
在Rt ABC
V
中，
2
2
2
2
3
4
5
AB
BC
AC
=
+
=
+
=
，
∵
OAP
BAC
Ð
= Ð
，
∴
AOP
ABC
△
∽△
，
∴OA
OP
AB
BC
=
，即5
3
OA
OP
=
，
∴
5
3
OA
OP
=
，
∵OP
OC
=
，
4
AC
OC
OA
=
+
=
，
∴
5
4
3
OP
OP
+
=
，解得
3
2
OP =
，
∴
5
5
3
2
OA
OP
=
=
，
由勾股定理可得，
2
2
2
2
5
3
2
2
2
AP
OA
OP
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
73．（2026·广西南宁·二模）如图，
ABCD
Y
的对角线
,
AC BD 相交于点O ，点E 是OD 的中点，连接CE ．
(1)尺规作图：作BO 的中点F ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接AF ，证明：AF
CE
=
．
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）分别以点B，O 为圆心，以BO 为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN 交BO 于点F，
则点F 即为所求作；
（2）先根据平行四边形的对角线互相平分得出
,
AO
CO BO
DO
=
=
，即可得出EO
FO
=
，再根据“边角边”证
明AOF
COE
V
V
≌
，然后根据全等三角形的对应边相等得出答案．
【详解】（1）解：如图所示，点F 即为所求作；
（2）证明：如图所示，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴
,
AO
CO BO
DO
=
=
．
∵点E 是DO 的中点，点F 是BO 的中点，
∴
1
1
,
2
2
EO
DO FO
BO
=
=
，
∴EO
FO
=
．
∵
,
AO
CO
AOF
COE
=
Ð
= Ð
，
∴
AOF
COE SAS
V
V
≌
，
∴AF
CE
=
．
74．（2026·宁夏银川·一模）如图，在平行四边形ABCD 中，AC
BC
^
，且AC
BC
=
，点E 为AB 的中点，
请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图1 中，作出DC 的中点F ；
(2)在图2 中，作一个以AB 为对角线的正方形；
(3)在图3 中，作一个以EC 为对角线的正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了限定工具作图，熟练掌握平行四边形的判定与性质、正方形的判定是解题的关键．
（1）连接BD ，交AC 于点O ，连接EO 并延长交CD 于点F ，此时点F 即为所求。由平行四边形对角线互
相平分可以知道点O 是AC 的中点，所以EO 是
ABC
V
的中位线，由此可证明点F 即为CD 的中点；
（2）连接CE 并延长交DA 延长线于G ，连接BG ，四边形ACBG 即为所求的正方形；由作法和已知容易证
明
AAS
AEG
BEC
V
V
≌
，进而可得四边形ACBG 是平行四边形，再由AC
BC
^
，且AC
BC
=
，可得平行四
边形ACBG 既是矩形也是菱形，所以四边形ACBG 是正方形；
（3）连接BD ，交AC 于点H ，连接EC 交BD 于点O ，连接AO 并延长交BC 于G ，连接EH 、EG ，四边
形EHCG 即为所求的正方形．由平行四边形性质可知H 是AC 的中点，由点E 为AB 的中点，可知
1
1
2
2
EH
BC
AC
HC
=
=
=
，EH
BC
∥
，由三角形中线相交于一点可知AG 是
ABC
V
的中线，
1
2
GC
BC
EH
=
=
，由此证明四边形EHCG 是平行四边形，也是矩形和菱形．
【详解】（1）解：如图所示，点F 即为所求；
（2）解：如图，四边形ACBG 即为所求的正方形；
（3）解：四边形EHCG 即为所求的正方形．
75．（2026·广西桂林·一模）如图，
ABC
V
内接于
O
e
，BC 为
O
e
的直径，点D 是弧AC 的中点，连接
OD ，交AC 于点M ．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作直线DE ，使得
∥
DE
AC，且交BC 的延长线于点E （保留作图痕迹，不写作
法）；
(2)求证：DE 是
O
e
的切线；
(3)若
6
AB =
，
10
BC =
，求DE 的长．
【答案】(1)图见解析；
(2)证明见解析；
(3)
20
3
DE =
．
【分析】（1）根据过直线外一点作直线平行线的尺规作图方法作出DE 即可；
（2）结合垂径定理逆定理得OD
AC
^
，再结合DE
AC
P
可证OD
DE
^
，即DE 是
O
e
的切线；
（3）先由直径所对的圆周角为直角得
90
A
Ð
=
°，再由勾股定理得
8
AC =
，利用两角相等证明
ABC
DOE
V
V
∽
，根据相似三角形的性质即可求出DE 的长．
【详解】（1）解：如图所示，直线DE 即为所求：
（2）证明：Q点D 是弧AC 的中点，
AD
CD
\
=
，
OD
Q
为半径，
OD
AC
\
^
，
DE
AC
Q
P
，
CMO
EDO
\Ð
= Ð
，
即OD
DE
^
，
DE
\
是
O
e
的切线；
（3）解：
BC
Q
为
O
e
的直径，
90
A
\Ð
=
° ，
1
5
2
OD
BC
=
=
，
\在Rt
ABC
△
中，
6
AB =
，
10
BC =
，
2
2
2
2
10
6
8
AC
BC
AB
=
-
=
-
= ，
OD
DE
^
Q
，
90
ODE
\Ð
=
° ，
90
A
ODE
\Ð
= Ð
=
° ，
DE
AC
Q
P
，
ACB
OED
\Ð
= Ð
，
ABC
DOE
\V
V
∽
，
DE
OD
AC
BA
\
=
，
即
5
8
6
DE =
，
20
3
DE
\
=
．
题型16 一次函数与反比例函数的综合
76．（2026·河南开封·模拟预测）如图，正比例函数
1
2
y
x
=
的图象与反比例函数
k
y
x
=
0
0
k
x
¹ ，＞
的图象
相交于点
4
A a，，点P 为射线OA上位于点A 右侧的一点，且
2
OA
AP
=
，过点P 作PQ
x
^
轴，垂足为Q，
交反比例函数的图象于点M．
(1)求反比例函数
k
y
x
=
的解析式；
(2)求AP ，PM 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
10
2 5,
3
AP
PM
=
=
【分析】（1）先确定
8 4
A
，，代入
k
y
x
=
求解即可；
（2）过点A 作AN
x
^
轴，垂足为N，证明AON
POQ
V
V
∽
，利用函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：∵点
4
A a，在正比例函数
1
2
y
x
=
的图象上，
∴1
4
2 a =
，
解得
8
a =
，
∴
8 4
A
，，
∵点
8 4
A
，在反比例函数
k
y
x
=
的图象上，
∴
8 4
32
k = ´
=
，
∴反比例函数的解析式为
32
y
x
=
；
（2）解：如图，过点A 作AN
x
^
轴，垂足为N，
∵PQ
x
^
轴，
AN
PQ
\
P
，
∴AON
POQ
V
V
∽
，
∴AN
OA
PQ
OP
=
，
∵
2
OA
AP
=
，
∴
2
3
AN
OA
PQ
OP
=
=
，
∵
4
AN =
，
∴
6
PQ =
，
将
6
y =
代入正比例函数
1
2
y
x
=
，
得
12
x =
，
将
12
x =
代入反比例函数
32
y
x
=
，
得
8
3
y =
，
∴
8
12,6
12, 3
P
M æ
ö
ç
÷
è
ø
，
，
∴
8
10
6
3
3
PM =
-
=
，
2
2
12
8
6
4
2 5
AP =
-
+
-
=
；
77．（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A 在反比例函数
4 (
0)
y
x
x
=
<
的图象上，点B
在反比例函数
(
0,
0)
k
y
k
x
x
=
¹
<
的图象上，连接AB 交x 轴于点C，AB
y
∥
轴，点D 在x 轴正半轴上，
OC
OD
=
，连接
,
AD BD ，已知
ABD
△
的面积为12．
(1)求k 的值；
(2)若点
2,0
D
，在反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
<
的图象上是否存在点E 使得四边形ADBE 为平行四边形，若存
在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 8
-
(2)不存在，理由见解析
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的几何应用，平行四边形的性质，正确掌握相关
性质内容是解题的关键．
（1）先设点
4
,
A m m
æ
ö
ç
÷
è
ø ，结合AB
y
∥
轴，得出
,0
D
m
-
，根据面积公式以及
ABD
△
的面积为12，进行列式
计算，即可作答．
（2）先得出
2,0
C -
，再代入反比例函数求出
2,
2
A -
-
，假设存在点
,
E a b 使得四边形ADBE 为平行四
边形，
结合平行四边形以AB 为对角线，列式计算得
6,2
E -
，因为6 2
12
0
- ´
= -
¹
，即
6,2
E -
不在反比例函数
8 (
0)
y
x
x
= -
<
的图象上．
【详解】（1）解：∵点A 在反比例函数
4
0
y
x
x
=
<
的图象上，
设点
4
,
A m m
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
∵AB
y
∥
轴，
则点
, k
B m m
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
∴
,0
C m
∵OC
OD
=
点
,0
D
m
-
，
ABD
QV
的面积为12，
1
4
2
12
2
k
m
m
m
æ
ö
\
-
× -
=
ç
÷
è
ø
，
解得
8
k = - ，
∴k 的值为8
- ．
（2）解：不存在．
理由如下：
OC
OD
=
Q
，
2,0
D
，
∴
2,0
C -
，
由（1）得k 的值为8
- ．
把
2
x = - 代入
4
y
x
=
得
4
2
2
y =
= -
-
，
2,
2
A
\
-
-
，
由（1）得k 的值为8
- ．
把
2
x = - 代入
8
y
x
-
=
，得
8
4
2
y
-
=
=
-
，
得
2,4
B -
，
假设存在点
,
E a b 使得四边形ADBE 为平行四边形，
根据题意得，平行四边形以AB 为对角线，
2
2
2
2
2
a
- + -
+
\
=
，2
4
0
2
2
b
- +
+
=
，
6,2
E
\
-
，
∵6 2
12
8
- ´
= -
¹ -
即
6,2
E -
不在反比例函数
8 (
0)
y
x
x
= -
<
的图象上．
78．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，直线
1
1
y
k x
b
=
+
与双曲线
2
2
k
y
x
=
在第一象限内交于A
B
、两点，
已知
2,
A
n ，
3,2
B
．
(1)分别求出直线和双曲线的函数表达式；
(2)设点M 是线段AB 上的一个动点，过点M 作MC
x
^
轴于点C ，N 是y 轴上一点，当MNC
V
的面积最大
时，请求出此时M 点的坐标．
【答案】(1)
1
5
y
x
= - + ，
2
6
y
x
=
(2)
5 5
,
2 2
M æ
ö
ç
÷
è
ø
【分析】（1）将
3,2
B
代入
2
2
k
y
x
=
求出反比例函数解析式，再将
2,
A
n 代入反比例函数解析式求出n 的值，
进而可求直线的函数表达式；
（2）设
,
5
M m
m
-
+
，先求出m 的取值范围，再根据题意得到MNC
V
的面积的函数表达式，根据二次函数
的性质作答即可．
【详解】（1）解：将
3,2
B
代入
2
2
k
y
x
=
得
2
2
3
k
=
，
解得：
2
6
k =
，
∴
2
6
y
x
=
，
将
2,
A
n 代入
2
6
y
x
=
得
6
3
2
n =
=
，
∴
2,3
A
，
将
2,3
A
、
3,2
B
代入
1
1
y
k x
b
=
+
得：
1
1
3
2
2
3
k
b
k
b
=
+
ì
í =
+
î
解得：
1
1
5
k
b
= -
ì
í =
î
，
∴
1
5
y
x
= - + ；
（2）解：设
,
5
M m
m
-
+
，
∵点M 是线段AB 上的一个动点，
∴2
3
m
£
£ ，
∵过点M 作MC
x
^
轴于点C ，N 是y 轴上一点，
∴
5
MC
m
= -
+
，N 到MC 的距离为m，
∴MNC
V
的面积
2
2
1
5
8
1
1
2
25
2
5
5
2
2
m
m
m
m
m
=
=
æ
ö
-
+
-
-
+
ç
÷
è
ø
´
´
= -
-
，
∵
1
0
2
-
<
，
∴当
5
2
m =
时，MNC
V
的面积最大，
∵
5
2
m =
在2
3
m
£
£ 的范围内，
5
5
5
2
2
-
+
=
∴当MNC
V
的面积最大时，
5 5
,
2 2
M æ
ö
ç
÷
è
ø ．
79．（2026·四川南充·一模）如图，直线
2
y
x
= - +
与双曲线
k
y
x
=
相交于
( 2,4)
A -
，B 两点，与y 轴交于点C ．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求点B 的坐标；
(3)若点D 与点C 关于x 轴对称，求
ABD
△
的面积．
【答案】(1)
8
y
x
= -
(2)
4, 2
B
-
(3)12
【分析】（1）将
( 2,4)
A -
代入
k
y
x
=
计算即可；
（2）将直线
2
y
x
= - +
与双曲线
8
y
x
= -
联立求解即可；
（3）先求出
0,2
C
，再根据轴对称的性质得到
0, 2
D
-
，可知
4
CD =
，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：将
( 2,4)
A -
代入
k
y
x
=
得4
2
k
= - ，
解得：
8
k = - ，
∴
8
y
x
= -
；
（2）解：将直线
2
y
x
= - +
与双曲线
8
y
x
= -
联立得
8
2
x
x
- +
= -
，
解得：
1
2
=
2,
=4
x
x
-
，
经检验，
1
2
=
2,
=4
x
x
-
均为原分式方程的解，
当
4
x =
时，
4
2
2
y = - +
= - ，
∴
4, 2
B
-
；
（3）解：当
0
x =
时，
0
2
2
y = - +
=
，
∴
0,2
C
，
∵点D 与点C 关于x 轴对称，
∴
0, 2
D
-
，
∴
2
2
4
CD =
- -
=
，
∴
ABD
△
的面积
1
1
4 2
4 4
4
8
12
2
2
=
´ ´ +
´ ´
=
+
=
．
80．（2026·河南周口·一模）如图，已知一次函数
2
10
y
x
=
+
与
1
5
2
y
x
= -
-
，它们的图象与x 轴分别交于
,
A B
两点，交点C 在反比例函数
0
k
y
x
x
=
<
的图象上，AD 是
ABC
V
的角平分线，与BC 交于点D ．
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)尺规作图：求作
ABD
△
的高线DE （保留作图痕迹，不写作法）；
(3)在（2）的条件下，连接CE ，求证：AD 垂直平分CE ．
【答案】(1)
12
0
y
x
x
-
=
<
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）联立
2
10
y
x
=
+
与
1
5
2
y
x
= -
-
，可得点C 的坐标，即可求得反比例函数的表达式；
（2）以点D 为圆心画弧，与x 轴交于
,
M N 两点，再以
,
M N 为圆心，大于1
2 MN 为半径画弧交于点P ，连
接DP 与x 轴交于点E ，则DE 即为所求；
（3）过点C 作CF
x
^
轴于点F ，先证明
90
ACB
Ð
=
°，再证明
ACD
AED
△
≌△
，可得
,
AC
AE DC
DE
=
=
，
即可得AD 垂直平分CE ．
【详解】（1）解：联立
2
10
1
5
2
y
x
y
x
=
+
ìïí
= -
-
ïî
，
解得
3
4
x
y
= -
ì
í
=
î
，
∴
3,4
C -
，
将
3,4
C -
代入
0
k
y
x
x
=
<
得，4
3
k
= - ，
∴
12
k = -
，
∴反比例函数的表达式
12
0
y
x
x
-
=
<
．
（2）解：如图，DE 即为所求．
（3）证明：∵一次函数
2
10
y
x
=
+
与
1
5
2
y
x
= -
-
的图象与x 轴分别交于
,
A B 两点，
令
0
y =
，得
5,0 ,
5,0
A
B
-
，
由（1）可知
3,4
C -
，
过点C 作CF
x
^
轴于点F ，则
2,
4,
8,
10
AF
CF
BF
AB
=
=
=
=
，
∴
2
2
2
2
2
2
4
20
AC
AF
CF
=
+
=
+
=
，
2
2
2
2
2
8
4
80
BC
BF
CF
=
+
=
+
=
，
2
2
2
100
AB
AC
BC
=
+
=
，
∴
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
∴
90
ACB
Ð
=
°，
由（2）得DE 是
ABD
△
的高线，
∴DE
AB
^
，
∴
90
AED
Ð
=
° ，
∴
AED
ACD
Ð
= Ð
，
∵AD 是
ABC
V
的角平分线，
∴
CAD
BAD
Ð
= Ð
，
在ACD
V
和
AED
△
中，
ACD
AED
CAD
EAD
AD
AD
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
AAS
ACD
AED
V
V
≌
，
∴
,
AC
AE DC
DE
=
=
，
∴点A 在CE 的垂直平分线上，点D 在CE 的垂直平分线上，
∴AD 垂直平分CE ．
题型17 二次函数的综合
81．（2026·山东日照·模拟预测）已知抛物线
2
4
4
0
y
mx
mx
m m
=
-
+
¹
．
(1)求该抛物线的顶点坐标；
(2)已知
1
3,
A
y
-
，
2
,
B s y
是该抛物线上的两个点，且
1
2
y
y
=
，求s的值：
(3)当2
3
x
- £
£
时，函数y 的最大值为32．
①求m 的值；
②若
1
,
M a y
，
2
,
(
0)
N a
t y
t
+
是该抛物线上两点且位于其对称轴的两侧，在点M 和点N 之间的抛物线
部分，最高点与最低点的纵坐标之差为2，求t 的取值范围．
【答案】(1)
2,0
(2)
7
s =
(3)
2
m =
；1
2
t
< £
【分析】（1）将函数解析式化为顶点式求解即可；
（2）求出抛物线的对称轴，根据抛物线对称性列方程计算即可；
（3）①分情况讨论：若
0
m <
时，则当
2
x =
时，y 的最大值为0，不符合题意；当
0
m
时，由二次函数的
性质可求出m 的值；
②求出点M 和点N 之间的抛物线上的最高点的纵坐标为2，求出
1
1
x = ，
2
3
x =
，由
1
a = 或
3
a
t
+ =
可求出
答案．
【详解】（1）解：∵
2
2
2
4
4
4
4
2
0
y
mx
mx
m
m x
x
m x
m
=
-
+
=
-
+
=
-
¹
，
∴该抛物线的顶点坐标是
2,0 ；
（2）解：∵抛物线
2
4
4
0
y
mx
mx
m m
=
-
+
¹
的对称轴为
4
2
2
m
x
m
-
= -
=
´
，
1
3,
A
y
-
，
2
,
B s y
是该抛物线上
的两个点，且
1
2
y
y
=
，
∴3
2
2
s
- +
=
，
解得
7
s =
；
（3）解：①∵由（1）知该抛物线的对称轴为直线
2
x =
，
当
0
m
时，抛物线开口向上，
∵
2
2
4
3
2
1
- -
=
-
= ，
∴当
2
x = - 时，y 的最大值为32，则4
8
4
32
m
m
m
+
+
=
，解得
2
m =
；
当
0
m <
时，抛物线开口向下，2
3
x
- £
£
，则当
2
x =
时，y 的最大值为0，这与y 的最大值为32 相矛盾，
故不符合题意．
综上，m 的值为2；
②由①知该抛物线的表达式为
2
2
8
8
y
x
x
=
-
+ ，
∵抛物线的对称轴为直线
2
x =
，顶点为
2 0
，，
∴y 的最小值为0．
∵M ，N 两点在对称轴两侧，
∴
2
a
a
t
<
<
+ ，
∵最高点与最低点的纵坐标之差为2，
∴点M 和点N 之间的抛物线上的最高点的纵坐标为2，
当
2
y =
时，得
2
2
8
8
2
x
x
-
+
=
，解得
1
1
x = ，
2
3
x =
，
即抛物线上纵坐标为2 的点为
1,2 和
3,2 ，
当
1
a = 时，则2
3
a
t
<
+ £ ，解得1
2
t
< £
，
当
3
a
t
+ =
时，则1
2
a
£
<
，得1
3
2
t
£
- <
，解得1
2
t
< £
，
综上，t 的取值范围是1
2
t
< £
．
82．（2026·天津河北·一模）已知抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ （a ，b ，c 为常数，
0
a
），与y 轴交于点C ，点
D 为拋物线顶点，2
0
a
b
-
=
．
(1)若
2
b =
，
3
c = ，求抛物线顶点D 的坐标；
(2)若点
3,3
P
在抛物线上，过点
3,5
M
作x 轴的平行线交抛物线第一象限的部分于点H ，连接PH ，过点
2,3
N
作y 轴的平行线交抛物线于点I ，连接PN ．
①当
2
MP
NI
=
时，求点I 的坐标与拋物线的解析式；
②当15
7
7
NI
MH
-
=
时，求a 的值．
【答案】(1)
1,2
-
(2)①
2,2
I
，
2
1
2
6
7
7
7
y
x
x
=
+
+
；②
19
2
15
-
【分析】（1）根据题干条件写出抛物线的解析式，化为顶点式后得出顶点坐标；
（2）①根据题干可得二次函数的表达式为
2
2
3 15
y
ax
ax
a
=
+
+
-
，从而得到点I 的坐标为
2,3
7a
-
，则
7
NI
a
=
，容易得到
2
MP = ，结合
2
MP
NI
=
计算出a 的值，最后写出点I 的坐标和抛物线的解析式即可；
②由①可知，
7
NI
a
=
，结合15
7
7
NI
MH
-
=
可得
15
1
MH
a
=
-
，分析函数的图象与性质可知，点H 在点M
的右侧，因此点H 的坐标为
15
2,5
a +
，将点
15
2,5
H
a +
代入
2
2
3 15
y
ax
ax
a
=
+
+
-
，解方程求出a 的值．
【详解】（1）解：∵2
0
a
b
-
=
，
2
b =
，
3
c = ，
∴
1
a = ，
∴抛物线为
2
2
2
3
1
2
y
x
x
x
=
+
+
=
+
+
，
∴顶点D 的坐标为
1,2
-
；
（2）解：①∵2
0
a
b
-
=
，
∴
2
b
a
=
，
∴
2
2
y
ax
ax
c
=
+
+
，
将点
3,3
P
代入
2
2
y
ax
ax
c
=
+
+
，得3
9
6
a
a
c
=
+
+
，
∴
3 15
c
a
=
-
，
∴
2
2
3 15
y
ax
ax
a
=
+
+
-
，
∵
∥
NI
y 轴，且点N 的坐标为
2,3 ，
∴点I 的坐标为
2,3
7a
-
，
∴
3
3
7
7
NI
a
a
=
-
-
=
，
∵
0
a
，
∴
7
NI
a
=
，
∵
3,3
P
，
3,5
M
，
∴
2
MP = ，
∵
2
MP
NI
=
，
∴
1
NI = ，
∴7
1
a = ，即
1
7
a =
，
∴点I 的坐标为
2,2 ，抛物线的解析式为
2
1
2
6
7
7
7
y
x
x
=
+
+
；
②由①可知，
2
2
3 15
y
ax
ax
a
=
+
+
-
，
7
NI
a
=
，
∵15
7
7
NI
MH
-
=
，
∴
15
1
MH
a
=
-
，
∵
∥
MH
x 轴，且点M 的坐标为
3,5 ，
∴点H 的坐标为
15
2,5
a +
或
4 15 ,5
a
-
，
如图，
∵抛物线过点
3,3
P
，图象开口向上，
∴点
3,5
M
在抛物线内部，
又∵抛物线的对称轴为直线
1
2
b
x
a
= -
= - ，
∴直线MH 与抛物线在第一象限只有一个交点，
∴点H 在点M 的右侧，即点H 的坐标为
15
2,5
a +
，
将点
15
2,5
H
a +
代入
2
2
3 15
y
ax
ax
a
=
+
+
-
，得：
2
5
15
2
2
15
2
3 15
a
a
a
a
a
=
+
+
+
+ -
，
整理，得
2
15
2 15
4
1
0
a
a
a
+
+
-
=
，
∵15
2
0
a +
，
∴
2
15
4
1
0
a
a
+
-
=
，
解得
19
2
15
-
=
a
或
19
2
15
a
-
-
=
（负值，舍去），
∴
19
2
15
-
=
a
．
83．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
3
4 (
0)
y
ax
ax
a a
=
+
-
与x 轴交于
A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ．
(1)当
10
ABC
S
=
△
时，求抛物线的表达式；
(2)在（1）的条件下，若点D 位于直线AC 下方的抛物线上，线段BD 与AC 交于点E ，当DE
BE 最大时，求点
D 的坐标；
(3)点F 坐标为( 3, 3)
-
-
，点G 坐标为(0, 2)
-
，连接FG ，若抛物线
2
3
4
y
ax
ax
a
=
+
-
与线段FG 有交点，求a
的取值范围．
【答案】(1)
2
3
4
y
x
x
=
+
-
(2)点D 的坐标为( 2, 6)
-
-
(3)当3
2 2
3
15
4
a
+
£
£
时，抛物线
2
3
4
y
ax
ax
a
=
+
-
与线段FG 有交点
【分析】（1）先令抛物线解析式中
0
y =
，因式分解求出A 、B 两点坐标，再结合ABC
V
的面积求出OC 的
长度，确定点C 坐标，代入解析式求出a 的值，从而得到抛物线的表达式；
（2）先求出直线AC 的解析式，过点B 、D 分别作y 轴的平行线交直线AC 于点N 、M ，利用相似三角形
将DE
BE 转化为DM
BN ，设出点D 的坐标表示出DM 的长度，将DE
BE 表示为关于m 的二次函数，求出其最大值
对应的m 值，进而得到点D 的坐标；
（3）先分别代入F 、G 两点坐标求出对应的a 值，再求出线段FG 的解析式，联立抛物线与直线FG 的方
程得到一元二次方程，再根据判别式等于0 求出抛物线与线段FG 相切时的a 值，验证切点横坐标在线段FG
范围内后，综合得到a 的取值范围．
【详解】（1）解：∵
2
3
4 (
0)
y
ax
ax
a a
=
+
-
与x 轴交于A ，B 两点，
∴令
0
y =
，则
2
3
4
0
a x
x
+
-
=
，
(
1)(
4)
0
x
x
-
+
=
，
解得
1
1
x = ，
2
4
x = - ，
∴
( 4,0)
A -
，
(1,0)
B
，
∴
5
AB =
，
∵
1
10
2
ABC
S
AB OC
=
=
×
△
，即1
5
10
2
OC
´ ´
=
，
∴
4
OC =
，
∴
(0, 4)
C
-
，
把点C 的坐标代入
2
3
4
y
ax
ax
a
=
+
-
，得
4
4
a
-
= - ，
解得
1
a = ，
把
1
a = 代入解析式，得
2
3
4
y
x
x
=
+
-
；
（2）解：如图，分别过点B ，D 作y 轴的平行线，交直线AC 于点N ，M ，
∴DM
BN
P
，
∴DEM
BEN
V
V
∽
，
∴DE
DM
BE
BN
=
，
∵直线AC 过
4,0
-
，
0, 4
-
，
∴设直线AC 的解析式为y
kx
b
=
+
，则
4
0
4
k
b
b
-
+
=
ì
í
= -
î
，
解得
1
4
k
b
= -
ì
í = -
î
，
∴
4
AC
y
x
= - -
，
当
1
x = 时，
1
4
5
y = - -
= - ，
∴点
(1, 5)
N
-
，
设点D 的坐标为
2
,
3
4
D m m
m
+
-
，
∴
( ,
4)
M m
m
-
-
，
∴
2
4
DM
m
m
= -
-
，
∴
2
2
4
1
4
2
5
5
5
DE
DM
m
m
m
BE
BN
-
-
=
=
= -
+
+
，
∴当
2
m = - 时，DE
BE 最大为4
5 ，
此时
2
3
4
6
m
m
+
-
= - ，
∴当DE
BE 最大时，点D 的坐标为( 2, 6)
-
-
；
（3）解：若
2
3
4
y
ax
ax
a
=
+
-
过点( 3, 3)
-
-
，
∴3
4a
- = -
，
即
3
4
a =
，
若
2
3
4
y
ax
ax
a
=
+
-
过点(0, 2)
-
，
∴2
4a
- = -
，
即
1
2
a =
，
∵
( 3, 3)
F -
-
，
(0, 2)
G
-
，
∴设直线FG 的解析式为y
px
q
=
+
，则
3
3
2
p
q
q
-
+
= -
ì
í
= -
î
，
解得
1
3
2
p
q
ì
=
ïí
ï = -
î
，
∴
1
2
3
FG
y
x
=
-
，
若抛物线
2
3
4
y
ax
ax
a
=
+
-
与线段FG 有交点，
∴
2
3
4
1
2
3
y
ax
ax
a
y
x
ì
=
+
-
ïí
=
-
ïî
，
∴
2
1
3
(4
2)
0
3
ax
a
x
a
æ
ö
+
-
-
-
=
ç
÷
è
ø
，
当线段FG 与抛物线仅有一个交点时，
2
1
3
4 (4
2)
0
3
a
a
a
æ
ö
-
+
-
=
ç
÷
è
ø
，
解得：
1
3
2 2
15
a
+
=
，
2
3
2 2
15
a
-
=
（舍去），
综上，当3
2 2
3
15
4
a
+
£
£
时，抛物线
2
3
4
y
ax
ax
a
=
+
-
与线段FG 有交点．
84．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与探究
如图①，在平面直角坐标系中，已知二次函数
2
y
x
bx
c
= -
+
+
的图象与x 轴交于点
1,0 ,
3,0
A
B
-
，与y 轴
交于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图②，连接BC ，过点C 作CD
BC
^
与抛物线相交于另一点D．
①求点D 的坐标；
②将直线CD 平移，若直线CD 与第一象限的抛物线和线段BC （不包括点B 和点C）分别交于点M，N，
在平移过程中，求出线段MN 长度的取值范围；
③如图③，E，F 为线段BC 上两个动点（点E 在点F 的右侧），且
2
EF =
，连接OF ，DE ，则OF
DE
+
的最小值是______．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
= -
+
+
(2)①
1 4,
D
；②0
9 2
8
MN
<
£
；③5
【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式；
（2）①延长DC 与x 轴相交于点G ，证明COG
V
是等腰直角三角形，从而得到G 点坐标，求出直线CG 的解
析式，联立抛物线解析式求解即可；
②如图②，过点M 作MQ
y
∥
轴，交线段BC 于点Q ．由①可知
45 ,
90
CBO
OCB
DCB
Ð
= Ð
=
° Ð
=
°．由平
移，得CD
MN
∥
，则
90
MNB
DCB
Ð
= Ð
=
°，结合MQ
y
∥
轴，得出
45
MQC
NMQ
Ð
= Ð
=
° ，则MN
NQ
=
，
在Rt MNQ
V
中，
2
2
MN
MQ
=
．设点M 的横坐标为
0
3
n
n
<
<
．则
2
,
2
3
M n
n
n
-
+
+
，求出直线BC 的解
析式，根据MQ
y
∥
轴，点Q 在线段BC 上，得出
,
3
Q n
n
- +
．表示出
2
3
9
2
4
MQ
n
æ
ö
= -
-
+
ç
÷
è
ø
，再根据二次函
数的性质即可求解；
③过点O 作OH
EF
∥
，且
2
OH
EF
=
=
，连接
,
HE DH ，设DH 交x 轴为点G ，然后证明四边形OFEH 是
平行四边形，根据DE
EH
DH
+
³
，得出DE
EH
DH
+
=
时，DE
EH
+
最小，进一步求出DH 即可；
【详解】（1）解：∵
1,0 ,
3,0
A
B
-
在二次函数
2
y
x
bx
c
= -
+
+
的图象上，
设该二次函数为
1
2
y
x
x
x
x
= -
-
-
，
1
3
y
x
x
\
= -
+
-
，
2
2
3
y
x
x
\
= -
+
+ ．
（2）解：①把
0
x =
代入
2
2
3
y
x
x
= -
+
+ ，
得
3
y = ，
0,3
C
\
，
如图，延长DC 与x 轴相交于点G ．
3,0 ,
0,3
B
C
Q
，
3
OB
OC
\
=
=
，
90
COB
Ð
=
°
Q
，
45
CBO
\Ð
=
°，
90
DCB
BCG
Ð
=
° = Ð
Q
，
90
90
45
45
CGB
CBO
\Ð
=
°- Ð
=
°-
° =
°，
180
180
90
45
45
GCO
COG
CGB
\Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°-
°-
° =
° ，
3
OG
OC
\
=
=
，
3,0
G
\
-
，
设直线CG 的解析式为：
0
y
kx
m k
=
+
¹
，
把
0,3 ,
3,0
C
G -
代入，得
3
0
3
m
k
m
=
ì
í = -
+
î
，
解得
1
3
k
m
=
ì
í
=
î
，
∴直线CG 的解析式为：
3
y
x
=
+ ，
∵点D 是直线CG 与二次函数的交点，
∴联立解析式
2
3
2
3
y
x
y
x
x
=
+
ì
í
= -
+
+
î
，
解得
0
3
x
y
=
ì
í
=
î
或
1
4
x
y
=
ì
í
=
î
，
1,4
D
\
．
②如图②，过点M 作MQ
y
∥
轴，交线段BC 于点Q ．
由①可知
45 ,
90
CBO
OCB
DCB
Ð
= Ð
=
° Ð
=
°．
由平移，得CD
MN
∥
，
90
MNB
DCB
\Ð
= Ð
=
° ，
∵MQ
y
∥
轴，
45
MQC
OCB
\Ð
= Ð
=
° ，
45
MQC
NMQ
\Ð
= Ð
=
°，
MN
NQ
\
=
，
∴在Rt MNQ
V
中，
2
2
MN
MQ
=
．
设点M 的横坐标为
0
3
n
n
<
<
．
2
,
2
3
M n
n
n
\
-
+
+
，
设直线BC 的解析式为
1
1
1
0
y
k x
b k
=
+
¹
．
把点
3,0 ,
0,3
B
C
代入，得
1
1
1
0
3
3
k
b
b
=
+
ì
í =
î
，
解得
1
1
1
3
k
b
= -
ì
í
=
î
，
∴直线BC 的解析式为
3
y
x
= - +
．
∵MQ
y
∥
轴，点Q 在线段BC 上，
∴
,
3
Q n
n
- +
．
∴
2
2
2
3
9
2
3
(
3)
3
2
4
MQ
n
n
n
n
n
n
æ
ö
= -
+
+
- - +
= -
+
= -
-
+
ç
÷
è
ø
．
∴当
3
2
n =
时，MQ 有最大值，最大值为9
4 ．
∴
2
2
9
9 2
2
2
4
8
MN
MQ
=
=
´
=
．
∴MN 的最大值为9 2
8
．
∵
0
MN
，
∴0
9 2
8
MN
<
£
．
③如图，过点O 作OH
EF
∥
，且
2
OH
EF
=
=
，
连接
,
HE DH ，
设DH 交x 轴为点G ．
OH
EF
∥
Q
，且OH
EF
=
，
∴四边形OFEH 是平行四边形，
OF
EH
\
=
，
45
CBO
Ð
=
°
Q
，
45
BOH
\Ð
=
°，
∴OGH
V
为等腰直角三角形，
OG
GH
\
=
，
2
2
2
2,
OH
EF
OG
GH
OH
=
=
+
=
Q
，
1
OG
GH
\
=
= ，
1, 1
H
\
-
，
DE
OF
DE
EH
DH
+
=
+
³
Q
，
\当DE
EH
DH
+
=
时，DE
EH
+
最小，即DE
OF
+
最小，
1,4 ,
1, 1
D
H
-
Q
，
5
DH
\
=
，
此时
,
,
D E H 三点共线且DH
x
^
轴，
∴点F 的坐标为
0,3 与点C 重合，满足EF 在线段BC 上．
∴DE
OF
+
的最小值为5．
85．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）抛物线
2
1
1
:
1
L
y
x
x
=
-
- 与抛物线
2
2
2
:
L
y
x
bx
c
= -
+
+
交于
1,
A
m
-
，
3,
B
n 两点．
(1)求抛物线
2
L 的解析式；
(2)如图，过点
,0 ( 1
3)
T t
t
- < <
作x 轴的垂线交抛物线
1L 于点D ，交抛物线
2
L 于点C ，交线段AB 于点E ．
①求证：CE
DE
=
②顺次连接AD ，DB ，BC ，CA ，四边形ADBC 的形状随着t 值的变化而变化，判定四边形ADBC 能否是
矩形，如果能是矩形，求出相应的t 值；如果不能是矩形，说明理由；
(3)已知y 是x 的函数，其图象记为L ，当
1
2
y
y
³
时，
1
y
y
=
；当
1
2
y
y
<
时，
2
y
y
=
．直线y
x
k
=
+
与图象L
有四个交点，自左向右依次标记为M ，N ，P ，Q ．
①直接写出图象L 的解析式，并指明自变量的取值范围；
②若
2
MQ
PN
=
，直接写出k 的值．
【答案】(1)抛物线
2
L 的解析式为
2
2
3
5
y
x
x
= -
+
+
(2)①证明见解析；②四边形ADBC 不能是矩形，理由见解析
(3)①
2
2
2
1
1
3
5( 1
3)
1(
3)
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
ì
-
-
£ -
ï
= -
+
+
- <
£
í
ï
-
-
î
；②
22
5
k =
【分析】（1）先求出点A ，B 的坐标，再用待定系数法求解出抛物线
2
L 的解析式；
（2）①先求出直线AB 的函数表达式，用t 表示点C 、E 、D 的坐标，计算出CE 、DE 的表达式，即可判
断二者是否相等；②假设四边形ADBC 能是矩形，通过计算得出AB
CD
¹
，不满足矩形的对角线相等，与
假设矛盾，故得出四边形ADBC 不能是矩形；
（3）①根据题意，得出函数图象，即可得出函数L 的解析式；②将交点问题转换为方程根的问题，结合一
元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】（1）解：∵点
1,
A
m
-
，
3,
B
n 在抛物线
2
1
1
:
1
L
y
x
x
=
-
- 上，
∴
2
1
1
1
1
m = -
- -
- = ，
23
3 1
5
n =
- - =
，
∴
1,1
A -
，
3,5
B
，
代入抛物线
2
2
2
:
L
y
x
bx
c
= -
+
+
，
得
1
1
5
9
3
b
c
b
c
= - -
+
ì
í = - +
+
î
，解得
3
5
b
c
=
ì
í =
î
，
故抛物线
2
L 的解析式为
2
2
3
5
y
x
x
= -
+
+
．
（2）解：①令直线AB 的函数表达式为
AB
AB
AB
y
k
x
b
=
+
，
将点
1,1
A -
，
3,5
B
代入
AB
AB
AB
y
k
x
b
=
+
，
得
1
5
3
AB
AB
AB
AB
k
b
k
b
= -
+
ì
í =
+
î
，解得
1
2
AB
AB
k
b
=
ì
í
=
î
，
∴直线AB 的函数表达式为
2
AB
y
x
=
+
，
当x
t
= 时，
2
1
1
y
t
t
=
- - ，
2
2
3
5
y
t
t
= -
+
+
，
2
AB
y
t
= +
，
即
2
,
3
5
C t
t
t
-
+
+
，
,
2
E t t +
，
2
,
1
D t t
t
- -
，
∴
2
2
3
5
2
2
3
CE
t
t
t
t
t
= -
+
+ -
+
= -
+
+
，
2
2
2
1
2
3
DE
t
t
t
t
t
= +
-
- -
= -
+
+
，
∴CE
DE
=
．
②假设四边形ADBC 能是矩形，则其对角线交点为点E ，
则该情况下点E 为AB 中点，
∵
1,1
A -
，
3,5
B
，
∴
1,3
E
，
2
2
1 3
1 5
4 2
AB =
- -
+
-
=
，
当
1
x = 时，
2
1
1
1
y
t
t
=
- - = - ，
2
2
3
5
7
y
t
t
= -
+
+
=
，
∴
1,7
C
，
1, 1
D
-
，
∴
7
1
8
CD =
- -
=
，
∵AB
CD
¹
，不满足矩形的对角线相等，与假设矛盾，
故四边形ADBC 不能是矩形．
（3）解：①根据题意，可得函数实际图象如下：
∵
1,1
A -
，
3,5
B
，
∴
2
2
2
1
1
3
5( 1
3)
1(
3)
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
ì
-
-
£ -
ï
= -
+
+
- <
£
í
ï
-
-
î
．
②若y
x
k
=
+
与图象L 有四个交点，自左向右依次标记为M ，N ，P ，Q ，
可判断出点M ，Q为y
x
k
=
+
与
2
1
y
x
x
=
-
- 部分的两个交点，设其交点横坐标为
1x 、
4x ；
点N ，P 为y
x
k
=
+
与
2
3
5
y
x
x
= -
+
+ 部分的两个交点，设其交点横坐标为
2x 、
3x ；
故可得方程
2
1
x
k
x
x
+
=
-
- ，
2
3
5
x
k
x
x
+
= -
+
+
，
化简得
2
2
1
0
x
x
k
-
- -
=
，
2
2
5
0
x
x
k
-
+
-
=
，
则
1x 、
4x 为方程
2
2
1
0
x
x
k
-
- -
=
的两个解，
2x 、
3x 为方程
2
2
5
0
x
x
k
-
+
-
=
的两个解，
∴
1
4
2
x
x
+
=
，
1
4
1
x x
k
= - -
，
2
3
2
x
x
+
=
，
2
3
5
x x
k
=
- ，
故
2
4
1
1
4
1
4
4
2 2
x
x
x
x
x x
k
-
=
+
-
=
+
，
2
3
2
2
3
2
3
4
2 6
x
x
x
x
x x
k
-
=
+
-
=
-
，
∵
2
MQ
PN
=
，
∴
4
1
3
2
2
x
x
x
x
-
=
-
，
化简得
2
2 6
k
k
+
=
-
，
解得
22
5
k =
．
题型18 利用函数解决实际问题
86．（2026·四川成都·一模）爱媛46 号柑橘（又名“阿蜜达”）是近年引进的新品种，由“红美人”与“春见”杂
交育成．某农户种植了4 亩“阿蜜达”，去年处于盛果期，年产量平均2000kg /亩．为提高收益和风险可控，
采用电商零售和地头统货两种销售方式，且电商零售销量不超过地头统货销量的60% ．除去采果、运输等
成本，电商零售净收入平均12元/ kg ，地头统货净收入10元/ kg ．
(1)求销售总收入y（元）与地头统货销量x （kg ）之间的函数关系式；
(2)若人工、化肥等种植成本为7000 元/亩，求该农户去年种植“阿蜜达”的最大利润．
【答案】(1)
2
96000 5000
8000
y
x
x
= -
+
£
£
(2)58000元
【分析】（1）先根据4 亩柑橘的总产量、地头统货销量x 求出电商零售销量，再结合电商销量不超过地头
销量60% 的条件确定x 的取值范围，最后根据两种销售方式的净收入列出销售总收入y 与的函数关系式；
（2 ）先计算出4 亩柑橘的总种植成本，再用销售总收入减去总种植成本得到利润W 关于x 的一次函数，结
合一次函数的单调性，在x 的取值范围内取最小值求出最大利润．
【详解】（1）解：∵总产量为2000 4
8000kg
´
=
，地头统货销量为xkg ，
∴电商零售销量为
8000
x kg
-
，
∵电商零售销量不超过地头统货销量的60% ，
∴8000
0.6
x
x
-
£
解得：
5000
x ³
∵
8000
x £
，
∴x 的取值范围是5000
8000
x
£
£
，
地头统货收入10x 元，电商零售收入
12 8000
x
-
元，
因此，销售总收入：
10
12 8000
y
x
x
=
+
-
2
96000 5000
8000
x
x
= -
+
£
£
；
（2）解：设利润为W ，
总种植成本为：4 7000
28000
´
=
元
则
28000
W
y
=
-
，
代入y 得：
( 2
96000)
28000
2
68000
W
x
x
= -
+
-
= -
+
∵一次函数W 中，
2
0
k = - <
，
∴W 随x 的增大而减小，
∴当x 取最小值
5000
x =
时，
W 取得最大值：
2 5000
68000
58000
W
= - ´
+
=
最大
因此该农户去年种植的最大利润为58000元．
87．（2026·陕西榆林·模拟预测）为进一步提升公园景观设施安全性，优化通行体验，某公园拟对园内抛物
线形观景拱桥ACB 进行加固修缮．该拱桥的跨度
20m
AB =
，最高点C 到地面AB 的竖直距离为5m ．施工期
间搭建的“脚手架”可看成矩形EFGH （点H
G
，
分别在抛物线上，点E
F
，
分别在直线AB 上）．以AB 的中
点O 为原点，AB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．
(1)求拱桥所在抛物线的函数表达式；
(2)若“脚手架” EFGH 的三边所用钢材长度为18.4m （EF 是地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E 与
拱桥端点A 的距离AE ．
【答案】(1)
2
1
5
20
y
x
= -
+
(2) 4m
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）设点
2
1
,
5
20
G t
t
æ
ö
-
+
ç
÷
è
ø ，由题意得到相关线段长度，从而列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点
0,5
C
，
∴设拱桥所在抛物线的函数表达式为
2
5
0
y
ax
a
=
+
¹
，
将
10,0
B
代入表达式，得
2
0
10
5
a
=
+
，解得
1
20
a = -
，
∴拱桥所在抛物线的函数表达式为
2
1
5
20
y
x
= -
+
；
（2）解：设点
2
1
,
5
20
G t
t
æ
ö
-
+
ç
÷
è
ø ，
根据题意得
2 m
HG
t
=
，
2
1
5 m
20
HE
GF
t
æ
ö
=
= -
+
ç
÷
è
ø
，
m
OE
t
=
，
10m
OA =
，
∵
18.4m
EH
HG
GF
+
+
=
，
∴
2
1
2
2
5
18.4
20
t
t
æ
ö
+
-
+
=
ç
÷
è
ø
，
解得1
6
t =
，2
14
t =
（不合题意，舍去），
∴
4 m
AE
AO
OE
=
-
=
．
88．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）端午节是我国的传统节日，吃粽子是中华民族传统习俗．市场上每盒豆沙
粽的进价比海鲜粽的进价便宜10 元，某商家用8000 元购进的海鲜粽和用6000 元购进的豆沙粽盒数相
同．根据市场经验：当售价不高于50 元/盒时，每天销量稳定在100 盒；当售价高于50 元/盒时，售价每提
高1 元，每天少售2 盒．
(1)求海鲜粽和豆沙粽每盒的进价；
(2)若设海鲜粽每盒售价为x 元，每天销售海鲜粽的利润为y 元，求y 与x 之间的关系式；
(3)若海鲜粽每盒售价不得低于进价，且每天至少售出70 盒，求该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润及
此时的售价．
【答案】(1)海鲜粽每盒进价40 元，豆沙粽每盒进价30 元
(2)
2
100
4000,
40
50
2
280
8000,
50
x
x
y
x
x
x
ì
-
£
£
ï
= í-
+
-
ïî
(3)最大利润为1750 元，此时海鲜粽每盒售价为65 元
【分析】（1）设每盒海鲜粽的进价为x 元，则每盒豆沙粽的进价为
10
x -
元，根据用8000 元购进的海鲜
粽和用6000 元购进的豆沙粽盒数相同，列出方程，解方程即可；
（2）分为当40
50
x
£
£
时及当
50
x
时，两种情况分类讨论，列出关系式即可；
（3）分两种情况，分别求出一次函数及二次函数的最值，再进行比较即可求出该商家每天销售海鲜粽能获
得的最大利润．
【详解】（1）解：设每盒海鲜粽的进价为x 元，则每盒豆沙粽的进价为
10
x -
元，
由题意得：8000
6000
10
x
x
=
-
，
解得：
40
x =
，
经检验，
40
x =
是原分式方程的解，
则
10
40
10
30
x -
=
-
=
，
答：海鲜粽每盒进价40 元，豆沙粽每盒进价30 元；
（2）解：当40
50
x
£
£
时，此时销量固定为100 盒．单盒利润为(
40)
x -
元．
则总利润：
100(
40)
100
4000 40
50
y
x
x
x
=
-
=
-
£
£
当
50
x
时，售价比50 元提高了(
50)
x -
元，销量减少2(
50)
x -
盒．此时销量为：100
2(
50)
200
2
x
x
-
-
=
-
（盒）．单盒利润为(
40)
x -
元．
则总利润：
(
40)(200
2 )
y
x
x
=
-
-
2
2
280
8000 50
100
x
x
x
= -
+
-
<
£
；
∴y 与x 之间的关系式
2
100
4000,
40
50
2
280
8000,
50
x
x
y
x
x
x
ì
-
£
£
ï
= í-
+
-
ïî
（3）解：根据题意得：
100
2
50
70
x
-
-
³
é
ù
ë
û
，
解得：
65
x £
，
∴40
65
x
£
£
，
当40
50
x
£
£
时，
100
4000
y
x
=
-
，
因为
100
0
k =
，
所以y 随x 的增大而增大．
当
50
x =
时，y 取得最大值，为：100 50
4000
1000
´
-
=
，
当50
65
x
<
£
时：
∵
2
2
280
8000
y
x
x
= -
+
-
2
2
70
1800
x
= -
-
+
，
\抛物线对称轴为直线
70
x =
，
2
0
a = - <
Q
，
\抛物线开口向下，
当
70
x <
时，y 随x 的增大而增大，
\当
65
x =
时，y 取得最大值，
1750
y
=
最大
，
∵1750
1000
，
\该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润为1750元，此时海鲜粽每盒售价为65 元．
89．（2026·浙江湖州·模拟预测）为探究绕中心轴匀速转动时机械臂展开半径对转动速度的影响，某数学兴
趣小组开展了机械双臂旋转实验【机械臂档案】如图1，机械双臂质量均匀分布，对称展开可绕中心轴自
转．上臂AB ，下臂BC 长均为25cm ．双臂对称张开时，AC 始终保持水平，即AC
MN
P
．
【资料链接】该机械双臂近似满足：匀速绕轴旋转时的半径r 与转动速度v 的乘积为定值，即k
vr
=
，k 为
常数（图1 中，r 为最远点C 到中心轴的垂直距离，v 为最远点C 的旋转速度，中心轴粗细忽略不计）
【实验数据】经测试，机械臂的旋转半径r 与转动速度v 部分数据如下表：
旋转半径r（cm ）
30
40
50
转动速度v（
/ s
cm
）
200
150
120
(1)请根据以上信息，求k 的值（单位：
2 / s
cm
）．
(2)为确保测试实验不失控，机械臂的转动速度不能超过300
/ s
cm
，则旋转半径r 至少为多少cm ?
(3)某动作设计需要机械双臂的转动速度v 为160
/ s
cm
，工程师调整机械臂夹角，以改变旋转半径r．求满足
设计要求时，上臂与中心轴夹角
BAD
Ð
的正弦值．
【答案】(1)
2
6000
/ s
k
cm
=
(2)旋转半径r 至少为20cm
(3)
3
sin
4
BAD
Ð
=
【分析】（1）根据k
vr
=
，结合表格信息代入计算即可；
（2）当
300
v =
时，
6000
20
r
v
=
=
，结合反比例函数图象的性质求解即可；
（3）根据题意
75 cm
2
AC =
，过点B 作BE
AD
^
于点E，作BF
AC
^
于点F，
25
AB
BC
cm
=
=
，得四边形AEBF
为矩形，
75
4
BE
AF
=
=
，再根据正弦值的计算即可求解．
【详解】（1）解：
2
200 30
6000
/ s
k
vr
cm
=
=
´
=
．
（2）解：当
300
v =
时，
6000
20
r
v
=
=
，
因为反比例函数
k
v
r
=
在0
50
r
<
£
的范围内，v 随着r 的增大而减小，
所以当
300
v £
时，
20
r ³
，
即旋转半径r 至少为20cm ．
（3）解：当
160
v =
时，
6000
75
160
2
k
r
v
=
=
=
，即
75 cm
2
AC =
，
如图，过点B 作BE
AD
^
于点E，作BF
AC
^
于点F，
因为
25
AB
BC
cm
=
=
，
所以
1
1
75
2
2
4
AF
AC
r
=
=
=
，
因为四边形AEBF 为矩形，
所以
75
4
BE
AF
=
=
，
所以
75
3
4
sin
25
4
BE
BAD
AB
Ð
=
=
=
．
90．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）篮球投篮抛物线运动分析综合实践活动表
活动主题
分析篮球投篮的抛物线运动轨迹，判断投篮是否命中篮筐
活动准备
1．查阅抛物线运动相关的数学知识；2 ．准备纸笔用于建立平面直角坐
标系并计算、
采集数据
右图为篮球投篮轨迹的平面示意图，信息
如下：
1．篮球出手点A 距地面高度为2m；
2 ．篮球运动到最高点E 时，距地面高度
为4.5m ，且水平距离出手点5m ；
3．篮筐中心距地面高度为3.05m ．
设计方案
考虑分析投篮轨迹的需要，确定原点，建
立平面直角坐标系．
确定思路
小组成员经过讨论，确定以小明出手点在
地面的垂直投影为原点O ，水平方向为x
轴，竖直方向为y 轴，建立平面直角坐标
系．顶点E 的坐标为
5,4.5 ，分析数据得
到点A 的坐标为
0,2 ，进而求出抛物线
的表达式，从而解决问题．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求篮球飞行的抛物线解析式（不写自变量取值范围）
(2)若篮筐中心与出手点的水平距离是9m ，判断此次投篮能否命中篮筐？
【答案】(1)
2
0.1
5
4.5
y
x
= -
-
+
(2)不能
【分析】（1）设抛物线的解析式为
2
5
4.5
y
a x
=
-
+
，利用待定系数法解答即可求解；
（2 ）把
9
x =
代入抛物线的解析式求出y 的值，与篮筐中心距地面高度比较即可判断求解；
本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为
2
5
4.5
y
a x
=
-
+
，
把
0,2
A
代入，得
2
2
0
5
4.5
a
=
-
+
，
解得
0.1
a = -
，
∴篮球飞行的抛物线解析式为
2
0.1
5
4.5
y
x
= -
-
+
；
（2）解：把
9
x =
代入
2
0.1
5
4.5
y
x
= -
-
+
，得
2
0.1
9
5
4.5
2.9
y = -
´
-
+
=
，
∵2.9
3.05
<
，
∴此次投篮不能命中篮筐．
题型19 用锐角三角函数解决测高问题
91．（2026·湖南长沙·二模）2025 年8 月17 日，岳麓山顶的长沙广播电视发射塔（如图1）焕新升级后以“长
沙之眼”观景平台的新身份亮相，在“长沙之眼”里踱着步，转个圈，橘子洲、五一商圈、梅溪湖国际艺术中
心等长沙地标就尽收眼底．如图2．“长沙之眼”高度为AB ，从距离塔底A 点26 米的C 点出发，沿着一段坡
度为7 24
：的斜坡走50 米到达D 点，此时回头看塔顶B 点，仰角刚好是45o ，已知E 点在D 点的正下方，
A
C
E
，，
三点在同一水平线上．点A
B
，
，C
D
E
，，在同一平面内，请回答下列问题：
(1)求斜坡的高度DE ；
(2)求“长沙之眼”的高度AB ．
【答案】(1)14 米
(2)88 米
【分析】（1）根据坡度可得
7
24
DE
CE =
，再设
7 ,
24
DE
x CE
x
=
=
，根据勾股定理可得答案；
（2）作DF
AB
^
，根据题意知
26
AC =
米，再求出AE （米），然后根据矩形的性质可得AF ，DF ，接下
来根据等腰三角形的性质求出BF ，最后根据AB
BF
AF
=
+
得出答案．
【详解】（1）解：根据题意可知
50
CD =
米，且坡度为7
24 ，
∴
7
24
DE
CE =
．
设
7 ,
24
DE
x CE
x
=
=
，根据勾股定理，得
2
2
2
DE
CE
CD
+
=
，
即
2
2
2
(7 )
(24 )
50
x
x
+
=
，
解得
2
x =
，
∴
14
DE =
米，
48
CE =
米；
（2）解：如图所示，过点D 作DF
AB
^
，交于点F，根据题意知
26
AC =
米，
∴
48
26
74
AE
CE
AC
=
+
=
+
=
（米）．
∵
90
E
EAF
AFD
Ð
= Ð
= Ð
=
° ，
∴四边形AFDE 是矩形，
∴
14
AF
DE
=
=
米，
74
AE
DF
=
=
米．
在Rt
BDF
△
中，
45
Ð
=
°
BDF
，
∴
45
BDF
B
Ð
= Ð
=
° ，
∴
74
BF
DF
=
=
米，
∴
74 14
88
AB
BF
AF
=
+
=
+
=
（米），
所以“长沙之眼”的高度是88 米．
92．（2026·山东聊城·一模）聊城古城始建于宋熙宁三年，城墙历史悠久，北门（宣威门）为古城重要出入
口，建筑风格古朴典雅．某数学兴趣小组想用无人机测量聊城古城区北门城楼PQ的高度（PQ ^ 水平地
面）．
测量方案如下：先将无人机垂直上升至距水平地面30m 高的点A 处，在此处测得北门城楼顶端P 的俯角为
28°；再将无人机沿水平方向向城楼飞行6m 到达点B，此时测得城楼底端Q 的俯角为45°．若A，B，P，Q
在同一平面内，求北门城楼PQ的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin28
0.47
»
°
，cos28
0.88
»
°
，
tan28
0.53
° »
）
【答案】北门城楼PQ的高度约为10.9m
【分析】延长QP 交AB 延长线于C，先证明
30m
BC
CQ
=
=
，然后在
ACP
△
中，利用
tan
PC
PAC
AC
Ð
=
Q
求
出CP 的长，再求PQ的长即可．
【详解】解：如图，延长QP 交AB 延长线于C，
由题意知，
30m
CQ =
，
m
6
AB =
，QC
AC
^
，
28
PAC
Ð
=
°，
45
CBQ
Ð
=
° ，
∵QC
AC
^
，
45
CBQ
Ð
=
° ，
∴
90
BCQ
Ð
=
°，
45
CQB
CBQ
Ð
= Ð
=
°，
∴
30m
BC
CQ
=
=
，
∴
6
30
36m
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
，
在
ACP
△
中，
90
ACP
Ð
=
°，
∴tan
PC
PAC
AC
Ð
=
，
∴
tan 28
36 0.53
19.08m
PC
AC
=
° »
´
»
，
∴
30 19.08
10.92
10.9m
PQ
QC
PC
=
-
=
-
=
»
．
答：北门城楼PQ的高度约为10.9m ．
93．（2026·山西晋中·一模）城市雕塑能够折射出城市的历史底蕴、精神气质和文化内涵．图1 是某红色文
化主题公园内的雕塑，它能够提醒人们不忘初心和使命，砥砺前行；如图2 所示是其抽象成的示意图．四
边形ABCD 为雕塑侧面图，四边形EFNM 为石基底座，连接BD ，已知BD
EF
MN
∥
∥
，测得
45
BCE
Ð
=
°，
38
DCF
Ð
=
°，AD
CD
^
，BC 的长为4m ，AD 的长为1.2m ，石基底座的高为0.5m ．（结果精确到0.1m，
参考数据：sin52
0.79
° »
，cos52
0.62
° »
，tan52
1.28
° »
，
2
1.41
»
）
(1)求CD 的长；
(2)求点A 到地面MN 的距离．
【答案】(1)CD 的长约为4.5m
(2)点A 到地面的距离约为4.3米
【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，矩形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先证明四边形BGHD 为矩形，再根据sin
BG
BCG
BC
Ð
=
，代入数值计算，得
2.82m
DH
BG
=
=
，同理，
把数值代入cos
DH
CDH
CD
Ð
=
得
4.5m
cos
DH
CD
CDH
=
»
Ð
，即可作答．
（2）先证明四边形BGKP 为矩形，则
2.82m
DH
PK
BG
=
=
=
，再把数值代入sin
AP
ADP
AD
Ð
=
计算，得
sin
0.95 m
AP
AD
ADP
=
×
Ð
»
，又因为石基底座的高为0.5m ，故
0.5m
KJ =
，最后把数值代入
AJ
AP
PK
KJ
=
+
+
计算，即可作答．
【详解】（1）解：如图，过点B 作BG
DE
^
于点G ，过点D 作DH
DF
^
于点H ，
则
90
BGD
DHG
Ð
= Ð
=
°，
∵BD
EF
∥
∴
90
BDH
DHG
Ð
= Ð
=
°
∴四边形BGHD 为矩形，
在Rt BCG
V
中，
45
BCG
Ð
=
° ，
sin
BG
BCG
BC
\
Ð
=
2
sin
4
2 2
2.82 m
2
BG
BC
BCG
\
=
×
Ð
=
´
=
»
；
∵四边形BGHD 为矩形，
2.82m
DH
BG
\
=
=
在Rt
CDH
△
中，
38
DCF
Ð
=
°，
则
52
CDH
Ð
=
°，
cos
DH
CDH
CD
\
Ð
=
，
2.82
4.54m
4.5m
cos
0.62
DH
CD
CDH
\
=
»
»
»
Ð
，
CD
\
的长约为4.5m ．
（2）解：过点A 作AJ
MN
^
于点J ，分别交BC 、EF 于点P 、K ，
同理得四边形BGKP 为矩形，
2.82m
DH
PK
BG
\
=
=
=
，
^
AP
BC
在Rt ADP
V
中，
90
APD
Ð
=
° ，
52
ADP
Ð
=
° ，
sin
AP
ADP
AD
\
Ð
=
，
∴
sin
1.2 0.79
0.95 m
AP
AD
ADP
=
×
Ð
»
´
»
．
∵石基底座的高为0.5m ．
∴
0.5m
KJ =
，
0.95
2.82
0.5
4.27
4.3 m
AJ
AP
PK
KJ
\
=
+
+
=
+
+
=
»
答：点A 到地面的距离AJ 的长约为4.3 米．
94．（2026·重庆·模拟预测）端午安康，某古城文旅局举办“端午探宝”定向寻宝赛，以古城街巷为场地还原
古驿道寻宝路线：打卡点B 在打卡点A 的正南方向150米处：打卡点B 在打卡点C 的北偏西60°方向：打卡
点D 在打卡点C 的正东方，同时D 在A 的东南方向：打卡点E 在D 的正北方300米处，且恰好位于A 的北
偏东75°方向．（参考数据：
2
1.41
»
，3
1.73
»
，
6
2.45
»
）
(1)求打卡点B 、C 之间的距离；（结果保留整数）
(2)比赛中，小育从打卡点D 出发，沿线段DA 向A 匀速奔跑；小陶从打卡点E 出发，沿某方向匀速直线奔
跑．两人同时出发，小育与小陶的速度之比为4:3，并在线段DA 上某处相遇．当两人相遇时，小育跑了多
少米？（结果保留整数）
【答案】(1) B 、C 之间的距离为173m
(2)小育跑了331m
【分析】（1）过点E 作EF
AD
^
于点F ，延长AB 、DC 交于点H ，求出相关的角度，根据三角函数，依
次计算EF 、FD 、AF 、AH 、BH ，最终求出BC 的长度；
（2）先求出AE 的长度，结合提议判断小陶的路线为E
A
D
-
-
，由相遇问题即可求解．
【详解】（1）解：过点E 作EF
AD
^
于点F ，延长AB 、DC 交于点H ，如下图所示：
∵
45
EDF
Ð
=
° ，
90
EFD
Ð
=
° ，
300m
DE =
，
∴
cos45
150 2m
EF
FD
ED
=
=
´
° =
，
∵
180
75
45
60
EAF
Ð
=
°-
°-
° =
°，
∴
150 2
50 6m
tan 60
3
EF
AF =
=
=
°
，
∴
150 2
50 6 m
AD
AF
DF
=
+
=
+
，
∵
45
HAD
Ð
=
°，
∴
cos45
150
50 3 m
AH
AD
=
´
° =
+
，
∴
50 3m
BH
AH
AB
=
-
=
，
∵
60
HBC
Ð
=
° ，
∴
100 3
173m
cos60
BH
BC =
=
»
°
．
（2）解：∵
50 6m
AF =
，
60
EAF
Ð
=
°，
∴
100 6m
cos60
AF
AE =
=
°
，
根据题意，小育比小陶的速度要快，
可判断出小陶的路线为E
A
D
-
-
，
∵小育与小陶的速度之比为4:3，
∴小育与小陶的路程之比为4:3，
∵
100 6
150 2
50 6
150 2
150 6 m
AE
AD
+
=
+
+
=
+
，
∴小育的路程为
4
150 2
150 6
331m
7
+
´
»
．
95．（2026·山东济南·一模）图1 是我国古代提水的器具桔槔（jiegao ）；创造于春秋时期．它选择大小两
根竹竿；大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物；前端连接小竹竿（小竹竿始终与
地面垂直）；小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力；从而提水出井．当
放松大竹竿时；小竹竿下降；水桶就会回到井里．如图2 是桔槔的示意图；大竹竿
4
AB =
米，O 为AB 的中
点，支架OD 垂直地面EF ，此时水桶在井里时，
120
AOD
Ð
=
°．
(1)如图2，求支点O 到小竹竿AC 的距离（结果精确到0.1 米）；
(2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB 旋转至
1
1
A B 的位置，小竹竿AC 至
1
1
AC 的位置；此时
1
144
AOD
Ð
=
° ；求点A 上升的高度（结果精确到0.1 米）．
（参考数据：tan
3
1.73,sin36
0.59,cos36
0.81,tan36
0.73
»
° »
° »
° »
）
【答案】(1)1.7 米
(2)0.6 米
【分析】（1）作OM
AC
^
于点M ，则
90
AMO
CMO
Ð
= Ð
=
° ，由题意得：OD
EF
^
，AC
EF
^
，求得
120
90
30
AOM
Ð
=
°-
° =
°，
1
1
4
2
2
2
OA
AB
=
=
´
=
米，根据cos
cos30
OM
AOM
OA
Ð
=
° =
，即可求解；
（2）由（1）知，
30
AOM
Ð
=
° ，
90
AMO
Ð
=
°，可求得
1
1
2
AM
OA
=
= 米，作
1
1
ON
AC
^
于点N ，则
1
90
A NO
Ð
=
° ，同理可得
1
2
OA =
，
1
54
AON
Ð
=
° ，
1
36
A
Ð
=
° ，根据
1
1
1
cos
cos36
A N
NAO
AO
Ð
=
° =
，可求得
1
2 cos36
1.62
A N =
´
° »
，即可求解．
【详解】（1）解：如图，作OM
AC
^
于点M ，则
90
AMO
CMO
Ð
= Ð
=
° ，
由题意得：OD
EF
^
，AC
EF
^
，
∴
90
ACD
ODC
Ð
= Ð
=
°，
∴
90
MOD
Ð
=
°，
∵
120
AOD
Ð
=
°，
∴
120
90
30
AOM
Ð
=
°-
° =
°，
∵O 为AB 的中点，
4
AB =
米，
∴
1
1
4
2
2
2
OA
AB
=
=
´
=
米，
在Rt
AMO
△
中，
90
AMO
Ð
=
°，
cos
cos30
OM
AOM
OA
Ð
=
° =
，
2
OA =
，
∴支点O 到小竹竿AC 的距离
2 cos30
3
1.7
OM =
´
° =
»
（米）；
（2）解：由（1）知，
30
AOM
Ð
=
° ，
90
AMO
Ð
=
°，
∴
1
1
2
AM
OA
=
= 米，
如图，作
1
1
ON
AC
^
于点N ，则
1
90
A NO
Ð
=
° ，
同理可得
1
2
OA =
，
1
144
90
54
AON
Ð
=
°-
° =
° ，
∴
1
36
A
Ð
=
° ，
在
1
Rt A NO
V
中，
1
90
A NO
Ð
=
° ，
1
1
1
cos
cos36
A N
NAO
AO
Ð
=
° =
，
1
2
OA =
∴
1
2 cos36
1.62
A N =
´
° »
，
∴
1
1.62 1
0.6
N
A
AM =
- »
-
米，
∴水桶在竖直方向上升的距离约为0.6 米．
题型20 圆中的证明与计算
96．（2026·安徽六安·一模）如图，已知
ABC
V
内接于
O
e
，AB 是
O
e
的直径，点D 为
BC 的中点，过点D
作DE
AC
^
，交AC 的延长线于点E ，连接BD ．
(1)求证：DE 是
O
e
的切线；
(2)若
10
AB =
，
6
BD =
，求AC 的长．
【答案】(1)见解析；
(2)
14
5
AC =
．
【分析】（1）连接OD ，根据点D 为
BC 的中点，推出DAE
BAD
Ð
=Ð
，结合圆的性质，推出OD
AE
∥
，再
根据DE
AE
^
，推出
90
ODE
AED
Ð
= Ð
=
° ，即可证明；
（2）设OD 与BC 相交于点F ，根据AB 是
O
e
的直径，推出四边形CFDE 是矩形，结合直角三角形的性质
可得
3
sin
5
BD
BAD
AB
Ð
=
=
，推出
3
sin
5
DF
DBF
BD
Ð
=
=
，即可求出DF
OF
、
，再证明OF 为中位线即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接OD ，
∵点D 为
BC 的中点，
∴
CD
DB
=
，
∴DAE
BAD
Ð
=Ð
．
∵OA
OD
=
，
∴
OAD
ODA
Ð
= Ð
．
∴
ODA
DAE
Ð
= Ð
．
∴OD
AE
∥
．
∵DE
AE
^
，
∴
90
ODE
AED
Ð
= Ð
=
° ．
∵OD 为
O
e
的半径，
∴DE 是
O
e
的切线．
（2）如图，设OD 与BC 相交于点F ．
∵AB 是
O
e
的直径，
∴
90
ACB
ADB
Ð
= Ð
=
° ．
又
90
ODE
AED
Ð
= Ð
=
°
Q
，
∴四边形CFDE 是矩形．
∴OD
BC
^
．
∵
10
AB =
，
6
BD =
，
∴
3
sin
5
BD
BAD
AB
Ð
=
=
．
∵点D 为
BC 的中点，
∴
CD
DB
=
，
∵
BAD
DAE
DBF
Ð
= Ð
= Ð
，
∴
3
sin
5
DF
DBF
BD
Ð
=
=
．
∵
6
BD =
，
∴
3
3
18
6
5
5
5
DF
BD
=
=
´
=
．
∴
1
1
18
7
10
2
2
5
5
OF
OD
DF
AB
DF
=
-
=
-
=
´
-
=
．
∵OD
AE
∥
，点O 为AB 的中点，
∴OF 是
ABC
V
的中位线．
∴
7
14
2
2
5
5
AC
OF
=
=
´
=
．
97．（2026·甘肃平凉·一模）如图，AB 是
O
e
的直径，点C 在
O
e
上，D 为
BC 的中点，连接AC ，BC ，
AD ，AD 与BC 相交于点H，过点D 作直线DG
BC
∥
，交AC 的延长线于点G．
(1)求证：DG 是
O
e
的切线．
(2)若
AC
BD
=
，
2
CG =
，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)10 3
3
【分析】（1）连接OD ，交BC 于点E ，由点D 为
BC 的中点，得OD 垂直平分BC ，因为DG
BC
∥
，所以
90
ODG
OEC
Ð
= Ð
=
°，即可证明DG 是
O
e
的切线；
（2）连接OC ，CD ，由AB 是
O
e
的直径，得
90
ACB
Ð
=
°，则
90
G
ACB
Ð
= Ð
=
°，可证明四边形CEDG 是
矩形，所以
2
DE
CG
=
=
，由
AC
CD
BD
=
=
，得
60
AOC
COD
BOD
Ð
= Ð
= Ð
=
° ，则
AOC
△
和
COD
△
都是
等边三角形，求得
2
4
AC
OC
CD
OD
DE
=
=
=
=
=
，则
6
AG =
，
2 3
DG =
，由
1
30
2
CAH
COD
Ð
=
Ð
=
° ，得
2
AH
CH
=
，由
3
4
AC
CH
=
=
，求得
4 3
3
CH =
，由
AGD
ACH
S
S
S
=
-
阴影
V
V
即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接OD ，交BC 于点E ，
∵D 为
BC 的中点，
OD
\
垂直平分BC ，
∵DG
BC
∥
，
90
ODG
OEC
\Ð
= Ð
=
° ，
OD
Q
是
O
e
的半径，且DG
OD
^
，
DG
\
是
O
e
的切线；
（2）解：如图，连接OC ，CD ，则OA
OC
OD
=
=
，设AD 交BC 于点H，
AB
Q
是
O
e
的直径，
90
ACB
\Ð
=
° ，
90 ,
90
G
ACB
CED
EDG
°
Ð
= Ð
=
° Ð
= Ð
=
Q
，
∴四边形CEDG 是矩形，
2
DE
CG
\
=
=
，
∵
AC
BD
=
，D 为
BC 的中点，
AC
CD
BD
\
=
=
，
1 180
60
3
AOC
COD
BOD
\Ð
= Ð
= Ð
=
´
° =
°，
AOC
\V
和
COD
△
都是等边三角形，
CE
OD
^
Q
，
2
OE
DE
\
=
=
，
2
4
AC
OC
CD
OD
DE
\
=
=
=
=
=
，
2
2
2
2
6,
4
2
2 3
AG
AC
CG
DG
CD
CG
\
=
+
=
=
-
=
-
=
，
1
30
2
CAH
COD
Ð
=
Ð
=
°
Q
，
2
AH
CH
\
=
，
2
2
2
2
2
3
4
AC
AH
CH
CH
CH
CH
=
-
=
-
=
=
Q
，
4 3
3
CH
\
=
，
1
1
4 3
10 3
6 2 3
4
2
2
3
3
AGD
ACH
S
S
S
\
=
-
=
´ ´
-
´ ´
=
阴影
V
V
，
\阴影部分的面积是10 3
3
．
98．（2026·内蒙古通辽·一模）如图，
O
e
是
ADC
△
的外接圆，AB 为
O
e
的直径，DE
AC
∥
，连接OD ，
OC ，OC 的延长线交DE 于点E，OD 交AC 于点F，若
1
2
ACD
COD
Ð
=
Ð
．
(1)求证：DE 是
O
e
的切线；
(2)若
3
tan
4
ACD
Ð
=
，
6
AD =
．
①求
O
e
的半径；
②求CE 的长．
【答案】(1)见解析
(2)①
O
e
的半径为5；②
90
7
CE =
．
【分析】（1）证明OD
AC
^
，得到OD
DE
^
，即可证明DE 是
O
e
的切线；
（2）①根据正切函数的定义求得
3
4
AD
BD =
，得到
8
BD =
，再利用勾股定理即可求解；
②设
3
DF
x
=
，
4
CF
x
=
，由勾股定理求得
6
5
x =
，再利用平行线分线段成比例即可求解．
【详解】（1）证明：∵
CD
CD
=
，
∴
1
2
CAD
COD
=
∠
∠
，
∵
1
2
ACD
COD
Ð
=
Ð
，
∴
ACD
CAD
Ð
= Ð
，
∴
AD
CD
=
，
∴OD
AC
^
，
∵DE
AC
∥
，
∴OD
DE
^
，
∵OD 是
O
e
的半径，
∴DE 是
O
e
的切线；
（2）解：①∵AB 为
O
e
的直径，
∴
90
ADB
Ð
=
° ，
∵
AD
AD
=
，
∴
B
ACD
Ð
= Ð
，
∴
3
tan
tan
4
B
ACD
=
Ð
=
，即
3
4
AD
BD =
，
∵
6
AD =
，
∴
8
BD =
，
∴
2
2
6
8
10
AB =
+
=
，
∴
O
e
的半径为5；
②∵
ACD
CAD
Ð
= Ð
，
∴
6
AD
CD
=
=
，
∵OD
AC
^
，
3
tan
4
ACD
Ð
=
，
∴
3
4
DF
CF =
，
设
3
DF
x
=
，
4
CF
x
=
，
∴
2
2
5
6
CD
CF
DF
x
=
+
=
=
，
解得
6
5
x =
，
∴
18
5
DF =
，
24
5
CF =
，
∴
18
7
5
5
5
OF
OD
DF
=
-
=
-
=
，
∵DE
AC
∥
，即DE
CF
∥
，
∴OF
OC
DF
CE
=
，即
7
5
5
18
5
CE
=
，
∴
90
7
CE =
．
99．（2026·浙江湖州·模拟预测）如图，在
ABC
V
中，D 是边AB 上一点（不与点A，B 重合），
O
e
经过
点A，C，D．
(1)如图1，连接OC
OD
CD
，
，
，若
150
DOC
Ð
=
°，CD
CA
=
，
①求
ADO
Ð
的度数；
②若又满足tan
1
B = ，
2
OD =
，求AB 的长．
(2)如图2，过点D 作DE
BC
P
，交
O
e
于点E，连接OE ，若
2
ACB
AEO
Ð
= Ð
，求证：DE
AC
=
．
【答案】(1)①
60
ADO
Ð
=
°；②
3
3
AB =
+
(2)见解析
【分析】（1）①根据等边对等角得到
15
ODC
Ð
=
°，根据圆周角定理，等边对等角得到
75
ADC
A
Ð
= Ð
=
°，
再根据角的和差计算即可；
②延长CO 交AB 于点M，由角的和差可得CM
AB
^
，根据特殊角的三角函数值的计算得到
1,
3,
2
3
DM
AM
OM
CM
=
=
=
=
+
，结合题意得到BM
CM
=
，由此即可求解；
（2）如图，连接CE
AO
，
，设
AEO
a
Ð
=
，由圆周角定理，三角形内角和定理等知识得到四边形BCED 是
平行四边形，结合题意即可求解．
【详解】（1）解：①∵
150
DOC
Ð
=
°，OD
OC
=
，
∴
15
ODC
Ð
=
°，
∵
150
DOC
Ð
=
°，
∴
75
A
Ð
=
°，
∵CD
CA
=
，
∴
75
ADC
A
Ð
= Ð
=
°，
∴
60
ADO
ADC
ODC
Ð
= Ð
- Ð
=
°．
②如图，延长CO 交AB 于点M，
∵
15
75
90
OCD
ADC
Ð
+ Ð
=
°+
° =
° ，
∴
90
CMD
Ð
=
°，即CM
AB
^
，
∵CD
CA
=
，
∴AM
DM
=
，
∵
60
ADO
Ð
=
°，
∴
cos60
1
AM
DM
OD
=
=
×
° = ，
sin 60
3
OM
OD
=
×
° =
，
∴
2
3
CM
OC
OM
=
+
=
+
，
∵tan
1
CM
B
BM
=
= ，
∴
2
3
BM
CM
=
=
+
，
∴
3
3
AB
BM
AM
=
+
=
+
．
（2）证明：如图，连接CE
AO
，
，
设
AEO
a
Ð
=
，
∵
2
ACB
AEO
Ð
= Ð
，
∴
2
ACB
a
Ð
=
，
∵AO
OE
=
，
∴
180
2
AOE
a
Ð
=
°-
，
∴
1
90
2
ADE
AOE
a
Ð
=
Ð
=
°-
，
∵DE
BC
∥
，
∴
90
B
ADE
a
Ð
= Ð
=
°-
，
∵
2
ACB
a
Ð
=
，
∴
180
90
BAC
B
ACB
a
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°-
，
∴
B
BAC
Ð
= Ð
，
∴AC
BC
=
，
∵
90
DEC
BAC
a
Ð
= Ð
=
°-
，
∴
DEC
ADE
Ð
= Ð
，
∴CE
BA
∥
，
∴四边形BCED 是平行四边形，
∴BC
DE
=
，
∴AC
DE
=
．
100．（2026·陕西西安·二模）探究圆与直角三角形结合的几何性质与动态路径的关系，并完成以下问题
(1)【问题提出】如图1，四边形ABCD 内接于
O
e
，
70
B
Ð
=
°，则
D
Ð
的度数为______°；
(2)【问题探究】如图2，在四边形ABCD 中，
90
BAD
Ð
=
° ，连接AC ，AC
BC
^
，过点C 作CE
CD
^
交AB
于点E，
9
BC =
，
12
AC
AE
=
=
，求AD 的长；
(3)【问题解决】如图3，
ABC
V
是某公园的一个三角形水池，现要对该水池进行重新规划与扩建，在AC 边
上修一个入水口M ，再修一个经过点B 、C 、M 的圆形水池
O
e
，MN 为
O
e
的直径，沿BM 、BN 和MN
架设木桥，在BMN
V
区域内种植荷花，已知
90
ABC
Ð
=
°，
20m
AB =
，
60m
BC =
，设AM 的长为
m
x
，BMN
V
区域的面积为
2
m
S
．（木桥的宽度及入水口的大小均忽略不计）
①求S 与x 之间的函数关系式；
②由于预算有限，要求BMN
V
区域的面积尽可能的小，求种植荷花面积的最小值（即BMN
V
面积S 的最小
值）．
【答案】(1)110°
(2) 4
(3)①
2
3
6 10
600
2
S
x
x
=
-
+
②
2
540m
【分析】（1）利用圆的内接四边形对角互补即可求出结果；
（3）根据四边形内角和定理可得
BEC
ADC
Ð
= Ð
，根据同角的余角相等，可证
BCE
ACD
Ð
= Ð
，根据两个
角对应相等的两个三角形相似，可证ACD
BCE
V
V
∽
，根据相似三角形对应边成比例即可求出AD 的长度；
（3）①利用勾股定理可以求出
20 10m
AC =
，根据AM 的长为
m
x
，可得
20 10
m
MC
x
=
-
，根据圆
内接四边形的性质可证ABM
CBN
V
V
∽
，根据相似三角形对应边成比例可得
3 m
CN
x
=
，利用勾股定理可得
2
2
10
40 10
4000
MN
x
x
=
-
+
，根据圆周角定理可证ABC
MBN
V
V
∽
，根据相似三角形的面积比等于相似比的
平方可得
2
3
6 10
600
2
S
x
x
=
-
+
；
②利用二次函数的性质求出S 的最小值即可．
【详解】（1）解：Q四边形ABCD 内接于
O
e
，
180
B
D
\Ð + Ð
=
°，
70
B
Ð
=
°
Q
，
180
70
110
D
\Ð
=
°-
° =
°；
（2）解：
CE
CD
^
Q
，
90
ECD
\Ð
=
° ，
90
BAD
Ð
=
°
Q
，
180
ECD
BAD
\Ð
+ Ð
=
°，
在四边形AECD 中，
360
AEC
ADC
EAD
ECD
Ð
+ Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，
180
AEC
ADC
\Ð
+ Ð
=
° ，
又
180
AEC
BEC
Ð
+ Ð
=
°
Q
，
BEC
ADC
\Ð
= Ð
，
AC
BC
^
Q
，CE
CD
^
，
90
ACB
DCE
\Ð
= Ð
=
°，
BCE
ACE
ACE
ACD
\Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，
BCE
ACD
\Ð
= Ð
，
ACD
BCE
\V
V
∽
，
BC
BE
AC
AD
\
=
，
9
BC =
Q
，
12
AC
AE
=
=
，
2
2
2
2
12
9
15
AB
AC
BC
\
=
+
=
+
=
，
15 12
3
BE
AB
AE
\
=
-
=
-
=
，
9
3
12
AD
\
=
，
4
AD
\
=
；
（3）①解：如下图所示，连接CN ，
90
ABC
Ð
=
°
Q
，
20m
AB =
，
60m
BC =
，
2
2
2
2
20
60
20 10m
AC
AB
BC
\
=
+
=
+
=
，
m
AM
x
=
Q
，
20 10
m
MC
AC
AM
x
\
=
-
=
-
，
Q四边形BMCN 是
O
e
的内接四边形，
180
BMC
BNC
\Ð
+ Ð
=
° ，
又
180
BMC
BMA
Ð
+ Ð
=
°
Q
，
BMA
BNC
\Ð
= Ð
，
MN
Q
是
O
e
的直径，
90
MBN
MCN
\Ð
= Ð
=
° ，
90
MBC
CBN
\Ð
+ Ð
=
°，
90
ABC
Ð
=
°
Q
，
90
MBC
ABM
\Ð
+ Ð
=
° ，
ABM
CBN
\Ð
= Ð
，
ABM
CBN
\V
V
∽
，
AB
AM
BC
CN
\
=
，
20m
AB =
Q
，
60m
BC =
，
m
AM
x
=
，
20
60
x
CN
\
=
，
3 m
CN
x
\
=
，
2
2
2
2
2
2
20 10
3
10
40 10
4000
MN
CM
CN
x
x
x
x
\
=
+
=
-
+
=
-
+
，
2
2
2
4000
10
40 10
4000
AC
MN
x
x
\
=
-
+
，
BM
BM
=
n
n
Q
，
BCM
BNM
\Ð
= Ð
，
90
ABC
MBN
Ð
= Ð
=
°
Q
，
ABC
MBN
\V
V
∽
，
2
2
2
4000
10
40 10
4000
ABC
MBN
S
AC
S
MN
x
x
\
=
=
-
+
V
V
，
2
1
1
·
20 60
600m
2
2
ABC
S
AB BC
=
=
´
´
=
V
Q
，
2
600
4000
10
40 10
4000
MBN
S
x
x
\
=
-
+
V
，
2
2
3
3
10
40 10
4000
6 10
600
20
2
MBN
S
x
x
x
x
\
=
-
+
=
-
+
V
，
2
3
6 10
600
2
S
x
x
\
=
-
+
；
②解：整理
2
3
6 10
600
2
S
x
x
=
-
+
，
可得：
2
3
2 10
540
2
S
x
=
-
+
，
3
0
2
a =
Q
，
S
\
有最小值，
当
2 10m
x =
时，S 的最小值为
2
540m ．
题型21 特殊的平行四边形中的证明与计算
101．（2026·四川成都·一模）在平行四边形ABCD 中，
BAD
a
Ð
=
，点E 为直线AD 上一点，将ABE
V
沿直
线BE 翻折得到FBE
V
．
(1)如图1，当
90
a =
°时，点F 恰好落在四边形ABCD 的对角线BD 上，连接AF ，求证：AF DE
BE DF
×
=
×
；
(2)如图2，当
90
a =
°，
12
13
BC
AB
=
时，点F 恰好落在边CD 上，连接CE ，与BF 交于点G ，求FG
BG 的值；
(3)如图3，当sin
0.6
a =
，
8
AB =
，
5
BC =
时，在翻折过程中，请探究C ，D ，F 三点能否构成直角三角形，
若能，请直接写出AE 的值，若不能，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
25
234
FG
BG =
(3)能，
120 3
160
11
AE
-
=
或120 3
160
11
+
或160
40 3
13
-
或160
40 3
13
+
【分析】（1）记AF 与BE 的交点为点M ，根据折叠的性质进而得出点B ，E 在AF 的垂直平分线上，证明
ADF
BDE
V
V
∽
，根据相似三角形的性质即可得证；
（2）过点F 作FM
DE
P
交CE 于点M，根据题意设
12
BC
a
=
，则
13
AB
BF
a
=
=
，勾股定理求得
5
FC
a
=
，
证明
DEF
CFB
△
∽△
，进而得出
10
3
DE
a
=
，证明CFM
CDE
V
V
∽
，根据相似三角形的性质，即可求解；
（3）①当
90
CDF
Ð
=
°，点F 在CD 上方时，延长FD 交AB 于点G ，过点E 作EH
AB
^
于点H ，②当
90
CDF
Ð
=
°，点F 在CD 下方时，FD 交AB 于点G ，过点E 作EH
BA
^
延长线于点H ，③当
90
DCF
Ð
=
°，点F 在CD 上方时，延长FC 交AB 的延长线于点G ，过点E 作EH
AB
^
于点H ，④当
90
DCF
Ð
=
°，点F 在CD 下方时，FC 交AB 的延长线于点G ，过点E 作EH ^直线AB 于点H ，解AEB
V
，
即可求解；⑤不存在
90
DFC
Ð
=
° 的情况．
【详解】（1）证明：记AF 与BE 的交点为点M ，
ABE
QV
翻折得到FBE
V
，
FBE
ABE
\Ð
= Ð
，EF
EA
=
，BF
BA
=
，
∴点B ，E 在AF 的垂直平分线上，
BE
AF
\
^
，
90
FMB
DAB
\Ð
=
° = Ð
，
90
DFA
FBE
\Ð
=
°+ Ð
，
90
DEB
ABE
Ð
=
°+ Ð
，
DFA
DEB
\Ð
= Ð
，
ADF
ADF
Ð
= Ð
Q
，
ADF
BDE
\V
V
∽
，
AF
DF
BE
DE
\
=
，
AF DE
BE DF
\
×
=
×
；
（2）解：过点F 作FM
DE
P
交CE 于点M，
在平行四边形ABCD 中，
90
DAB
Ð
=
° ，
∴四边形ABCD 是矩形，
90
ADC
DCB
\Ð
= Ð
=
° ，
12
13
BC
AB
=
Q
，
∴设
12
BC
a
=
，则
13
AB
BF
a
=
=
，
由勾股定理得：
5
FC
a
=
，
8
DF
DC
FC
a
\
=
-
=
，
由翻折得：
90
EFB
A
Ð
= Ð
=
°，
90
90
DFB
DFE
FBC
Ð
= Ð
+
° = Ð
+
°
Q
，
DFE
FBC
\Ð
= Ð
，
DEF
CFB
\V
V
∽
，
DF
BC
DE
FC
\
=
，
10
3
DE
a
\
=
，
FM
DE
Q
∥
，
CFM
CDE
\Ð
= Ð
，
DCE
FCM
Ð
= Ð
Q
，
CFM
CDE
\V
V
∽
，
5
13
CF
FM
a
CD
DE
a
\
=
=
，
50
39
FM
a
\
=
，
FM
DE
BC
Q
∥
∥
，
50
25
39
12
234
a
FG
FM
BG
BC
a
\
=
=
=
；
（3）解：①当
90
CDF
Ð
=
°，点F 在CD 上方时，
如图，延长FD 交AB 于点G ，过点E 作EH
AB
^
于点H ，
AB
CD
Q
P
，
90
FGB
CDF
\Ð
= Ð
=
° ，
sin
0.6
a =
Q
，
5
AD
BC
=
=
，
4
AG
\
=
，
3
DG =
，
4
BG
AB
AG
\
=
-
=
，
由翻折，得
8
AB
BF
=
=
，
1
sin
2
BFG
\
Ð
=
，
30
BFG
\Ð
=
°，
60
ABF
\Ð
=
°，
30
ABE
Ð
=
° ，
设
3
EH
a
=
，
则
4
AH
a
=
，
5
AE
a
=
，
3 3
BH
a
=
，
4
3 3
8
AB
a
a
\
=
+
=
，
解得
24 3
32
11
a
-
=
，
120 3
160
11
AE
-
\
=
；
②当
90
CDF
Ð
=
°，点F 在CD 下方时，
如图，FD 交AB 于点G ，过点E 作EH
BA
^
延长线于点H ，
AB
CD
Q
P
，
90
FGB
CDF
\Ð
= Ð
=
° ，
sin
0.6
a =
Q
，
5
AD
BC
=
=
，
4
AG
\
=
，
3
DG =
，
4
BG
AB
AG
\
=
-
=
，
由翻折，得
8
AB
BF
=
=
，
1
sin
2
BFG
\
Ð
=
，
30
BFG
\Ð
=
°，
60
ABF
\Ð
=
°，
30
ABE
Ð
=
° ，
设
3
EH
a
=
，
则
4
AH
a
=
，
5
AE
a
=
，
3 3
BH
a
=
，
3 3
4
8
AB
a
a
\
=
-
=
，
解得
24 3
32
11
a
+
=
，
120 3
160
11
AE
+
\
=
；
③当
90
DCF
Ð
=
°，点F 在CD 上方时，
如图，延长FC 交AB 的延长线于点G ，过点E 作EH
AB
^
于点H ，
AB
CD
Q
P
，
90
FGB
FCD
\Ð
= Ð
=
° ，
AD
BC
Q
P
，sin
0.6
a =
，
5
AD
BC
=
=
，
4
BG
\
=
，
3
CG =
，
由翻折，得
8
AB
BF
=
=
，
1
sin
2
BFG
\
Ð
=
，
30
BFG
\Ð
=
°，
60
FBG
\Ð
=
° ，
120
ABF
Ð
=
°，
60
ABE
Ð
=
° ，
设
3
EH
a
=
，
则
4
AH
a
=
，
5
AE
a
=
，
3
=
BH
a ，
4
3
8
AB
a
a
\
=
+
=
，
解得
32
8 3
13
a
-
=
，
160
40 3
13
AE
-
\
=
；
④当
90
DCF
Ð
=
°，点F 在CD 下方时，
如图，FC 交AB 的延长线于点G ，过点E 作EH ^直线AB 于点H ，
AB
CD
Q
P
，
90
FGB
DCF
\Ð
= Ð
=
° ，
AD
BC
Q
P
，sin
0.6
a =
，
5
AD
BC
=
=
，
4
BG
\
=
，
3
CG =
，
由翻折，得
8
AB
BF
=
=
，
1
sin
2
BFG
\
Ð
=
，
30
BFG
\Ð
=
°，
60
FBG
\Ð
=
° ，
120
ABF
ABE
Ð
= Ð
=
°，
设
3
EH
a
=
，
则
4
AH
a
=
，
5
AE
a
=
，
3
=
BH
a ，
4
3
8
AB
a
a
\
=
-
= ，
解得
32
8 3
13
a
+
=
，
160
40 3
13
AE
+
\
=
；
⑤不存在
90
DFC
Ð
=
° 的情况；
综上所述，
120 3
160
11
AE
-
=
或120 3
160
11
+
或160
40 3
13
-
或160
40 3
13
+
．
102．（2026·山东青岛·一模）在解决几何问题中，通常我们可以利用平移变换来解决图形中边与角的相关
问题．
(1)【问题情境】如图1，在正方形ABCD 中，E ，F ，G 分别是边BC ，AB ，CD 上的点，FG
AE
^
于点
Q ．判断线段AE ，FG 的数量关系____________；
(2)【尝试应用】如图2 ，在正方形网格中，点A ，B ，C ，D 为格点，AB 交CD 于点O ，则tan
AOC
Ð
=
____________；
(3)【拓展提升】如图3，点P 是线段AB 上的动点，分别以AP ，BP 为边在AB 的同侧作正方形APCD 与正
方形PBEF ，连接DE ，分别交线段BC ，PC 于点M ，N ．则sin
DMC
Ð
= ____________．
【答案】(1)
=
AE
FG ；
(2) 1
2 ；
(3)
2
2 ．
【分析】（1）平移线段FG 至BH ，交AE 于点K ，证明四边形BFGH 是平行四边形，得出BH
FG
=
，证
明
ASA
ABE
BCH
V
V
≌
，得出AE
BH
=
，即可得出结论；
（2 ）将线段AB 向右平移至FD 处，使得点B 与点D 重合，连接CF ，根据勾股定理求出CF ，CD ，DF ，
可推出
90
FCD
Ð
=
°，即可得出结果；
（3）平移线段BC 至DG 处，连接GE ，证明
SAS
AGD
BEG
V
V
≌
得出DG
EG
=
，
ADG
EGB
Ð
= Ð
，推出
45
DMC
GDE
Ð
= Ð
=
° ，即可得出结果．
【详解】（1）解：平移线段FG 至BH ，交AE 于点K ，如图1所示，
由平移的性质得：FG
BH
∥
，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB
CD
∥
，AB
BC
=
，
90
ABE
C
Ð
= Ð
=
° ，
∴四边形BFGH 是平行四边形，
∴BH
FG
=
，
∵FG
AE
^
，
∴BH
AE
^
，
∴
90
BKE
Ð
=
° ，
90
KBE
BEK
Ð
+ Ð
=
°，
∴
90
BEK
BAE
Ð
+ Ð
=
°，
∴
BAE
KBE
Ð
= Ð
，
在ABE
V
和BCH
V
中，
BAE
CBH
AB
BC
ABE
C
Ð
= Ð
ì
ï
=
í
ïÐ
= Ð
î
，
∴
ASA
ABE
BCH
V
V
≌
，
∴AE
BH
=
，
∴
=
AE
FG ，
故答案为：
=
AE
FG ；
（2）解：将线段AB 向右平移至FD 处，使得点B 与点D 重合，连接CF ，如图2 所示，
∴
AOC
FDC
Ð
= Ð
，
设正方形网格的边长为单位1，
由勾股定理可得：
2
2
2
1
5
CF =
+
=
，
2
2
2
4
2 5
CD =
+
=
，
2
2
F
3
4
5
D =
+
=
，
∵
2
2
2
5
2 5
5
+
=
，即
2
2
2
CF
CD
DF
+
=
，
∴
90
FCD
Ð
=
°，
∴
5
1
tan
tan
2
2 5
CF
AOC
FDC
CD
Ð
=
Ð
=
=
=
，
故答案为：
1
2 ；
（3）解：平移线段BC 至DG 处，连接GE ，如图3所示，
则
DMC
GDE
Ð
= Ð
，四边形DGBC 是平行四边形，
∴DC
GB
=
，
∵四边形ADCP 与四边形PBEF 都是正方形，
∴DC
AD
AP
=
=
，BP
BE
=
，
90
DAG
GBE
Ð
= Ð
=
°，
∴DC
AD
AP
GB
=
=
=
，
∴AG
BP
BE
=
=
，
在
AGD
△
和BEG
V
中，
AG
BE
DAG
GBE
AD
BG
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
SAS
AGD
BEG
V
V
≌
，
∴DG
EG
=
，
ADG
EGB
Ð
= Ð
，
∴
90
EGB
AGD
ADG
AGD
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
=
°，
∴
90
EGD
Ð
=
° ，
∴
45
GDE
GED
Ð
= Ð
=
°，
∴
45
DMC
GDE
Ð
= Ð
=
° ，
∴
2
sin
2
DMC
Ð
=
，
故答案为：
2
2 ．
103．（2026·江苏无锡·一模）如图1，在矩形ABCD 中，点E，F 分别在边AD ，BC 上，将矩形ABCD 沿EF
折叠，使点A 的对应点P 落在边CD 上，点B 的对应点为点G，PG 交BC 于点H．
(1)如图2，当P 为CD 的中点，
2
AB =
，
3
AD =
时．
①PE 长度为_______；
②求GH 的长；
(2)如图3，连接BG ，当P，H 分别为CD ，BC 的中点时，设BG 为y，AB 为x ，求y 与x 的函数关系．
【答案】(1)①5
3 ；②3
4
(2)
6
6
y
x
=
【分析】（1）①利用折叠和勾股定理求解即可，②证明
DEP
CPH
△
∽△
，由相似三角形的性质得出
ED
EP
PC
PH
=
，求出PH ，再根据线段的和差关系即可得出GH ．
（2）延长AB ，PG 交于一点M ，连接AP ，先证明
MBH
PCH
△
≌△
，得到相等的边，再根据
BMG
MAP
V
V
∽
，由相似三角形的性质进一步即可得出BG 和AB 的函数关系．
【详解】（1）解：∵矩形ABCD ，
∴
2
AB
CD
=
=
，
90
D
Ð
=
°，
∵P 为CD 的中点，
∴
1
1
2
DP
CP
CD
=
=
= ，
由折叠的性质得出AE
EP
=
，
设AE
EP
x
=
=
，则
3
ED
x
=
-
，
在Rt
EDP
△
中，
2
2
2
EP
ED
DP
=
+
．
即
2
2
2
3
1
x
x
=
-
+
，
解得
5
3
x =
；
②Q四边形ABCD 是矩形，
90
A
D
C
\Ð
= Ð
= Ð
=
° ，
1
3
90
\Ð + Ð =
° ，
E
Q
，F 分别在AD ，BC 上，将四边形ABFE 沿EF 翻折，使A 的对称点P 落在DC 上，
90
EPH
A
\Ð
= Ð
=
°，
2
1
90
\Ð + Ð =
°，
3
2
\Ð = Ð ，
DEP
CPH
\△
∽△
；
\ ED
EP
PC
PH
=
，
∵
5
3
EP
AE
=
=
，
4
3
ED
AD
AE
\
=
-
=
，
5
4
PH
\
=
，
2
PG
AB
=
=
Q
，
3
4
GH
PG
PH
\
=
-
=
．
（2）解：如图，延长AB ，PG 交于一点M ，连接AP ，
E
Q
，F 分别在AD ，BC 上，将四边形ABFE 沿EF 翻折，使A 的对称点P 落在CD 上，
AP
EF
\
^
，BG ^直线EF ，
BG
AP
\
∥
，
AE
EP
=
Q
，
EAP
EPA
\Ð
= Ð
，
又
BAE
GPE
Ð
= Ð
Q
，
BAP
GPA
Ð
= Ð
∴
，
MAP
\△
是等腰三角形，
MA
MP
\
=
，
P
Q
为CD 中点，AB
x
=
，四边形ABCD 为矩形，
\ PG
CD
AB
x
=
=
=
，
2
x
DP
CP
=
=
H
Q
为BC 中点，
BH
CH
\
=
，
BHM
CHP
Ð
= Ð
Q
，
CBM
PCH
Ð
= Ð
，
(ASA)
MBH
PCH
\△
≌△
，
2
x
BM
CP
\
=
=
，HM
HP
=
，
3
2
MP
MA
MB
AB
x
=
=
+
=
∴
，
1
3
2
4
HP
PM
x
\
=
=
，
在Rt
PCH
△
中，
2
2
5
4
CH
PH
PC
x
=
-
=
，
5
2
2
BC
CH
x
\
=
=
，
5
2
AD
BC
x
\
=
=
，
在Rt APD
V
中，
2
2
6
2
AP
AD
PD
x
=
+
=
，
BG
AP
Q
∥
，
BMG
AMP
\△
∽△
，
\
1
3
BG
BM
AP
AM
=
=
，
6
6
BG
x
\
=
，
即
6
6
y
x
=
．
104．（2026·山西晋中·一模）综合与探究：
【问题情境】如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ．将
BCD
△
绕点B 按逆时针方向旋
转得到
BC D
¢ ¢
△
，C ，D 两点旋转后的对应点分别为C¢ ，D¢，旋转角为
0
180
a
a
<
<
° ．
(1)【操作验证】如图1，当点D¢落在对角线AC 上时，连接DD¢，求证：DBD¢
V
是等边三角形．
(2)【猜想探究】如图2，在旋转过程中，C D
BD
¢ ¢∥
时，C D
¢
¢交AD 于点E ，试判断四边形BDED¢的形状，
并说明理由．
(3)【拓展延伸】如图3，在旋转过程中，当BC¢ 与AB 重合时，连接CD¢．若
3
AB = ，
2
BD = ，请你直接写
出线段CD¢的长．
【答案】(1)见解析
(2)四边形BDED¢为菱形，见解析
(3)
209
3
【分析】（1）结合菱形的性质，得AC
DB DO
BO
^
=
,
，运用旋转的性质得BD
D D
BD
¢
¢
=
=
，故DBD¢
V
是
等边三角形；
（2）根据四边形ABCD 是菱形，得
ADB
CDB
Ð
= Ð
，由旋转的性质得BD
BD
D
CDB
¢
¢
=
Ð
= Ð
,
，再证明四边
形BDED¢为平行四边形，又因为BD
BD¢
=
，故四边形BDED¢为菱形，
（3）运用菱形的性质以及旋转的性质得AB 垂直平分线段DD¢，然后结合勾股定理列式得
2
2
2
9
2
3
x
x
-
=
-
-
，解得x ，即可求得DE ，然后在Rt CDD¢
V
中，运用勾股定理 列式计算，得CD¢．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC
DB DO
BO
^
=
,
，
∴BD
D D
¢
¢
=
，
∵旋转，
∴BD
BD
¢ =
，
∴BD
D D
BD
¢
¢
=
=
，
∴DBD¢
V
是等边三角形；
（2）解：四边形BDED¢为菱形，理由如下：
∵四边形ABCD 是菱形，
∴
,
AD
CD BD
AC
=
^
，
∴
ADB
CDB
Ð
= Ð
，
由旋转的性质得BD
BD
D
CDB
¢
¢
=
Ð
= Ð
,
，
∴
D
ADB
¢
Ð
= Ð
，
∵C D
BD
¢ ¢∥
，
∴
180
D
DBD
¢
¢
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
180
ADB
DBD¢
Ð
+ Ð
=
° ，
∴BD
AD
¢ P
∵C D
BD
¢ ¢∥
∴四边形BDED¢为平行四边形，
∵BD
BD¢
=
∴四边形BDED¢为菱形；
（3）解：连接D D
¢
交AB 于点E ，
由题意知AD
AD
=
¢ ，BD
BD¢
=
，
∴AB 垂直平分线段DD¢，
∴DE
D E
¢
=
，
90
BED
Ð
=
° ，
∴
90
BDE
DBE
Ð
+ Ð
=
° ,
由菱形知，
3
AB CD AB
CD
=
=
P
,
，
∴
CDB
DBE
Ð
= Ð
，
∴
90
CDB
BDE
Ð
+ Ð
=
°，
∴
90
CDD¢
Ð
=
°，
设AE
x
=
，则
3
BE
x
=
-
，
在Rt ADE
V
中，
2
2
2
2
2
2
3
9
DE
AD
AE
x
x
=
-
=
-
=
-
，
在Rt
BDE
△
中，
2
2
2
2
2
2
3
DE
BD
BE
x
=
-
=
-
-
，
即
2
2
2
9
2
3
x
x
-
=
-
-
，
解得
7
3
x =
，
∴
7
3
AE =
，
∴
2
2
7
32
9
3
9
DE
æ
ö
=
-
=
ç
÷
è
ø
，
∴
4 2
3
=
DE
，
∴
8 2
2
3
D D
DE
¢
=
=
，
在Rt CDD¢
V
中，
2
2
8 2
209
3
3
3
CD
æ
ö
=
+
=
ç
÷
ç
÷ø
¢
è
．
105．（2026·广东汕头·一模）【图形感知】
如图1，在四边形ABCD 中，已知
90
BAD
ABC
BDC
Ð
°
= Ð
= Ð
=
，
2
AD =
，
4
AB =
．
(1)求CD 的长；
【探究发现】
老师指导同学们对图1 所示的纸片进行了折叠探究．
在线段CD 上取一点E ，连接BE ．将四边形ABED 沿BE 翻折得到四边形A BED
¢
¢，其中A¢，D¢分别是A，D
的对应点．
(2)其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
①甲：点D¢恰好落在边BC 上，延长A D
¢ ¢交CD 于点F ，如图2．判断四边形DBA F
¢
的形状，并说明理由；
②乙：点A¢恰好落在边BC 上，如图3．求DE 的长；
(3)如图4，连接DD¢交BE 于点P，连接CP ．当点E 在线段CD 上运动时，线段CP 是否存在最小值？若存
在，直接写出；若不存在，说明理由．
【答案】(1) 4 5
(2)①四边形DBA F
¢
是矩形，见解析；②2 5
3
(3) 85
5
-
【分析】（1）利用勾股定理求得
2
2
2
4
2 5
BD =
+
=
，再证明
∽
ADB
DBC
V
V
，利用相似三角形的性质求解
即可；
（2）①由折叠的性质得
90
A
A¢
Ð = Ð
=
°，
ABD
A BD
¢
¢
Ð
= Ð
，再证明
90
A BD
¢
Ð
=
°，根据有三个角是直角的四
边形是矩形即可得解；
②延长AD 和A D
¢ ¢相交于点Q ，连接BQ ，证明四边形ABA Q
¢
是正方形，再证明
DQE
CBE
∽
△
△
，据此求
解即可；
（3）先利用折叠的性质求得
90
BPD
Ð
=
° ，推出点P 在以BD 为直径的
O
e
上，连接OC ，OP ，得到
CP
OC
OP
£
-
，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵
90
BAD
ABC
BDC
Ð
°
= Ð
= Ð
=
，
∴AD
BC
∥
，
∴
ADB
DBC
Ð
= Ð
，
∴
∽
ADB
DBC
V
V
，
∴AD
AB
BD
CD
=
，
∵
90
BAD
Ð
=
° ，
2
AD =
，
4
AB =
，
∴
2
2
2
4
2 5
BD =
+
=
，
∴
2
4
2 5
CD
=
，
∴
4 5
CD =
；
（2）解： ①四边形DBA F
¢
是矩形，理由如下，
由折叠的性质得
90
A
A¢
Ð = Ð
=
°，
ABD
A BD
¢
¢
Ð
= Ð
，
∵
90
ABD
DBC
ABC
Ð
+ Ð
= Ð
=
° ，
∴
90
A BD
A BD
DBC
¢
¢
¢
Ð
= Ð
+ Ð
=
° ，
∵
90
BDC
Ð
=
° ，
∴四边形DBA F
¢
是矩形；
②延长AD 和A D
¢ ¢相交于点Q ，连接BQ ，
由折叠的性质得
90
A
BA Q
Ð
¢
= Ð
=
°，
ABD
A BD
¢
¢
Ð
= Ð
，
EBD
EBD¢
Ð
= Ð
，
∵点A¢恰好落在边BC 上，
∴
4
AB
A B
¢
=
=
，
90
ABA¢
Ð
=
°，
∴四边形ABA Q
¢
是矩形，
∵
4
AB
A B
¢
=
=
，
∴四边形ABA Q
¢
是正方形，
∵
1
90
45
2
ABE
ABD
EBD
A BD
EBD
A BE
¢
¢
¢
¢
Ð
= Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
= Ð
=
´
° =
° ，
∴点E 在
ABA
Ð
¢的对角线BQ 上，
∵
2
DQ
AQ
AD
=
-
=
，
2
2
2
2
2 5
4 5
10
BC
BD
CD
=
+
=
+
=
，
又∵四边形ABA Q
¢
是正方形，
∴AQ
CB
∥
，
∴
DQE
CBE
∽
△
△
，
∴
2
1
10
5
DE
DQ
CE
BC
=
=
=
，
∴
1
2 5
6
3
DE
CD
=
=
；
（3）解：由折叠的性质得
EBD
EBD¢
Ð
= Ð
，BD
BD¢
=
，
∴BE 是线段DD¢的垂直平分线，
∴
90
BPD
Ð
=
° ，
∴点P 在以BD 为直径的
O
e
上，连接OC ，OP ，
∴CP
OC
OP
£
-
，即点P 在OC 上时，线段CP 存在最小值，
∵
2
2
2
2
5
4 5
85
OC
OD
CD
=
+
=
+
=
，
∴线段CP 的最小值为85
5
-
．
题型22 项目式学习问题
106．（2025·山西·中考真题）项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两
栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综
合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．
项
目
主
题
景物的测量与计算
驱
动
问
题
如何测量内栏墙围成泉池的直径
活
动
内
容
利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
方
案
说
明
图1为该景，点俯视图的示意图，点A ，D 是正八边形中一组平行边的中点，BC 为圆的直
径图中点A
B
C
D
、、、
在同一条直线上．
图2 为测量方案示意图，直径BC 所在水平直线与外栏墙分别交于，点E ，F ，外栏墙AE
与DF 均与水平地面垂直，且AE
DF
=
．BE ，CF 均表示步道的宽，BE
CF
=
．图中各点都
在同一竖直平面内．
活
动
过
程
数
在点A 处测得，点B 和点C 的俯角分别为
37
DAB
Ð
=
° ，
8.5
DAC
Ð
=
° ，
26
AD =
米．图中墙
据
测
量
的厚度均忽略不计
计
算
……
交
流
展
示
……
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC 的长（结果精确到1米．参考数据：
sin8.5
0.15
° »
，cos8.5
0.99
° »
，tan8.5
0.15
° »
，sin37
0.60
° »
，cos37
0.80
° »
，tan37
0.75
° »
）．
【答案】内栏墙围成泉池的直径BC 的长约为17 米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，由题意得
90
AEF
Ð
=
°，四边形AEFD 为矩形，
则
26
EF
AD
=
=
，AD
EF
∥
，所以
37
ABE
DAB
Ð
= Ð
=
°，
8.5
ACE
DAC
Ð
= Ð
=
°，设BE
CF
x
=
=
米，则
(26
)
CE
x
=
-
米，
(26
2 )
BC
x
=
-
米，然后通过
tan
tan37
AE
BE
ABE
x
=
×
Ð
=
×
°，
tan
26
tan8.5
AE
CE
ACE
x
=
×
Ð
=
-
×
° ， 列出方程
tan37
26
tan8.5
x
x
×
=
-
×
°， 解出方程即可，掌握知识点
的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
90
AEF
Ð
=
°，四边形AEFD 为矩形，
∴
26
EF
AD
=
=
，AD
EF
∥
，
∴
37
ABE
DAB
Ð
= Ð
=
°，
8.5
ACE
DAC
Ð
= Ð
=
°，
设BE
CF
x
=
=
米，则
(26
)
CE
x
=
-
米，
(26
2 )
BC
x
=
-
米，
在Rt
ABE
△
中，
90
AEB
Ð
=
° ，tan
AE
ABE
BE
Ð
=
，
∴
tan
tan37
AE
BE
ABE
x
=
×
Ð
=
×
°，
在Rt ACE
V
中，
90
AEC
Ð
=
°，tan
AE
ACE
CE
Ð
=
，
∴
tan
26
tan8.5
AE
CE
ACE
x
=
×
Ð
=
-
×
° ，
∴
tan37
26
tan8.5
x
x
×
=
-
×
°，解得
13
3
x »
，
∴
13
26
2
17
3
BC =
- ´
»
（米），
答：内栏墙围成泉池的直径BC 的长约为17 米．
107．（2026·湖南株洲·一模）某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目式学习活动，
如表是活动的设计方案．请你参与该项目式学习活动，并完成下列问题：
项目主题
桥梁模型的承重试验
活动目标
经历项目化学习的全过程，引导学生在实际情境中发现问题，
并将其转化为合理的数学问题
驱动问题
当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度
工具
状态一
（空水桶）
状态二
（水桶内加一定量的水）
方案设计
示意图
说明：C 为AB 的中点
(1)当水桶为空水桶状态时，桥梁没有发生形变，如图1（A 、C 、B 在同一条直线上），已知两课桌之间的
距离
60 3cm
AB =
，
120
ADB
Ð
=
° ，求吊绳CD 的长．
(2)移动课桌，并在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2 所示的形变，若其他因素忽略不计，测得
12
C AC
Ð ¢
=
° ，
45
C AD
Ð ¢
=
°，请计算此时水桶下降的高度CC¢ （参考数据：sin12
0.2
° »
，cos12
1.0
° »
，
tan12
0.2
° »
）．
【答案】(1)
30cm
CD =
(2)
7.5cm
CC¢ =
【分析】（1）根据已知条件可先求出AC 的长度，结合等腰三角形性质和三角形内角和定理，能求出
DAC
Ð
的度数，在Rt ADC
V
中，利用三角函数的定义求出CD 的长度．
（2）在Rt
'
ACC
V
中，
12
CAC
Ð
=
¢
° ，根据利用三角函数的定义表示出AC¢与CC¢ 的关系，同理在Rt
AC D
¢
△
中，表示出AC¢与CC¢ 的另一个关系，再合并求解即可．
【详解】（1）由题意可知：AD
BD
=
，C 是AB 中点，
60 3cm
AB =
，
∴
1
30 3cm
2
AC
AB
=
=
，且DC
AB
^
，
1
60
2
ADC
ADB
Ð
Ð
=
=
o ．
在Rt ADC
V
中， tan
AC
ADC
CD
Ð
=
，
∴
30 3
3
CD
=
，
解得
30cm
CD =
．
（2）由题意得：DC
MN
¢ ^
，
在Rt
'
ACC
V
中，
12
CAC
Ð
=
¢
° ，
5
tan12
0.2
CC
CC
AC
CC
¢
¢
¢
¢
=
»
=
°
，
在Rt
AC D
¢
△
中，
45
C AD
¢
°
Ð
=
，
30
tan 45
DC
AC
DC
CC
CD
CC
¢
¢
¢
¢
¢
=
=
=
+
=
+
°
，
∴5
30,
CC
CC
¢
¢
=
+
解得
7.5,
CC¢ =
∴此时水桶下降的高度CC¢ 约为7.5cm ．
108．（2025·山西大同·二模）项目化学习
【项目主题】研究击球运动
【项目背景】甲、乙、丙、丁四个学习小组开展实践活动，探究击球运动中蕴含的数学知识，并运用所学
知识解决相关问题．
【项目素材】
素材一：甲小组调试击球机器，保证每一次的击球方式相同，球在空中的飞行路线是相同的抛物线．
素材二：乙小组用监测仪器测得球的飞行高度h （米）与水平距离x （米）的部分数据如下：
水平距离
x /米
0
6
18
30
36
飞行高度
h /米
0
9
21
25
24
素材三：丙小组用监测仪器测得球的水平距离x （米）与飞行时间t （秒）的部分数据如下：
飞行时间
t /秒
0
1
1.5
2
2.5
水平距离
0
15
22.5
30
37.5
x /米
素材四：如图，丁小组在草坪边山坡上的点C 处放置一个球框，并测得山坡BC 的坡角
37 ,
24
CBB
AB
Ð
=
°
=
¢
米，
30
BC =
米．（参考数据：
3
3
4
tan37
sin37
cos37
4
5
5
° »
° »
° »
，
，
）
【解决问题】
(1)求h 与x 之间的函数关系式．
(2)当球的飞行时间为16
5 秒时，求球的飞行高度．
(3)若在点A 处击球，球能否落在点C 处的球筐中？请说明理由．
【答案】(1)
2
1
5
36
3
h
x
x
= -
+
(2)当球的飞行时间为16
5 秒时，球的飞行高度为16 米
(3)球不能落在点C 处的球筐中，理由见解析
【分析】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，解直角三角形的应用，掌握用待定系数法函数解析
式是解题的关键．
（1）用待定系数法求出h 与x 之间的函数关系式即可；
（2）根据由素材三，先用待定系数法求出x 与t 的函数关系到式，然后把
16
5
t =
代入，求出x 值，再把将
48
x =
代入h 与x 之间的函数关系式握，求出h 值即可；
（3）先解Rt
BB C
¢
△
，求出
18
CB¢ »
（米）．从而求得
48
AB¢ =
（米）．然后由由（2）得当
48
x =
时，
16
h =
，比较即可得出结论．
【详解】（1）解：设h 与x 之间的函数关系式为
2
h
ax
bx
c
=
+
+ ．
将
0,0 , 6,9 , 18,21 代入，得
2
2
0
6
6
9
18
18
21
c
a
b
c
a
b
c
=
ì
ï
+
+
=
í
ï
+
+
=
î
，
，
解得
1
36
5
3
0
a
b
c
ì = -
ï
ïï =
í
ï
=
ï
ïî
，
，
．
h
\
与x 之间的函数关系式为
2
1
5
36
3
h
x
x
= -
+
．
（2）解：由素材三，可得x 与t 是正比例函数关系，设x
mt
=
．
将
1,15 代入，得
15
m =
．
15
x
t
\
=
．
当
16
5
t =
时，
16
15
48
5
x =
´
=
．
将
48
x =
代入
2
1
5
36
3
h
x
x
= -
+
，得
2
1
5
48
48
16
36
3
h = -
´
+
´
=
．
\当球的飞行时间为16
5 秒时，球的飞行高度为16 米．
（3）解：球不能落在点C 处的球筐中．
理由：在Rt
BB C
¢
△
中，
cos
30 cos37
24
BB
BC
CBB
=
×
¢
Ð
=
´
° »
¢
（米），
sin
30 sin37
18
CB
BC
CBB
=
×
¢
Ð
=
´
° »
¢
（米）．
24
24
48
AB
AB
BB »
¢
=
+
+
=
¢
\
（米）．
由（2）得当
48
x =
时，
16
h =
．
16
18
<
Q
，
\球不能落在点C 处的球筐中．
109．（2026·江苏南京·模拟预测）【项目式学习】
项目主题：车轮的形状
项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮
制作成圆形的相关原理．
【合作探究】
(1)探究A 组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变．另外圆形车轮在
滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为4cm ，其车轮最高点到地面的距离
始终为______cm ；
(2)探究B 组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为O ，若
正方形的边长为6cm，车轮轴心O 距离地面的最高点与最低点的高度差为______cm ；
(3)探究C 组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为6cm，车轮轴心为O （三边垂直平分线的交点），车
轮在地面上无滑动地滚动一周，求点O 经过的路径长．
探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．
【拓展延伸】
如图4，分别以正三角形的三个顶点A ，B ，C 为圆心，以正三角形的边长为半径作60°圆弧，这样形成的
曲线图形叫做“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够
保持平衡，但其车轴中心并不稳定．
(4)探究D 组：使“莱洛三角形”以图4 为初始位置沿水平方向向右滚动．在滚动过程中，其“最高点”和“车轮
轴心O ”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心O ”所形成的
图形按上、下放置，应大致为______．
A．
B．
C．
D．
(5)已知M 、N 分别是
AB 、
AC 上的两个动点：点M 沿
AB 从点A 运动到点B ，点N 沿
CA 从点C 运动到点
A ，它们同时出发且速度相同，连接MN ．请简要说明此时线段MN 的中点F 的运动轨迹．
【答案】(1)8
(2)3 2
3
-
(3) 4 3 cm
p
(4)A
(5)点F 在以CB 的中点R 为圆心，以1
2 a 为半径的圆心角为60°的弧上
【分析】本题考查了圆的有关性质、垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质、三角形的中位线
的性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是熟练运用相关知识进行证明和推理．
（1）圆形车轮半径为4cm ，轴心到地面距离为半径4cm ，最高点到轴心距离也为半径；
（2）轴心最低点高度是正方形中心（轴心O ）到边的距离为边长一半，轴心最高点高度是到顶点的距离为
对角线一半；
（3） 正三角形滚动一周，每经过一个顶点，O 绕该顶点旋转120° ，共旋转3 次，总旋转角度为360°．
（4）最高点到地面距离恒定→轨迹为水平直线．轴心 O 在滚动中围绕各顶点做圆弧运动 → 轨迹呈周期
性波动曲线．
（5）连接AM ，MB ，AN ，CN ，CM ，取CB 、MC 的中点R
S
、，连接RS ，SF ，FR ，再证明
FRS
CAN
V
V
∽
，得出
1
2
FR
a
=
即可确定轨迹．
【详解】（1）解：最高点到地面距离为4
4
8cm
+
=
；
（2）解：轴心最低点高度是正方形中心（轴心O ）到边的距离为边长一半3cm ，
轴心最高点高度为到顶点的距离为对角线一半
2
2
1
6
6
3 2cm
2
=
´
+
=
，
因此高度差为
3 2
3 cm
-
．
（3）解：如图，连接OB ，过点O 作OG
BC
^
，
∵正三角形边长为6cm，
60
BOG
Ð
=
° ，
∴
1
3
2
BG
BC
=
=
，
∴
3
OG =
，
∴其中心O （轴心）到顶点的距离（外接圆半径）
2
3
(
6)
2 3cm
3
2
R
OG
=
=
´
´
=
．
∴正三角形滚动一周，每经过一个顶点，O 绕该顶点旋转120° ，共旋转3 次，总旋转角度为3 120
360
°
°
´
=
．
∴O 经过的路径长为一个整圆的周长：2
2
2 3
4 3 cm
R
p
p
p
=
´
=
．
（4）解： 莱洛三角形滚动时始终夹在两条平行线之间，最高点到地面距离不变，因此最高点轨迹为水平
直线，排除最高点是曲线的选项B、D； 滚动过程中，轴心O 在顶点接触地面时高度最高，共出现3 次高
度峰值，轨迹为三段起伏的波浪线，符合的是选项A．
（5）解：连接AM ，MB ，AN ，CN ，CM ，取CB 、MC 的中点R、S，连接RS ，SF ，FR ，
∵点M 沿
AB 从点A 运动到点B ，点N 沿
CA 从点C 运动到点A ，它们同时出发且速度相同，
∴
AM
CN
=
，
∴
BM
AN
=
，
∴
,
AM
CN BM
AN
=
=
，
∵AB
AC
=
，
∴
AMB
CNA
≌
△
△
，
∴
ANC
AMB
Ð
= Ð
，
∵CB 、MC 的中点为R
S
、，MN 的中点为F ，
∴SF
CN
∥
，SR
MB
∥
，
1
2
SF
CN
=
，
1
1
2
2
SR
MB
AN
=
=
，
∵
60
ABC
Ð
=
° ，
∴
360
60
150
2
ANC
AMB
°-
°
Ð
= Ð
=
=
° ，
∵SF
CN
∥
，SR
MB
∥
，
∴
FSM
NCM
Ð
= Ð
，
180
RSM
CMB
Ð
+ Ð
=
° ，
设
MBA
a
Ð
=
，则
30
MAB
ACN
a
Ð
= Ð
=
°-
，
∴
2
60
2
BCM
MBA
a
Ð
= Ð
=
°-
，
∵MC
CB
a
=
=
，
∴
60
MBC
CMB
a
Ð
= Ð
=
°+
，
∴
120
RSM
a
Ð
=
°-
，
∴
60
60
2
2
ACM
a
a
Ð
=
°-
°+
=
，
∴
2
30
30
FSM
NCM
a
a
a
Ð
= Ð
=
+
°-
=
°+
，
∴
150
FSR
FSM
MSR
Ð
= Ð
+ Ð
=
° ，
∴FRS
CAN
V
V
∽
，
∴
1
1
2
2
FR
AC
a
=
=
，
当点M 与点B 重合时，点F 为AB 中点，当点M 与点A 重合时，点F 为AC 中点，此时，
60
MRN
Ð
=
° ，
故点F 在以CB 的中点R 为圆心，以1
2 a 为半径的圆心角为60°的弧上；
110．（2025·山西·一模）项目式学习
项目主题：无人机喷洒农药研究．
项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的
安全性．
驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济．
建立模型：如图1 是无人机的示意图，其中点O 为无人机的摄像头，A
B
，
是喷药口，A ，B
O
，
在同一条
水平直线上，
60 cm
AB =
．如图2，以无人机摄像头所在位置O 为坐标原点，竖直方向为y 轴，以AB 所在
直线为x 轴，建立平面直角坐标系．喷药口点A 和点B 到点O 的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方
向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y 轴的交点为
300 cm
C
OC =
，
．
（1）试确定点A 所在抛物线的函数表达式．
问题解决：
（2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为300 cm ，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到
图3 位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为EF 的区域，且
30 cm
EF =
，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒
农药，求无人机应该下降的高度．
（3）如图4，在直线AB 上再增加2 个喷药口M 和N ，M 在A 左侧，N 在B 右侧，且MA = AB
BN
=
，当
无人机上升到距地面的高度为480 cm 时，直接写出此时喷洒农药覆盖区域宽度PQ的长．
【答案】（1）
2
1
30
3
y
x
= -
+
；（2）225 cm ；（3）
24 10
180 cm
+
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，包括根据点坐标求二次函数表达式、利用函数性质解
决高度和距离问题；解题关键是通过建立平面直角坐标系，准确找出各点坐标并代入二次函数表达式进行
求解．
（1）首先根据喷药口A、B 到O 距离相等且OB 长度，确定A 点在x 轴上的坐标；由抛物线与y 轴交点特
征确定C 点坐标．设抛物线的一般式，将C 点坐标代入得到c 的值， 再利用抛物线对称轴为y 轴这一性质
得出b 的值，最后把A 点坐标及已得的b、c 值代入一般式，求出a 的值，进而确定抛物线的函数表达式；
（2）以摄像头为原点建立平面直角坐标系，且明确喷药抛物线函数表达式不变． 由于田埂宽度为1 且关
于y 轴对称，设田埂边缘在x 轴正半轴点的坐标，将其代入已知抛物线表达式，求出该点纵坐标，此纵坐
标即为调整高度时无人机摄像头距地面高度， 用无人机初始高度减去调整高度时摄像头距地面高度，得到
无人机应下降的高度．
（3）根据已知条件求出M 的坐标．设M 所在抛物线表达式为
2
1 (
90)
3
y
x
= -
+
，根据无人机相对高度对应的
点坐标代入，求出表达式．求出与x 轴交点的坐标，由于覆盖区域关于y 轴对称，用求出的横坐标距离乘
以2，得到喷洒农药覆盖区域宽度．
【详解】解：（1）
60cm
AB =
Q
，点A 与点B 到点O 的距离相等，
30cm
\
=
=
OA
OB
，
\点A 的坐标为
30,0
-
．
300cm
OC =
Q
，
\点C 的坐标为
0, 300
-
．
设点A 所在抛物线的函数表达式为
2
(
30)
y
a x
=
+
，
将点
0, 300
C
-
代入得300
900a
-
=
．
解得
1
3
a = -
．
\点A 所在抛物线的函数表达式为
2
1
30
3
y
x
= -
+
．
（2）Q以无人机摄像头所在位置O 为坐标原点，竖直方向为y 轴，水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，
\喷药口A 喷出的药水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变．
30cm
EF =
Q
，由题可知点E 和点F 关于y 轴对称，
\可以设点E 的坐标为
15,k
-
．
将点
15,
E
k
-
代入
2
1
30
3
y
x
= -
+
，
得
2
1
15
30
75
3
k = -
-
+
= -
．
\点E 的坐标为
15, 75
-
-
．
\此时无人机摄像头距离地面的高度为75cm ．
300
75
225 cm
-
=
．
答∶ 无人机应该下降的高度为225cm．
（3） ∵
60
MA
AB
=
=
，A 点坐标为( 30,0)
-
，
∴M 点坐标为( 90,0)
-
．
∵M 所在抛物线形状与A 所在抛物线相同，二次项系数相同，
设M 所在抛物线表达式为
2
1 (
90)
3
y
x
= -
+
∵无人机高度为480cm ，
∵抛物线是从O 点（相对高度0 ），
∴代入
480
y = -
到
2
1 (
90)
3
y
x
= -
+
中，得
2
1 (
90)
480
3 x
-
+
= -
．
解得
1
90 12 10
x = -
-
，
2
90 12 10
x = -
+
．
( 90 12 10, 480)
P
\
-
-
-
，
PQ
∵
关于y 轴对称，
2
90 12 10 cm
PQ
\
=
´
+
，
PQ
\
长
180
24 10 cm
+
题型23 几何与函数新定义型问题
111．（2026·河南开封·模拟预测）定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，
叫作菱形的“和谐线”．如图1，在菱形ABCD 中，P 是CD 的中点，连接AP ，BP ，则折线APB 叫作菱形ABCD
的“和谐线”，折线APB 的长叫作“和谐线”的长．已知在菱形ABCD 中，AB
a
=
，P 是CD 的中点，连接AP ，
BP ．
(1)如图1，若
6
a =
，
60
C
Ð
=
°，求“和谐线” APB 的长；
(2)如图2，若
APB
C
Ð
= Ð
，请探究“和谐线” APB 的长与菱形的边长a 之间满足的等量关系式，并说明理由；
(3)若
6
a =
，且“和谐线” APB 中的AP 或BP 与菱形ABCD 的一条对角线相等，求“和谐线” APB 的长．
【答案】(1)“和谐线” APB 的长为3
3
3
7
+
(2)“和谐线” APB 的长等于3 2
2
a ，理由见解析
(3)“和谐线” APB 的长为9 2 或6
3 6
+
【分析】（1）连接DB ，根据题意证得
DBC
△
为等边三角形，利用勾股定理求出PB ，AP ，即可解答；
（2）证明
APB
BCP
∽
△
△
，列出比例式，求出
2
2
BP
a
=
代入比例式求解即可；
（3）由已知得“和谐线” APB 中的AP 或BP 只能与菱形ABCD 中较短的对角线相等，分以下情况讨论：当
BP
BD
=
时，过点P 作PE
AB
^
，交AB 的延长线于点E，过点B 作BF
CD
⊥
于点F；当BP
AC
=
时，过点C
作CE
BP
P
，交AB 的延长线于点E，分别计算即可得出结果．
【详解】（1）解：如图1，连接DB ，
在菱形ABCD 中，
6
AB
BC
CD
=
=
=
，
60
C
Ð
=
°，
∴
DBC
△
为等边三角形，
∵点P 为DC 的中点，
∴
3
PD
PC
=
=
，PB
DC
^
，
∴在Rt PBC
V
中，
2
2
3 3
PB
BC
PC
=
-
=
，
∵DC
AB
∥
，
∴
90
PBA
BPC
Ð
= Ð
=
°，
∴在Rt ABP
V
中，
2
2
3 7
AP
AB
PB
=
+
=
，
∴“和谐线” APB 的长为3
3
3
7
+
．
（2）解：“和谐线” APB 的长等于3 2
2
a ．
理由：如图2，
在菱形ABCD 中，DC
AB
∥
，
∴
CPB
PBA
Ð
= Ð
，
又∵
APB
C
Ð
= Ð
，
∴
APB
BCP
∽
△
△
，
∴AP
PB
AB
BC
CP
BP
=
=
，
∴
2
2
1
1
2
2
BP
CP AB
a a
a
=
×
=
×
=
，
∴
2
2
BP
a
=
，
∴
2
2
1
2
a
AP
a
a
=
，
∴
2
AP
a
=
，
∴
3 2
2
AP
BP
a
+
=
，
∴“和谐线” APB 的长为3 2
2
a ．
（3）解：“和谐线” APB 的长为9 2 或6
3 6
+
．
由已知得“和谐线” APB 中的AP 或BP 只能与菱形ABCD 中较短的对角线相等，
①当BP
BD
=
时，如图3，过点P 作PE
AB
^
，交AB 的延长线于点E，过点B 作BF
CD
⊥
于点F，
∴
3
2
DF
PF
BE
=
=
=
，
9
2
CF =
，
在Rt BCF
V
中，
2
2
2
2
9
3 7
6
2
2
BF
BC
CF
æ
ö
=
-
=
-
=
ç
÷
è
ø
，
在Rt BPF
V
中，
2
2
2
2
3 7
3
3 2
2
2
BP
BF
PF
æ
ö
æ
ö
=
+
=
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
∵
15
2
AE
AB
BE
=
+
=
，
3 7
2
PE
BF
=
=
，
在Rt APE
V
中，
2
2
2
2
15
3 7
6 2
2
2
AP
AE
PE
æ
ö
æ
ö
=
+
=
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
∴
6 2
3 2
9 2
AP
BP
+
=
+
=
；
②当AP
BD
=
时，同理可证
3 6
AP =
，
6
BP =
，
6
3 6
AP
BP
+
=
+
；
③当AP
AC
=
时，同理可得
3 2
AP =
，
6 2
BP =
，
9 2
AP
BP
+
=
；
④当BP
AC
=
时，如图4，过点C 作CE
BP
P
，交AB 的延长线于点E，
∴四边形BPCE 是平行四边形，
∴CE
BP
AC
=
=
，
∴
CAE
E
Ð
= Ð
，
∵
E
ABP
Ð
= Ð
，
∴
CAE
ABP
Ð
= Ð
，
∵AB
BC
=
，
∴
CAE
ACB
Ð
= Ð
，
∴
ABO
ACB
∽
△
△
，
∴AB
AO
AC
AB
=
，即
2
36
AC AO
AB
×
=
=
，
∵CD
BE
∥
，
∴
AOB
COP
∽
△
△
，
∴
1
2
CO
CP
AO
AB
=
=
，
∴
2
3
AO
AC
=
，
∴
2
36
3
AC
AC
×
=
，得
3 6
AC =
，
在ABP
V
和BAC
V
中，
AB
AB
CAE
ABP
AC
BP
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
SAS
ABP
BAC
V
V
≌
，
∴
BAP
ABC
Ð
= Ð
，
∵AB
BC
=
，
ABC
D
Ð
= Ð
，
∴
BAP
ABC
D
Ð
= Ð
= Ð
，
∵CD
AB
∥
，
∴
APD
BAP
Ð
= Ð
，
∴
APD
D
Ð
= Ð
，
∴
6
AP
AD
=
=
，
∴
6
3 6
AP
BP
AP
AC
+
=
+
=
+
．
综上，“和谐线” APB 的长为9 2 或6
3 6
+
．
112．（2026·河南周口·模拟预测）综合与实践
在以往的学习过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“豫式四边形”进行研究．
定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“豫式四边形”．
(1)初步判断
下列初中阶段常见的四边形中，一定属于“豫式四边形”的是________（填序号）．
①矩形 ②正方形 ③菱形 ④平行四边形
(2)性质探究
根据定义可得出“豫式四边形”的边、角的性质．下面继续进行相关探究．
①如图1，“豫式四边形” ABCD 中，AB
AD
=
，
B
D
Ð
= Ð
．写出图中除条件外相等的线段，并说明理由；
②如图2，在四边形ABCD 中，
180
B
ADC
Ð
+ Ð
=
°，AC 平分
BCD
Ð
，若BC
CD
，求证：四边形ABCD 为“豫
式四边形”；
(3)拓展应用
如图3，
ABC
V
中
90
B
Ð
=
°，
1
AB
BC
=
= ，在直线AC 的右上方存在点D，使得四边形ABCD 为“豫式四边
形”，当该“豫式四边形”中有一内角为60°时，请直接写出CD 的长．
【答案】(1)②
(2)①BC
DC
=
，理由见解析；②见解析
(3)
3
1
2
- 或
3
1
2
+
【分析】（1）根据“豫式四边形”的定义判断即可；
（2）①根据“豫式四边形”的定义可得
90
B
D
Ð
= Ð
=
° ，再根据“ HL ”证明
ABC
ADC
△
≌△
，可得BC
CD
=
；
②过点A 作
DAC
EAC
Ð
= Ð
，交BC 于点E ，证明ADC
AEC
V
V
≌
，推出BA
EA
AD
=
=
，即可证明四边形
ABCD 为“豫式四边形”；
（3）分两种情况，即
60
BCD
Ð
=
° 或
60
BAD
Ð
=
° ，作出图形，计算CD 的长即可．
【详解】（1）解：①矩形对角互补，但邻边不一定相等，故矩形不一定属于“豫式四边形”；
②正方形对角互补，邻边相等，故正方形一定属于“豫式四边形”；
③菱形对角相等，不一定互补，邻边一定相等，故菱形不属于“豫式四边形”；
④平行四边形对角相等，不一定互补，邻边不一定相等，故平行四边形不属于“豫式四边形”；
即答案为②；
（2）①解：BC
DC
=
，理由如下：
Q四边形ABCD 为“豫式四边形”，
180
B
D
\Ð
+ Ð
=
°，
B
D
Ð
= Ð
Q
，
90
B
D
\Ð
= Ð
=
°，
AB
AD
=
Q
，AC
AC
=
，
Rt
Rt
HL
ABC
ADC
\
△
≌
△
，
BC
DC
\
=
；
②证明：如图，过点A 作
EAC
DAC
Ð
= Ð
，交BC 于点E ，
Q AC 平分
BCD
Ð
，
ECA
DCA
\Ð
= Ð
，
DAC
EAC
Ð
= Ð
Q
，AC
AC
=
，
\
ASA
ADC
AEC
△
≌△
，
AD
AE
\
=
，
D
AEC
Ð
= Ð
，
180 ,
180
B
D
AEB
AEC
Ð + Ð
=
° Ð
+ Ð
=
°
Q
，
B
AEB
\Ð
= Ð
，
AB
AE
AD
\
=
=
，
\四边形ABCD 为“豫式四边形”；
（3）解：要使四边形ABCD 为“豫式四边形”，则
+
=90
B
D
Ð
Ð
°，
90
B
Ð
=
°
Q
，
90
D
\Ð
=
° ，
当
60
BAD
Ð
=
° 时，如图，作
30
CFD
Ð
=
°，连接CF ，
90
B
Ð
=
°
Q
，
1
AB
BC
=
= ，
45
BAC
\Ð
=
°，
2
AC =
，
15
DAC
\Ð
=
° ，
30
CFD
Ð
=
°
Q
，
15
FCA
\Ð
=
° ，
FA
FC
\
=
，
设CD
x
=
，则
3
FD
x
=
，
2
FA
FC
x
=
=
，
2
3
AD
AF
FD
x
x
\
=
+
=
+
，
根据勾股定理可得
2
2
2
AD
CD
AC
+
=
，
可得
2
2
2
2
3
2
x
x
x
+
+
=
，
解得
1
2
3
1
3
1
,
2
2
x
x
-
+
=
=
，
当
3
1
2
x
+
=
时，
5
3 3
2
3
2
2
AD
AF
FD
x
x
+
=
+
=
+
=
，不符合直角三角形边长关系，故舍去，
3
1
2
x
-
\
=
3
1
2
CD
-
\
=
；
当
60
BCD
Ð
=
° 时，如图，作
30
AGD
Ð
=
° ，连接AG ，
同理可得GA
GC
=
，
设AD
x
=
，则
3
GD
x
=
，
2
GA
GC
x
=
=
，
2
3
CD
DG
CG
x
x
\
=
+
=
+
，
根据勾股定理可得
2
2
2
AD
CD
AC
+
=
，
可得
2
2
2
2
3
2
x
x
x
+
+
=
，
解得
1
2
3
1
3
1
,
2
2
x
x
+
-
=
=
，
当
3
1
2
x
+
=
时，
5
3 3
2
3
2
2
CD
DG
CG
x
x
+
=
+
=
+
=
，不符合直角三角形边长关系，故舍去，
3
1
2
x
-
\
=
2
2
3
3
1
x
D
x
C
+
\
+
=
=
，
综上，CD 的值为
3
1
2
- 或
3
1
2
+ ．
113．（2026·江西·模拟预测）定义：已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ ，则称二次函数
2
y
a x
t
b x
t
c
=
-
+
-
+
是二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的伴随二次函数，t 是伴随值．
定义理解
（1）下列二次函数中，是二次函数
2
2
y
x
x
=
+
+
的伴随二次函数的是（ ）
A．
2
1
3
y
x
x
=
-
+
+ B．
2
1
1
y
x
x
=
+
+
+
C．
2
2
y
x
x
=
-
+ D．
2
2
2
y
x
x
=
+
+
+
深入探究
（2）已知二次函数
2
1
2
3
y
x
x
=
-
- 的图象如图所示，其伴随二次函数是
2
2
6
5
y
x
x
=
-
+ ．
①伴随值为 ；
②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象；
③当
2
m
x
m
£
£
+
时，记二次函数
1y 与
2y 的图象为W，若W 的最高点的纵坐标为12，求W 的最低点的坐
标．
【答案】（1）C；（2）①2；②见解析；③
1, 4
-
或
3, 4
-
【分析】本题主要考查了新定义下二次函数的图像与性质，理解新定义，准确计算是正确解答此题的关键．
（1）根据伴随二次函数的定义逐一判断即可；
（2）①将
2
2
6
5
y
x
x
=
-
+ 变形即可求解；②根据画函数图像的步骤即可画出伴随二次函数的图像；③结合
取值范围及二次函数的性质分情况求解即可．
【详解】解：（1）对于二次函数
2
2
y
x
x
=
+
+ ，
当伴随值为1 时，其伴随二次函数是
2
2
1
1
2
1
1
y
x
x
x
x
=
-
+
-
+
=
-
+
+ ；
当伴随值为1
- 时，其伴随二次函数是
2
2
1
1
2
1
3
y
x
x
x
x
=
+
+
+
+
=
+
+
+ ；
当伴随值为2 时，其伴随二次函数是
2
2
2
2
2
2
y
x
x
x
x
=
-
+
-
+
=
-
+
；
当伴随值为2
- 时，其伴随二次函数是
2
2
2
2
2
2
4
y
x
x
x
x
=
+
+
+
+
=
+
+
+
；
故选：C．
（2）①设伴随值为t，
则
2
2
2
2
2
2
3
2
1
2
3
6
5
y
x
t
x
t
x
t
x
t
t
x
x
=
-
-
-
-
=
-
+
+
+
-
=
-
+ ，
2
1
6
t
\
+
=
，
2
t
\ =
．
故答案为：2；
②列表：
x
L
0
2
3
4
6
L
2
2
6
5
y
x
x
=
-
+
L
5
3
-
4
-
3
-
5
L
依次描出点
0,5
2, 3
3, 4
6,5
4, 3
-
-
-
、
、
、
、
，
画图如图所示：
③令
2
1
2
3
12
y
x
x
=
-
-
=
，得
5
x =
或3
- ；
令
2
2
6
5
12
y
x
x
=
-
+
=
，得
7
x =
或1
- ．
结合函数图象可知，只能是
1
m = - 或
2
5
m+
= ，
1
m
\
= - 或3．
当
1
m = - 时，1
1
x
- £
£ ，此时
2
1
y
y
且
1y 随x 的增大而减小，
∴当
1
x = 时，
1y 有最小值，为
21
2 1 3
4
- ´ -
= - ，
∴此时W 的最低点的坐标为
1, 4
-
．
当
3
m =
时，3
5
x
£
£
，此时
1
2
y
y
且
2y 随x 的增大而增大，
∴当
3
x =
时，
2y 有最小值，为
23
6 3
5
4
- ´ +
= - ，
∴此时W 的最低点的坐标为
3, 4
-
．
综上，W 的最低点的坐标为
1, 4
-
或
3, 4
-
．
114．（2025·黑龙江大庆·二模）新定义
【定义与性质】
如图，记二次函数
2
y
a x
b
c
=
-
+ 和
2
0
y
a x
p
q a
= -
-
+
¹
的图象分别为抛物线C 和
1
C ．
定义：若抛物线
1
C 的顶点
,
Q p q 在抛物线C 上，则称
1
C 是C 的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若
1
C 是C 的伴随抛物线，则C 也是
1
C 的伴随抛物线，即C 的顶点
,
P b c 在
1
C 上．
【理解与运用】
（1）若二次函数
2
1
3
3
y
x
m
= -
-
+
和
2
1
1
3
3
y
x
n
= -
-
+
的图象都是抛物线
2
1
3
y
x
=
的伴随抛物线，则m = ，
n = ．
【思考与探究】
（2）设函数
2
2
6
3
y
x
kx
k
=
-
+
+
的图象为抛物线
2
C ．
①若函数
2
y
x
dx
e
= -
+
+ 的图象为抛物线
0
C ，且
2
C 始终是
0
C 的伴随抛物线，求d，e 的值；
②如图（2），在①的条件下，抛物线
0
C 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，过点C 作x 轴的平行线
交抛物线于点D，P 为抛物线上任意一点，当tan
2
PCD
Ð
=
时，求点P 的坐标
③在①的条件下，若抛物线
2
C 与x 轴有两个不同的交点
1,0
x
，
2,0
x
1
2
x
x
<
，请直接写出
1x 的取值范围．
【答案】（1）3，1
± ；（2）①
6,
3
d
e
=
=
；②P 点坐标为
4,11 或
8, 13
-
；③
1
3
2 3
x <
-
或
1
3
3
2 3
x
<
<
+
【分析】本题主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质结合
图象求解是解题关键．
（1）根据题意确定点
1
3,
,
, 3
m
n
æ
ö
ç
÷
è
ø在
2
1
3
y
x
=
的伴随抛物线上，代入求解即可；
（2）①根据题意确定顶点坐标为：
2
,
6
3
k
k
k
-
+
+
，然后代入解析式得出6
3
k
dk
e
+
=
+ ，即可求解；②先
求出
, ,
A B C 的坐标，设点
2
,
6
3
P p
p
p
-
+
+
，如图，过点P 作PH
CD
^
于点H，则
2
2
6
3
3
6
,
PH
p
p
p
p CH
p
= -
+
+ -
= -
+
=
，根据tan
2
PCD
Ð
=
，可得
2
6
2
p
p
PH
CH
p
-
+
=
=
，求解即可；③
根据题意得出顶点坐标
2
,
6
3
k
k
k
-
+
+
在
2
6
3
y
x
x
= -
+
+
图象上滑动，然后分情况分析即可得出结果．
【详解】解：（1）二次函数
2
1
3
3
y
x
m
= -
-
+
和
2
1
1
3
3
y
x
n
= -
-
+
的图象都是抛物线
2
1
3
y
x
=
的伴随抛物
线，
∴点
1
3,
,
, 3
m
n
æ
ö
ç
÷
è
ø在
2
1
3
y
x
=
的伴随抛物线上，
代入得：
2
1
3
3
3
m =
´
=
，
2
1
1
3
3
n
=
´
，
解得：
3
m =
，
1
n = ± ，
故答案为：2；1
± ；
（2）①
2
2
2
2
2
2
2
6
3
2
6
3
6
3
y
x
kx
k
x
kx
k
k
k
x
k
k
k
=
-
+
+
=
-
+
-
+
+
=
-
-
+
+ ，
∴顶点坐标为：
2
,
6
3
k
k
k
-
+
+
，
∵函数
2
y
x
dx
e
= -
+
+ 的图象为抛物线
0
C ，且
2
C 始终是
0
C 的伴随抛物线，
∴
2
2
6
3
k
k
k
dk
e
-
+
+
= -
+
+
，
整理得：6
3
k
dk
e
+
=
+ ，
∴
6,
3
d
e
=
=
；
②由①得：函数
2
6
3
y
x
x
= -
+
+
的图象为抛物线
0
C ，
令
2
6
3
0
x
x
-
+
+
=
，
解得：
3
2 3
x =
-
或
3
2 3
x =
+
，
∴
3
2 3,0 ,
3
2 3,0
A
B
-
+
，
将
0
x =
代入
2
6
3
y
x
x
= -
+
+
，则
3
y =
，
∴
0,3
C
，
令
2
6
3
3
x
x
-
+
+
=
，
解得：
0
x =
或
6
x =
，
∵CD
x
P
轴，
∴
6,3
D
，
设点
2
,
6
3
P p
p
p
-
+
+
，
如图，过点P 作PH
CD
^
于点H，
则
2
2
6
3
3
6
,
PH
p
p
p
p CH
p
= -
+
+ -
= -
+
=
，
∵tan
2
PCD
Ð
=
，
∴
2
6
2
p
p
PH
CH
p
-
+
=
=
，
∴
2
6
2
p
p
p
-
+
= ±
，
当
2
6
2
p
p
p
-
+
=
时，即
2
4
0
p
p
-
=
，
解得：
0
p =
（舍去）或
4
p =
；
∴
2
6
3
11
p
p
-
+
+
=
，
∴
4,11
P
；
当
2
6
2
p
p
p
-
+
= -
时，即
2
8
0
p
p
-
=
，
解得：
0
p =
（舍去）或
8
p =
；
∴
2
6
3
13
p
p
-
+
+
= -
，
∴
8, 13
P
-
；
综上，当tan
2
PCD
Ð
=
时，点P 的坐标为
4,11 或
8, 13
-
；
③∵
2
C 与x 轴有两个不同的交点
1,0
x
，
2,0
x
，
由①得：函数
2
6
3
y
x
x
= -
+
+
的图象为抛物线
0
C ，且
2
C 始终是
0
C 的伴随抛物线，
∴顶点坐标
2
,
6
3
k
k
k
-
+
+
在
2
2
6
3
3
12
y
x
x
x
= -
+
+
= -
-
+
图象上滑动，
顶点为
3,12 ，
当
2
6
3
0
x
x
-
+
+
=
时，
解得：
3
2 3
x =
-
或
3
2 3
x =
+
，
抛物线与x 轴交
3
2 3,0
3
2 3,0
-
+
两个点，
当顶点在
3
2 3,0
-
下方时，抛物线有两个交点，
1
3
2 3
x <
-
，
∵若
2
C 是
0
C 的伴随抛物线，则
0
C 也是
2
C 的伴随抛物线，即C 的顶点
,
P b c 在
2
C 上．
∴
3,12 在
2
C 上，
当顶点在
3
2 3,0
+
下方时，
1
3
3
2 3
x
<
<
+
；
综上可得：
1
3
2 3
x <
-
或
1
3
3
2 3
x
<
<
+
．
115．（2026·广东深圳·一模）【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分
割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”．
(1)【理解定义】
如图，在
ABC
V
中，AB
AC
=
，
120
BAC
Ð
=
° ，D 是线段BC 上一点，连接AD ，若AD
BD
=
，那么线段
AD （填“是”或“不是”）
ABC
V
的“奇妙分割线”．
(2)【运用定义】
如图，在平行四边形ABCD 中，
5
AB =
，
5
BC =
，连接AC ，若
90
BAC
Ð
=
°，E 是线段BC 上一点，
3
CE =
，连接DE 交AC 与点F．求证：线段CF 是
DCE
△
的“奇妙分割线”．
(3)【拓展提升】
如图，在
ABC
V
中，
5
AB =
，
3
BC = ，
3
sin
5
ABC
Ð
=
，点D 是线段BC 上的动点（点D 不与B、C 重合），
连接AD ，将
ABD
△
沿AD 翻折得到
AED
△
，点B 的对应点为点E，连接BE 、CE ，当ED 是BCE
V
的“奇
妙分割线”时，求线段BD 的长．
【答案】(1)是
(2)见解析
(3)1 或7
2 6
-
【分析】（1）根据“奇妙分割线”的定义即可判断；
（2）根据平行四边形的性质得到AD
BC
∥
，AB
CD
∥
，
5
AD
BC
=
=
，
5
CD
AB
=
=
，则
ADF
CEF
△
∽△
，
90
DCF
BAC
Ð
= Ð
=
° ，得到CDF
V
为直角三角形，再利用相似三角形的性质和勾股定理
求出CF 和EF 的长，进而推出
CEF
△
是等腰三角形，即可证明；
（3）由翻折可知，BD
DE
=
，
5
AE
AB
=
=
，
ADB
ADE
Ð
= Ð
，则
BDE
V
是等腰三角形，根据ED 是BCE
V
的“奇妙分割线”，可知
DCE
△
为直角三角形，再分3 种情况讨论求解线段BD 的长即可．
【详解】（1）解：∵AB
AC
=
，
120
BAC
Ð
=
° ，
∴
30
B
C
Ð
= Ð
=
° ，
∵AD
BD
=
，
∴
30
BAD
B
Ð
= Ð
=
°，
∴
120
30
90
DAC
BAC
BAD
Ð
= Ð
- Ð
=
°-
° =
° ，即
ADC
△
为直角三角形，
∵AD
BD
=
，
∴
ABD
△
为等腰三角形，
∴AD 是
ADC
△
的“奇妙分割线”；
（2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD
BC
∥
，AB
CD
∥
，
5
AD
BC
=
=
，
5
CD
AB
=
=
，
∴
ADF
CEF
△
∽△
，
90
DCF
BAC
Ð
= Ð
=
° ，
∴
5
3
DF
AF
AD
EF
CF
CE
=
=
=
，CDF
V
为直角三角形，
∵
90
BAC
Ð
=
°，
∴
2
2
2
25
5
2 5
AC
BC
AB
=
-
=
-
=
，
∴
3
3
5
8
4
CF
AC
=
=
，
5
5
5
8
4
AF
AC
=
=
，
∵
90
DCF
Ð
=
°，
∴
2
2
2
2
3
5
5
5
5
4
4
DF
CD
CF
æ
ö
=
+
=
+
=
ç
÷
è
ø
，
∴
3
3
5
5
4
EF
DF
CF
=
=
=
，
∴
CEF
△
是等腰三角形，
∴CF 是
DCE
△
的“奇妙分割线”；
（3）解：由翻折可知，BD
DE
=
，
5
AE
AB
=
=
，
ADB
ADE
Ð
= Ð
，
∴
BDE
V
是等腰三角形，
又∵DE 是BCE
V
的“奇妙分割线”，
∴
DCE
△
为直角三角形；
①当
90
EDC
Ð
=
° 时，
90
BDE
Ð
=
°，
∵
360
ADB
ADE
BDE
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°
∴
135
ADB
ADE
Ð
= Ð
=
° ，
∴
=45
ADC
Ð
° ，
如图，过点A 作AF
BC
^
交BC 的延长线于F，则
90
AFB
Ð
=
°，
∵
5
AB =
，
3
sin
5
ABC
Ð
=
，
∴
sin
3
AF
AB
ABC
=
Ð
= ，
∴
2
2
4
BF
AB
AF
=
-
=
，
∵
=45
ADC
Ð
° ，
∴
3
DF
AF
=
= ，
∴
1
BD
BF
DF
=
-
= ；
②当
90
DCE
Ð
=
° 时，
如图，作AF
BC
^
交BC 的延长线于F，过E 作EG
AF
^
交AF 的延长线于G，
则
90
G
CFG
ECF
Ð
= Ð
= Ð
=
° ，
∴四边形CEGF 是矩形，
∴EG
CF
=
，CE
FG
=
，
由①可知，
3
AF =
，
4
BF =
，
∴
4
3
1
EG
CF
BF
BC
=
=
-
=
-
= ，
∵
5
AE
AB
=
=
，EG
AG
^
，
∴
2
2
2
2
5
1
2 6
AG
AE
EG
=
-
=
-
=
，
∴
2 6
3
CE
FG
AG
AF
=
=
-
=
- ，
设BD
DE
x
=
=
，则
3
CD
x
=
-
，
在Rt DCE
V
中，
90
DCE
Ð
=
° ，
∴
2
2
2
CD
CE
DE
+
=
，即
2
2
2
3
2 6
3
x
x
-
+
-
=
，
解得
7
2 6
x =
-
，
∴
7
2 6
BD =
-
；
③当
90
CED
Ð
=
°时，不存在满足题意的图形，舍去；
综上，BD 的长为1 或7
2 6
-
．
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