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专题5.1 平面向量及其应用
重难点题型1 平面向量的线性运算及其表示
1．（2025·浙江嘉兴·三模）在
所在平面内，点
满足
，记
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·甘肃甘南·三模）
中，若
，
，
，则向量
可用
，
表示为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·甘肃庆阳·三模）如图，在平行四边形
中，点
是
的中点，若
，
，则
（ ）
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
平面向量的线性运算及其表示
重难点题型2
平面向量的共线定理及其应用
重难点题型3
平面向量的基本定理及其应用
重难点题型4
平面向量的数量积运算
重难点题型5
平面向量的投影或投影向量
重难点题型6
平面向量的模长问题
重难点题型7
平面向量的夹角问题
重难点题型8
平面向量的平行与垂直
A．
B．
C．
D．
4．（2025 高三·全国·专题练习）在
中，已知
，且
，则
．
5．（2025·山西晋中·三模）（多选题）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生
四象，四象生八卦．如图所示是八卦模型图以及根据该图抽象得到的正八边形ABCDEFGH，其中
，
O 为正八边形的中心，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·河北·三模）在
中，
，点
和
分别在
和
边上，且满足
，若
，则
（ ）
A．
B．10
C．5
D．
7．（2025·湖北·模拟预测）若
是边长为
的等边三角形，点
满足
，则
（ ）
A．
B．5
C．
D．4
重难点题型2 平面向量的共线定理及其应用
1、证明向量共线：若存在实数λ，使
，则
与非零向量
共线．
2、证明三点共线：若存在实数λ，使
，
与
有公共点A，则A，B，C 三点共线．
3、求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
1．（2025·江苏南通·三模）已知
，
为平面内一组基底，
，
，
，
若A，B，D 三点共线，则a 的值为（ ）
A．2
B．
C．0
D．1
2．（2025·广东广州·三模）已知向量
不共线，
与
共线，则实数
的值为（ ）
A．
B．2
C．6
D．
3．（2025·全国·模拟预测）（多选题）如图，已知正八边形
的边长为1，O 为正八边形的中
心，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三下·湖南长沙·阶段练习）等比数列
中，
，
，
满足：
（P 点
在直线
上），则
的最大值为 ．
5．（2025·天津·二模）在边长为1 的菱形ABCD 中，
，记
，
，点M 是线段BD 上一
点，点N 是线段DC 上一点，且A，M，N 三点共线．若
，则用
，
表示
；若
，则
的值为 ．
6．（2022·山东泰安·三模）如图，在
中，
，
，点P 在线段CD 上（P 不与C，D
点重合），若
的面积为
，
，则实数m＝ ，
的最小值为 ．
重难点题型3 平面向量的基本定理及其应用
1．如图，在平行四边形
中，
为
的中点，
与对角线
相交于点
，记
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在
中，
为线段
上一点，且
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知在梯形
中，
，
，记
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·四川成都·模拟预测）在平行四边形
中，
，
是平行四边形
内（包括边
界）一点，
，若
，当
时，
．
5．（2025·天津河东·二模）《哪吒
》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内
饰充满了中国文化符号.树人中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究
活动.如图，正八边形
，边长为
，
，点
在线段
上且
，则
的值为 ；若点
为线段
上的动点，则
的最小值为 .
6．（2025·河北·模拟预测）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象
生八卦，易经包含了深刻的哲理．如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形
，其中
，O 为正八边形的中心，则
．
7．（2025·天津·二模）在
中，点D 在边BC 上，且
，E 为线段AD 的中点.已知
，
，则
（用
，
表示）；若
，
，且
，则
.
重难点题型4 平面向量的数量积运算
1．（2025·福建福州·模拟预测）已知向量
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
2．（2025·辽宁·一模）已知
，向量
，且
的最小值为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）在
中，
，
，
，则
（ ）
A．2
B．
C．3
D．
4．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知向量
，若
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·四川乐山·三模）已知等腰三角形
中，
，
，
，
，
，那么
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·河南·模拟预测）（多选题）已知
为坐标原点，点
，则下
列说法正确的是（ ）
A．
B．若
，则
C．
和
的面积之和的最大值为1
D．若
，则
7．（2025·陕西汉中·一模）（多选题）已知向量
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
在
方向上的投影向量坐标是
8．（2025·福建厦门·一模）（多选题）已知平面向量
，
，则（ ）
A．
，
不可能垂直
B．
，
不可能共线
C．
不可能为5
D．若
，则
在
方向上的投影向量为
9．（2025·辽宁·模拟预测）（多选题）已知向量
，则下列选项正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则向量
的夹角为
D．若
共线，则
11．（2025·四川·三模）已知
，为单位向量，且
在上的投影向量为
，则
与的夹角为
．
重难点题型5 平面向量的投影或投影向量
1．（2025·江西南昌·模拟预测）已知平面向量
，
满足
，且
在
上的投影向量为
，则
向量
与向量
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三下·山东·阶段练习）已知向量
，
，若
在
上的投影向量的模为
，则
k 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
3．（2025·甘肃庆阳·三模）已知单位向量
的夹角为
，则向量
与向量
的数量积为（ ）
A．-1
B．-2
C．
D．
4．（2025·河北石家庄·三模）已知平面向量
，
是两个单位向量，
在
上的投影向量为
，则
（ ）
A．-1
B．
C．0
D．1
5．（2025·云南·三模）已知向量
，
满足
，
，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）单位向量
，
满足
，则
在
上的投影向量为
（ ）．
A．
B．
C．
D．
7．（2025·贵州黔南·模拟预测）（多选题）已知向量
，且
在
方向的投影向量为，
则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
8．（2025·福建漳州·一模）（多选题）在
中，
，
，向量
在向量
上的投影向
量为
，则（ ）
A．边
上的高为
B．
C．
D．边
上的中线为
9．（2025·安徽六安·模拟预测）若向量
，向量
满足
，则
在
上的投影向量的坐标为
.
10．（2025·河北沧州·模拟预测）已知非零向量
、
、满足
，若
，
、
的夹角为
，
则向量在向量
上的投影向量的模为 ．
重难点题型6 平面向量的模长问题
1．（2025·福建龙岩·二模）已知向量
，
，且向量
与
的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知平面向量
，
，且
，则
（ ）
A．5
B．
C．37
D．
3．（2025·海南·三模）在同一平面内，向量
满足
，则
的最小值
为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．
4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知
，
均为平面上的单位向量，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三下·山东·阶段练习）已知
，
为单位向量，且
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
6．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知平面向量
，
满足
，
在
上的投影向量为
，则
．
7．（2025·江西南昌·二模）已知向量
，
，则
的最小值是 .
8．（2025·江西赣州·一模）已知向量
，
，且
，则
= ．
重难点题型7 平面向量的夹角问题
1．（2025·江西·模拟预测）若向量
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·江苏南京·模拟预测）若向量
满足
，且
，则向量
和向量
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）（多选题）若
是夹角为
的单位向量，则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知
，
且
，则向量
与
的夹角是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·浙江·二模）若非零向量
满足
，且向量
在向量
上的投影向量是
，则向量
与
的夹角为 .
6．（2025·上海·模拟预测）若向量
与
不共线也不垂直，且
，则
.
7．（2025·湖南娄底·模拟预测）设非零向量
，
，满足
，且
，
．
若向量
在
上的投影向量为
，则向量
与的夹角是 ．
重难点题型8 平面向量的平行与垂直
1．（2025·广西河池·二模）已知向量
且
，求
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·辽宁·三模）已知向量
，向量
在向量
上的投影的数量为
．若
，则实数
的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
3．（2025·山东枣庄·二模）已知向量
，则（ ）
A．
的充要条件是
B．
的充要条件是
C．
与
垂直的充要条件是
D．若
与
的夹角为锐角，则
的取值范围是
4．（24-25 高二上·湖南·期末）已知向量
，
，且
，则实数
（ ）
A．
B．
C．5
D．10
5．（2017·河北石家庄·二模）已知向量
，
，则“
”是“
”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（2025·山东威海·三模）已知向量
满足
，则
与
的夹角为 ．
7．（2025·四川成都·三模）已知向量
满足
，则
.
8．（2025·甘肃·模拟预测）已知向量
，
，若
，则
．
