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专题2.1 平面向量在几何中的应用
目录
类型一：平面向量中的三角不等式........................................................1
类型二：平面向量中三角形的外接圆....................................................2
类型三：平面向量中的射影问题............................................................2
类型四：平面向量中的垂直关系............................................................3
类型五：平面向量中隐含的圆................................................................4
类型六：构建直角坐标系解决平面向量的问题....................................5
类型七：平面向量与平面几何................................................................6
类型一：平面向量中的三角不等式
1．已知非零向量
，则“
与
共线”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．在
中，“
为锐角”是“
”的（ ）
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知
均为非零向量，其夹角为
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知
为原点，复数
在复平面内对应的点分别为
，则“
”是
“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知
是两个非零向量，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
6．若向量
满足
，且对任意的单位向量
，求
的最大值
和最小值．
类型二：平面向量中三角形的外接圆
1．已知O 为△ABC 的外接圆的圆心，
，
，若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
为
的外接圆圆心，
，
，则
的最大值为（ ）
A．2
B．
C．1
D．
类型三：平面向量中的射影问题
1．如图所示，在边长为4 的正八边形
中，点
为正八边形的中心，点
是其
内部任意一点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
类型四：平面向量中的垂直关系
1．设
为两个非零向量
所成的角，已知对任意
，
的最小值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
2．设
为非零不共线向量，若
，
，则（ ）.
A．
B．
C．
D．
3．已知
，平面上动点
满足
对任意
恒成立，则
的最小值
为 .
4．已知向量
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
5．已知平面向量
，且
.已知向量
与所成的角为
，且
对任意
实数恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（多选题）若平面向量
满足
，
，且
，则（ ）
A．
的最小值为1
B．
的最大值为5
C．
的最小值为2
D．
的最大值为
7．已知非零向量
，
的夹角为
，且
，若对任意的
，恒有
，
则
（
）的最小值为 ．
8．已知向量
满足
，且对任意的
，都有
，则
的最大
值是 ．
16．已知向量
满足：
为单位向量，且
和
相互垂直，又对任意
不
等式
恒成立，若
，则
的最小值为 ．
类型五：平面向量中隐含的圆
1．已知平面内的三个非零向量
、
、满足
，且
，则当
取得最大值时，
.
2．在平面内，定点
满足
，
，
动点
满足
，
，则
的最大值为 ．
3．已知平面向量
，
，满足
，
，则
的最小值
为 ．
4．已知平面向量
，
，，
，
，
，则
的取值范围
．
5．已知在
中，
，
，
是线段
上的动点，且
，求
的取值范围．
6．已知
，
，
，对给定的向量
，设
的最大值为
，最
小值为
，对任意的向量
，求
的最小值.
7．
起点重合，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
8．已知非零平面向量
，
，
是单位向量，
，且
，则
（ ）
A．4
B．
C．
D．1
9．已知非零平面向量
、
、，满足
，
，若
与
的夹角为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知
，
均为单位向量，与
，
共面的向量满足
，则
的
最大值为 .
类型六：构建直角坐标系解决平面向量的问题
1．已知
中，
，
，P 是
所在平面内的任意一点，且满
足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，
，
，
，
，则
的最大值
为（ ）
A．
B．4
C．
D．
3．已知在等腰梯形
中，
，
是腰
上的动点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，已知点
在半径为1 的上半圆上运动，
，以
为边作正方形
，点
在
轴上方,求
的取值范围．
5．已知向量
满足
，记
，则
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
、
、均为平面向量，且
，若
对任意实数
恒成立，则
的最小值为 ．
15．已知
，则
的最大值为
．
类型七：平面向量与平面几何
1．在
中，
，则
的最大值是 ．
2．在
中，
，
，
，若点
满足
，
则
的正切值为 ．
