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专题4.1 三角函数基本公式与三角恒等变换
重难点题型一 扇形、弓形的周长与面积
1．（2025·湖南邵阳·三模）已知圆锥的底面半径为1，侧面积为
，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·甘肃白银·二模）已知动点
的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4 的
正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的
面积为（ ）
目录●重难点题型分布
A．
B．
C．
D．
3．（2025·安徽滁州·一模）中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现
有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为
，上板长为
若把该扇面围成一个圆台，则
圆台的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·江西·模拟预测）如图所示的圆形中心阴影部分为镂空的图案是我国古代建筑中的一种图案，形
若铜钱，寓意富贵吉祥.已知图中外圆的半径为1，阴影部分由四条四分之一圆弧围成，则图案的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·甘肃·一模）如图，甲、乙两人在这段弧形路段跑步，该路段的内、外弧线为两个同心圆的
圆
周，内弧半径为
米，路宽为米，两人均从外弧
点处跑入该路段，甲沿内弧切线方向跑至切点
，又
沿内弧
跑至点
处后跑出该路段，乙沿内弧切线方向直接跑至外弧上
点处，再沿外弧
跑至点
处
后跑出该路段，则在该路段跑动距离更短的是 （填“甲”或“乙”），两人跑动距离之差的绝
对值约为 米.（结果精确到
米，参考数据：
，
）
6．（24-25 高三上·北京西城·期末）折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某
折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设
，
，则扇面（图中扇环）部分
的面积是 ，
.
7．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）下图是第19 届杭州亚运会的会徽“潮涌”，可将其视为一扇环
ABCD．已知
，
．且该扇环
的面积为
，若将该扇环作为侧面围成一圆台，则该圆
台的体积为 .
8．（2023·广西柳州·模拟预测）圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的天主教教堂作为最杰出
的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖
拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图，
所在圆的圆心O 在线段AB 上，若
，
，则扇形OAC 的面积为 ．
重难点题型二 任意角的三角函数及弦切互化
1．（2025·云南·模拟预测）已知角
的顶点在坐标原点，始边与
轴的非负半轴重合，终边经过点
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·湖北·模拟预测）已知角
的终边经过点
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）(多选题)已知角
的终边经过点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·云南大理·模拟预测）(多选题)已知角
的终边经过点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·四川眉山·一模）(多选题)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和
中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为
、
，其中小正方形的面积为
，大正方形面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．每一个直角三角形的面积为
B．
C．
D．
6．（2025·湖南长沙·二模）已知角
终边上一点
，则
；
7．（2024·山东·二模）在平面直角坐标系中，角
的始边与
轴非负半轴重合，终边经过点
，则
．
8．（23-24 高一下·安徽淮北·阶段练习）已知
，若
，则
的值为 .
重难点题型三 利用诱导公式化简求值
1．（2025·河北张家口·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知
为锐角，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）(多选题)已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·河南·二模）已知
，则
.
6．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知
是第一象限角，且
，则
.
重难点题型四 三角恒等变换的公式的正用与逆用
1．（2025·福建泉州·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·陕西安康·模拟预测）计算：
（ ）
A．
B．1
C．
D．
3．（2025·云南·模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022·浙江·高考真题）若
，则
，
．
5．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）若
，则
．
6．（2025·上海·三模）已知
，则
.
7．（2025·四川眉山·模拟预测）已知
，则
.
8．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知
，则
．
9．（2025·辽宁本溪·模拟预测）若
，且
，则
.
10．（2025·辽宁·二模）图1 所示几何体是一个星形正多面体，称为星形十二面体，是由
对（
个）平
行五角星面组成的，每对平行五角星面角度关系如图2 所示．一个星形十二面体有 个星芒
（凸起的正五棱锥），将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比是
．（参考数据：
）
重难点题型五 角的变换问题
1．（2025·广西·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．5
C．
D．
2．（2025·河北·模拟预测）已知角
、
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·河北·模拟预测）已知
，
均为锐角，
为钝角，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·湖北·模拟预测）已知
，
都是锐角，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·湖北宜昌·二模）(多选题)已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·浙江杭州·模拟预测）(多选题)已知
，则下
列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·重庆九龙坡·三模）设
，已知
，则
.
8．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知
，
，则
．
重难点题型六 给角求值
1．（2024·安徽·模拟预测）
（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．（2023·重庆·模拟预测）式子
化简的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·辽宁·二模）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·辽宁大连·期中）下(多选题)列式子的运算结果为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：
.
6．（23-24 高三上·安徽·期中）
．
重难点题型七 给值求值
1．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·安徽合肥·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022·安徽安庆·三模）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·山西·模拟预测）(多选题)已知
，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高三上·山西大同·期末）(多选题)若
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·黑龙江佳木斯·三模）已知
，
，则
．
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知
，
，则
.
8．（2023·山东济宁·三模）已知
，则
.
9．（16-17 高一下·湖北黄冈·期末）若
，则
．
10．（2022·四川宜宾·三模）已知
，则
．
重难点题型八 给值求角
1．（2024·江西九江·二模）已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2022·广东深圳·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2019 高三·全国·专题练习）已知
，
，
是锐角，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·四川·模拟预测）已知
，
，
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（22-23 高三·全国·期末）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2022·河北石家庄·一模）已知角
，
，则
.
7．（2024·陕西铜川·模拟预测）若
，且
，则
的值为 ．
8．（2021·湖南株洲·三模）若
，
，且
，
，则
的值
是 ．
重难点题型九 三角函数式的化简、求值与证明
1．（2023·全国·模拟预测）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·吉林延边·二模）下列化简不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·天津北辰·三模）已知函数
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于点
对称
C．若
是偶函数，则
，
D．
在区间
上的值域为
4．（2024·江西南昌·二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·湖南·二模）(多选题)已知
，下列结论正确的是（ ）
A．若
的最小正周期为
，则
B．若
的图象向左平移
个单位长度后得到的图象关于
轴对称，则
C．若
在
上恰有4 个极值点，则
的取值范围为
D．存在
，使得
在
上单调递减
6．（2024·安徽合肥·二模）已知函数
，则（ ）
A．函数
在
上单调递减
B．函数
为奇函数
C．当
时，函数
恰有两个零点
D．设数列
是首项为
，公差为
的等差数列，则
7．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知
，则
．
8．（2023·全国·模拟预测）若
，则
．
9．（2023·湖北荆门·模拟预测）若
，则
.
10．（2024·四川绵阳·模拟预测）若
为锐角，
＝
，则
.
