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专题6.1 数列的概念与表示
重难点题型1 由an和Sn的关系求通项公式
1．（2025·湖南常德·模拟预测）记
为数列
的前
项和，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差
为的等差数列，求数列
的前2025 项和.
【答案】(1)
；
(2)
.
【难度】0.65
【知识点】分组（并项）法求和、利用an 与sn 关系求通项或项
【分析】（1）利用
的关系求得
、
，结合等比数列的定义写出通项公式；
（2）根据已知有
，易知
，即可求和.
【详解】（1）
为数列
的前
项和，
，
时，
，则
，
时，由
，得
，
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
由an和Sn的关系求通项公式
重难点题型2
由递推关系求数列的通项公式（累加法与累乘法）
重难点题型3
数列的周期性及其应用
重难点题型4
用函数研究数列的单调性与最值
两式相减可得
，即
，
数列
是首项为
，公比为
的等比数列，则
；
（2）由题设
，可得
，
记
的前
项和为
，因为
，
为正整数，
则
.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、利用an
与sn 关系求通项或项
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求
.
【详解】（1）因为
,故
，
所以
即
故等比数列的公比为
，
故
，故
，故
.
（2）由等比数列求和公式得
，
所以数列
的前n 项和
.
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设
为数列
的前n 项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】错位相减法求和、利用an 与sn 关系求通项或项
【分析】（1）根据
即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为
，
当
时，
，即
；
当
时，
，即
，
当
时，
，所以
，
化简得：
，当
时，
，即
，
当
时都满足上式，所以
．
（2）因为
，所以
，
，
两式相减得，
，
，即
，
．
4．（2025·重庆·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，数列
的前
项和为
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】求等比数列前n 项和、错位相减法求和、利用an 与sn 关系求通项或项、构造法求数列通项
【分析】（1）首先可得
是首项为
，公比为
的等比数列，即可求出
，再由
作差计算可得；
（2）由（1）可得
，利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）由
，可得
，
则
，所以
，
又
，
所以
是首项为
，公比为
的等比数列.
所以
，则
，
当
时，
，
当
时，
，
时也适合，
所以
.
（2）因为
，
所以
①，
则
②，
所以①
②得
，
则
，
所以
.
因为
，所以
.
5．（2025·山西朔州·模拟预测）已知数列
的前
项和
满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
.
【难度】0.65
【知识点】确定数列中的最大（小）项、利用an 与sn 关系求通项或项、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）利用数列前
项和与第
项的关系求出通项公式.
（2）由（1）得
，再分离参数并构造新数列，并求出数列的最小项即可.
【详解】（1）在数列
中，
，当
时，
，
而
，不满足上式，
所以数列
的通项公式为
.
（2）由（1）知，
，不等式
，
依题意，
，不等式
恒成立，令
，
，由
，得
；由
，得
；
由
，得
，
因此
，则当
或
时，
，
，
所以实数
的取值范围是
.
6．（2025·海南·模拟预测）记数列
的前
项和为
，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、利用an 与sn 关系求通项或项
【分析】（1）当
可求出
的值，当
时，由
可得
，两式作差可得出数
列
为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列
的通项公式；
（2）求得
，利用错位相减法可求得
.
【详解】（1）因为
，当
时，
，解得
，
当
时，由
可得
，
上述两个等式作差得
，即
，
所以，数列
是首项为，公比也为的等比数列，故
.
（2）由（1）可得
，
所以
，
则
，
上述两个等式作差得
，
因此，
.
重难点题型2 由递推关系求数列的通项公式(累加法与累乘法)
1．（2025·天津和平·三模）定义新运算：
，已知数列
满足
，
，则
（ ）
A．239
B．225
C．211
D．261
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】累加法求数列通项
【分析】根据题可得
，即可利用累加法求解通项得解.
【详解】由
可得
，
故
累加可得
，
故
，
故选：C
2．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列
满足
，设数列
的前
项和为
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和
【分析】根据
，且
，利用累加法求得
，从而得到
，再利用裂项相消法求解.
【详解】因为
，且
，
所以当
时，
.
因为
也满足
，所以
.
因为
，
所以
.所以
.
故选：B.
3．（2025·福建厦门·二模）已知数列
满足
，
，则
的前6 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项
【分析】首先，利用递推求出
的通项公式，再根据裂项相消法即可求出结果.
【详解】由
，
当
时，
，
显然，对于
时也成立，
所以
，
则
的前6 项和为
.
故选：C.
4．在数列
中，若
，则
（ ）
A．1012
B．1013
C．2023
D．2024
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】判断或写出数列中的项、累乘法求数列通项
【分析】由题意先求出
，再将已知式化简后运用累乘迭代法求得
，即可求得
.
【详解】在
中，取
，可得
，代入
解得
，
又由
可得
，
于是
，
故
.
故选：B.
5．（2025·四川德阳·二模）数列
中，满足
，
，则
．
【答案】
/
【难度】0.65
【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项
【分析】先利用“累乘法”求数列
的通项公式，再利用“裂项求和法”求和.
【详解】因为
，所以
.
所以
，
，
，…，
（
）.
各式相乘，可得：
，
显然
满足上式，则
，
所以数列
的前
项和为
，
所以
.
故答案为：
.
6．（2024·广东江门·模拟预测）若数列
满足
，数列
的前
项和为
，则
.
【答案】
/
【难度】0.65
【知识点】累加法求数列通项、求等差数列前n 项和、裂项相消法求和
【分析】根据递推公式求出数列
的通项公式，再计算出数列
的通项公式，即可计算出
.
【详解】由
，则
,
当
时，上式相加得
，又
，
所以
，又
符合上式，
可知
，所以
，
所以
.
故答案为：
.
7．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1 的正项数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)令
（
），求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和
【分析】（1）由累加法求数列通项公式即可；
（2）由裂项相消法求和即可．
【详解】（1）令
，
，又由
有
，
则有
，
所以
．
又因为数列
的各项均为正数，所以
．
（2）由
，
知
．
8．（2025·广东广州·三模）已知数列
满足
，
，且对任意的
，
，都有
.
(1)设
，求证：数列
是等差数列，并求出其的通项公式；
(2)求数列
的通项公式；
(3)若
，求
的前n 项和
.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】累加法求数列通项、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相
消法求和
【分析】（1）由
先求
，根据等差数列的定义验证
是否为不变的常数即可验证；
（2）由（1）有
，利用累加法即可求解；
（3）由
有
，利用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）由
有
，
所以
，又
，
，解得
，
又因为
，即
，
所以数列
是以公差为3，首项为
的等差数列，
所以
，
（2）由（1）有
，
所以
，
上式相加有
，
所以
，
所以
；
（3）由（2）有
，
所以
，
所以
，
所以
.
9．（24-25 高三下·江苏南通·月考）已知数列
的前
项和为
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】错位相减法求和、累乘法求数列通项、利用an 与sn 关系求通项或项
【分析】（1）由
与
的关系式，可得数列
的递推公式，利用累乘法，可得答案；
（2）整理数列通项，利用错位相减，可得答案.
【详解】（1）当
时，
，显然成立；
当
时，
，
，相减可得
，
化简可得
，由累乘法可得
，
显然
满足上式，故数列
的通项
.
（2）由
，
则
，
，
两式相减可得
，
所以
.
10．（2024·陕西西安·模拟预测）设数列
的前
项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，数列
的前
项和为
恒成立，求实数
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项、利用an 与sn 关系求通项或项、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）根据条件，利用
与
间的关系，得到
，再利用累积法，即可求出结果；
（2）根据（1）中结果得到
，利用裂项相消法得到
，即可求出结果.
【详解】（1）因为
①，所以当
时，
②，
由①
②得到
，整理得到
，
又
，所以
，得到
，
所以当
时，
，
当
，满足
，所以
.
（2）由（1）知
，
所以
，
因为
，且
，所以
是关于
的递增数列，由
恒成立，得到
，
所以实数
的最小值为.
重难点题型3 数列的周期性及其应用
1．已知数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用
【分析】根据已知得到数列
的周期为4，应用周期性求项.
【详解】由题设
，
，
，
，
，
所以数列
的周期为4，且
，
所以
.
故选：C
2．（2025·陕西榆林·二模）已知数列
满足
，
，则此数列前
项的和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】数列周期性的应用
【分析】推导出数列
是以为周期的周期数列，计算出
、
的值，结合数列的周期性可求得数列
的前
项的和.
【详解】由
，得
，
所以
，
，
故数列
是以为周期的周期数列，
又
，
，且
，
则此数列前
项的和
．
故选：D.
3．（2025·湖南·模拟预测）在数列
中，
，且
，则
（ ）
A．3
B．-2
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用
【分析】由递推关系求前几项的值，判断出数列
是以4 为周期的数列，利用周期性求出
.
【详解】数列
中，
，且
，
则
，
，
，
，
，
，
所以
，即数列
是以4 为周期的数列，
所以
，
故选：A．
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列
满足
，且
，则
.
【答案】
/
【难度】0.85
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用
【分析】先计算数列的项进而得出数列是周期数列，最后根据周期性求值即可.
【详解】数列
满足
，且
，
则
，
所以数列
是周期为4 的周期数列，所以
.
故答案为：
.
5．（24-25 高三上·安徽六安·月考）已知数列
中，
，
，则数列
前2024
项的和为 .
【答案】2024
【难度】0.85
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用
【分析】利用数列
的周期性可得答案.
【详解】因为
，
，
所以
，
，
，
，
，
，
所以数列
是周期为4 的周期数列，
且
，
所以
.
故答案为：2024.
重难点题型4 用函数研究数列的单调性与最值
1．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列
的通项公式为
，若
是
中唯
一的最小项，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】确定数列中的最大（小）项、根据数列的单调性求参数
【分析】当
时，解
，得出单调性，判断出在
时，取最小值：
；当
，利用
二次函数的对称性和最值，建立关于
的不等式组求解．
【详解】当
时，
，令
，得：
，
解得：
或
，因此可知：
；
又当
时，
，当
时，
，所以
在
时，取最小值：
．
当
时，
，则该代数式对应函数对称轴为直线
，
因为
是
中唯一的最小项，所以
，且
，
解得
，且
，
即
．
故选：B
2．（2025·吉林·三模）以“冰雪同梦亚洲同心”为主题的第九届亚冬会于2025 年2 月7 日在哈尔滨盛大开
幕，场馆上方悬挂的120 万朵小雪花片装置，让观众仿佛置身于冰雪童话之中．理论上，一片雪花的周长
可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”．它可以这样画：如图，画一个边长
为1 的正三角形
，第一步，把每一边三等分；第二步，取三等分后的一边中间的一段，以此为边向外作
正三角形，并把这中间的一段擦掉，形成雪花曲线
；重复上述两步，形成雪花曲线
，记雪花
曲线
的周长为
，则数列
的最大项为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】根据规律填写数列中的某项、确定数列中的最大（小）项、根据数列递推公式写出数列的项
【分析】首先需要根据雪花曲线的构造规律求出其周长
的通项公式，再据此得出数列
的
通项公式，最后通过分析该数列的单调性来确定最大项.
【详解】对于初始的正三角形
，边长
，周长
,
由构造规则可知，从
到
，每一条边都变为原来的
倍.
因为
有3 条边，
的边数是
条，且每条边长度为
，所以
.
从
到
，同样每一条边变为原来的
倍，
的边数是
条，每条边长度为
，所以
.
以此类推，可得
,代入
可得：
,
令
,则
,
则
,
令
，解得
,
令
，解得
.
所以
，
.
故选：B
3．（2025·吉林通化·一模）数列{an}的通项公式为
，该数列的前50 项中最大项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项
【分析】先利用分离常数法分析数列的单调性，再根据单调性求数列的最大项.
【详解】因为
所以当
，即
时，
，所以
.
当
，即
时，
，所以
.
且
时，数列
为递减数列，
所以该数列的前50 项中最大项是
.
故选：C
4．（2024·江西·模拟预测）已知数列
满足
，
（
），若
是单调递增数列，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据数列的单调性求参数
【分析】由题可得
，然后讨论
与4 的大小可得答案.
【详解】因为
，所以
.
若
，则
，不符合题意.
若
，则
为等比数列，所以
.
当
时，
为单调递减数列，不符合题意；
当
时，
为单调递增数列，符合题意.
综上，
.
5．（2025·湖南娄底·模拟预测）（多选题）数列
的前
项和为
，已知
，则下列
结论正确的是（ ）
A．
为等差数列
B．
可能为常数列
C．若
为递增数列，则
D．若
为递增数列，则
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】判断等差数列、利用定义求等差数列通项公式、利用an 与sn 关系求通项或项、根据数列的单
调性求参数
【分析】对于A，利用
与
的关系求出数列通项
，再根据等差数列的定义判断即得；对
于B，根据A 项结论，取
即可推得；对于C，通过作差判断易得；对于D，利用
和条件，
判断
，由对
的分析即可求得
即可.
【详解】对于A，因为
，所以当
时，
；
当
时，
．
显然当
时，上式也成立，所以
．
当
时，因为
，
所以
是以
为公差的等差数列，故A 正确；
对于B，当
时，
为常数列，故B 正确；
对于C，若
为递增数列，则
，即
，故C 正确；
对于D，若
为递增数列，由
可得
，
由
，需使
，
即
，因
，故可得
，解得
，故
，即D 错误．
故选：ABC.
6．（2025·福建泉州·一模）（多选题）已知数列
的前
项和
，则下列说法正确的是
（ ）
A．若
是等差数列，则
B．若
不是递增数列，则
C．若
，则
D．若
的最小值为3，则
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】等差数列前n 项和的其他性质及应用、利用an 与sn 关系求通项或项、根据数列的单调性求参
数
【分析】A 选项，根据等差数列前
项和公式判断；B 选项，利用
得到
，然后根据增
减性列不等式即可；C 选项，列不等式，然后解不等式即可；D 选项，将
的最小值为3 转化为
恒成立，然后分
和
两种情况分析即可.
【详解】若
为等差数列，则
，
所以
，解得
，
，故A 正确；
，则
，
，
当
时，
，
所以
，
因为
不是递增数列，所以
或
，则
，故B 正确；
若
，则
，
整理得
，又
，所以
，故C 错；
因为
的最小值为3，所以
恒成立，
即
，当
时，成立，
当
时，
，则
，故D 正确.
故选：ABD.
7．（2024·上海·模拟预测）数列
的最小项的值为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】确定数列中的最大（小）项
【分析】直接根据反比例函数的单调性即可得解.
【详解】令
，得
，
令
，得
，
所以当
时，
，当
时，
，
而函数
在
上单调递减，
所以当
时，
取得最小值
，
即数列
的最小项的值为
.
故答案为：
.
8．（2024·重庆·二模）记正项数列
的前
项和为
，若
，则
的最小值为
.
【答案】
【难度】0.4
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、确定数列中的最大（小）项、利用an 与sn 关系求通项
或项
【分析】由
，利用数列通项和前n 项和的关系求得
，再令
，利用导数法求解.
【详解】当
时，
，则
或
（舍去），
当
时，由
，得
，
两式相减得
，得
，
因为
，所以
，
所以数列
是等差数列，则
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
由
随
的增大而增大，
，
，
则
，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是构造函数
判断得其单调性，从而考虑
，
的情
况，从而得解.
9．（2024·四川雅安·模拟预测）已知数列
满足
，
，
，
单调递增，则
的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由递推关系式求通项公式、等比数列的定义、根据数列的单调性求参数
【分析】根据
可得
，再结合
单调递增以及等比数列定义可求出
，则由
即可得解.
【详解】因为
，所以
，
又因为
单调递增，所以
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，
所以
即
，
则
的取值范围为
，
故答案为：
.
