文档文本内容
5.5 数列与其他知识的综合应用（精练题组版）
题组一 斐波那契数列
1．（2026 高三·全国·专题练习）（多选）“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现．
因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”“斐波那契数列”
满足
，记其前n 项和为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】A 项，
，A 正确；
B 项，
，B 正确；
C 项，
，C 正确；
D 项，
，
所以
，D 错误．
故选：ABC.
2（2025·陕西西安·一模）（多选）数列
满足前两项都是1，之后每项都等于它前面两项之和，这就是著名
的斐波那契数列，若
的前n 项和为
，下列关于斐波那契数列说法正确的是（ ）
A．
B．若此数列被4 整除后的余数构成一个新的数列
，则
的前2024 项之和为2697
C．前2024 项中奇数共有1350 个
D．
【答案】ACD
【解析】数列
中，
，
对于A，
，则
，即
，因此
，A 正确；
对于B，数列
各项除以4 的余数依次为
，因此数列
是周期数列，周期为6，前6 项和为，
的前2024 项和为
，B 错误；
对于C，数列
中项是以奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3 个数一组，
因此数列
前2024 项中奇数共有
，C 正确；
对于D，
，
则
，于是
，又
，等式成立，D 正确.
故选：ACD
3．（2024·贵州遵义·模拟预测）（多选）数列
：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，
又称黄金分割该数列，从第三项开始，各项等于其前相邻两项之和，即
，则下列选项正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】由已知
，A 正确；
，B 正确；
，C 错；
，D 正确，
故选：ABD
4．（2025·辽宁丹东·一模）（多选）如图，杨辉三角形中的对角线之和1，1，2，3，5，8，13，21，…构成
的斐波那契数列经常在自然中神奇地出现，例如向日葵花序中央的管状花和种子从圆心向外，每一圈的数字就
组成这个数列，等等.在量子力学中，粒子纠缠态、量子临界点研究也离不开这个数列.斐波那契数列
的第
一项和第二项都是1，第三项起每一项都等于它前两项的和，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】】由题设
且
，
由
，
，
，...，
，
所以
，
则
，A 错误；
由
，
，
，...，
，
所以
，则
，B 正确；
由
，则
，
所以
，C 正确；
由
，
所以
，D 正确.
故选：BCD.
5．（2025·吉林）十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，
2，3，5，8，13，….即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那
契数列.因以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”.下面关于斐波那契数列
的说法不正确
的是（ ）
A．
是奇数
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵
的项
具有2 奇1 偶，3 项一周期的周期性，∴
是奇数，∴A 正确；
∵
，∴B 错误；
∵
，∴C 正确；
∵
，∴D 正确.
故选：B.
6．（2026·内蒙古）意大利数学家斐波那契（1170-1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1、1、
2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、……，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简
等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用．已知斐波那契数
列
满足：
，
，
，若
，则
（ ）
A．2025
B．2026
C．2028
D．2024
【答案】D
【解析】
，则
，故
.
故选：D
题组二 数列与三角函数综合
1．（2025·广东汕头·模拟预测）在
中，角A、B、C 的对边分别为
、
、，已知
是
与的等比中项，
且
是
与
的等差中项.
(1)探究
的形状；
(2)求
的值.
【答案】(1)
是以角
为直角的直角三角形
(2)
【解析】（1）由题设得：
，
由正、余弦定理得：
，
即
，
又
，所以
，即
，
故
是以角
为直角的直角三角形.
（2）由（1）得，
，
设
，则
，
由
得：
，
即
，
解得
或
（舍去），
又由余弦定理，
，
于是
，
故
.
2.（2024·重庆·三模）已知在数列
中，
．
(1)求证：数列
是等差数列，并求数列
的前
项和
；
(2)在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，求
面积
的最大值．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解析】（1）由题意，
，即
为等差数列：首项
，公差
，
，则
，
设
，
（2）
由正弦定理，有
，．
即
，又
，
，即
由
，
由余弦定理得：
，．
，即
，当且仅当
时取等号，
，即△ABC 面积最大值为
．
3．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列
中，
，
．
(1)证明：数列
为常数列；
(2)求数列
的前2024 项和．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【解析】（1）依题意，
，
则
化为
，
而
，则
，因此
，
所以数列
为常数列.
（2）由（1）知，
，由
，即
是以6 为周期的周期数列，令
，
所以数列
的前2024 项和
.
4（2024 海南）已知函数
的最小正周期为6．
(1)已知△
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，若
，
，求
的值；
(2)若
，求数列
的前2022 项和
．
【答案】(1)2；(2)
.
【解析】(1)
，
因为
的最小正周期为6，故可得
，
，解得
，故
，
因为
，，故可得
，又
，则
，
；
因为
，故可得
，又
，则
或
，
或
，
因为
，则
，当
时，
，满足题意；当
时，
，不满足题意，舍去；
由正弦定理可得：
.
(2)
根据（1）中所求可得：
，
故
.
即数列
的前2022 项和
.
5（2025 云南）已知函数
，
(1)求
的解析式，并求其单调递增区间；
(2)若
在区间
上的根按从小到大的顺序依次记为
求数列
的通项公式及其前n 项
和
．
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)由题意得，
，
则
，
，解得
Z)，
即函数
的单调增区间为
Z，
(2)由
，得
，
有
或
Z，
解得
或
，
Z，
得方程
的根从小到大排列依次为
，
所以
则数列
的通项公式为
，
故数列
的偶数项是以1 为首项，1 为公差的等差数列，
奇数项是以
为首项，1 为公差的等差数列.
当
为偶数时，
；
当
为奇数时，
，
综上，
题组三 数列与统计概率综合
1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）某厂家为增加销售量特举行有奖销售活动，即每位顾客购买该厂生产的产品后
均有一次抽奖机会.在一个不透明的盒子中放有3 个大小､质地完全相同的小球，小球上分别标有
三个数字，
抽奖规则为：每个顾客从盒中随机抽取1 个小球，抽到标有数字5 的中一等奖，抽到标有数字2 的中纪念奖，
抽到标有数字0 的没有奖，每位顾客只能抽取一次，且每位顾客抽取的结果相互独立.记
位消费者抽取的小球
上的数字之和为
的不同取值个数为
.
(1)求
的值；
(2)当
时，求
的概率；
(3)求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
；
；
.(2)
(3)
【解析】（1）1）①当
时，
的取值可能为
，共3 个，故
；
②当
时，
的取值可能为
，故
；
③当
时，
的取值可能为
，故
.
（2）②由题意得，每个小球被抽到的概率均为
.
当抽到2 个标有数字5 的小球，3 个标有数字0 的小球时，
，概率为
；
当抽到5 个标有数字2 的小球时，
，概率为
，
所以
的概率为
.
（3）当
时，根据规则，得分情况如下：
因为奇数列的得分为偶数，偶数列的得分为奇数，最后一行得分
的前一项得分为
（第
列最后一个数），与第
列第一个得分
，得分恰好差2，
所以从4 到
刚好连接上来（之间所有的偶数和奇数没有缺）；
因为最后一行得分
（第
列最后一个数），与第
列第一个得分
，
得分恰好差4，所以连接起来后恰好缺了得分
，
由表知
也取不到，
综上，在
中不能取到的值构成的集合为
所以
也适合.
结合（1）可得
所以当
时，
；当
时，
；
当
时，
，
则
，
当
时，
满足上式，
所以
2．（2025·辽宁·三模）一个猜拳跳棋赢奖品的游戏：在棋盘上标有第1 站、第2 站、第3 站、…、第10 站，设
棋子跳到第n 站的概率为
，2，3，…，10，一枚棋子从第1 站开始，玩家需要与主持人猜拳，每猜一
次拳棋子向前跳动一次，玩家将该站对应的奖品累积起来．若与主持人打平或输给主持人，则棋子向前跳一站；
若赢主持人，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9 站（失败，失去所有累积奖品）或者第10 站（获胜，获
得所有累计奖品），游戏结束．
(1)求
的值；
(2)求证：数列
为等比数列；
(3)求玩家获胜的概率．
【答案】(1)
，
，
有两种情况，第一次猜拳玩家赢主持人，其概率为
；前两次猜拳玩家都没有
赢主持人，其概率为
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）棋子开始时在第1 站是必然事件，
．
棋子跳到第2 站，只有一种情况，即第一次猜拳玩家没有赢主持人，其概率为
．
棋子跳到第3 站，有两种情况：第一次猜拳玩家赢主持人，其概率为
；
前两次猜拳玩家都没有赢主持人，其概率为
．
（2）证明：棋子跳到第
站，有两种情况：
棋子先跳到第n 站，猜拳玩家赢主持人，其概率为
；
棋子先跳到第
站，猜拳玩家没有赢主持人，其概率为
．
．
，又
，
数列
是以
为首项，
为公比的等比数列．
（3）由（2）得
，
，
获胜的概率为
．
3．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如
图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将次遇到黑色障碍物，已知小
球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是
，最后落入
袋或
袋中.一次游戏中小球落入
袋
记分，落入
袋记
分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得
分的概率为
.
(1)求
、
、
；
(2)求出
的通项公式.
【答案】(1)
，
，
(2)
【解析】（1）小球三次碰撞全部向左偏或者全部向右偏落入
袋，
故概率
，
小球落入
袋中的概率
.
故
，
，
.
（2）游戏过程中累计得
分可以分为两种情况：
得到
分后的一次游戏小球落入
袋中（
分），
或得到
分后的一次游戏中小球落入
袋中（
分），
故
，
故
为常数列且
，故
即
.
，
故
是以
为首项，以
为公比的等比数列，
故
，
所以
的通项公式为
.
4．（2025·河南信阳·模拟预测）3 位同学做某种游戏，通过猜拳决定胜利者.3 人每次猜拳都可以出“石头”
“剪刀”“布”中的任意一种，其中“石头”赢“剪刀”，“剪刀”赢“布”，“布”赢“石头”.例如，当1
人出“剪刀”，另外2 人出“布”时，出“剪刀”的人即为胜利者；而当1 人出“剪刀”，另外2 人分别出
“布”和“石头”时，无法决定胜利者，猜拳继续进行；当1 人出“剪刀”，另外2 人出“石头”时，淘汰掉
出“剪刀”的人，剩余2 人继续猜拳，赢的人为胜利者.
(1)记第一回猜拳时出“石头”的人数为
，求
的分布列与数学期望；
(2)求在第
回猜拳决出胜利者的概率.
【答案】(1)分布列见解析，1
(2)
【解析】（1）由题
，
，
，
，
.
所以
的分布列如下：
0
1
2
3
.
（2）设
为第
回猜拳决出胜利者的概率.
考虑3 个人猜拳，每人有3 种选择，共27 种可能性.
若一回合决出胜利者，则某人出“石头”且另外2 人出“剪刀”或某人出“剪刀”且另外2 人出“布”或某人
出“布”且另外2 人出“石头”，共
种可能，所以3 人猜拳一次决出胜利者的概率为
.
若3 人猜一次拳淘汰1 人，则某人出“石头”且另外2 人出“布”或某人出“剪刀”且另外2 人出“石头”或
某人出“布”且另外2 人出“剪刀”，概率为
.1 人淘汰后，剩余2 人猜拳，每人有3 种选择，共9 种可能性.
出拳不同情况有6 种，出拳不同必定决出胜利者，故2 人猜拳一次决出胜利者的概率为
.
3 人猜拳既无人淘汰且未决出胜利者的概率为
.
当
时，若到第
回合仍有3 人猜拳，且在第
回合决出胜利者，则概率为
.
若到第
回合时，有2 人猜拳，且在第
回合决出胜利者，则在第
回合猜拳淘汰1 人，概率为
，
所以第
回合仍有2 人猜拳，且在第
回合决出胜利者的概率为
，
所以
.
当
时，
满足该式，
综上，
.
所以在第
回合猜拳决出胜利者的概率
.
5．（2025·湖北黄冈·模拟预测）“猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地在元宵节举办形式多样的猜灯
谜比赛活动，比赛规则如下：以个人形式参加比赛，每轮猜一个灯谜，猜中加1 分，猜不中则减1 分，每位参
赛者的初始积分均为1 分.假设参赛者在每轮比赛中猜中与猜不中的概率均为0.5，参赛者会一直玩下去，直到
遇到如下两种情况才终止比赛：一种是参赛者积分为0 分；一种是参赛者积分达到10 分.同时举办方规定积分
达到10 分的参赛者可获得奖品一份.
(1)求参赛者参与4 轮比赛后积分为3 分的概率；
(2)设参赛者积分为
分
时，最终获得奖品的概率为
.
（i）求
；
（ii）求参赛者最终获得奖品的概率.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）
【解析】（1）用1 表示参赛者某轮猜中，用-1 表示参赛者某轮猜错，
则4 轮比赛后积分为3 分的猜灯谜的情况可以用数列表示为
或
或
，
故参赛者参与4 轮比赛后积分为3 分的概率
；
（2）（i）当
时，则参赛者一定不能获奖，因此
.
当
时，则参赛者一定能获奖，因此
.
当
时，记事件
为当参赛者积分为
时最终获得奖品，事件
为当参赛者积分为
且下一轮猜中，则
，
由全概率公式得
，
即当
时，
，
所以
，所以
是一个等差数列，
设
，则
，
故
，得
，所以
；
（ii）由于参赛者的初始积分为1 分，
所以参赛者最终获奖的概率为
.
6．（2025·江苏南通·模拟预测）某次投篮游戏，规定每名同学投篮
次
，投篮位置有
，
两处，
第一次在
处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次
投篮位置不变.在
处每次投进得2 分，否则得0 分；在
处每次投进得3 分，否则得0 分.已知甲在
，
两处
每次投进的概率分别为
，
，且每次投篮相互独立.记甲第
次在
处投篮的概率为
，第
次
投篮后累计得分为
.
(1)求
的分布列及数学期望；
(2)求
的通项公式；
(3)证明：
.
参考公式：若
，
是离散型随机变量，则
.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
（
，2，……，
）
(3)证明见解析
【解析】（1）设“甲第次在
处投进”为事件
，“甲第次在
处投进”为事件
，
，2，依题意，
的可能取值为0，2，3，4.
，
，
，
，
所以
的概率分布为
0
2
3
4
（分）.
（2）当
时，甲第
次在
处投篮分两种情形：
①第
次在
处投篮且投进，这种情形概率为
；
②第
次在
处投篮且未投进，这种情形概率为
.
所以
，
故
，
因为
，
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列.
所以
，
即
，
，2，……，
.
（3）因为第
次在
处投篮的概率为
，在
处投篮的概率为
，
记第
次得分
，则
的可能取值为0，2，3，
，
，
，
所以
，
因为
，所以
，
因为
，所以
.
题组四 数列中的存在性问题
1．（2025·甘肃白银·三模）已知等差数列
的前
项和为
，且满足
．
(1)求
的通项公式．
(2)设数列
的前
项和为
．
①求
；
②是否存在实数，使得数列
为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①
；②存在；
【解析】（1）因为
，
所以
，解得
，
设数列
的公差为
，所以
，
解得
．因为
，所以
，
所以
的通项公式是
．
（2）①由（1）知
，所以
，
所以
，
所以
，
故
；
②存在；
，理由如下：
设
，由①知
，所以
，
假设存在实数，使得数列
为等差数列，
当
时，
，
只有当
时，
为常数，其他值均不合要求，
故存在实数
时，使得数列
是等差数列．
2（2024·广东·二模）在数列
中，
，
都有
，
，
成等差数列，且公差为
.
(1)求
，
，
，
；
(2)求数列
的通项公式；
(3)是否存在
，使得
，
，
，
成等比数列.若存在，求出
的值；若不存在，说明
理由.
【答案】(1)3；5；9；13
(2)
(3)存在，
【解析】（1）由题意，
，
，
成等差数列，公差为2；
，
，
成等差数列，公差为4.
则
，
，
，
.
（2）由题意，
.
当
，
时，
，
且
满足上式，所以当
为奇数时，
.
当
时，
.
所以
（3）存在
时，使得
，
，
，
成等比数列
证明如下：
由（2）可得
，
，
，
假设
，
，
成等比数列，
则
，
化简得
，所以
，即
，
此时
，所以当
时，
，
，
，
成等比数列.
3.（2024·山东·模拟预测）已知数列
，
，
的首项均为1，
为
，
的等差中项，且
．
(1)若数列
为单调递增的等比数列，且
，求
的通项公式；
(2)若数列
的前
项和
，数列
的前
项和为
，是否存在正整数
使
对
恒成立？
若存在，求出
的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，正整数
的最大值为2024
【解析】（1）若数列
为单调递增的等比数列，设其公比为
，且
，
因为
，则
，解得
或
（舍去），
所以
.
因为
，即
，
可得
，且
，
可知数列
是以首项为1，公比为
的等比数列，则
，
因为
为
，
的等差中项，则
，
即
，且
，
当
时，则
，
累加可得
，
则
，
且
符合上式，所以
.
（2）若数列
的前
项和
，
当
时，则
；
当
时，则
；
且
符合上式，所以
.
因为
，即
，
可得
，且
可知数列
为常数列，
则
，所以
，
可知数列
为递增数列，则
的最小项为
，
若存在正整数
使
对
恒成立，则
，即
，
所以正整数
的最大值为2024.
4．（2025·河北邢台·三模）已知等差数列
的前
项和为
，且满足
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)在
中是否存在
，
，
成等比数列？若存在，求出一个这样的3 项；若不存在，请说明
理由.
【答案】(1)
(2)存在，
，
，
【解析】（1）设
的公差为
，
由
，
，得
化简得
解得
，
，
所以
.
（2）由（1）知
，所以
，
，
，
因为
是单调递增数列，且
，
所以若存在3 项
，
，
成等比数列，则必有
，
即
，
化简得
，即
，
令
，
，
，符合
，
所以
，
，
成等比数列.
题组五 数列函数、导数的综合
1．（2025·海南儋州·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，函数
的图象在点
处的切线与x 轴的交点坐标为
，求
的前n 项和
；
(2)若
，函数
的图象与x 轴有且只有两个公共点，且
，求a，b 的值以及函数
在
上的最小值．
【答案】(1)
(2)0 或-2
【解析】（1）若
，则
，得
，
所以
在点
处的切线斜率为
，
又
，所以该切线为
，
令
，得
，即
，
则
，
所以数列
是以
为首项，以
为公差的等比数列，
得
.
（2）
，且
，
因为
的图象与x 轴仅有2 个交点，
所以方程
的2 个根为
或均为-1.
当2 个根为
时，由韦达定理得
，解得
；
当2 个根均为-1 时，由韦达定理得
，解得
.
当
时，
，得
，
令
或
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，所以
在
上最小值为0；
当
时，
，得
，
令
或
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，所以
在
上最小值为-2.
2（24-25 高三上·浙江金华·期末）已知数列
是等比数列，满足
，且
，
，
成等差数列，数
列
满足
，记数列
的前
项和为
，
(1)求
；
(2)求数列
的前
项和；
(3)记
，若
恒成立，求
的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）因为数列
是等比数列，设首项是
，公比是
，
由
，
，
解得
，
所以
.
（2）由于
①
则
，
②
由①
②得
，
当
时，
，满足上式，因此
，
所以
.
，接下去求
的前
项和，
记
的前
项和是
.
①
②.
由①
②得
，
整理得：
.
（3）由（2）可知，
，则
，
所以
，要求
的最大项，
可以设函数
，
则
.
令
则
，
分析可得
，
，
，使得
所以
在
单调递增，
单调递减，
，
，
，使得
当
时，
，
当
时，
，
时，
因此
在
单调递减，在
，单调递增，在
，单调递减.
只要比较
，
，
的大小，
，
，
.
所以第五项是最大项，
.
3（24-25 高三上·山西吕梁·期末）如图，在横坐标为
的点处作
的切线，该切线与
轴的交点为
；在横
坐标为
的点处作
的切线，该切线与
轴的交点为
；一直继续下去，得到数列
．
(1)求证：
；
(2)若函数
，记
．
（ⅰ）求数列
的通项公式；
（ⅱ）在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，在数列
中是否存在3 项
（其中
成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3 项，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）
；（ii）不存在，理由见解析.
【解析】（1）证明：函数
在点
处的切线斜率为
，
所以函数
在点
处的切线方程为
，
因为切线过点
，所以
，
解得
，
（2）（ⅰ）因为
，所以
，
，
，
则
，
又
，则
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
；
（ⅱ）由（ⅰ）知
，
所以
，
所以
．
假设数列
中存在3 项
，（其中
成等差数列）成等比数列，
则
互不相等，
所以
，即
，
又因为
成等差数列，所以
，所以
．
化简得
，所以
，又
，
所以
与已知矛盾．
所以在数列
中不存在3 项
成等比数列．
题组六 数列与解析几何综合
1．（2025·湖北黄冈·一模）已知实数
，
，成等比数列，则圆锥曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】D
【解析】因为实数
，
，成等比数列，所以
，则
；
当
时，圆锥曲线
，即
为椭圆，其离心率
；
当
时，圆锥曲线
，即
为双曲线，其离心率
；
故选：D
2．（2025·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系
中，若直线
与圆
相切，则数列
的前10 项和为（ ）
A．
B．
C．23
D．27
【答案】C
【解析】由圆
，可得圆心为
，半径为
，
可得圆心
到直线
的距离为
，
因为直线
与圆
相切，则
，即
，
所以数列
的前10 项和为
.
故选：C.
3．（2025·河北·模拟预测）已知抛物线C：
的焦点为F，抛物线C 上的2n 个点
（
在x 轴上方，
在x 轴下方）满足：直线
经过点F，且斜率为1，当
时，
，
，记线段
的中点为
，直线
与直线
的交点为
．
(1)求点
的纵坐标；
(2)证明：
三点共线；
(3)证明；当
时，
，并求
．
【答案】(1)2
(2)证明见解析
(3)
【解析】】（1）设直线
的方程为
，
联立直线
与抛物线方程
得
，
则
，故
，
所以
的纵坐标为2，
（2）因为
，所以
，
因为
与
相似，
所以
，故
共线，
（3）由（1）知
，
由于抛物线焦点为
,所以
，则
，
由（1）知
，故
，故
，
因此
故
，
因为
，
所以
,即
，
即
，
即
即
，
故
即
，
故数列
是首项为8，公差为16 的等差数列，故
4．（24-25 高三下·上海静安·期中）如图，在直角坐标平面xOy 中，
中（
）为正三角形，
且满足
，
．
(1)求点
的横坐标
关于正整数n 的表达式；
(2)求证：点
，
，…，
…在抛物线
：
上；
(3)过（2）中抛物线
：
的焦点F 作两条互相垂直的弦AC 和BD，求四边形ABCD 面积的最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）由
，
可得
；
（2）设点
的坐标为
，
则
，即
，
所以
，
所以点
，
，
，
在抛物线
上；
（3）抛物线
的焦点为
，
互相垂直的弦
和
显然都不垂直坐标轴，
设直线
的方程为
，
代入
，得
，
则有
，
所以
，
将上式中的
用
代换，得
，
于是
当且仅当
，即
时，取等号，
所以四边形
面积的最小值为18．
题组七 插项数列
1．（2025·甘肃·二模）在数列
的项
和
之间插入个
构成新数列
，则
（ ）
A．13
B．
C．14
D．
【答案】A
【解析】在
和
之间插入个
构成数列
,
，
则数列
中不超过
的数的个数为
，
当
时，
，当
时，
，
所以
.
故选：A
2．（2025·湖南·三模）已知数列
满足
，数列
满足
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)求
的通项公式；
(3)将
中的项按从小到大的顺序插入
中，且在任意的
之间插入
项，从而构成一个新数列
，设
的前
项和为
，求
.
【答案】(1)
(2)
(3)12182
【解析】（1）由
可得
，又
，
所以
是以4 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
，即
.
（2）方法一：由已知得
，所以
，
所以
，又
，
等式两边同时相乘，可得
，
得
，该式对
也成立.
故
.
方法二：由
可知
是常数列，
所以
，
即
.
（3）设在
的前100 项中，来自
的有
项.
若第100 项来自
，则应有
，
整理可得
，该方程没有正整数解，不满足题意.
若第100 项来自
，则应有
，整理可得
.
易知
在
时单调递增，
当
时，
，不满足题意，当
时，
，满足题意，
故
，所以
的前100 项中有10 项来自
，有90 项来自
，
所以
.
3．（2025·安徽芜湖·二模）已知数列
的前n 项和为
，且
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)保持
的各项顺序不变，在
和
之间插入k 个1，使它们与数列
的项组成一个新的数列
，记
的前n 项和为
，求
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
，得
，
则
，即
，
又
，满足
，所以
，
所以
是首项是
，公比为
的等比数列，故
；
（2）由题知
，数列
的其余项为1，
则
.
4．（2024·重庆·三模）已知数列
的前
项和为
，满足
，
.
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)若数列
的公差不为0，数列
中的部分项组成数列
，
，
，…，
恰为等比数列，其中
，
，
，求数列
的通项公式.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【解析】（1）证明：由
，得
，
所以
，即
，
所以
，
两式相减得
，
所以
.
所以数列
成等差数列.
（2）解：等差数列
的公差
，其子数列
恰为等比数列，
其中
，
，
，可得
，
，
，
且有
，即
，
化为
，则
，
子数列
为首项为
，公比为
的等比数列，
则
，可得
.
5．（2024·广东广州·二模）已知等差数列
的前
项和为
，且
为等差数列．
(1)求
的通项公式；
(2)在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，记数列
的前
项
和为
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）因为等差数列
中，
，又
，
所以
，即
①，
因为
为等差数列，所以
，
令
时，
，即
，则
②，
结合①②，解出
，则
，
所以
的通项公式为
．
（2）由题设得
，即
，
所以
①，
则
②，
由①-②得：
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，即证．
题组八 数列与集合
1．（2025·吉林·模拟预测）已知集合
，
，将
中所有元素按
从小到大的顺序构成数列
，则数列
的通项公式为 .
【答案】
【解析】设
，
则
，
等式左侧为3 的倍数，
为3 的倍数，
所以
也为3 的倍数，
故
为大于1 的奇数，所以
.
故答案为：
.
2．（2025·湖南长沙·三模）已知数列
，
，记集合
的元素个数为
.
(1)若
为1，2，4，8，12，写出集合
，并求
的值；
(2)若
为1，3，a，b，且
，求
和集合
；
(3)若数列
项数为，满足
，求证：“
”的充要条件是“
为等比数列”.
【答案】(1)
，
；
(2)
；
(3)证明见解析.
【解析】（1）集合
，
.
（2）由
为1，3，
，
，当
之一为2 时，不妨令
，则
互不相等，
是集合
中元素，又
，则
，
，解得
，不符合题意，
则必有
，得
，
，
互不相等，
则3，
，
都是集合
中的元素，又
，则
，解得
，
，
因此
为1，3，9，27，所以
.
（3）充分性：若
是递增的等比数列，设
的公比为
，
当
时，
，
所以
，且
，故充分性成立；
必要性：若
是递增数列，且
，则
，
于是
，且互不相等，又
，
则
，且
互不相等，
因此
，
，
从而
，所以
为等比数列，故必要性成立，
综上，“
”的充要条件是“
为等比数列”.
3．（2025·福建厦门·三模）已知数列
的前项和为
，
，且
.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)设
，
（i）求数列
的前
项和；
（ii）当
时，设集合
，集合
中所有元素的
和记为
，求数列
的通项公式.
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）
；（ii）
.
【解析】（1）由
，
，则
，
所以
，故
是首项、公差均为1 的等差数列；
（2）（i）由（1）得
，
当
时，
，
显然
满足，所以
，
所以
，
又
，
，
所以
，
所以
，
若数列
的前
项和为
，
则
，
，
所以
，
所以
；
（ii）当
时，
，与
矛盾，
所以
，
当
时，
，与
矛盾，所以
，
综上
，此时
，
所以
，可得
，即
，
所以
，则
.
题组九 数列与取整
1．（2025·河北·模拟预测）已知函数
为函数
的正零点，若
（
表示
不超过
的最大整数），则数列
的前10 项和
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
是关于
的二次函数，其对称轴为
，
因为
，且
在区间
上单调递增，
所以正零点
一定在区间
上，
又因为
，
所以
，所以
，
则
，故
.
故选：A．
2．（2024·江苏宿迁·三模）
表示不小于x 的最小整数，例如
，
．已知等差数列
的
前n 项和为
，且
，
．记
，则数列
的前10 项的和 ．
【答案】
【解析】由
，可得
，解得
，
又
，得
，解得
，
所以数列
的公差为
，
，
又
，
，同理
，
，
，
，
，
所以数列
的前10 项的和为
.
故答案为：
.
3．（2024·湖南·模拟预测）已知数列
为公差不为0 的等差数列，
，且
成等 比数列，设
表
示不超过
的最大整数，如
，记
为数列
的前
项和，则
．
【答案】573
【解析】由数列
是等差数列，设其公差为
，因为
成等比数列，
所以
，即
，解得
或
（舍去），
所以
，则
．
当
时，
，
即
，共有
个
，
因为
，所以
，
令
，则
，
两式相减得
，则
，
所以
，
故答案为：573.
题组十 数列新定义
1．（2025·河南信阳·模拟预测）对于数列
，若存在实数
，使得对一切正整数
，恒有
成立，
则称数列
为有界数列.设数列
的前
项和为
，则下列选项中，满足数列
为有界数列的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，
，此时
为等差数列，则
，无界，故A 错误；
对于B，
，此时
为等比数列，则
，无界，故B 错误；
对于C，
，则
，
所以
恒成立，即
有界，故C 正确；
对于D，
，则
，
则
，
故当
时，
明显无界，故D 错误；
故选：C.
2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）牛顿用“作切线”的方法求函数
零点时给出一个数列
，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数
有两个零点1，2，数
列
为
的牛顿数列．设
，已知
，
的前
项和为
，则
等于（ ）
A．2025
B．2026
C．
D．
【答案】D
【解析】
有两个零点1，2，
则
，解之得
，
则
，则
，
则
，
则
，
由
，可得
，
即
，
又
，则数列
是首项为2，公比为2 的等比数列，则
，
前n 项和
，则
.
故选：D．
3．（2025·河北·模拟预测）我们把各项均为0 或1 的数列称为
数列，
数列在计算机科学和信息技术领
域有着广泛的应用．把佩尔数列
（
，
，
，
）中的奇数换成0，偶数换成
1，得到
数列
，记
的前n 项和为
，则
（ ）
A．20
B．15
C．12
D．10
【答案】B
【解析】因为
，
，
，
所以
，
可以看出数列
的前30 项为
,
所以
，
故选：B.
4．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）在一组互不相同的有序数组
中定义：在
的右边比其大的数的个数称为
的“顺序数”，在
的右边比其小的数的个数称为
的“逆
序数”，我们把有序数组
的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和记为
．
①有序数组
的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和
．
②
．
【答案】 10
【解析】①对于有序数组
，
3 的顺序数为2，逆序数为2；5 的顺序数为1，逆序数为2；
7 的顺序数为0，逆序数为2；2 的顺序数为0，逆序数为1；
故
；
②对于有序数组
，易知
后由
个数，
所以
的顺序数+逆序数
，
所以
，
所以
，
所以
．
故答案为：10；
．
5．（2025·甘肃白银·三模）若数列
是有穷数列，且各项之和为0，各项的绝对值之和为1，则称数列
是“
项优待数列”.若等差数列
是“
项优待数列”，
，则
.
【答案】
【解析】设等差数列
的公差为
，
，则
①，
②，
所以
，所以
，所以
，所以
，
当
时，由①②，得
，所以
，即
，
由
，得
，即
，所以
，
，
，
当
时，同理可得
，即
，由
，得
，即
，
所以
，
，
.
综上，
.
故答案为：
6．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求
的单调区间；
(2)定义函数
，对于数列
，若
，则称
为函数
的“生成数列”，
为函数
的一个“源数列”.
①已知
为函数
的“源数列”，求证：对任意正整数
，均有
；
②已知
为函数
的“生成数列”，
为函数
的“源数列”，
与
的公共项按从小到大的顺序构成数列
，试问在数列
中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由.
【答案】(1)单调递增区间为
和
，单调递减区间为
(2)①证明见解析；②不存在，理由见解析
【解析】（1）当
时，
，
，
令
，则
，解得
或
，
当
时，
；
当
时，
；
所以
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
.
（2））①
，
，故
，
构造函数
，
，则
函数
在
上单调递增，
，故
在
恒成立，
单调递增，
故
，即
，
，
当
时，
，
综上所述：
恒成立，即
.
②
，则
，
，
设
，即
，则
，
设函数
，函数单调递增，对于任意
，有唯一的
与之对应，
即数列
中每一项，都有
中的项与之相等，
单调递增，
故
，
假设数列
中存在连续三项构成等比数列，
，
，
，
故
，整理得到
，无正整数解.
故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列.
