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专题7.3 直线、平面平行的判定与性质
重难点题型1 平行的判定
1．（2025·安徽合肥·模拟预测）设
是两条不重合的直线，
是三个不重合的平面，则下列命题中
错误的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、面面平行证明线线平行、线面垂直证明
线线平行
【分析】根据空间中直线与直线位置关系可判断A；根据面面平行的性质定理可判断B；根据线面垂直的
性质可判断C；根据面面平行与线面垂直的性质可判断D.
【详解】若
，则
或
与
互为异面直线，故A 错误；
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
平行的判定
重难点题型2
线面平行（三角形的中位线法）
重难点题型3
线面平行（平行四边形法）
重难点题型4
线面平行的性质定理（用线面平行证明线线平行）
重难点题型5
面面平行的证明
重难点题型6
面面平行的性质
重难点题型7
平行关系的综合应用
若
，由面面平行的性质定理，可得
，故B 正确；
若
，由线面垂直的性质，可得
，故C 正确；
若
，则
，
又因为
是两个不同的平面，
是两条不重合的直线，则
，D 选项正确；
故选：A
2．（24-25 高二下·北京·期中）已知直线
，平面
，给出下列四个命题：
①若
，则
；
②若
，则
；
③若
，则
；
④若
，则
.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】判断线面平行、线面关系有关命题的判断
【分析】根据线面平行的判定定理及性质即可求解.
【详解】对于①，若
，则
或
，故①错误；
对于②，若
，则
可共面，也可异面，不一定得到
，故②错误；
对于③，若
，则
或
，故③错误；
对于④，若
，则
不一定平行
，
也可以与
异面,，故④错误.
故选：A.
3．（2025·福建福州·模拟预测）如图，点
为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，
不满足直线
平面
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、证明面面平行
【分析】根据线面平行、面面平行的判定定理及性质即可判断.
【详解】对于A 选项，如图①所示，在正方体
中，
且
，
因为
分别为
的中点，
则
且
，
所以四边形
为平行四边形，
所以
，
因为
平面
平面
，
所以
平面
，同理可证
平面
，
因为
平面
，
所以平面
平面
，
因为
平面
，
故
平面
,故A 满足；
对于B 选项，如图②所示，连接
，
在正方体
中，
且
，
因为
分别为
的中点，则
且
，
所以四边形
为平行四边形，故
，
因为
分别为
的中点，则
，
所以
，
因为
平面
平面
，
所以
平面
，故B 满足；
对于C 选项，如图③所示，在正方体
中，取
的中点
，
连接
，
因为
且
分别为
的中点，
所以
且
，故四边形
为平行四边形，则
，
因为
分别为
的中点，
所以
，则
，
所以
四点共面，
因为
且
，则四边形
为平行四边形，
所以
，
因为
分别为
的中点，则
，
所以
，
因为
平面
平面
，
所以
平面
故C 满足；
对于D 选项，如图④所示，在正方体
中，取
的中点
，
连接
，
因为
且
分别为
的中点，
则
且
，
所以四边形
为平行四边形，则
，
因为
分别为
的中点，
所以
，故
，
所以
四点共面，
同理可证
，故
，
同理可得
，
反设
平面
，
因为
，且
平面
，则
平面
，
但
与平面
有公共点
，这与
平面
矛盾，
故
平面
，故D 不满足.
故选：D.
4．（2025·四川达州·模拟预测）（多选题）已知直线
，不同的平面
，下列命题中正确的是（ ）
A．若
，且
，则
B．若
，且
，则
C．若
，且
，则
D．若
，且
，则
【答案】AD
【难度】0.65
【知识点】面面关系有关命题的判断、判断面面平行、判断面面是否垂直
【分析】根据点，线，面位置关系的定理和性质逐一判断即可.
【详解】A，因为
，
，所以
，
又
，所以不同的平面
满足
，故A 正确；
B，若
，且
，则
或两平面相交，
比如：正方体的底面和侧面中分别取直线
，且
，但是底面和侧面并不平行，故B 错误；
C，若
，且
，则两平面相交或平行，
比如：正方体的上下两个底面中分别取直线
，且
，上底面与
平行，但是上底面与下底面并不
垂直；故C 错误；
D，因为
，
，则
，又
，所以
，故D 正确.
故选：AD
5．（2024·江苏徐州·模拟预测）（多选题）如图，点
是正方体的顶点或所在棱的中点，则下
列各图中满足
平面
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【难度】0.85
【知识点】证明线面平行
【分析】结合题目条件，根据线面平行的判断定理，构造线线平行，证明线面平行.
【详解】对A：如图：
连接
，因为
为正方体棱的中点，所以
，又
，所以
，
平面
，
平面
，所以
平面
.故A 正确；
对B：如图：
因为
是正方体棱的中点，所以
，
，
，
所以
，
同理：
，
.
所以
5 点共面，所以
平面
不成立.故B 错误；
对C：如图：
因为
是正方体棱的中点，所以
，
，所以
.
平面
，
平面
，所以
平面
.故C 正确；
对D：如图：
因为
为正方体棱的中点，连接
交
于
，连接
，
则
为
的中位线，所以
，
平面
，
平面
，所以
平面
.故D 正确.
故选：ACD
6．（2024·贵州贵阳·二模）（多选题）设
是三个不同的平面，
是两条不同的直线，在命题“
，
，且__________．则
”中的横线处填入下列四组条件中的一组，使该命题为真命
题，则可以填入的条件有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】平行公理、线面关系有关命题的判断、面面平行证明线线平行、线面平行的性质
【分析】作出相应图形，再由线面平行、面面平行的性质和线线平行判定判断求解．
【详解】解：A．如图：
，
，
，
，
，利用面面平行的性质可知：
，故A 正确，符合题意；
B．
，
，
，
，如下图：
或
与是异面直线，故B 错误，不符合题意；
C．
，
，
，
，如下图：
因为
，
，
，
，故
正确，符合题意；
D．
，
，
，
，如下图：
，
，
，
，故D 正确，符合题意．
故选：ACD．
重难点题型2 线面平行（三角形的中位线法）
7．（2025·天津北辰·三模）如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，侧棱
底面
是
的中点，点
是棱
上靠近
的四等分点.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)求点
到直线
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法、点到直线距离的向量求法
【分析】（1）法一合理作出辅助线，利用中位线定理得到
，再利用线面平行的判定定理得到线面
平行，法二建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明
求解即可.
（2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，结合线面角的向量求法求解即可.
（3）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间中点到平面的距离公式求
解即可.
【详解】（1）法一：如图，连接
交
于
，连接
，
因为底面
为矩形，所以
为
的中点，
因为
为
的中点，所以
是
的中位线，
得到
，而
平面
，
平面
，故
平面
.
法二：根据题意，以点
为坐标原点，
分别以
为
轴，建立空间直角坐标系，
由题意得
，
则
，
设
为平面
的法向量，
则
，即
，
令
，则
，故
，
平面
，
平面
.
（2）
，
，
直线
与平面
所成角的正弦值为
.
（3）由已知得
，
由点到直线的距离公式得
，
故点
到直线
的距离为
.
8．（2025·河南新乡·模拟预测）如图所示在直三棱柱
中，
，
，M
是
的中点，
(1)求证：
平面
，
(2)试问在棱
上是否存在点
，使得
与
与所成角为
?若存在，请确定点
的位置；若不存在，
请说明理由，
(3)在（2）题设条件下，试求平面
与平面
所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点
为
的中点
(3)
【难度】0.65
【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行、面面角的向量求法
【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为构造中位线，证明线线平行，即连结
，使得
与
交于点
，证明
；
（2）利用补体法，结合线线角的定义，转化为相交线所成角，即可说明；
（3）以点
为原点建立空间直角坐标系，分别求平面
和
的法向量，根据法向量求二面角的夹
角的余弦值.
【详解】（1）在直三棱柱
中，连接
，使得
与
交于点
，
易知
为
中点，再连接
，则
为
的中位线图①（如图①），
于是
，
而
在平面
外，
平面
，
所以
平面
（2）根据题意可将已知直三棱柱
补成如图②直四棱柱
，
取
中点
中点
，连接
，DF，取
中点
，连接
，
于是有
，
与直线
所成角等于
与
所成角，即为
所成角，
不妨令
，
易得
，即
为正三角形，
即
，进而知
与直线
所成角等于
，
显然点
与点
重合，故存在点
，且点
为
的中点，
（3）在（2）的题设条件下，
两两垂直，
取
为空间原点，即
，
，
的正方向依次为x，y，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如
图③所示，即得相关点的坐标，
即依次为
，
，
，
，
，
，
相关向量
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，则有
，取
，则得
设平面
的法向量为
，
则有
，取
，则得
，
设法向量为
与法向量为
夹角为
，则
，
事实上平面
与平面
所成角为锐角，
显然平面
与平面
的余弦值为
，
9．（2025·湖南·三模）如图，在长方体
中，
，点E 是棱
的中点．
(1)求证：
平面BDE；
(2)求直线
与平面BDE 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法
【分析】（1）连接AC 与BD 交于点O，连接OE，由
证明出线面平行；
（2）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到线面角的正弦值；
解法二：几何法，过C 作
于点H 证
平面BDE，在
中计算所求.
【详解】（1）证明：连接AC 与BD 交于点O，连接OE．
则O 为AC 的中点，又点E 是棱
的中点，所以
，
又
平面BDE，
平面BDE，所以
平面BDE．
（2）解法一：以DA，DC，
所在的直线分别为x，y，z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设
，则
，
则点
，
，
，
，
则
，
，
，
设平面BDE 的法向量为
，
则
得
，
令
，得平面BDE 的一个法向量为
，
设直线
与平面BDE 所成角的大小为
，则
，
故直线
与平面BDE 所成角的正弦值是
．
解法二：（几何法）
设直线
与平面BDE 所成角为
，则
，
其中d 为点
到平面BDE 的距离，即点C 到平面BDE 的距离．
设
，过C 作
于点H，则
平面BDE，所以
．
在
中，易求得
，又
，∴
．
10．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）如图，四棱锥
中，底面
是边长为2 的菱形，
为正三角形，且侧面
底面
分别为线段
的中点.
(1)求证：
平面
.
(2)求平面
和平面
夹角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法
【分析】（1）通过连接菱形对角线交点与线段中点，构造中位线，得到线线平行关系，再利用线面平行
的判定定理证明线面平行.
（2）根据菱形和正三角形性质及面面垂直关系建立空间直角坐标系，确定各点坐标.接着求向量坐标，再
利用向量垂直性质分别求出平面
与平面
的法向量.最后用向量夹角公式求法向量夹角余弦值，根
据二面角与法向量夹角关系求出二面角正弦值.
【详解】（1）证明：如图1，连接
，交
于点
，连接
.
四边形
为菱形，
为线段
的中点.
为线段
的中点，
.
平面
平面
，
平面
.
（2）解：如图2，连接
.
四边形
为菱形，
，
为正三角形.
为正三角形，
为线段
的中点，
.
侧面
底面
，
两两垂直.
如图2，以
为原点，
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系.
，
.
如图2，过点
作
交
的延长线于点
，
则在
中，
，
.
，
.
设
为平面
的法向量，
则
令
，则
，
为平面
的一个法向量.
设
为平面
的法向量，
则
令
，则
，
为平面
的一个法向量，
.
设平面
和平面
的夹角为
，
则
.
故答案为：
.
重难点题型3 线面平行（平行四边形法）
11．（2025·四川成都·一模）如图，在四棱台
中，下底面是边长为
的正方形，侧棱
与底面垂直，且
.
(1)证明：
平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.85
【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法
【分析】（1）作辅助线构造平行四边形
，得到线线平行通过线面平行的判定定理可证；
（2）以
为原点建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量进而求法向量夹角的余弦值即可.
【详解】（1）连接
交
于点
，连结
，
.
因为底面
是正方形，所以
是
的中点.
又
，所以
，故
.
由棱台的定义，
与
共面，因为棱台的上、下底面平行，所以它们与平面
的交线平行，即
.
所以四边形
为平行四边形，故
.
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）以
为原点，分别以
，
，
所在直线为
轴，
轴，
轴，建立如图所示的空间直角坐标
系.
则
，
，
，
，
，
.
故
，
，
，
.
设平面
的法向量
，由
得
.
取
，得平面
的一个法向量
.
设平面
的法向量
，由
得
.
取
，得平面
的一个法向量
.
故
.
所以平面
与平面
夹角的大小为
.
12．（2025·河北保定·二模）如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，
平面
为棱
上的动点．
(1)当
为棱
的中点时，证明：
平面
；
(2)若
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.85
【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）通过线线平行即可证得线面平行；
（2）建系后，写出相关点的坐标，出平面
和平面
的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.
【详解】（1）
取
的中点
，连接
，
，
因为
为
的中点，
所以
，
因为
，
所以
，
所以四边形
为平行四边形，所以
．
又
平面
平面
，
所以
平面
．
（2）
因为
平面
，即
两两垂直，
故可以
为原点，
所在直线分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则
，
因为
，所以
，
所以
．
设平面
的法向量为
，
则
取
，得
，
所以
．
因为
平面
，
所以
平面
．
所以
为平面
的一个法向量．
设平面
与平面
的夹角为
，
则
．
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
．
13．（2025·安徽淮北·模拟预测）在如图所示的五面体中，四边形ABCD 与FECD 均为等腰梯形
M，N 分别为EF，CD 的中点，AC 与BN 相交
于点P.
(1)求证: MP
平面BCE.
(2)若
平面
，求二面角M-AC-E 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
．
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法
【分析】（1）先证明
是平行四边形，得出
，最后根据线面平行判定定理得出线面平行；
（2）先根据
平面
建系，再分别求出平面
和平面
一个法向量，进而得出二面角余弦
值即可.
【详解】（1）连接
，取
的中点，连接
、
，结合已知可得
且
，
所以四边形
为平行四边形，所以
为
中点，
因为为
的中点，
为
中点，则
，且
，
因为
为
的中点，则
，且
，
则
，且
，故四边形
为平行四边形，
所以
，又因为
平面
，
平面
，所以
平面
；
（2）因为
，
，
为
的中点，则
，
又因为
，所以四边形
为平行四边形，所以
，
因为
，则
，故
，
因为
平面
，以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立如下图所示
的空间直角坐标系，
则
、
、
、
、
，
设平面
的一个法向量为
，
，
，
由
，
令
，则
，
，可得平面
的一个法向量为
，
设平面
的一个法向量为
，
，
由
，
令
，则
，
，可得平面
的一个法向量为
，
所以，
，
由图可知，二面角
的平面角为锐角，所以，二面角
的余弦值为
．
14．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四棱锥
中，四边形
是直角梯形，
，且
，
，
，E 为
中点.
(1)证明：
平面
；
(2)证明：
平面
；
(3)在线段
上是否存在点
，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
?若存在，求出点
的位置；
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在点
为
的中点
【难度】0.85
【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、面面角的向量求法、已知面面角求其他量
【分析】（1）取
中点记为
，连接EF，CF，通过证明四边形
为平行四边形，然后可证
平面
；
（2）
中点为
，连接
，
，由勾股定理可得
，结合
可得
平面
，即
，又由
即可证明
平面
；
（3）以
为坐标原点建立空间直接坐标系，设
，然后利用待定系数法求出平面
与平面
的法向量，再利用向量的夹角公式求解方程即可.
【详解】（1）证明：取
中点记为
，连接EF，CF，
则
，且
；
，且
；
所以
平行且等于CD，
所以四边形
为平行四边形，所以
.
又因为
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）记
中点为
，连接
，
，
则四边形
为正方形，
且根据勾股定理得
，
所以
，
则
，所以
.
又因为
，
，
平面
，所以
平面
.
因为
平面
，所以
.
又因为
，
所以
，且
，
平面
，
所以
平面
.
（3）由（2）知，
平面
，且
.
以
为坐标原点，以
，BA，
分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
，
，
，
，
，
设
，
，则
，
则
，
，
，
设平面
与平面
的法向量分别为
和
则
令
，得
.
令
，得
.
设平面
与平面
的夹角为
，
，
则
，解得
.
因此存在点
为
的中点，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
.
重难点题型4 线面平行的性质定理（用线面平行证明线线平行）
15．（2025·重庆·三模）如图，在四面体
中，
分别为
的中点，过
的平面
分别交棱
(不含端点) 于
两点．
(1)证明：
；
(2)若
，求二面角
的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、线面平行的性质
【分析】（1）根据中位线性质得
，再利用线面平行的判定与性质即可证明；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出平面
和平面
的法向量，再利用面面角计算公式即可得到
答案.
【详解】（1）
分别为
的中点，
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，平面
平面
，
所以
，
又
.
（2）取
中点
，连接
，
，
又
，
在
中，
，
则
两两垂直；
以
为坐标原点，
为
轴正方向，
为
轴正方向，
为
轴正方向如图所示建立空间直角坐标系．
，
设平面
的法向量
，
，取
，
设平面
的法向量
，
，取
，
，记二面角
的平面角为
．
16．（2025·北京西城·一模）如图，在多面体
中，
平面
，平面
平面
，
，
于点
．
(1)求证：
；
(2)设
，
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、求线面角、线面平行的性质
【分析】（1）先利用线面平行的判定定理证
平面
，再利用线面平行的性质定理即可；
（2）以
为原点建系，计算平面
的法向量，再利用向量夹角的余弦公式求
，最后利用线面
角与向量夹角之间的关系求即可.
【详解】（1）如图，因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又因为
平面
，平面
平面
，
所以
，
（2）在平面
内过点
作
．
因为
平面
，所以
平面
，
因
平面
，
平面
，所以
，
，
因
平面
，
平面
，则平面
平面
，
又因为
，平面
平面
，则
平面
，
所以
，
，
两两互相垂直．
以
为原点，
，
，
所在直线为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
由题意，得
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
令
，则
，
，于是
，
所以
，
故直线
与平面
所成角的正弦值为
．
17．（24-25 高三上·河北承德·开学考试）正四棱柱
中
，点
分别在
上，且
四点共面.
(1)若
，记平面
与底面的交线为，证明：
；
(2)已知
，若
，求四边形
面积的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.4
【知识点】三角形面积公式及其应用、空间向量模长的坐标表示、线面平行的性质
【分析】（1）连接
，利用已知可得四边形
是平行四边形，进而可得
平面
，由线
面平行的性质可得
；
（2）以
为坐标原点，
为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得四边形
是平行四边形，进而可得
，结合已知计算可求四边形
面积的最大值.
【详解】（1）连接
，
由正四棱柱
，可得
，
，
，又因为
，
所以由勾股定理可得
，
又
，所以
，所以四边形
是平行四边形，
所以
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，平面
平面
，
所以
，所以
；
（2）以
为坐标原点，
为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为
，又底面
是正方形，所以
，
又
，所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
，
由正四棱柱
，可得平在面
，
又
四点共面，过
有唯一平面
，
又平面
平面
，平面
平面
，
所以
，同理可得
，所以四边形
是平行四边形，
又
，所以
，
所以
，又
，
所以
，解得
，
所以
，
所以四边形
面积的最大值为
.
18．（2024·江苏·模拟预测）如图，在四棱台
中，
，
，
．
(1)记平面
与平面
的交线为，证明：
；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、线面平行的性质
【分析】（1）利用线线平行证明线面平行，再由线面平行即可证线线平行；
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量法来求两平面夹角的余弦值.
【详解】（1）
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
.
又
平面
，平面
平面
，所以
.
（2）在
中，
.
由余弦定理得，
，则
，得
.
又
，则
.因为
平面
，
所以
，又
，所以
平面
，
以
为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，得
，所以
.
又
是平面
的一个法向量.
记平面
与平面
的夹角为
，则
，
所以平面
与平面
的夹角的余弦值为
重难点题型5 面面平行的证明
19．（2025·上海杨浦·三模）如图，在四棱锥
中，
平面ABCD，
，
，点
E，F，G 分别为PD，AB，AC 的中点.
(1)求证：平面
平面PBC；
(2)若
，
（i）求点F 到平面AEG 的距离.
（ii）画出四边形ABCD 的斜二测直观图，并求斜二测直观图面积
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）
；（ii）直观图见解析，面积为
.
【难度】0.65
【知识点】斜二测法画平面图形的直观图、锥体体积的有关计算、证明面面平行、求点面距离
【分析】（1）延长
交
于点
，利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证.
（2）（i）在三棱锥
中由等体积法求得点F 到平面AEG 的距离；（ii）用斜二测画法作图，并进
行计算.
【详解】（1）由
分别为
的中点，得
，而
平面
，
平面
，
则
平面
，延长
交
于点
，连结
，由
，得
，
由
是
的中点，得
是
的中点，又
是
的中点，
则
，而
平面
，
平面
，
因此
平面
，又
平面
，且
，
所以平面
平面
.
（2）（i）设点
到平面
的距离为
，取
的中点
，连结
，
则
，且
，
由
平面
，得
平面
，由
，
得
，
在△
中,
，则
，
又
，于是
，解得
，
所以点F 到平面AEG 的距离
.
（ii）取直角梯形底边
的中点
，以点
为原点，直线
为
轴建立平面直角坐标系，
作坐标系
，使
，在
上取点
，使
，且
为
的中点，
在
轴上取点
，使
，过
作
轴，且使
，
连接
，则梯形
是直角梯形
的斜二测直观图，如图，
梯形
的面积
.
20．（2025·安徽·模拟预测）如图1，E，F，G，H 分别是正方形
各边中点，将
分别沿
折起，使得
所在平面与底面
均垂直（如图2），连接
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
所成二面角的正切值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【难度】0.65
【知识点】面面角的向量求法、求二面角、证明面面平行、证明线面平行
【分析】（1）A，B，C，D 在平面
上的投影
分别为
的中点，先证
，再由线面平行的判定证明
平面
，
平面
，最后由面面平行
的判定证明结论；
（2）法一：构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求出平面
与平面
的法向量，向量
法求面面角的余弦值，进而求其正切值；法二：取
的中点
，根据面面角定义得到所求角是
的二倍并求得
，再应用二倍角正切公式求正切值；
【详解】（1）如图1，A，B，C，D 在平面
上的投影
分别为
的中点，
因为
是全等的等腰直角三角形，所以
，
又
所在平面与底面
均垂直，
所以
与底面
均垂直，从而
，
故四边形
均为平行四边形（矩形），因此
，
由
平面
，
平面
，则
平面
，
同理可证
平面
，又
相交且都在平面
内，
所以平面
平面
；
（2）法一：如图2 建立空间直角坐标系，不妨设
，
则
，
所以
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
从而
，取
，则
，
设平面
的法向量为
，则
，
从而
，取
，则
，
从而
，故
，
所以，
，即平面
与平面
所成二面角的正切值为
．
法二：如图3，取
的中点
，易知
，
，
由
都在平面
内，则
平面
，记
，
由对称性可知，所求角是
的二倍，根据题意，不妨设
，
则
，所以
，因此
.
21．（2025·四川德阳·三模）如图，四边形
是矩形，
平面
，
，
，
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若平面
与棱
交于点
，求平面
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、证明面面平行、面面平行证明线线平行、面面角的向量求法
【分析】（1）根据
得到
平面
，同理由
得到
平面
，从而得到面面平
行；
（2）
两两垂直，建立空间直角坐标系，设
，由面面平行的性质得到线线平行，进
而得到方程，求出
的坐标，求出平面
和平面
的法向量，求出两法向量的夹角余弦值，根据同
角三角函数关系得到面面角的正弦值.
【详解】（1）因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为四边形
是矩形，所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
，
平面
，
所以平面
平面ABE；
（2）
平面
，
平面
，
所以
，故
两两垂直，
故以A 为原点，
分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，
，
，
.
由（1）平面
平面ABE，由面面平行的性质可得
，
设
，
则
，
由
得
，
解得
，即
的坐标为
，
设平面
的法向量
，
，
，
则
，
令
，则
，故
，
设平面
的法向量
，
，
，
则
，
令
，则
，故
，
所以
，
故平面
与平面
所成角的正弦值为
.
22．（23-24 高一下·福建龙岩·期中）如图，梯形
是圆台
的轴截面，E，F 分别在底面圆
，
的圆周上，EF 为圆台的母线，
，已知
，
，G，H 分别为
，
的中点.
(1)证明：平面
平面
.
(2)若三棱锥
的体积为
，求圆台
的侧面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】圆台表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、证明线面平行、证明面面平行
【分析】（1）由题意可证得
平面
，
平面
，进而可证得结论；
（2）由三棱锥
体积可得
的面积，进而可得圆台的侧面积．
【详解】（1）∵在梯形
中，
，
，∴
，
又G 为
的中点，∴
，∴
，
故四边形
为平行四边形，∴
.
又
平面
，
平面
，
∴
平面
.
∵
分别是
，
的中点，
∴
.
又
平面
，
平面
，
∴
平面
.
又
，
平面
，
平面
，
∴平面
平面
.
（2）设
由（1）可知
，则
为三棱锥
的高h.
故
，
由
，可得
，
∴
.
又∵
，
，
∴
.
故
，
∴
.
在
中，
.
故圆台的侧面积
.
重难点题型6 面面平行的性质
23．（2025·海南·模拟预测）如图，在三棱台
中，
底面
，
与
都是
等腰直角三角形，
，
、
分别为
、
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求异面直线
与
夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行、证明面面平行、面面平行证明线面平行
【分析】（1）取
的中点
，利用线面平行、面面平行的判定推理得证.
（2）取
的中点
，
的中点
，利用几何法求出异面直线的夹角余弦.
【详解】（1）在三棱台
中，设
的中点为
，连接
，由
为
的中点，
得
，又
平面
，
平面
，则
平面
，
由
为梯形
的中位线，得
，又
平面
，
平面
，
则
平面
，而
，
平面
，
平面
，
因此平面
平面
，又
平面
，所以
平面
.
（2）取
的中点
，
的中点
，连接
、
、
、
、
，
由
，
是
中点，得四边形
是平行四边形，
则
，又
是
中点，
是
中点，则
，
即
就是异面直线
与
夹角，
又
底面
，
与
都是等腰直角三角形，
，
则
，
，
，因此
，
所以异面直线
与
夹角的余弦值为
.
24．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在五面体
中，
，
为
的中点，
为
的
中点.
(1)证明：
平面
；
(2)已知
平面
，
，
，
为正三角形，
，当二面角
的余弦值为
时，求
.
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、面面平行证明线面平行、面面垂直证线面垂直、已知面面角求其他量
【分析】（1）记
的中点为
，连接
，结合梯形性质利用线面平行的性质定理证得
平面
，结合中位线性质利用线面平行的性质定理证得
平面
，再由面面平行的判定定理得平
面
平面
，最后由面面平行的性质定理即可证明；
（2）先利用线面平行的判定定理和性质定理得
，利用
平面
得
，记
的中点
为
，连接
，进而得四边形
为正方形，再利用面面垂直的判定定理和性质定理得
平面
，建立空间直角坐标系，求出平面
和平面
的法向量，结合二面角的余弦值利用向量的夹
角公式建立方程求解即可．
【详解】（1）如图：
记
的中点为
，连接
，因为
为
的中点，
为
的中点，
，
所以
，而
平面
，
平面
，
所以
平面
；因为
为
的中点，
为
的中点，
所以
，而
平面
，
平面
，
所以
平面
；又
，
平面
，
所以平面
平面
，又
平面
，所以
平面
；
（2）因为
，
平面
，
平面
，所以
平面
；
又平面
平面
，
平面
，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
，所以四边形
为直角梯形，
记
的中点为
，连接
，因为
，所以
，
所以
，
，所以四边形
为平行四边形，
又
，所以四边形
为矩形，
又
，
，所以
，所以四边形
为正方形，
连接
，因为
为正三角形，
为
的中点，所以
，
由
平面
，
平面
，所以平面
平面
，
又平面
平面
，所以
平面
，
故以
为坐标原点，过点
且平行
的直线为
轴，
所在直线分别为
轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
连接
，设
，则
，
，
，
，
所以
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，即
，
取
，则
，
设平面
的法向量为
，则
，即
，
取
，则
，
因为二面角
的余弦值为
，所以
，
平方化简得
，即
，
因为
，所以
，即
.
25．（2025·浙江·三模）如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，
底面
，
，
，M，N 为别为棱PB，CD 的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、证明面面平行、面面平行证明线面平行、面面角的向量求法
【分析】（1）取AB 中点E，连接ME、NE，易得
、
，根据线面平行、面面平行的判定
及性质定理证明结论；
（2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.
【详解】（1）取AB 中点E，连接ME、NE，
因为底面
为矩形，N 为CD 的中点，所以
，
平面PAD，
平面
，则
平面
，
因为M 为PB 中点，所以
，
平面
，
平面
，则
平面
，
因为
且都在平面
内，所以平面
平面
，
因为
平面
，所以
平面
．
（2）由题，易知直线DA，DC，DP 两两垂直，
以D 为坐标原点，以DA，DC，DP 所在直线为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，则
，
令
，得
，
，所以
，
设平面
的一个法向量为
，则
，
令
，得
，
，所以
，
，所以平面
与平面
的夹角的余弦值为
．
26．（2025·上海松江·二模）已知梯形
中，
，
为
上的一点且
，
，
，将
沿
翻折使得二面角
的平面角为
，连接
、
，
为棱
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)当
时，求直线
和平面
所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
.
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、面面平行证明线面平行、证明线面垂直、求线面角
【分析】（1）取
的中点
，连接
、
，所以
且
，根据线面平行的判定定理
可得
平面
，
平面
，从而可得平面
平面
，由面面平行的性质定理即可证明；
（2）过点
作
于点
，连接
，由题意得
平面
. 所以
就是直线
和平面
所成角. 二面角
的平面角为
，由（1）易得
，取
中点为
，
连接
，可得
，利用勾股定理求出
，可得
.继而即可求解.
【详解】（1）取
的中点
，连接
、
，
因为点
为棱
的中点，且
，所以
且
，
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，同理可得
平面
.
因为
平面
，
平面
，且
，
所以平面
平面
.
因为
平面
，所以
平面
.
（2）过点
作
于点
，连接
，
因为
，
，
，
平面
，
因为
平面
，所以
，
因为
平面
，
平面
，且
，
所以
平面
.
所以
就是直线
和平面
所成角.
由题意得：二面角
的平面角为
，
由（1）易得
，
在
中，由
，
，得
，
取
中点为
，连接
，
因为
分别为
的中点，
所以
，且
，又
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，
在
中，由
，
，得
，则
.
在
中，由
，得
，
即得直线
和平面
所成角为
.
重难点题型7 平行关系的综合应用
27．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形CDEF 为正方形，
，
AD=AE=BC=BF=3，EF=2AB=4．
(1)设平面ADE∩平面BCF=l，证明：
；
(2)直线DE 上是否存在点G，使得DE⊥平面 ABG？若存在，确定点G 的位置并说明理由；若不存在，请
说明理由；
(3)若
，λ [0,1]
∈
，求平面BFG 与平面DEA 夹角的余弦的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
为
中点，理由见解析
(3)
【难度】0.4
【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）根据题意，得到
，利用线面平行的判定定理，证得
平面
，再由线面平行
的性质定理，即可证得
；
（2）取
的中点
，得到
，再由
，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面
平
面
；
（3）设点
为
中点，取
与
连线交于
点，以
建立空间直角坐标系，设
到平面
的
距离为，令
，分别求得平面
和平面
的法向量
和
，结合
向量的夹角，列出关系式，利用函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）因为四边形
为矩形，
所以
，因为
平面
，
平面
。
所以
平面
，因为平面
平面
，
平面
，
所以
；
（2）存在
为
中点，使得
平面
，
理由如下：取
的中点
，
因为
，所以
，
因为
且
，
所以
，因为
且
平面
，
所以
平面
；
（3）设点
为
中点，取
、
和
中点为
，
由（2）知
共面且
平面
，
取
与
连线交于
点，连接
，
则
，可得
为等腰梯形，
所以
，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
因为
，所以
，
设
到平面
的距离为，
因为四边形
和四边形
为两个全等的等腰梯形，
所以
，设
，
因为
，
所以
，解得
，
所以
，可得
，
令
，所以
，
设平面
的法向量为
，
则
，
取
，可得
，
所以
，设平面
的法向量为
，
则
，
取
，可得
，
所以
，所以
，
令
，则
，
则
，
令
，则
，
所以
在
单调递增，
当
时
，当
时
，
所以
，所以
，
故平面BFG 与平面DEA 夹角的余弦的取值范围为
.
28．（2025·重庆·二模）如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，平面
平面
，
，
，
，点
在线段
上(
与
不重合).
(1)若平面
平面
，证明:
平面
；
(2)当
的面积最小时，求
值；
(3)在 (2) 的条件下，若点
是线段
的
等分点，分别过点
在四棱锥上作
平行于平面
的截面，记相应的截面面积为
，证明:
.
参考公式:
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
(3)证明过程见详解
【难度】0.4
【知识点】数列求和的其他方法、由平面的基本性质作截面图形、证明线面平行、点到直线距离的向量求
法
【分析】（1）利用线面平行的性质定理可证明；
（2）利用线面垂直的判定先证
平面
，当
面积取得最小值时，即
最小，计算出
，
的长度，根据相似比即可确定
值；
（3）根据（2）可知，这些截面都是相似直角梯形，利用相似可得到第个截面的面积，再根据求和公式
求和即可证明.
【详解】（1）证明：底面
为正方形，则
，
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，平面
平面
，所以
，
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）由（1）知
平面
，设直线交
于点
，连接
，
底面
为正方形，
，平面
平面
，
平面
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
在
中，
，
，
，
所以
，即
，
又
，所以
，
又
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
，又
，所以
，
故当
最小时，即
时，
面积取得最小值，
，
，
，
时，
，
，
，
所以
，即
的面积最小时，
的值为
.
（3）证明：由（2）知
，
，
，
由题意不妨设
是距离点P 的由近及远的
个等分点，第
个等分为
，截面为
，
则
，所以
，
即
，
.
29．（2025·辽宁沈阳·三模）如图所示，在直角梯形
中，
，A，D 分别是
，
上的点，且
，
，
，
，将四边形
沿
向上折
起，连接
，
，
，在折起的过程中，记二面角
的大小为
，记几何体
的体积为V．
(1)求证：
平面
；
(2)当
时，请将V 表达为关于
的函数，并求该函数的最大值；
(3)若平面
和平面
垂直，当
取得最大值时，求V 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
；
(3)
【难度】0.4
【知识点】锥体体积的有关计算、面面平行证明线面平行、空间位置关系的向量证明
【分析】（1）由面面平行的判定定理可得平面
平面
，即可证明；
（2）根据题意，由条件可得
，然后分别表示出
与
，然后代入计算，即可
得到结果；
（3）根据题意，建立空间直角坐标系，分别求得平面
，平面
的法向量，由
可得
的最
大值，然后代入（2）中的体积公式计算，即可得到结果.
【详解】（1）在梯形
中，因为
，所以翻折后有
，且
，
因为
平面
，
平面
，故
平面
，同理可得
平面
，
因为
，
平面
，
所以平面
平面
，又因为
平面
，所以
平面
.
（2）
由题意，在梯形
中，
，
，即
，
且
，所以翻折后有
，
，且
，
所以
平面
，同理，
平面
，
由二面角
的大小为
，得
，
过点
作
的垂线，交直线
于
，由
平面
，
平面
，
所以
，且
，所以
平面
，
即
是四棱锥
的高，
由
，
所以
，
由
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，且
，
所以
，
所以
，
，
当
时，
取得最大值
.
（3）
过点
作
的垂线，交直线
于点
，分别以
为
轴
正方向建立空间直角坐标系，则
，
，
在平面
中，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，
令
，则
，
所以
，
在平面
中，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，
令
，则
，所以
，
因为平面
和平面
垂直，所以
，
即
，整理可得
，
因为
，
，所以
，
当且仅当
时，等号成立，
故当
取得最大值时，即
取得最小值
，
此时
，
由
，
，
，所以
，则
.
30．（2025·河北·模拟预测）如图，已知圆柱的轴截面是矩形
，点
为
上不同于
的一点，点
在
上，且
，动点
满足
，动点
在上底
面上，满足
．
(1)证明：
平面
；
(2)①求动点
的轨迹长度；
②当点
为
的中点时，若平面
与平面
的夹角的余弦值为
，求
的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①
；②
【难度】0.4
【知识点】立体几何中的轨迹问题、面面角的向量求法、证明线面平行
【分析】（1）在
上取点
，使得
，连接
，通过四边形
为平行四边形，得到
，即可求证；
（2）建系，①由
，确定动点
的轨迹是半径为
的圆，即可求解；②求得平面法向量，代入
夹角公式即可求解.
【详解】（1）在
上取点
，使得
，连接
，
因为
，所以
，
所以
，且
，
又
，所以
，又
，
所以
，且
，则四边形
为平行四边形，所以
，
因为
平面
平面
，故
平面
；
（2）分别取
的中点
，连接
，则
底面圆
，连接
，
因为点
为
的中点，所以
，易得
，
以
为原点，以
，
所在直线分别为
轴建立如图所示空间直角坐标系
，
则
，
，
①因为
，所以
，所以
，
则动点
的轨迹是半径为
的圆，其轨迹长度为
；
②设平面
的法向量为
，
由
得
取
，则
，
因为
，都在平面
内，所以
平面
，
所以
是平面
的一个法向量，记为
，
所以
，
由题意可知，
，整理得
，解得
，
故
的值为
．
