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专题6.3 等比数列及前n 项和
重难点题型1 等比数列基本量的求解
1．（2025·海南·模拟预测）已知
为各项均为整数的等比数列，且
，记
为
的
前
项和，则
（ ）
A．43
B．85
C．110
D．127
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）在正项等差数列
中，
且
，
，
成等比数列，则
（ ）
A．7
B．11
C．18
D．1
3．（2025·云南保山·一模）若
、、
、成等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·辽宁大连·三模）已知正项等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．16
B．32
C．27
D．81
5．（2025·北京西城·模拟预测）设
是等比数列，
，
，则
．
6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）等比数列
的公比为2，若
，
成等差数列，设
为
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
等比数列基本量的求解
重难点题型2
等比数列的性质及应用
重难点题型3
等比数列的前n 项和的性质及应用
重难点题型4
等比数列的判断及证明
重难点题型5
等差与等比数列综合
的前
项和，则
．
7．（2025·广东揭阳·三模）已知正项等比数列
满足
，
，
，
成等差数列，则其公比为
.
8．（2024·四川攀枝花·一模）已知等比数列
满足
，且
，则
．
重难点题型2 等比数列的性质及应用
1．（2025·安徽安庆·二模）已知等比数列
的前
项和为
，若
，且
与
的等差中项为
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·四川成都·一模）在等比数列
中，
是方程
两根，若
，则
的值
为（ ）
A．
B．
C．3
D．9
3．（2025·山东烟台·一模）已知等比数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．15
4．（2023·全国·模拟预测）已知各项均为正数的数列
满足对任意的正整数m，n 都有
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·河北张家口·三模）已知等比数列
的前
项和为
，若
，
，则
.
6．（2025·云南曲靖·二模）已知
是公比不为1 的等比数列，将
调整顺序后可构成一个等差数列，
则满足条件的一组
的值依次为 （用数字作答）.
7．（2024·湖北黄冈·二模）已知等差数列
的前
项和为
是等比数列，若
，且
，则
的最小值为 .
8．（2023·江西·一模）已知等比数列
满足：
，
，则
的值
为 .
重难点题型3 等比数列的前n 项和的性质及应用
1．（2025·江西赣州·二模）设等比数列
的前n 项和为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．7
C．63
D．7 或63
2．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，若
，且
，则
（ ）
A．40
B．-30
C．30
D．-30 或40
3．（2025·福建龙岩·二模）（多选题）已知数列
的前
项和为
，则（ ）
A．若
是等差数列，则
，
，
成等差数列
B．若
是等比数列，则
，
，
成等比数列
C．若
，且
，则存在数列
，使得
D．若
，且
，则存在
，使得
4．（2023·辽宁·三模）（多选题）已知数列
的前n 项和是
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
是等差数列
B．若
，
，则
是等比数列
C．若
是等差数列，则
，
，
成等差数列
D．若
是等比数列，则
，
，
成等比数列
5．（2023·河北沧州·模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，若
，
，则
.
6．设正项等比数列
的前
项和为
，且
，则公比
.
7．（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列
中，
，
，设
.
(1)证明数列
为等比数列，并求
的通项公式；
(2)设
，将数列
和数列
的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列
，求数
列
的前50 项和
.
8．（2025·河南·模拟预测）已知数列
和
满足
是等比数列，
是等差数列.
(1)求
和
的通项公式；
(2)求
和
的通项公式；
(3)求
的前
项和
.
重难点题型4 等比数列的判断及证明
1．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知数列
中，
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求
的通项公式；
(3)令
，证明:
．
2．（2024·河北张家口·三模）已知数列
满足
，
.
(1)证明：
是等比数列；
(2)设
，证明：
.
3．（2024·新疆喀什·三模）已知数列
的首项
，且满足
（
）．
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)记
，求数列
的前
项和
，并证明
．
4．（2023·广东湛江·一模）已知
为数列
的前n 项和，
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)设数列
的前n 项和为
，证明：
．
5．
为数列
的前
项和.已知
，
.
(1)证明
是等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)数列
满足
，求数列
的前
项和
.
6．（2023·山东济宁·一模）已知数列
的前
项和为
，且满足：
.
(1)求证：数列
为常数列；
(2)设
，求
.
重难点题型5 等差与等比综合
1．（2025·广东佛山·三模）已知数列
满足
，且
是关于
的方程
的两个
根．
(1)求
；
(2)设
，求数列
的前21 项和
．
2．（2025·辽宁大连·模拟预测）若数列
和
满足：
，
，且
(1)设
，证明：
是等比数列；
(2)设
，试求
的前n 项和
．
3．（2025·山东·模拟预测）记正项数列
的前
项和为
，已知
.
(1)求
，
；
(2)证明：
是等差数列；
(3)求数列
的前
项和
.
4．已知数列
的前
项和为
，且
．
(1)求
、
、
的值．
(2)求数列的通项．
(3)求数列
的前
项和．
5．（2025·海南·模拟预测）已知数列
的前
项和
，数列
是首项为
的等比数列，且
有
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
求数列
的前
项和
．
6．（2025·山东泰安·模拟预测）已知
是公差为
的等差数列，其前
项和为
，
的前
项和为
，
，
.记
.
(1)求
和
的通项公式；
(2)证明：
是等比数列；
(3)证明：
.
7．（2025·江西·二模）定义“切糕”函数：在区间
上的连续函数
同时满足①
图像上任一点
处
的切线
，
（当且仅当
时等号成立）恒成立；②
，且
恒成立.
则称
为区间
上的“切糕”函数.
(1)求证：
为区间
上的“切糕”函数；
(2)数列
满足
，
是
的前
项和.若函数
为区间
上的“切糕”函数，求证：
，当且仅当
时等号成立.
8．（2025·安徽马鞍山·二模）将数列
中不同的两项
与
交换位置，其余项不变得到的数列称为
的“
对换数列”，若
时，
，则称
为
一个逆序对，例如：数列2，3，1 的逆序对
有：
，
.将数列
中逆序对的个数称为
的逆序数，记为
，记
.
(1)写出数列1，5，2，4，3，6 的所有逆序对；
(2)求数列
的所有“
对换数列”的逆序数之和
；
(3)定义：将数列
的所有项重新排列后得到的数列称为
的一个“重排数列”.若
是
数列
的一个“重排数列”，
是数列
的一个“
对换数列”，证明：
.
（注：
.）
