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6.2 等比数列（精讲）
一．等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比
数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此
时G2＝ab.
二．等比数列的通项公式
若等比数列{a}的首项为a，公比是q，则其通项公式为a＝aqn－1，通项公式的推广：a＝a qn－m.
n 1 n 1 n m
三．等比数列的前n项和公式
首项为a，公比为q的等比数列的前n项和S＝
1 n
四．等比数列的性质
已知{a}是等比数列，S 是数列{a}的前n项和.
n n n
1.若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有a·a＝a ·a.
k l m n2.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a，a ，a ，…仍是等比数列，公比为qm.
k k＋m k＋2m
3.若等比数列前n项和为S，则S ，S ，S －S ，S －S 仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．
n m 2m 2m 3m 3m 2m
4.若或则等比数列{a}递增．若或则等比数列{a}递减．
n n
5.项的个数的“奇偶”性质，在等比数列{a}中，公比为q．
n
①若共有2n项，则S ∶S ＝q；②若共有2n＋1项，则＝q．
偶 奇
一．等比数列基本量的运算
等比数列中有五个量a，n，q，a，S，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
1 n n
二．等比数列的三种常用判定方法
定义法 若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{a}是等比数列
n
中项公式法 若数列{a
n
}中，a
n
≠0且a＝a
n
·a
n＋2
(n∈N*)，则{a
n
}是等比数列
通项公式法 若数列{a}的通项公式可写成a＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{a}是等比数列
n n n
前n项和公式法 若数列{a}的前n项和S＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{a}是等比数列
n n n
考法一 等比数列的基本量的运算
【例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知 是各项均为正数的等比数列 的前n项和，若 ，
，则 （ ）．
A．21 B．81 C．243 D．729
【例1-2】（2022·吉林·长春市）已知等比数列 的前 项和为 ，且公比 ， ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．【例1-3】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知数列 满足 ， ，若 ，
，则 的值为______.
【一隅三反】
1．（2023·全国·统考高考真题）设等比数列 的各项均为正数，前n项和 ，若 ， ，
则 （ ）
A． B． C．15 D．40
2．（2023春·北京）已知各项均为正数的等比数列 满足 ， ，则 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3．（2022·河南安阳）已知 为等比数列， ，则 _________．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 是等比数列 的前 项和，若存在 ，满足
，则数列 的公比为
A． B．2 C． D．3
考法二 等比数列的判断与证明
【例2】（2023·广东·高三专题练习）在数列 中， ， ，求证：数
列 为等比数列，并求数列 的通项公式；【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，若 ．
(1)证明： 为等比数列．
(2)求 的通项公式．
2．（2023·广东深圳·校考一模）已知函数 的首项 ，且满足 ，求证 为等比数
列，并求 ．
3．（2023·山东潍坊·三模）已知数列 和 满足 ，证明：
和 都是等比数列；考法三 等比数列的中项性质
【例3-1】（2023春·江西）在等比数列 中，若 ， ，则 （ ）
A． B．9 C．15 D．7
【例3-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）设等比数列 ， ， 是方程
的两根，则 的值是（ ）
A． 或 B．2或 C． D．
【例3-3】（2023·江西·校联考二模）在正项等比数列 中， 与 是方程 的两个根，
则 _________ .
【一隅三反】
1．（2023春·辽宁鞍山）若五个数 、 、 、 、 成等比数列，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，若 ，，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知 ，向量 与向量
垂直， ， ，2成等比数列，则 与 的等差中项为（ ）
A． B． C． D．1
4．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，若 ， ， 成等比数列，则
（ ）
A． B． C．2 D．6
考法四 等比数列的前n项和
【例4-1】（2023·全国·统考高考真题）记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则
（ ）．
A．120 B．85 C． D．
【例4-2】（2023·全国·高三专题练习）等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【例4-3】（2023广东深圳）已知一个项数为偶数的等比数列 ，所有项之和为所有偶数项之和的 倍，前 项之积为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2023福建福州）已知等比数列 的前 项和 ，前 项和 ，则前 项和
（ ）
A．64 B．66 C． D．
2．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．41 B．45 C．36 D．43
3．（2023·全国·高三对口高考）已知等比数列 的前n项和为 ，则 __________.
4．（2023·江苏宿迁）已知等比数列 的前 项中，所有奇数项的和为 ，所有偶数项的和为 ，
则 的值为______．
考法五 等比数列的最值
【例5-1】（2023春·辽宁鞍山）等比数列 的前n项积为 ，且满足 ， ， ，
则使得 成立的最大自然数n的值为（ ）
A．102 B．203
C．204 D．205
【例5-2】（2023·全国·高三专题练习）设等比数列 的公比为q，其前n项和为 ，前n项积为 ，并且满足条件 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最大值为
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并且满足
条件 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． 的最大值为 D． 的最大值为
2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）设等比数列 的公比为q，其前n项和为 ，前n项积为 ，
并满足条件 ， ， ，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C． 是数列 中的最大值
D．若 ，则n最大为4038．
3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等比数列 的公比为 ，前 项积为 ，若 ，且，则下列命题正确的是（ ）
A． B．当且仅当 时， 取得最大值
C． D．
考法六 等比数列在实际生活中的运用
【例6】（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：
“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里
程是前一天的一半，七天一共行走了 里路，则该马第五天走的里程数约为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023春·湖北孝感·高三校联考阶段练习）为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经
济”.个体户小王2022年6月初向银行借了1年期的免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求.
据测算：他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%，并且每月月底需扣除生活费800元，余款作为
资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2023年5月底他的年所得收入（扣除当月生活费且还完贷
款）为（ ）元（参考数据： ， ）
A．35200 B．43200 C．30000 D．32000
2．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗
玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五
人得到的玉米总量为（ ）
A． 斗 B． 斗
C． 斗 D． 斗
3．（2023·陕西榆林·统考三模）现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可行的路程．已知第i（ ）匹马的日行路程是第 匹马日行路程的1.05倍，且第16匹马的日行路程
为315里，则这17匹马的日行路程之和约为（取 ）（ ）
A．7750里 B．7752里
C．7754里 D．7756里
