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专题2 数列——错位相减法
一、例题讲解：
1．已知各项均不相等的等差数列
的前
项和为
，且
成等比数列.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
2．已知
是等差数列，
是等比数列，且
，
，
．
(1)求
和
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和．
3．已知数列
的前
项和为
，数列
是公比为3 的等比数列，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前
项和
．
4．已知数列
的前n 项和为
，且满足
(1)证明数列
为等比数列，并求它的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和
5．已知数列
的前n 项和为
，且
，
.
(1)求实数
的值和数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前n 项和
.
6．已知单调递增数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，求数列
的前
项和
.
二、强化训练：
7．已知
为等比数列，
是
，
的等差中项．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和．
8．已知数列
是等差数列，首项
，公差为d 且
，
，
成等比数列.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，数列
满足
，求数列
的前n 项和
.
9．已知
分别是等差数列
和等比数列
的前
项和，
，
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)若
为递增数列，
，求数列
的前
项和
．
10．已知各项都为正数的等差数列
的前
项和为
，且
，且
，
，
构成等比数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和；
(3)若
，求数列
的前
项和.
11．已知各项均为正数的等比数列
满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前
项和
.
12．已知数列
.
(1)求
；
(2)令
为数列
的前
项和，求
.
《专题2 数列——错位相减法》参考答案
1．(1)
；
(2)
.
【详解】（1）设数列
的公差为
，则
．
由
得
，化简得
，
因为
，所以
，
所以
．
（2）由（1）知
，
则
，
，
两式相减得
，
所以
．
2．【详解】（1）设公差为
，公比为
，
，故
，
，
，故
，
联立
，解得
或
（舍去），
故
，
；
（2）
，设数列
的前
项和为
，
则
，①
，②
两式①-②得
，
所以
.
3．（1）因为
，所以
，
当
时，
，
又
满足上式，所以
．
因为
，所以数列
是首项为1，公比为3 的等比数列，即
．
（2）由（1）知，
，
所以
，①
，②
①
②得
，
所以
．
4．（1）由题设
，则
，整理得
，
又
，
所以
是首项为1，公比为3 的等比数列，则
.
（2）由
，则
，
所以
，
所以
，
所以
.
5．（1）当
时，
，又
，则
，所以
；
当
时，
，整理得
，
因此数列
是以1 为首项，3 为公比的等比数列，
所以数列
的通项公式为
.
（2）由（1）知，
，
则
，
于是
，
两式相减得
，
所以
.
6．（1）
，即
，
当
时，
，解得
，
当
时，
，
即
，
又数列
单调递增，所以
，即
，
则
，
，
时也符合，
所以
.
（2）
，
，
，
,
解得
.
7．（1）设
的公比为
，因为
为
，
的等差中项，
所以
，即
，
则
，解得
，
所以
.
（2）设
的前
项和为
，又
，
，①
，②
①
②得
，
所以
.
8．（1）因为
，
，
成等比数列，又
，
所以
，即
，解得
或
，
当
时数列
的通项公式
；
当
时数列
的通项公式
；
所以
或
.
（2）因为
，所以
，
所以
，
所以
，
则
，
所以
，
所以
.
9．（1）因数列
为等差数列，则
，解得
，
同理可得
，
因
，则
，又
，得
，
因数列
为等比数列，则
，解得
，
若
，则
，公比为
，公差为；
若
，则
，公比为
，公差为，
则
或
．
（2）因
为递增数列，则
，
，则
，
则
，
，
两式相减得，
．
10．（1）设等差数列
的公差为
，则
由
，解得
，
因
，
，
构成等比数列，
则有
，即
，
整理得
解得
（因
，故舍去，或
，
故数列
的通项公式为
；
（2）因
，
设数列
的前
项和为
，
则
；
（3）由（1）可知
，
，
设数列
的前n 项和为
则
，①
，②
由
，
.
11．（1）设等比数列
的公比为
，
由题意得
因为等比数列
中
，又
，解得
，
所以
；
（2）由（1）知
，
.
①
②
-
①②得
所以
.
12．(1)
(2)
.
【分析】（1）利用
得到
，再用两式相减可得
，由于此时
，所以需要对第一项和第二项进行检验，
，最后可判断
是
等比数列，并求出通项；
（2）先求出
，再利用错位相减法来求出它的前
项和.
【详解】（1）由
，
所以当
时，有
，两式相减得：
，
即
.
又有
，
所以
是以
为首项，公比为2 的等比数列，所以
.
（2）由（1）知：
，
所以
，
则
，
上面两式相减得：
，
所以
.
