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专题 09 数列不等式的证明与求解参数
◆题型一:数列不等式的证明
方法解密:
对于既不含参数也无需放缩的数列不等式,解题思路较为简单.通过数列求和的方法,错位相减或者裂项相
消即可证明.大可分为两种题型,一是数列不等式的证明,二是通过不等式求解n的取值范围.下面我们来看
下数列不等式证明的例题.
【经典例题1】已知等比数列 为递增数列，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，证明： ．
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】
(1)解：由题意， ，解得 或 ，
因为等比数列 为递增数列，所以 ，
所以 ；
(2)解：由（1）知 ，
所以数列 的前n项和为 ，①
，②
① ② 得 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 .
【经典例题2】已知正项数列 的前n项和为 ，且满足 ， ， ，数列 满
足 ．
(1)求出 ， 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，求证： ．
【答案】(1) ， ； (2)证明见解析
【解析】
(1)由 ，
得 ．又 ，
则数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
∴ ，
∴ ， ，…， ，
累加得 ，
∴ ．
数列 满足 ，①当 时， ；
当 时， ，②
由①－②可得 ，
当 时，也符合上式，
故数列 的通项公式为 ．
(2)由（1）可得 ，
则
，
故 成立．
【经典例题3】已知数列 前 项和为 ，若 ，且 成等差数列．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)记数列 的前 项和为 ，求证： ．
【解析】
(1) ，
因为 成等差数列，所以 ，
所以 ，且 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
(2)由（1）知 .
.
一方面， ；另一方面， ， 是递增数列，
所以 .综上所述， .
总结:掌握此题型的关键是对数列求和,错位相减以及裂项相消有较为熟练的掌握与应用.以及要对裂项相消
的常见的变换形式有一定的了解.在稍加练习的情况下即可掌握,难度不大.接下来看下通过不等式求解n的
取值范围的相关题型.
【经典例题4】等差数列 前n项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，若 ，求n的最小值．
【答案】(1) (2)7
【解析】
（1）设等差数列的公差为d，首项为 ，则 ，解得 ，
所以数列 的通项公式为 ．（2） ，
，
由题得 ，解得 ，
因为 ，所以n的最小值是7．
【练习1】等差数列 中，前三项分别为 ，前 项和为 ，且 .
(1)求 和 的值；
(2)求 =
(3)证明:
【答案】(1) ； . (2) (3)见解析
【解析】
(1)∵等差数列 中，前三项分别为 ， ， ，
∴ ，解得 ，
∴首项 ，公差 ．
∵ ，
化为： ．
解得 ．
(2)由（1）可得： ，∴ ，
∴ ．
∴
(3)因为 ，而 ，所以 .
【练习2】已知数列{ }的前 项和为 ， ，
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)设 ， 为数列 的前 项和.证明：
【答案】(1) ； (2)证明见解析.
【解析】
(1)当 时， ，又 ，则 ，
当 时， ，解得 ，
故 是首项为 ，公比为 的等比数列，则 ；
(2)因为 ，则 ，
故 ，又 ，
所以 ，即 ，又 是单调递增数列，则
综上， .【练习3】已知数列 的前n项和为 ，且 ，数列 为等差数列， ，且
．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)对任意的正整数n，有 ，求证： ．
【答案】(1) ， (2)证明见解析
【解析】
(1)解：∵ ①，∴令 ，可得 ，
又 ②，由①-②得 ，
∴ ，
∴ ，
∴数列 为以 为首项，2为公比的等比数列，
∴ ，
∴ ， ，解得d＝1，
∴ ；
(2)证明： ，
∴ ．
【练习4】已知数列 的前n项和为 ， ， ， .(1)证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前n项和为 ，证明： .
【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析
【解析】
(1)解：当 时，由 可变形为 ，
即 ，即 ，所以 ，
又因为 ， ，可得 ，所以 ，
所以数列 是以1为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以数列 的通项公式为 .
(2)解：由 ，可得 ，
所以
，
因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ， 单调递增，
所以 ，所以 .
◆题型二:数列不等式求解参数
方法解密:对于此类含参数不等式题型,大部分可以通过分离参数等方式转化为最值问题.对于求最值,需要分析单调
性,函数类型可通过运算法则或者求导进行判断.数列可通过作差法进行判断.即 对 恒
成立,数列单调递增. 对 恒成立,数列单调递减.
含参不等式问题又可以分为恒成立问题和存在性(有解)问题.
(1) 恒成立，则
(2) 恒成立，则
下面看一下有关恒成立问题的例题:
【经典例题1】已知 ，若 对于任意 恒成立，则实数 的取值范围是_______．
【答案】
【分析】
先分离参数将问题转化为 对于任意 恒成立，进而转化为 ，构造
，再作差判定单调性求出数列 的最值，进而求出 的取值范围.
【详解】
因为 ，且 对于任意 恒成立，所以 对于任意 恒成立，即
，令 ，则 ，因为 ，
， ，且 对于任意 恒成立，
所以 ，即 ，所以实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【经典例题2】已知数列 满足 ， 且 ．若对任意
， ，不等式 恒成立，则正整数 的最小值为______．【答案】12
【分析】
由 ，得 ，得数列 是等差数列，求得通项公式 ，对 利用裂项相消法求
和，然后由单调性得 的最小值，解相应不等式可得 的范围从而得结论．
【详解】
由 ，得 ，所以数列 是首项为4，公差为1的等差数列，所以
，故 ，所以 ，
则 ．
当 ， 时， 为单调递增数列，所以 ．因为 对任意
， 恒成立，所以 ，即 ，所以正整数 的最小值为12．故答案为：12．
分离参数的关键是需要求谁的值以及范围,就将谁分离出来.然后观察是恒成立还是存在性问题,两种问法
对于最值的选择是不同的.接下来是有关存在性问题的例题:
【经典例题3】数列{an}的通项公式为an＝3n，记数列{an}的前n项和为Sn，若 使得
成立，则实数k的取值范围是______．
【答案】
【分析】
先求得 ，由 分离常数 ，结合数列的知识求得 的取值范围.
【详解】， ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以
.依题意， 使得 成立，即 ， ，
设 ，当 时， ，所以 ，所以 的取值范围是 .故答案为：
【经典例题4】已知数列 前 项和为 ，且
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 为数列 的前 项和，且存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）已知已知 求 ，通常用 求通项.（2）用裂项相消法求数列 的前 项和
，列出不等式，参变分离得 ，因为存在 ，由基本不等式求 的最大值即可.
【详解】
解：(1) 时， ,
时， ，时， 也适合上式，
所以数列 的通项公式 .
(2) 因为 ，
所以
因为存在 ，使得 成立，
所以存在 ，使得 成立，
即存在 ，使 成立
又 ， ，
（当且仅当 时取等号），
所以 .即实数 的取值范围是 .
【练习1】设 为等比数列 的前n项和，已知 ， ，若存在 ，使得
成立，则m的最小值为___．
【答案】9
【解析】
设 的公比为q，由 可知 ，所以 ，由 得： ，所以 ，
则 ，所以 ， ，
由题意知存在 ，使得 成立，
当且仅当 ，即 时取得等号，所以 ，
故m的最小值为9.故答案为：9
【练习2】已知数列 的前 项和为 ， ，当 时， .
(1)求 ；
(2)设数列 的前 项和为 ，若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)当 时， ，
所以， ，
整理得： ，即 .
所以数列 是以 为首项，1为公差的等差数列.
所以 ，即 .
(2)由（1）知， ，所以 ，①
所以 ，②
①-②得， ，
所以， ，
所以， ，所以 ，即 ，即 ，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，所以 .
【练习3】已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，数列 满足 ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ， ； ， (2) ．
【解析】
(1)解：设等比数列 的公比为 ，
由 ，显然 ，所以 ，解得 ，
由于 ，所以 的通项公式为 ， ；
所以 ， ，
所以 的通项公式为 ， ．(2)因为 恒成立，即 对于任意的 恒成立．
令 ， ，
则 ，
当 时 ，所以 ，即 的最小值为 ，
所以实数 的取值范围为 .
【练习4】设数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)解：当 时， ，解得 ，
当 时， ，即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
故 ；
(2)解： ，
由 对任意的 恒成立，
即 ，令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以
即 的最大值为 ，
故 .
【过关检测】
1.已知数列 的前 项和为 ， ；等差数列 中， ， .
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）设数列 前 项和为 ，是否存在正整数 ，使得 ？若存在，求 的最小值，若不存在，
说明理由.
【答案】（1） ， ；（2）存在，最小 值为 .
【解析】
（1）由题设， ，得 ，
又 ，即 ，
∴ 对 都成立，则 ，
∴ ，又 且 为等差数列，
∴若公差为 ，则 ，得 ，即 ，
∴ .（2）由（1）知： ，
∴ ，则 ，
∴ ，即 ，若
时，有 ，
∴ 且 ，故存在， 的最小值为4.
2.已知等比数列 的前n项和为 ， ，且 ， ， 成等差数列．
(1)求数列 的公比q和通项 ；
(2)设 ，求满足 的n的最大值．
【答案】(1) ， (2)
【解析】
(1)解：设比数列 的公比为 ，
因为 ， ， 成等差数列，可得 ，
即 ，所以 ，解得 ，
又因为 ，所以数列 的通项公式为 ．
(2)解：由 ，可得 ，所以 ，所以 ，
由 ，可得 ，即 且 ，
故满足 的n的最大值为 ．
3.记 是等差数列 的前 项和，若 .
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)求使 成立的 的最小值.
【答案】(1) (2)4
【解析】
(1)设等差数列 的公差为 ，由 得 =0,
{a +a =0
由题意知， 1 2 ，解得 ，所以d=2
a −a =2
2 1
所以 .
(2)解：由（1）可得 ，
由 可得 ，即 ，解得 或 ，
因为 ，
所以，正整数 的最小值为 .
4.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S＝21，S＝55．
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(1)求an、Sn；(2)若数列 的前n项和Tn，求满足 的最小正整数n．
【答案】(1)an＝4n﹣1， (2)19
【解析】
(1)设等差数列{an}的公差为d，则 ，即 ，解得 ，故
，
(2)由（1）得， .故
，令 有 ，
即 ，解得 ，故满足满足 的最小正整数为19
5.已知数列 的前n项和为 ， ， ，其中 .
(1)记 ，求证： 是等比数列；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，求证： .
【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析.
【解析】
(1)证明：对任意的 ， ， ，
时， ，解得 ，
时，因为 ， ，两式相减可得： ，即有，
∴ ，又 ，则 ，
因为 ， ，所以 ，
对任意的 ， ，所以 ，
因此， 是首项和公比均为3的等比数列
(2)由（1）得： ，则 ，
， ，
两式相减得： ，
化简可得： ，又 ，
∴ .
6.已知数列 的前 项和为 .
从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分.
①数列 是等比数列， ，且 ， ， 成等差数列；
②数列 是递增的等比数列， ， ；
③ .
(1)求数列 的通项公式；(2)已知数列 的前 项的和为 ，且 .证明： .
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】
(1)解：若选①：因为数列 是等比数列，设公比为 ， ，且 ， ， 成等差数列，
所以 ，解得 ，所以 ；
若选②：因为数列 是递增的等比数列， ， ，
所以 ，所以 ， ，
所以 ；
若选③：因为 ，所以 ，
两式相减可得 ，即 ，又 时， ，
所以 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 ；
(2)证明：由（1）知
，
所以 ，因为 ，所以 ，即 .
7.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S ，S ，S 成等差数列，且 .
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（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在正整数n，使得 ？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由.
【答案】（1） .（2）存在，最小值为
【解析】
（1）设等比数列 的公比为q，则 .
由题意得
即
解得
故数列 的通项公式为 .
（2）由（1）有 .假设存在 ，使得 则
即 当 为偶数时， ，上式不成立；当 为奇数时， 即
解得 综上，存在符合条件的正整数 ，最小值为11.
8.已知正项等比数列 的前n项和为 ，满足 ， ．记 .
(1)求数列 ， 的通项公式；(2)设数列 前n项和 ，求使得不等式 成立的n的最小值.
【答案】(1) ， ； (2)5.
【解析】
(1)设正项等比数列 的公比为 ，当 时， ，即
，
则有 ，即 ，而 ，解得 ，又 ，则 ，
，
所以数列 ， 的通项公式分别为： ， .
(2)由(1)知， ，
则 ，
则 ，
两式相减得：
于是得 ，
由 得： ，即 ，令 ， ，
显然， ， ， ， ， ，
由 ，解得 ，即数列 在 时是递增的，
于是得当 时，即 ， ，则 ，所以不等式 成立的n的最小值是5.
9.已知数列 的前 项和为 ， ；等差数列 中， ， .
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）设数列 前 项和为 ，是否存在正整数 ，使得 ？若存在，求 的最小值，若不存在，
说明理由.
【答案】（1） ， ；（2）存在，最小 值为 .
【解析】
（1）由题设， ，得 ，
又 ，即 ，
∴ 对 都成立，则 ，
∴ ，又 且 为等差数列，
∴若公差为 ，则 ，得 ，即 ，
∴ .
（2）由（1）知： ，
∴ ，则 ，
∴ ，即 ，若
时，有 ，∴ 且 ，故存在， 的最小值为4.
10.已知等差数列 公差不为零， ， ，数列 各项均为正数， ，.
(1)求数列 、 的通项公式；
(2)若 恒成立，求实数 的最小值．
【答案】(1) ， (2)
【解析】
(1)解：设等差数列 的公差为 ，
因为 ，即 ，解得 ，
所以， ，
因为 ，所以， ，
因为 ，所以， ，又 ，所以， ，所以， ，
所以， 是以 为首项， 为公比的等比数列，故 .
(2)解：因为 ， ，所以， ，即 恒成立，
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， .
所以， 或 时， 为 的最大项．
所以， ，故实数 的最小值为 ．11.已知正项数列 的前 项和为 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， 为数列 的前 项和.若 对任意的 恒成立，求 的最小值.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1) ①；
当 时，代入①得 .
当 时， ②；
①-②得 ，
整理得 ，
因为 ，所以 ，
所以数列 为等差数列，公差为1，
所以 .
(2) ，
③；
④，
③-④得
，所以 ，所以 ，化简得 ，令 ， .
所以 ，所以 的最大值为 ，所以 .所以 的最小值为 .
12.已知二次函数 的图象经过坐标原点，其导函数为 ，数列 的前 项和为 ，点
均在函数 的图象上．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， 是数列 的前 项和，求使得 对所有 都成立的最小正整数 ．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1) ， ，又 经过坐标原点， ；
点 在函数 的图象上， ，即 ；
当 时， ；
当 时， ；
经检验： 满足 ；
.
(2)由（1）得： ；
；
， ， ，由 恒成立可知： ，解得： ，所求的最小正整数 .
