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专题1.1 数列经典题型攻坚：子数列问题及数列放缩技巧
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手感养成
分析考情·探趋势
锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标
破解重难·冲高分
方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化
拔尖冲优·夺满分
巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力
近三年：子数列问题考查内容稳定，基本上是以数列解答题的形式呈现，偶尔伴随着填空题的形式出现，
主要是以考查 奇数项偶数项问题，衍生数列问题（数列公共项问题，数列增减项问题，）。数列放缩一
般是以压轴题形式与导数结合进行切线放缩及其他放缩形式出现。
预测2026 年：数列与导数结合进行放缩将是一个重要的考试方向（主要是转化成不等式链）
ex≥x+1>x>x−1>ln x≥1−1
x
考向01 奇数项与偶数项问题
一、等差、等比数列奇偶项和的性质
1、等差数列
①若项数为偶数
，则
；
；
．
②若项数为奇数
，则
；
；
．
2、等比数列
若项数为
，则
；若项数为
，则
．
二、含奇偶项的数列求和问题
1、项数问题
①数列项数是2n 项，那么奇数和偶数分别是n 项；
②数列项数是2n+1 项，那么奇数为n+1 项，偶数为n 项；
③当项数是n 项时，要分n 为奇数和n 为偶数；
2、常见类型
通项公式分奇、偶项有不同表达式，例如：
角度1：求
的前
项和
角度2：求
的前
项和
常见奇偶数列模型:
(1)若
，则
，相减得
.
当
为奇数时，数列为以
为首项，
为公差得等差数列.
当
为偶数时，数列为以
为首项，
为公差得等差数列.
(2)若
，则
，相除得
.
当
为奇数时，数列为以
为首项，
为公差得等比数列.
当
为偶数时，数列为以
为首项，
为公差得等比数列.
(3)若
，则直接按奇偶分开讨论.
1 ．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知
为等差数列，
，记
，
分别为数列
，
的前n 项和，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：当
时，
．
2 （25-26 高三上·湖南长沙·月考）已知
为等差数列，
，记
分别为数列
的前n 项和，
(1)求数列
的通项公式；
(2)证明：
3．（25-26 高三上·福建泉州·期中）已知等比数列
的前n 项和为
，
，
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前2n 项和
；
(3)若存在正整数n，使得
成立，求m 的取值范围.
考向02 衍生数列问题
解衍生数列题，关键在于理清新旧数列的关系。下面梳理了4 种常见题型的解题“套路”和易错点，帮
你快速抓住解题要害：
1、插入数构成等差数列
在
和
之间插入
个数，使这
个数构成等差数列，可通过构造新数列
来求解
个数构成等差数列，公差记为
，所以：
题型：
2、插入数构成等比数列
在
和
之间插入
个数，使这
个数构成等比数列，可通过构造新数列
来求解
个数构成等比数列，公差记为
，所以：
题型：
3、插入数混合型
混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列
提供了多少项，其余都是插入进来的。
题型：在
和
之间插入
个
，组成新数列
4、添加项问题
给定两个数列{an},{bn}，增添项问题一般的形式为在数列{an}中，将第ak ,ak+1项之间插入k 个（bk
个）相同的数，或者其他的形式，构成一个新的数列{cn}，求数列{cn}的前r 项和.
此时求和的方法就是分组（并项）求和，需要解决两个关键点：第一个是数列{cn}的前r 项和有多少
{an}，第一个是数列{cn}的前r 项和有多少个插入项，第一个问题很好计数，第二个问题就涉及到先对
{bk}求和，估计出最大的k 值，然后再确定会有多少个{an}，最后分组求和即可.
特别地，在求和项数较少的条件下，枚举也是一个很好的方法.
5、删减项问题
给定两个数列{an},{bn}，删减项问题一般的形式为在数列{an}中，删掉{bn}后构成一个新的数列{cn}
，这个{cn}中，有可能只是{an}中的个别项被删掉（类似函数的交点问题），或者有明显的规律，核
心就是做估计和找规律.
方法点拨：这类问题把握好两点，先枚举找规律，再做好满足题意的估计，最后利用相关数列的求和公
式分组求和即可.求这个数列的前
项和，需分清
和
各有多少项，分组求和.
1（25-26 高三上·山东青岛·期中）在正项等比数列
中已知
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，若
，若在数列
任意相邻两项
与
之间插入一个实数
（
），
从而形成一个新的数列
，求数列
的前
项和
.
2（25-26 高三上·天津·期中）已知数列
满足
，
，数列
满足
.
(1)求
和
的通项公式；
(2)将
中的项按从小到大的顺序插入
中，且在任意的
，
之间插入
项，从而构成一个新
数列
，设
的前
项和为
，求
（请用数字作答）.
3（25-26 高三上·福建厦门·期中）已知等差数列
的前n 项和为
，且
，
；数列
满足
（
）
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前n 项和
；
(3)在
和
，
中插入
个相同的数
，构成一个新数列
：
，1，
，
，
，
，
3，3，3，
，…，求数列
的前2025 项和．
4．（25-26 高二上·江苏苏州·月考）已知公差不为0 的等差数列
的前n 项和为
成等
比数列．
(1)求数列
的通项公式；
(2)在数列
中剔除与数列
中的相同项后，按从小到大重新排列得数列
，求数列
的前20
项的和
；
(3)若
，且
成等差数列，求出所有的正整数
．
5．（25-26 高三上·上海·期中）已知数列
满足
，
.
(1)求
的值；
(2)证明：数列
为等比数列，并求
的通项公式；
(3)在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，在数列
中是否存在不同
的三项
、
、
（其中
、
、
成等差数列成等比数列？若存在，求出所有满足条件的
、
、
；若不存在，请说明理由.
6．（25-26 高三上·湖南长沙·月考）设数列
的前
项和为
，已知
.
(1)求
的通项公式；
(2)在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，在数列
中是否存在3 项
（其中
成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3 项，若不存在，请说明理由；
(3)已知函数
，其中
表示不超过
的最大整数，设
，数列
的前
项和为
，求
除以16 的余数.
考向 03 数列求和 SK≤k(常数)的数列不等式证明
1．已知函数
且
的图象经过点
，记数列
的前
项和为
，且
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，求证：
2．记
为数列
的前
项和，已知
，
．
(1)判断
是否为等比数列，并求出
的通项公式；
(2)设递增的等差数列
满足
，且
、
、
成等比数列．设
，证
明：
．
3．记
为数列
的前n 项和，满足
，
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
考向 04 数列求和 Sn≤f (n)的数列不等式证明
数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题
相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利
用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围.
方向一：常见的放缩技巧
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
；
（9）
；
（10）
；
（11）
；
（12）
；
（13）
．
（14）
．
方向二：放缩技巧
核心不等式链ex≥x+1>x>x−1>ln x≥1−1
x （等号仅在特定点成立，x=0 或者是x=1 时成立
）对
于数列应用场景，应用此类放缩一般是数列与导数结合相应的压轴题。
方向三：数学归纳法
对于某些与自然数
有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当
取第一个值
时命
题成立；然后假设当
（
，
）时命题成立，证明当
时命题也成立这种证明方法
就叫做数学归纳法
注：即先验证使结论有意义的最小的正整数
，如果当
时，命题成立，再假设当
（
，
）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当
时，命
题也成立，那么就可以递推出对所有不小于
的正整数
，
，…，命题都成立．
（2）运用数学归纳法的步骤与技巧
①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
（1）证明：当
取第一个值
结论正确；
（2）假设当
（
，
）时结论正确，证明当
时结论也正确
由（1），（2）可知，命题对于从
开始的所有正整数
都正确
②用数学归纳法证题的注意事项
（1）弄错起始
．
不一定恒为1，也可能
或3（即起点问题）．
（2）对项数估算错误．特别是当寻找
与
的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问
题）．
（3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个
证明过程也就不正确了（即伪证问题）．
（4）关键步骤含糊不清．“假设
时结论成立，利用此假设证明
时结论也成立”是数学归
纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的
严谨
1（25-26 高三上·福建泉州·期中）已知
是等差数列，其前
项和为
是等比数列，已知
，
是
和
的等比中项．
(1)求
和
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)记
，求证：
．
2 （2025·四川南充·一模）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)讨论
在区间
上的单调性；
(3)设
，证明：
．
3．（25-26 高三上·河北沧州·期中）已知数列
，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
；
(3)设函数
，若
，
，求λ 的最大值．
4．（25-26 高三上·河南·期中）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，且对任意的
恒成立，求的取值范围；
(3)若
，数列
的前
项和为
，证明：
．
考向 05 数列
n
前项积T n≤f (n)的数列不等式证明
1 ．设数列
是等差数列，
是等比数列.已知
，
，
.
(1)求
和
的通项公式；
(2)设
（
），求数列
的前
项和
；
(3)设
（
），数列
的前
项积为
，求
的最大值.
2．设数列
是等差数列，
是等比数列.已知
(1)求
和
的通项公式;
(2)设
，（
），求数列{
}的前2n 项和
.
(3)设
数列
的前n 项积为
，证明:
考向 06 数列新定义问题
数列新定义题的核心技巧是“翻译定义+回归基础”，解题时抓住“理解定义→转化条件→用常规
方法求解”三步，就能快速突破陌生感，以下是关键技巧：
1.精准“翻译”定义，拆解核心条件
新定义本质是“用熟悉概念组合的新规则”，先逐字分析定义关键词（如“递增数列”“周期数
列”“差数列”“累乘数列”等），将抽象表述转化为数学式子或具体例子。
2.用特殊值“试算”，快速找规律
新定义题常可通过计算前3-5 项，直观发现数列的周期性、单调性、递推关系或通项特征，避免直
接推导的复杂。
3.回归常规方法，对接已知模型
新定义数列最终可转化为等差数列、等比数列或可递推数列（累加法、累乘法、构造法）求解，关
键是将翻译后的条件与常规模型挂钩：
若定义涉及“差”，用累加法；
若涉及“比”，用累乘法；
若涉及“线性递推”，用构造等比数列。
4.关注定义域与边界条件
新定义可能限定数列的项数、首项、取值范围（如“正整数数列”“从第2 项起满足定义”），忽
略边界条件易出错，解题时先标注已知限制。
5.验证答案，避免逻辑漏洞
新定义题易因理解偏差出错，求出通项或某一项后，代入定义验证
1．（25-26 高三上·四川·月考）定义：若
，且
和
是公比不相同的等比数列，则称
为
“混双等比数列”.已知数列
满足
，其中常数
且
.
(1)证明：
是等比数列；
(2)设
的前
项和为
，若
是“混双等比数列”，求
的值；
(3)若“混双等比数列”
满足
的前
项和为
也是“混双等比数
列”，证明：当
时，
.
2．（25-26 高三上·北京顺义·期中）对于数列
：
，
，…，
，定义变换
，
将数列
变换
成数列
：
，
，…，
，
，记
，
，
.对于数列
：
，
，…，
与
：
，
，…，
，定义
.若数列
：
，
，…，
满
足
，则称数列
为
数列.
(1)若
：
，1，
，1，1，
，写出
，并求
；
(2)对于任意给定的正整数
，是否存在
数列
，使得
？若存在，写出一个数列
，
若不存在，说明理由：
(3)若
数列
满足
，求数列
的个数.
3．（25-26 高三上·辽宁·期中）设
，
，若正项数列
满足
，则称数列
具有
性质“
”．
(1)若数列，
，
，，
具有性质“
”，求实数
的取值范围；
(2)设数列
的通项公式为
，则是否存在，使得数列
具有性质“
”？若存在，
求的最小值，若不存在，请说明理由；
(3)设函数
，正项数列
的前
项和为
，且满足
，
，证明：数列
具
有性质“
”，并比较
与
的大小．
4．（2025·安徽·模拟预测）对于非空数集，
，若
，则称数集具有性质
.
(1)若数集具有性质
，证明：
；判断
，
是否具有性质
，并说明理由.
(2)若
满足①
；②
，当
时，都有
.
（i）判断“数集具有性质
”是否是“数列
为等差数列”的充要条件，并说明理由；
（ii）已知数集具有性质
且
，
，求数集
具有性质
的概率.
（建议用时：60 分钟）
一、填空题
1．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在
的求和运算中，提出了
倒序相加法的原理．现有函数
，设数列
满足
，若存在
使不等式
成立，
则
的取值范围是 ．
2．设数列
满足
（
），
，
.在数列
的任意
与
项之间，都插入
（
）个相同的数
，组成数列
，记数列
的前
项的和为
，求
.
3．无穷数列
满足：对于
，
，其中p 为常数，则称数列
为P 数列．若一个公比
为
的等比数列
为“P 数列”，则
；若
，
，
是首项为1，公比为3 的等比数
列，在
与
之间依次插入数列
中的k 项构成新数列
：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，…，则数列
前30 项的和
4．在数列
中，
，
，且对任意的
，都有
，则
的通项公式为
；若
，则数列
的前
项和
.
二、解答题
5．已知数列
是等比数列，其前
项和为
，数列
是等差数列，满足
，
，
.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)记
，求
；
(3)证明：
.
6．已知
是等差数列，其前
项和为
是等比数列，已知
，
是
和
的等比
中项．
(1)求
和
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)记
，求证：
．
7．已知数列
的首项
，且满足
.
(1)求证：
是等比数列；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)令
，数列
的前
项和为
.求证：
.
8．已知函数
．
(1)求函数
在x=1 处的切线方程；
(2)记数列
的前
项和为
．
（i）若
，证明：
．
（ii）已知函数
，若
，
，
，证明：
．
9．已知等差数列
的前n 项和为
，且
，
；数列
满足
（
）
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前n 项和
；
(3)在
和
，
中插入
个相同的数
，构成一个新数列
：
，1，
，
，
，
，
3，3，3，
，…，求数列
的前2025 项和．
10．已知函数
．
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)当
时，不等式
恒成立，求a 的取值范围；
(3)设
，证明：
．
11．已知数列
的首项
，前
项和为
，若对任意的正整数
，均有
成立，其中
和
是实数，则称此数列为“
”数列.
(1)若等差数列
是“
”数列，求
的值；
(2)若正项数列
是“
”数列，求数列
的通项公式；
(3)对于给定的
，是否存在三个不同的数列
为“
”数列，且
？若存在，求
的取值范围；
若不存在，请说明理由.
12．已知等差数列
和等比数列
满足：
，
，
，
．
(1)求数列
，
的通项公式；
(2)设数列
是数列
和数列
的相同项从小到大组成的新数列，
是数列
的前n 项和，求
，
并判断
是否为数列
中的项（不必说明理由）？
13．已知
，
．
(1)证明：
为等差数列，并求
的通项公式；
(2)令
，
为
的前
项之积，求证：
．
