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专题4 构造等比数列及综合应用
1．已知数列
的满足
，
.
(1)求数列
的通项公式.
(2)设数列
，前n 项和为
，求
.
2．已知数列
的首项
，且满足
（
）
(1)求证：
数列为等比数列；求数列
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前
项的和
．
3．已知数列
满足
，
（
），记
.
(1)求数列
的通项；
(2)设
，求数列
的前n 项和为
.
4．已知数列
的首项
，
．
(1)求证：
是等比数列；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)令
，求数列
的最大项．
5．在数列
中
，
，
.
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式
；
(3)若
，求数列
的前n 项和
.
6．在数列
中，
(1)证明：数列
是等比数列．
(2)求数列
的前n 项和
．
7．数列
的前
项和为
，且
，
(1)求证：数列
是等比数列；
(2)若
，数列
的前
项和为
，求证：
．
8．已知数列
的前
项和为
，且
，
．
(1)证明：
是等比数列．
(2)若
，求数列
的前
项和
．
9．在数列
中，已知
，
．
(1)证明：
是等比数列；
(2)求
的前
项和
．
10．在数列{
}中，
(1)求证：
是等比数列：
(2)求数列{
}的前n 项和
.
11．已知数列
中
．
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)若数列
的通项公式为
，求数列
的前
项和
；
12．已知数列
满足
，点
在直线
上.
(1)设
，证明
为等比数列；
(2)求数列
的前
项和
.
13．已知数列
满足
，
.
(1)令
，证明：数列
为等比数列；
(2)求数列
的前
项和
.
14．在数列
中，
，且
(1)证明：数列
是等比数列，并求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
15．已知数列
的前n 项和为
，且满足
(1)证明数列
为等比数列，并求它的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和
16．已知
为数列
的前
项和，若
.
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)令
，若
，求满足条件的最大整数
.
《专题4 构造等比数列及综合应用》参考答案
1．(1)
(2)
【分析】（1）构造数列
，判断该数列为等比数列，结合等比数列的通项公式可求
数列
的通项公式.
（2）利用“错位相减求和法”可求数列
的前
项和.
【详解】（1）因为
，所以
，
又
，
所以数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列.
所以
.
（2）因为
，
所以
，
故
，
两式相减得：
，
所以
.
2．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由等比数列的定义即可求证，
（2）由（1）求得
，再由裂项相消法求和，即可求解
.
【详解】（1）由
得
，
又
，
所以
是首项为2，公比为2 的等比数列．
（2）由（1）知，
，
所以
，
所以
，
所以
.
3．(1)
(2)
【分析】（1）利用等比数列的定义即可求证
是等比数列，求出
，即可得出
的通项；
（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）由
，即
，
得
，即
，
又
，得
，
故数列
中任意一项不为0，有
，
所以数列
是首项为2，公比为2 的等比数列，
故
，则
.
（2）由（1）可知，
，则
，
所以
，
，
两式作差得，
，
所以
.
4．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）依题意可得
，结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）可得
，利用分组求和法计算可得；
（3）由（2）可得
，利用作差法判断数列的单调性，即可求出最大项.
【详解】（1）因为
，
所以
，
又
，所以
，
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列；
（2）由（1）可得
，
所以
，
所以
.
（3）由（2）可得
，
则
，
所以当
时
，当
时
，
即
，
所以数列
的最大项为
；
5．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知求出
，
，即可得出证明；
（2）根据等比数列通项公式得出
，即可得出答案；
（3）根据已知得出
，进而裂项求和，即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，
，
，
所以，数列
是以
为首项，
为公比的等比数列.
（2）由（1）可知，数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以有
，
所以，
.
（3）由（2）可知
，
所以
，
所以，
，
所以有数列
的前n 项和
.
6．(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）由题设得
，结合等比数列定义即可得证；
（2）由（1）求出数列
的通项公式，再由等差、等比数列前n 项和公式即可计算得解.
【详解】（1）由
得
，
，
所以数列
为首项为1，公比为3 的等比数列.
（2）由（1）得
，则
，
.
7．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据
与
的关系退
相减，消去
得
，变形得
，然后利用等比数列的定义证明即可.
（2）根据等比数列的通项公式求出
，则
，然后利用等比数列求和公式
得
，即可判断.
【详解】（1）由
得
，故
，
当
时，
，
所以
，
从而
，故
①，
在式①两端加1 得：
②，
又
，结合式②知数列
所有项均不为0，所以
，
故
是首项为9，公比为3 的等比数列.
（2）由（1）得
，故
，
所以
.
8．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用
的关系得
，结合等比数列定义证明结论；
（2）由（1）得
，应用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）当
时
，因为
，所以
．
当
时
，且
，则
，即
．
又
，所以
是以6 为首项，3 为公比的等比数列．
（2）由（1）知
，则
，
所以
，故
．
9．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在已知递推式两边同时减1，即可构造出结果；
（2）由（1）得
，通过分组求和结合等比数列前
项和公式即可得结果.
【详解】（1）由
，得
又
，
所以
是首项为3，公比为3 的等比数列．
（2）由（1）可得
，即
．
10．(1)证明过程见详解
(2)
【分析】(1)根据递推公式和等比数列的定义即可使问题得证；
(2)利用等比数列的求和公式，分组求和即可求解.
【详解】（1）由题意知：
，所以
，
即
，又
，
所以数列
是以3 为首项，以3 为公比的等比数列.
（2）由（1）可知：
，所以
，
所以
.
11．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由
构造得
，又
，可证数列
是等比数列；
（2）利用错位相减法求数列
的前
项和.
【详解】（1）由
，得
，即
，
又
，有
，
所以数列
是首项为3，公比为3 的等比数列.
（2）由（1）得
，则有
，
，
，
-
①②得
，
，即
.
12．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意整理可得
，结合等比数列的定义分析判断；
（2）由（1）可得
，利用分组求和结合等比数列求和公式运算求解.
【详解】（1）因点
在直线
，则
.
可得
，
即
，且
，
所以数列
是以
为首项，公比为的等比数列.
（2）由（1）可知：
，即
所以
.
13．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义证明.
（2）先根据（1）的结论，求出数列
的通项公式，再结合分组求和法求数列
的前
项和.
【详解】（1）因为
.
又
，故数列
是首项为1，公比为3 的等比数列.
（2）由（1）有
，可得
，
所以有
.
14．(1)证明见解析，
；
(2)
.
【分析】（1）根据已知有
且
，
，即可证结论，应用等
比数列定义写出通项公式；
（2）应用分组求和及等差、等比数列的前n 项和公式求
.
【详解】（1）由
，则
且
，而
，
所以数列
是首项为4，公比为2 的等比数列，则
，
所以
.
（2）由（1）知
.
15．(1)证明见解析，
；
(2)
.
【分析】（1）根据递推式可得
，结合等比数列的定义判定证明，进而写出通项公
式；
（2）应用错位相减法及等比数列前n 项和公式求
【详解】（1）由题设
，则
，整理得
，
又
，
所以
是首项为1，公比为3 的等比数列，则
.
（2）由
，则
，
所以
，
所以
，
所以
.
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用
与
的关系式可得
，即
，即可得证.
（2）由（1）可得
，则
，设
，根据等比数列
的前
项和公式可得
，令
，结合
，即可求解.
【详解】（1）证明：由
可得，
当
时，
，解得
，
当
时，
，即
，
则
，即
，
即
，即
，
又
，
所以数列
是首项为6，公比为2 的等比数列.
（2）由（1）得
，则
，
设
，
则
令
，得
，
即
，即
，
又
，
，
，
所以满足条件的最大整数为
为5.
