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专题3.1 数列单调性
目录
知识梳理....................................................................................................1
题型一：与等比等差相关的数列单调性................................................3
题型二：通项公式与单调性..................................................................16
题型三：递推公式与单调性..................................................................20
题型四：项的最大、最小值..................................................................30
知识梳理
数列的单调性是指数列的项随着序号
的增加而呈现递增、递减或常数的规律.
1.定义
递增数列：对于任意的
，都有
.
递减数列：对于任意的
，都有
.
常数列：对于任意的
，都有
.
2.判断方法：
做差法：计算
的值.
若
，则数列为递增数列；
若
，则数列为递减数列；
若
，则数列为常数列；
做商法：当
（或
）时，计算
的值.
若
（且
），或
（且
），则数列为递增数列；
若
（且
），或
（且
），则数列为递减数列；
若
，则数列为常数列.
函数法
将数列的通项
视为函数
，利用函数的单调性判断数列的单调性.
需注意数列的定义域为正整数集，与连续函数的单调性可能不同.
题型一：与等比等差相关的数列单调性
1．对于等比数列
，则“
”是“数列
为单调递增数列”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．设等比数列
前
项和为
，
，则“
”是“数列
是递增数
列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知等比数列
，满足
，则下面说法正确的是（ ）
A．若
，则数列
是递增数列
B．若
，则数列
是递减数列
C．若
，则数列
是递增数列D．若
，则数列
是递增数列
4．（多选）已知数列
的前
项和为
，则（ ）
A．若
为等差数列，且
，则
单调递增
B．若
为等比数列，且
，则
单调递增
C．若
为等差数列，且
，则
单调递增
D．若
为等比数列，且
，则
单调递增
5．（多选）已知公差不为0 的等差数列
的前
项和为
，且
是
与
的等比
中项，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．数列
是递增数列
D．当
时，
的最大值为8
6．（多选）已知等差数列
满足
，
，记
为
的前
项和，则下列
说法正确的是（ ）
A．
B．
是递增数列
C．
D．使得
的
的最小值为14
7．（多选）已知等比数列
，满足
，则下面说法正确的是（ ）
A．若
，则数列
是递减数列
B．若
，则数列
是递减数列
C．若
，则数列
是递增数列
D．若
，则数列
是递增数列
8．（多选）已知等差数列
的公差为d，前n 项和为
，若
，则下列
说法错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选）等比数列
的前
项和
，前
项积记为
，则
（ ）
A．公比为2
B．
C．
D．
有最小值
10．（多选）已知数列
是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列
是等比数列
B．若
，则数列
是递减数列
C．若
，则
D．数列
是等比数列
11．（多选）设等比数列
的公比为
，前
项积为
，并且满足条件
，
.则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的最大项为
12．（多选）已知数列
不是常数列，其前
项和为
，则下列选项正确的是（ ）
A．若数列
为等差数列，
恒成立，则
为递增数列
B．若数列
为等差数列，
，则
的最大值在
或
时取得
C．若数列
为等比数列，则
恒成立
D．若数列
为等比数列，则数列
也为等比数列
13．（多选）已知
为等比数列
的前
项和，且
，则下列结论正确的
是（ ）
A．
B．
C．
是递减数列
D．
是递增数列
14．数列
，记
（
且
）．现有如
下说法：
①若数列
为等差数列，则
；
②若数列
为等比数列，且数列
单调递增，则公比
；
③若数列
为等比数列，且
，则公比
；
④若对任意的
且
，都有
，则数列
单调递增．
其中所有正确说法的序号是 ．
15．已知等差数列
与等比数列
都是无穷递增数列，给出下列四个结论:
①不存在数列
与
，使得
是递减数列；
②存在数列
与
，使得
是递增数列；
③不存在数列
与
，使得
同时有无穷个正项和无穷个负项；
④存在数列
与
，使得
恰好出现三个为1 的项.
其中正确结论的序号是 .
题型二：通项公式与单调性
1．已知数列
满足
，则“数列
是递增数列”的充分不必要条件
是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设函数
，数列
满足
，且数列
是递增数列，
则a 的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知数列
的通项公式为
，若
是递增数列，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知数列
满足
，若
为递增数列，则实数的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知数列
的通项公式为
，则数列
的最小项是
．
6．数列
满足
，n 为正整数.若数列
是严格增数列，则实数a
的取值范围为 .
7．已知
，若数列
为严格增数列，则实数q 的取值范围是 .
题型三：递推公式与单调性
1．已知单调递增数列
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知数列
满足
，设
，
，若数列
是递增数列，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若无穷数列
满足：
，当
时，
，则称
是
“
数列”．则下列正确的是（ ）
A．若
是“
数列”，则
B．若
是“
数列”且是等差数列，则
单调递增
C．若
是“
数列”且单调递减，则
是等比数列
D．若
是“
数列”且是周期数列，则集合
的元素个数最多是
4．（多选）若数列
的首项
，且
，则（ ）
A．数列
为等比数列
B．
C．数列
为递增数列
D．存在三个不相等正整数
，使得
5．（多选）已知数列
的前
项和为
，且
，则下列结论正确
的有（ ）
A．数列
为等差数列
B．
C．
随
的增大而减小
D．
有最大值
6．（多选）已知正四面体
中，
在线段
上，且
，过点
作平行于直线
的平面，截面面积为
，则
下列说法正确的有（ ）
A．
B．
为递减数列
C．存在常数
，使
为等差数列
D．设
为数列
的前
项和，则
时，
7．在数列
中，
，记
，若数列
为
递增数列，则实数
的取值范围为 .
8．已知数列
满足
，
，
，若存在正整
数m 使得
恒成立，则
．
9．已知数列
中，
，且
（n 为正整数），则
的最小值为
.
10．数列
前n 项和
，
，则数列
的最小项为（用具体数字作答）
．
题型四：项的最大、最小值
1．数列
的最大项的值为 .
2．数列
的通项公式为
，
满足：
，则数列
的最大
项是第（ ）项
A．6
B．7
C．8
D．9
3．已知
为数列
的前
项和，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，求
的表达式及最大值.
4．设数列
的前
项和
.数列
是等比数列，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
是数列
的前
项和，求满足
的最小的正整数
的值.
5．正项数列
满足：
，对一切
，有
其中
为数列
的前
项和.
(1)证明
是等差数列，并求出
的通项公式；
(2)若数列
前
项和
，求数列
的通项公式；
(3)若
，数列
的前
项和为
，求
的最大值和最小值.
6．已知数列
中，
.
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)求
的前
项和
；
(3)令
，求数列
的最大项.
7．已知数列
中，
(
且
)．
(1)若
，求数列
中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的
，都有
成立，求
的取值范围．
