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专题3 构造等差数列及分组求和法
一、例题讲解：
1．设数列
满足
，
．
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)若数列
的前n 项和为
，证明：
．
2．已知数列
中，
，
.
(1)证明数列
为等差数列，并求
；
(2)求
的前
项和
.
3．已知数列
满足
.
(1)求证：
是等差数列.
(2)求数列
的通项公式.
4．已知数列
满足
，
．
(1)证明数列
是等差数列，并求
的通项公式；
(2)若数列
满足，
，求
的前n 项和
．
5．已知等比数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
.
6．记
为等差数列
的前
项和，数列
为正项等比数列，已知
，
，
，
(1)求数列
，
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
二、巩固强化：
7．（1）已知数列
满足
.求证：
是等差数列，并求
的通项公式；
（2）已知数列
的前
项和为
.求
的通项公式：
8．已知数列
满足
，且
.
(1)证明：
是等差数列.
(2)设
，求数列
的前
项和
.
9．已知数列
满足
，
.
(1)证明：
是等差数列；
(2)设
，求数列
的前n 项和
.
10．已知各项均为正数的数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足，
，求数列
的前
项和
.
11．已知等比数列
为递增数列，其前
项和为
，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
是首项为1，公差为3 的等差数列，求数列
的通项公式及前
项和
.
12．已知等差数列
的公差是-2，等比数列
的公比是2，若
.
(1)求
和
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
.
《专题3 构造等差数列及分组求和法》参考答案
1．（1）由
可得：
，
所以数列
为等差数列，且首项为3，公差为3；
（2）由数列
为等差数列，
，可得
,
所以
，又因为
，
所以
，
因为
，所以
，故
．
2．（1）因为
，
所以
，故
，
即数列
是以
为公差的等差数列，
又
，所以
，故
，所以
.
（2）依题意可得
，
，
两式相减可得
，所以
.
3．（1）
为常数，
所以
为公差为
的等差数列，
（2）由于
为公差为
的等差数列，且首项为
，
所以
，所以
4．（1）由
，
可得
，
即
，即
，
故数列
是等差数列，其首项为
，公差为1，
则
，解得
；
（2）由
可得
，
则
.
5．（1）因为
，故
，两式相减
所以
即
，故等比数列的公比为
，
当
时，
，故
，故
（2）由等比数列求和公式得
，所以数列
的前
项和
6．（1）设数列
的首项为
，公差为
，设数列
的首项为
，公比为
，
由
，
，可得
，解得
，所以
，即数列
的通项
公式为
，因为
，由
得
，解得
，
所以
，所以数列
的通项公式为
；
（2）由（1）可知
，
，
.
7．（1）因为
，所以
，
所以
，又
，所以
是以为首项，为公差的等差数列，
所以
，则
；
（2）因为
，当
时，
；
当
时，
，
所以
，
当
时
也成立，所以
.
8．（1）证明：因为
，所以
，
所以
，即
所以
是以
为公差的等差数列.
（2）解：由（1）知
，所以
，可得
，
所以
.故
.
9．（1）由题可知
，
所以
，所以
.所以
.又
，
所以
是首项为1，公差为1 的等差数列.
（2）由（1）可得
，所以
所以
.所以
.
所以
.
两式相减，得
所以
.
10．（1）由
得
，故两式相减可得：
，化简得
，
由于
各项均为正数，所以
，故
（常数），
又当
时，
，由于
，故
，所以数列
是以1 为首项，1 为公差的等差数列；故
．
（2）由（1）得：
时，
；
所以当
时，
；当
也符合上式，故
11．（1）设等比数列
的公比为
，由
，且等比数列
为递增数列，所以
，
，解得
（负值舍去），
所以
，即
；
（2）由数列
是首项为1，公差为3 的等差数列，所以
，
所以
，
.
12．（1）等比数列
的公比是2，
，则
，
，
由
，得
，又等差数列
的公差是-2，则
，
所以
和
的通项公式分别为
，
.
（2）记
和
的前
项和分别为
，
，则
．
而
，
，
所以
.
