文档文本内容
专题7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
重难点题型1 平面基本事实的应用（证明）
1．（2025·云南红河·模拟预测）如图1，等腰梯形
中，
，
，
，
分别为
的中点，且
，将梯形
沿
翻折至梯形
，使得平面
平面
，
得到如图2 的多面体
.
(1)证明：
四点共面；
(2)在
上取一点
，使得平面
平面
，求平面
与平面
夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
平面基本事实的应用
重难点题型2
截面问题
重难点题型3
异面直线的判断
重难点题型4
异面直线的夹角
重难点题型5
平面的基本性质
(2)
.
【难度】0.65
【知识点】空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法、面面垂直证线面垂直
【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得
平面
，以
为原点，建立空间直角坐标系，由平
行向量的坐标关系证得
，即可证得
四点共面；
（2）由题意设
，求出
，分别求出平面
与平面
的法向量，由垂直向量的坐标表示求出
，再求出平面
与平面
的法向量，由二面角的向量公式
即可得出答案.
【详解】（1）因为平面
平面
，平面
平面
，
且
，
平面
，
所以
平面
，又
，
以
为原点，以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，
易得
，
则
，
则
，则
，
即
，所以
四点共面.
（2）由（1）知，
，
，
，
，
设
，则
，则
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，得
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，得
，
由平面
平面
，则
，解得
，
则
，则
，又
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，得
，
易得平面
的一个法向量为
，
则
，
则平面
与平面
夹角的余弦值为
.
2．（2025·山东聊城·三模）如图，在三棱柱
中，
，
，
．
(1)求证：四边形
为矩形；
(2)若
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）要证明四边形
为矩形，需证明其中一组邻边垂直，可通过向量运算或几何方法利用
已知角度和边长关系来证明；
（2）首先建立空间直角坐标系，利用平面的法向量来求解.
【详解】（1）根据题意，设
，
.
因为
；
，
所以
，所以
.
又三棱柱
中，四边形
为平行四边形，
所以四边形
为矩形.
（2）取
的中点
，连接
.作
交于点
.
由（1）知，四边形
为矩形，所以
.
因为
，所以
.
因为
为等腰直角三角形，
是中点，所以
.
又
，所以
平面
.
因为
平面
，所以
.
又
，所以
平面
.
在
中，由余弦定理得：
.
所以
.
在
中，由勾股定理可得
.
在
中，由余弦定理得：
.
所以
，从而
.
由此可得
.
以
为原点，分别以
所在直线为
轴，过
作垂直于平面
的直线为
轴，建立空间直角坐标
系，如图所示.
设平面
的法向量为
，则
为平面
的一个法向量.
因为
，
所以
，
.
设平面
的法向量为
，则
，所以
，令
，
则平面
的一个法向量为
.
所以
.
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
.
3．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图所示，在平行六面体
中，底面
是边长为3 的
菱形，
分别在线段
和
上，且
，
．
(1)证明：
四点共面；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【难度】0.65
【知识点】空间中的点（线）共面问题、面面角的向量求法
【分析】（1）利用空间向量的线性运算来证明两向量相等，得四点共面；
（2）利用空间向量的线性运算和数量积运算，来证明两平面二面角的平面角，再用空间向量法来求夹角
余弦值，从而问题可得解.
【详解】（1）由
，因为平行六面体可知：
且
又因为
，
，
所以
，
则有
，即
四点共面；
（2）
取
的中点为
，连接
，
由于
，则有
，
又由余弦定理得：
所以
，
又由
，
则
，
所以有
，又因为
的中点为
，所以
,
即
就是平面
与平面
的夹角或其补角，
由
，
，
由
，
，
，
所以有
，
故平面
与平面
夹角的余弦值是
.
4．（2025·山西·二模）
中，
，
，
，
是
的中点，
是
的中点，
是
的中点.如图，将
和
分别沿
、
向平面
的同侧翻折至
和
的位
置，且使得
.
(1)证明：
、
、
、
共面；
(2)若
，求三棱锥
的体积；
(3)求平面
与平面
的夹角的余弦值的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】锥体体积的有关计算、面面角的向量求法、空间中的点（线）共面问题
【分析】（1）取
的中点
，
的中点
，连接
、
、
，证明出四边形
、
、
为平行四边形，可得出
，由此得出
，即可证得结论成立；
（2）过点
在平面
内作
，垂足为点
，证明出
平面
，可知
为三棱锥
的高，求出
、
，利用锥体的体积公式可求得三棱锥
的体积；
（3）在平面
中，过点
作
，交
于点
，以点
为坐标原点，
、
、
的方向
分别为
、
、
轴的正方向建立空间直角坐标系，设
，利用空间向量法结合基本不
等式可求得平面
与平面
的夹角的余弦值的最大值.
【详解】（1）取
的中点
，
的中点
，连接
、
、
，
因为
、
分别为
、
的中点，所以
，
，
翻折前，
中，
，
，
，
是
的中点，
是
的中点，
是
的中点，
则
，
，
，
，
，
翻折后，则有
，
，
，
因为
，
为
的中点，所以
，
，
所以，四边形
为平行四边形，所以
，
，
因为
为
的中点，所以
，
，故四边形
为平行四边形，
所以
，
，故
，
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，所以
，
所以
、
、
、
共面.
（2）过点
在平面
内作
，垂足为点
，
翻折前，因为
，翻折后，则有
，
，
因为
、
平面
，
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
因为
，
，
、
平面
，所以
平面
，
即
是三棱锥
的高.
由（1）的图，在
中，
，
，
由余弦定理得
，
所以
，
所以
，
在
中，
，
，
，
是
的中点，
则
，
，
所以，
所以三棱锥
的体积为
.
（3）在平面
中，过点
作
，交
于点
，
因为
平面
，
，
以点
为坐标原点，
、
、
的方向分别为
、
、
轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标
系，
则
、
、
，
设
，则
，
所以
，
，
，
设平面
的一个法向量
，
则
，
令
，则
，
，所以
，
设平面
的一个法问量
，则
，
令
，则
，
，所以
，
设平面
与平面
的夹角为
，
则
，
因为
，所以
，则
，
当且仅当
，即
时，即
时，等号成立.
所以平面
与平面
的夹角的余弦值的最大值为
.
5．（2024·四川凉山·三模）如图，在正四棱柱
中，
，
，点
，
，
，
分别在棱
，
，
，
上，
．
(1)证明：点
在平面
中；
(2)求多面体
的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【难度】0.65
【知识点】空间中的点（线）共面问题、锥体体积的有关计算、证明线面垂直
【分析】（1）先利用条件证明
，再利用两平行直线确定平面即可得证；
（2）先利用条件证明
平面
，分别求出多面体
的底面面积和高，代入体积公式即
可求解.
【详解】（1）取
中点
，
中点
，连接
，
，
．
∵
，
∴四边形
为平行四边形
∴
①
又∵
，
，
∴
．
∴四边形
为平行四边形
∴
②,
由①②得
．
∴
，
，
，
四点共面，即点
在平面
中．
（2）连接
，
，
．
∵
为正四棱柱．
∴
，
又
，
，分别是
，
中点．
∴
．
∴
．
∵
∴平面
，
即平面
．
在
中由勾股定理
，
．
∴
由（1）可得四边形
为平行四边形且
．
∴四边形
为菱形．
∴
为
中点．
∴
平面
，平面
，
∴
．
在
中，
，
，
∴
∴
在
中，
，
，
∴
多面体
的体积
.
6．（2024·四川凉山·三模）如图，在正四棱柱
中，
，
，点
分别在
棱
，
，
，
上，
，
，
．
(1)证明：点
在平面
中；
(2)点
为线段
的中点，求锐二面角
的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】面面角的向量求法、空间中的点（线）共面问题
【分析】（1）取
中点
，
中点
，连接
，
，
，证明出
，得出
四点
共面，即可证明点
在平面
中；
（2）以
为坐标原点，
，
，
为
，
，
轴建系，由面面夹角的向量公式计算即可．
【详解】（1）取
中点
，
中点
，连接
，
，
，则
，
，
由正四棱柱
得，
，则
，
又点
为
中点，所以
，即四边形
为平行四边形，
同理可得，四边形
为平行四边形，所以
且
，则
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，
因为
，所以四边形
为平行四边形，所以
，
所以
，
所以
四点共面，即点
在平面
中．
（2）以
为坐标原点，
，
，
为
，
，
轴建系如图，
易得
，
，
，
，
则
，
设平面
与平面
法向量分别为
，
，
由
，即
，令
，则
，
由
，即
，令
，则
，
设二面角
平面角为
则
，
所以锐二面角
的余弦值为
．
重难点题型2 截面问题
1．（24-25 高三下·甘肃白银·月考）已知正方体
的棱长为2，平面
截正方体所得的图形
为六边形，设该六边形的周长为，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由平面的基本性质作截面图形、证明线面垂直、判断正方体的截面形状
【分析】根据正方体的几何性质，结合线面垂直的判定可得
平面
，进而可得平面
平面
，即可求解.
【详解】连接
,
由于
平面
，
平面
，故
，
又
平面
，故
平面
，
又
平面
，故
，
,则
，
同理可得
,
平面
，故
平面
，
由于
平面
，故平面
平面
，
平面
与平面
的交线为
,平面
与平面
的交线为
，
故
，同理可得
故平面
如图阴影部分，
，
同理可得
,故六边形周长为定值
，所以B 正确.
故选：B
2．（2023·天津和平·三模）已知正方体
的棱长为6，点
，
分别在棱
，
上，
且满足
，点
为底面
的中心，过点
，
，
作平面
，则平面
截正方体
所得的截面面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状
【分析】由于上下底平行，则可得平面
与上下底面的交线平行，则可得
为平面
与上底面
的交线，
为平面
与下底面
的交线，则梯形
为平面截正方体的截面，可证得
梯形
为等腰梯形，根据已知的数量关系求解即可.
【详解】连接
，
，
与
交点即为
，
因为
，所以
‖
，
因为
‖
，所以
‖
，
所以
共面，
所以平面
截正方体
所得的截面为梯形
，
因为正方体
的棱长为6，且
，
所以
，
在
中，
，则
，
在
中，
，则
，
在
，
，则
，
过
作
于
，则
，
所以
,
所以等腰梯形
的面积为
,
故选：A
3．（2023·四川南充·一模）如图，正方体
的棱长为2，E，F 分别为
，
的中点，则
平面
截正方体所得的截面面积为（ ）
A．
B．
C．9
D．18
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状
【分析】根据
，
分别是
，
的中点，得到
，利用正方体的结构特征，有
，从
而有
，由平面的基本性质得到
在同一平面内，截面
是等腰梯形，再利用梯形面
积公式求解.
【详解】由题知连接
，
，
，如图所示
因为
分别是
的中点，所以
，
在正方体中
，所以
，
所以
在同一平面内，
所以平面
截该正方体所得的截面为平面
，因为正方体的棱长为
，
所以
，
，
，
则
到
的距离为等腰梯形
的高为
，
所以截面面积为
，故B 正确.
故选：B.
4．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2 的正方体
中，E 为棱BC 的中点，用过点
，
E，
的平面截正方体，则截面周长为（ ）
A．
B．9
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状
【分析】作出正方体的截面图形，求出周长即可.
【详解】
如图，取AB 的中点G，连接GE，
，
．
因为E 为BC 的中点，所以
，
，
又
，
，
所以四边形
为平行四边形，
所以
，
，
所以
，
，
所以用过点
，E，
的平面截正方体，所得截面为梯形
，
其周长为
．
故选：A．
5．（23-24 高三下·山东威海·月考）（多选题）如图，在棱长为2 的正方体
中，M，N，P
分别是
，
，
的中点，Q 是线段
上的动点，则（ ）
A．存在点Q，使B，N，P，Q 四点共面
B．存在点Q，使
平面MBN
C．过Q，M，N 三点的平面截正方体
所得截面面积的取值范围为
D．经过C，M，B，N 四点的球的表面积为
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】判断线面平行、由平面的基本性质作截面图形、空间中的点（线）共面问题、多面体与球体内
切外接问题
【分析】作出过
的截面判断选项A；取
中点为
，证明其满足选项B；当
在
运动时，确
定截面的形状，引入参数(如
)计算出面积后可得取值范围，判断选项C，过
与底面平行的平面
截正方体得出的下半部分为长方体，其外接球也是过C，M，B，N 四点的球，由此求得球半径，得表面积，
判断选项D．
【详解】选项A，连接
，正方体中易知
，
分别是
中点，则
，所以
，即
四点共面，当
与
重合时满足B，
N，P，Q 四点共面，A 正确；
选项B，如图，取
中点为
，连接
，
因为
分别是
中点，则
与
平行且相等，
是平行四边形，
所以
，又
是
中点，所以
，所以
，
平面
，
平面
，所以
平面
，B 正确；
选项C，正方体中，
分别是
中点，则
，
在
上，如图，作
交
于
，连接
，延长交
延长线于点
，
连接
延长交
延长线于点
，连接
交
于点
，交
于点
，
为所过
三点的截面，
由正方体的对称性可知梯形
与梯形
全等，
由面面平行的性质定理，
，从而有
，由正方体性质，
设
，
，则
，
，
是
中点，
，则
，所以
，同理
，
，
，
，
梯形
是等腰梯形，高为
，
截面面积
，
设
，
，
，
在
上递增，
，
，
所以
，C 错；
选项D，取
中点
，
中点
，连接
，则
是正四棱柱（也是长方
体），
它的外接球就是过
四点的球，所以球直径为
，半径为
，表面积为
，D 正确．
故选：ABD．
6．（23-24 高三下·河南郑州·周测）已知正四棱锥
的所有棱长均为4，点
为
中点，点
在
上，
，点
为
中点，则平面
截正四棱锥
所得的截面周长为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】余弦定理解三角形、由平面的基本性质作截面图形
【分析】延长
与
的延长线交于点
，连接
与
交于点
，延长
与
的延长线交于点
，
连接
与
交于点
，则平面
截正四棱锥
所得的截面为五边形
，即可求解．
【详解】延长
与
的延长线交于点
，连接
与
交于点
，延长
与
的延长线交于点
，
连接
与
交于点
，
则平面
截正四棱锥
所得的截面为五边形
，
如图所示：
易知
，
，
，
所以五边形
的周长为
．
故答案为：
7．（2024·山东济南·三模）在正四棱柱
中，
，
，M，N 分别是
，
的
中点，则平面
截该四棱柱所得截面的周长为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由平面的基本性质作截面图形
【分析】作出辅助线，得到平面
截该四棱柱所得截面为五边形
，求出各边边长，相加得到
答案.
【详解】延长
相交于点
，连接
交
于点
，连接
，
因为正四棱柱
中，
，
，M，N 分别是
，
的中点，
所以
，
，
，
因为
∽
，
，故
，
，
在
上取点
，连接
，则
，
同理可知
，所以四边形
为平行四边形，
故
四点共面，
则平面
截该四棱柱所得的截面为五边形
，
，
，
同理
，
故截面周长为
.
故答案为：
重难点题型3 异面直线的判断
1．（2023·上海长宁·二模）如图，已知正方体
，点
在直线
上，
为线段
的中点，
则下列命题中假命题为（ ）
A．存在点
，使得
B．存在点
，使得
C．直线
始终与直线
异面
D．直线
始终与直线
异面
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】异面直线的判定、线面垂直证明线线垂直
【分析】当点
和点
重合时，可判断A；通过线面平行的判定定理，当点
为线段
的中点时，即可
判断B；当点
和点
重合时，两条线在同一平面内，不是异面直线，可判断C；直线PQ 与另一条线所在
的平面相交，从而证明这两条线不相交，也不平行即可判断D.
【详解】正方体
中，易得
平面
，因为点
在直线
上，
为线段
的
中点，
当点
和点
重合时，
平面
，
，故A 正确；
连接
、
，当点
为线段
的中点时，
为三角形
的中位线，即
，故B 正确；
平面
，当点
和点
重合时，
平面
，所以
直线
和
在同一平面内，故C 错误；
平面
，
平面
，
，所以直线
始终与直线
不相交，且不平行，
所以直线
与直线
是异面直线，故D 正确；
故选：C
2．（2023·新疆·一模）如图，在长方体
中，
，则下列说法错
误的是（ ）
A．
B．
与
异面
C．
平面
D．平面
平面
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】异面直线的判定、判断面面平行、判断线面平行
【分析】根据题目信息和相似比可知，
不可能平行于
，
与
异面，可得A 错误，B 正确；再
利用线面平行和面面平行的判定定理即可证明CD 正确.
【详解】如下图所示，连接
，
根据题意，由
可得，
，且
；
同理可得
，且
；
由
，而
，所以
不可能平行于
，即A 错误；
易知
与
不平行，且不相交，由异面直线定义可知，
与
异面，即B 正确；
在长方体
中
，
所以
，即四边形
为平行四边形；
所以
，又
，所以
；
平面
，
平面
，
所以
平面
，即C 正确；
由
，
平面
，
平面
，所以
平面
；
又
，
平面
，
平面
，所以
平面
；
又
，且
平面
，
所以平面
平面
，即D 正确.
故选：A
3．一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形
为正方形，
分别为
的中点，在此几何
体中，下面结论错误的是（ ）
A．直线
与直线
异面
B．直线
与直线
异面
C．直线
平面
D．直线
平面
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】棱锥的展开图、判断线面平行、异面直线的判定
【分析】由
可得
共面即可判断B 选项；又
面
，
面
，即可判断A 选
项；由线面平行的判定即可判断C、D 选项.
【详解】
由题意知：该几何体是底面为正方形的四棱锥，如图所示，连接
，易得
，
则
，
故
共面，则
共面，故B 错误；又
面
，
面
，
不在直线
上，则直线
与直线
异面，A 正确；
由
，
平面
，
平面
，则直线
平面
，C 正确；
平面
，
平面
，则直线
平面
，D 正确.
故选：B.
4．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线
与
的位置关系为（ ）
A．相交
B．平行
C．异面并且垂直
D．异面但不垂直
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】异面直线的判定、求异面直线所成的角
【分析】将展开图还原成正方体，即可判断两直线的位置关系.
【详解】将展开图还原成正方体，由下图可知，直线
与
的位置关系是：异面.
连接BE，则
，
或其补角即为直线
与
的夹角，
，所以直线
与
不垂直.
故选：D.
5．（2024·广西南宁·模拟预测）如图是长方体的展开图，且
，
为正方形，其中P、Q 分别
为
、
的中点，下列判断①
，②
，③
，④
中，正确的个数为
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】异面直线的判定、棱柱的结构特征和分类、证明异面直线垂直
【分析】根据长方体的展开图，还原长方体，根据图形求解即可.
【详解】将展开图还原成长方体,如图，
由图可知①
不正确，②
正确，③
不正确，由
，
为正方形知
,故④
正确,
综上②④正确．
故选：C
6．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E 是平面ADD1A1的中心，M、N、F 分别是B1C1、CC1、AB
的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．MN
EF，且MN 与EF 平行
B．MN
EF，且MN 与EF 平行
C．MN
EF，且MN 与EF 异面
D．MN
EF，且MN 与EF 异面
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】正棱柱及其有关计算、异面直线的判定
【分析】设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2a，求出
即得MN
，连结DE，再证明MN 与
EF 异面，即得解.
【详解】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2a，
则
，
作点E 在平面ABCD 内的射影点G，连结EG，GF，
所以
，
所以MN
，故选项A,C 错误；
连结DE，因为E 为平面ADD1A1的中心，所以DE
，
又因为M，N 分别为B1C1，CC1的中点，所以MN∥B1C，
又因为B1C∥A1D，所以MN∥ED，且DE∩EF＝E，
所以MN 与EF 异面，故选项B 错误；
故选：D．
重难点题型4 异面直线的夹角
1．（2025 高三·全国·月考）在正四棱台
中，
，
，且该正四棱台的体积为
28，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】台体体积的有关计算、求异面直线所成的角、异面直线夹角的向量求法
【分析】解法一：通过作辅助线构造异面直线所成角，再利用四棱台体积公式求出高，结合平面几何知识
和余弦定理求解.
解法二：建立空间直角坐标系，求出相关向量，利用向量的夹角公式求解，再根据异面直线所成角的范围
得到结果.
【详解】解法一：过点
作
，交
于点
，则
为异面直线
与
所成的角或其补
角.
设该正四棱台的高为，则
，得
.
，故
.
过点
作
交
于点
，则
，
.连接
，易得
，
在
中，利用余弦定理可得
，
故异面直线
与
所成角的余弦值为
.
解法二：设该正四棱台的高为，上底面与下底面的中心分别为
，
，连接
，由题知
，得
.由正四棱台的性质知
平面
，
以
为坐标原点，过点
分别与
平行的直线为
轴，
轴，
所在直线为
轴建立空间直角坐标
系如图所示，
则
，
，
，
，
所以
，
，
，
故异面直线
与
所成角的余弦值为
.
故选：D.
2．（2025·云南红河·三模）在四棱锥
中，底面
为矩形，
平面
，
为
的中
点，
，若四棱锥
的外接球半径为2，则
与
所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】多面体与球体内切外接问题、求异面直线所成的角
【分析】将四棱锥
补成长方体
，设
，根据条件可求得
，可得
与
所成的角即为
或其补角，在
中，利用余弦定理求解.
【详解】设
，如图所示，将四棱锥
补成长方体
，
则四棱锥
的外接球半径等于长方体的外接球半径，
因为
，
，即
，所以
．
又
，所以
与
所成的角即为
或其补角，
由题意以及长方体结构特征知
和
均为直角三角形，
所以
，
，
所以
．
可知
与
所成的角为
，所以
与
所成的角的正弦值为
．
故选：B．
3．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，三棱柱
的所有棱长都为
，且
，
、
、
分
别为
、
、
的中点，则异面直线
和
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求异面直线所成的角、余弦定理解三角形
【分析】连接
、
，推导出
，可知异面直线
和
所成角等于
或其补角，利用余
弦定理求出
、
的长，推导出
，可求出
的余弦值，即为所求.
【详解】连接
、
，如下图所示：
因为
、
分别为
、
的中点，所以，
且
，
因为
且
，所以，四边形
为平行四边形，
所以，
且
，
因为
为
的中点，所以，
且
，
所以，四边形
为平行四边形，则
，
故异面直线
和
所成角等于
或其补角，
在菱形
中，
，
，
，
由余弦定理可得
，
在
中，
，
，
，
由余弦定理可得
，
在
中，
，
，
，所以，
，故
，
所以，
.
因此，异面直线
和
所成角的余弦值为
.
故选：D.
4．（2024·北京·模拟预测）（多选题）在直棱柱
中，底面
为正方形，
，
为线段
上动点，
，
分别为
和
的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则经过
，
，
三点的直棱柱的截面为四边形
B．直线
与
所成角的余弦值为
C．三棱锥
的体积为定值
D．
的最小值为
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】锥体体积的有关计算、求异面直线所成的角、棱柱的展开图及最短距离问题、由平面的基本性
质作截面图形
【分析】作出经过
，
，
三点的截面，判断A 的真假；作出异面直线
与
所成的角，利用等腰
三角形的性质，求角的余弦，判断B 的真假；判断点
到平面
的距离是否为定值，可判断C 的真假；
转化成平面上两点之间线段最短，并求出最小值，可判断D 的真假.
【详解】对A：如图：
直线
交直线
于
，设
.
因为
，
因为
三点共线，所以
，因为
，所以
.
所以点
在线段
上.
设射线
与射线
交于点
，连接
交
于点
.
在线段
上取点
，使
；在线段
上取点
，使
.
依次连接
，可得经过
，
，
三点的直棱柱的截面，可见截面不是四边形，故A 错误；
对B：如图：
因为
，所以
即为异面直线
与
所成的角，设为
.
在
中，
，
，所以
，故B 正确；
对C：易知平面
平面
，
平面
，所以
平面
.
点
，所以
到平面
的距离为定值，所以三棱锥
的体积为定值.故C 正确；
对D：如图
将
绕
旋转，使
共面，则
.
过
作
与直线
垂直，垂足为
.
在
中，
，
，
，所以
，
，
，
所以
.故D 正确.
故选：BCD
5．（2025·甘肃·模拟预测）（多选题）如图，在直三棱柱
中，
为
的中点，则（ ）
A．
B．三棱锥
的体积为
C．直线
与
所成角的余弦值为
D．三棱锥
的外接球的表面积为
【答案】BC
【难度】0.65
【知识点】多面体与球体内切外接问题、求异面直线所成的角、锥体体积的有关计算、球的表面积的有关
计算
【分析】对于A，只需说明
即可判断；对于B，由等体积法
即可求解；对
于C，将所求转换为相交直线的角，结合余弦定理即可求解；对于D，只需求得该外接球的直径
即可.
【详解】对于A，如图，设
分别为
的中点，连接
.
在直三棱柱
中，有
.
因为
为
的中点，
所以
.又
，
所以
，则
，
从而
与
不垂直，A 不正确.
对于B，易得
平面
，则
，B 正确.
对于C，易知
，则
与
所成的角为
，由
，
得
，C 正确.
对于D，易知三棱锥
的外接球即为直三棱柱
的外接球，
该外接球的直径为
，
则三棱锥
的外接球的表面积为
，D 不正确.
故选：BC.
6．（2025·湖北武汉·三模）已知三棱柱
的各条棱长相等，且
，则
异面直线
与
所成角为 .
【答案】
/
【难度】0.65
【知识点】求异面直线所成的角、异面直线夹角的向量求法
【分析】根据
，结合向量数量积的运算法则，分别求出
和
的值，再利
用
，求解即可．
【详解】解：不妨设三棱柱
的各条棱长均为2，
因为
，
所以
，
，
因为
，
所以
，
即
，
且
，
所以
，
又异面直线夹角的取值范围为
，
所以异面直线
与
所成角为
．
故答案为：
．
7．（2024·四川德阳·模拟预测）如图，在棱长都相等的正三棱柱
中，若
为棱
的中点，
则直线
与直线
所成的角为 ．
【答案】
/
【难度】0.65
【知识点】求异面直线所成的角
【分析】利用三角形的中位线定理及平行四边形的性质，结合异面直线所成角的定义及勾股定理和逆定理
即可求解.
【详解】设
分别为棱
的中点，连接
，
,如图所示，
因为
分别为棱
的中点，
所以
,
又因为
为棱
的中点，，
为棱
的中点，
所以
,且
，
所以四边形
为平行四边形，
所以
,
所以
为直线
与直线
所成的角（或其补角）.
设正三棱柱
的棱长为
，则
，
，
，
,
所以
，即
,
所以
，
故直线
与直线
所成的角为
.
故答案为：
.
重难点题型5 平面的基本性质
1．（2024·贵州毕节·三模）在长方体
中，点
，
分别是棱
，
的中点，点
为
对角线
，
的交点，若平面
平面
，
，且
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】空间中的点（线）共面问题、平面的基本性质的有关计算、由平面的基本性质作截面图形
【分析】延长
交的
延长线于
，利用平面的基本性质可得直线
即为直线，然后利用正方体的
性质可得
，即得.
【详解】延长
交的
延长线于
，连接交
于
，
∵
平面
，
平面
，平面
平面
，
∴
，故直线
即为直线，
取
的中点
，连接
，又点
，
分别是棱
，
的中点，
∴
，
∴
，
，
∴
，即
.
故选：B.
2．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD 为矩形，AB＝
AD，E，F 分别为BB1，AB 的中
点，则（ ）
A．AC1//平面DEF 且A1C1⊥DF
B．A1C1//平面DEF 且A1C1与DF 不垂直
C．A1C1与平面DEF 相交且A1C1⊥DF
D．A1C1与平面DEF 相交且A1C1与DF 不垂直
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】平面的基本性质的有关计算、由平面的基本性质作截面图形
【分析】延长DF、CB 相交于点M，连接ME 并延长，根据平面几何性质可证得M、E、C1三点共线，可
判断AC1与平面DEF 的位置关系，连接AC 与FD 相交于点O，根据三角形相似的判定可证得
，
证得
，由此可得选项.
【详解】延长DF、CB 相交于点M，连接ME 并延长，因为点E、F 分别是BB1，AB 的中点，所以
，
所以M、E、C1三点共线，所以AC1与平面DEF 相交不平行，A1C1与平面DEF 相交不平行，故A、B 选项
不正确；
对于C、D：连接AC 与FD 相交于点O，因为AB＝
AD，F 是AB 的中点，所以
，
又
，所以
，
所以
，
，又
，所以
，
所以
，所以
，又
，所以
，故C 正确，D 不正确，
故选：C.
3．在棱长为3 的正方体
中，已知点P 为棱
上靠近点
的三等分点，点Q 为棱CD 上
一动点.若M 为平面
与平面ABCD 的公共点，且点M 在正方体的表面上，则所有满足条件的点M 构
成的区域面积为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】平面的基本性质的有关计算、由平面的基本性质作截面图形
【分析】根据已知条件及基本事实1 中的推理2 和基本事实3 得到点M 的区域，利用三角形相似及梯形的
面积公式即可求解.
【详解】延长DA，
交于点N，连接NQ 交AB 于点E，
则线段EQ 为平面
与平面ABCD 的公共点M 的集合，
当Q 运动到点D 时，E 与A 重合；当Q 运动到点C 时，
设此时E 点运动到F 点，则梯形FADC 即为点M 构成的区域，
因为
∽
，所以
，
所以
，所以
.
故答案为：
.
4．（2023·陕西西安·模拟预测）在直四棱柱
中，
，
，M，N 在棱
，
上，且
，
，过
的平面交
于G，则截面
的面积为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算
【分析】
作出图形，根据线线平行得平行四边形，进而确定出截面
为平行四边形，进而求出面积，
【详解】
取
上靠近点
的一个四等分点
，连接
，
，
因为
，所以
且
，则四边形
为平行四边形，
所以
且
，过点
作
，因为
，所以四边形
为平行四边形，
则
且
，所以
且
，则截面
为平行四边形，
由直四棱柱的性质可得，
，
，
，
在△
中，由余弦定理得，
，
所以
，
则截面
的面积为
；
故答案为：6
5．如图，在直三棱柱
中，
，D，E 分别为
，
分如中点，则过点
A，D，E 的截面与三棱柱的侧面
的交线的长为 ．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】平面的基本性质的有关计算、由平面的基本性质作截面图形
【分析】首先根据平行线将平面进行扩展得到过点A，D，E 的截面与三棱柱的侧面
的交线为
，
确定点
为线段
的三等分点靠近
的点，最后在直角三角形
中求得线段
的长度即可.
【详解】由题意将直三棱柱
补成一个直四棱柱
,
取
中点
，连接
,显然
，
取
中点
，连接
，则
，
所以A，D，F，E 四点共平面，连接
与
的交点为
，连接
所以过点A，D，F，E 的截面与三棱柱的侧面
的交线为
，
因为
，且
,
所以点
为线段
的三等分点靠近
的点，
因为
，所以
，
又D 为
中点，所以
，
因为
面
,所以
，
则
.
故答案为：
.
【点睛】本题主要考查截面问题，如需要将平面进行扩展，一般有两种方法，一是通过做平行线进行扩展，
一种是找相交直线确定交线上的点进行扩展，在备考中注意多总结.
6．在四棱锥
中，底面
是正方形，
底面
，
，
、
、
分别是棱
、
、
的中点，对于平面
截四棱锥
所得的截面多边形，有以下三个结论：
①截面的面积等于
；
②截面是一个五边形；
③截面只与四棱锥
四条侧棱中的三条相交．
其中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【难度】0.65
【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算
【分析】取
的中点
，
的四等分点
，顺次连接
、
、
、
、
，则平面
即为过
、
、
的平面截四棱锥
所得截面，计算出截面面积，根据截面形状可判断命题①②③的正误.
【详解】取
的中点
，
的四等分点
，顺次连接
、
、
、
、
，
则平面
即为过
、
、
的平面截四棱锥
所得截面，如下图所示：
在四棱锥
中，底面
是正方形，
底面
，
，
、
分别为
、
的中点，
且
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，平面
平面
，
，
为
的中点，
为
的中点，
，
同理可得
，且
，
平面
，
平面
，
，
四边形
为正方形，则
，
，
平面
，
平面
，
，
则
，所以，四边形
为矩形，其面积为
，
设
，
，则
为
的中点，
为
的中点，
，
，
平面
，
平面
，平面
平面
，
，且
，
的边
上的高为
，
的面积为
.
所以，截面面积为
，命题①错误；
该截面是一个五边形，命题②正确；
由图可知，截面与四棱锥
侧棱
、
、
相交，命题③正确.
故答案为：②③.
【点睛】本题考查的知识点是棱锥的几何特征，与棱锥相关的面积和体积计算，确定截面的形状是解答的
关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
