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第04 讲 一元二次函数（方程，不等式）
A 夯实基础 B 相遇高考（模拟） C 素养提升
A 夯实基础
一、单选题
1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于
的不等式
的解集是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数
【分析】由已知根据解集的形式判断二次函数的开口方向和方程根的大小关系，即可求解.
【详解】因为关于
的不等式
的解集是
，
所以
且
，
解得
，所以
的取值范围是
.
故选：
.
2．（24-25 高三下·山东菏泽·阶段练习）若关于
的不等式
恒成立，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值
【分析】由基本不等式，得到
，转化为
恒成立，结合一元二次不
等式的解法，即可得到答案.
【详解】由基本不等式，可得
，当且仅当
时，即
时，等号成立，
因为不等式
恒成立，即
恒成立，
又由不等式
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故选：A.
3．（2025 高一上·河北保定·专题练习）“不等式
在
上恒成立”
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】A
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】分
和
，当
，利用条件得到
，即可求解.
【详解】当
时，得到
，不合题意，
当
时，由题知
，解得
，
故选：A.
4．（2025·陕西渭南·二模）若关于
的不等式
有且只有一个整数解，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数
【详解】当
时，解得：
，不满足条件；
故
，关于
的不等式
可得
，
所以
，即
，
方程
的两根为
，
当
时，不等式可化为
，
，
解集为：
，不满足条件；
当
时，不等式可化为
，
当
时，则
，即
，不等式的解集为：
，
要使不等式有且只有一个整数解，则
，又因为
，不满足条件；
当
时，则
，即
，不等式的解集为空集，
当
时，则
，即
，不等式的解集为
，
要使不等式有且只有一个整数解，则
，解得：
，
故实数
的取值范围是：
.
故选：B.
5．（2025·重庆·一模）已知
，则“
的解集为
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】判断命题的充分不必要条件、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】由不等式
的解集为
可得
，即可求解.
【详解】因为不等式
的解集为
，所以
，所以
，
所以“
的解集为
”是“
”的充分不必要条件.
故选：
.
6．（24-25 高一上·贵州毕节·期末）已知函数
的定义域是
，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数
【分析】将定义域是
的问题转化为不等式恒成立，对
是否为零进行分类讨论即可求
得结果.
【详解】根据题意
对于
恒成立；
当
时，
显然成立，可得
符合题意；
当
时，若满足题意可得
，解得
；
当
时，若满足题意可得
，此时无解；
综上可得，
的取值范围是
.
故选：C
二、多选题
7．（24-25 高三上·吉林通化·阶段练习）已知关于x 的不等式
的解集为
或
，则下列说法正确的是 （ ）
A．
B．
的解集为
C．
D．
的解集为
【答案】AD
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、解含参数的
一元一次不等式
【分析】
是方程
的两根，且
，A 正确；由韦达定理得到
，
，从而解不等式得到B 错误，D 正确，
，C 错误.
【详解】由题意得
是方程
的两根，且
，A 正确；
故
，即
，
，
所以
，B 错误；
，C 错误；
，
解得
，D 正确.
故选：AD
8．（24-25 高三上·福建南平·期中）已知二次函数
（a，b，c 为常数，且
）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式
的解集为
【答案】BCD
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的
关系
【分析】根据题设及图象有
且
，得
，并
结合一元二次不等式解法，判断各项正误.
【详解】由题设及函数图象知：
且
，
所以
，则
，
，
，A 错，B、C 对；
，则
，D 对.
故选：BCD
三、填空题
9．（2025 高三上·河北保定·专题练习）当
时，不等式
恒成立，则
的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】利用二次函数的单调性与最值，结合一元二次不等式的恒成立关系求解.
【详解】当
时，有
恒成立，满足题意；
当
时，令
，对称轴为
，
时，
在
单调递减，
单调递增，
则有
，解得
，
时，
在
单调递增，
单调递减，
则有
，解得
，
综上可知，
的取值范围是
.
故答案为：
.
10．（24-25 高三下·上海·阶段练习）关于x 的不等式
的解集为 ．
【答案】
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式
【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式计算求解.
【详解】关于x 的不等式
转化为
或
，
所以解集为
.
故答案为：
.
四、解答题
11．（2025 高三下·全国·专题练习）已知二次函数
，
．
(1)若函数
的最小值为
，求
的解析式，并写出单调区间；
(2)在（1）的条件下，
在区间
上恒成立，试求
的取值范围．
【答案】(1)
，单调递增区间为
，单调递减区间为
．
(2)
．
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的解析式、一元二次不等式在某区
间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）根据二次函数的性质和条件，即可联立方程求解；
（2）利用分离参数法，结合二次函数性质，即可求解恒成立问题.
【详解】（1）由题意知
，
解得
，所以
，
由
知，
函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（2）由题意知，
在区间
上恒成立，
即
在区间
上恒成立，
令
，
由
，知
在区间
上是减函数，
则
，所以
，
即
的取值范围是
．
12．（23-24 高三上·湖北孝感·阶段练习）已知关于
的不等式
的解集为
或
(1)求
的值；
(2)解关于
的不等式
【答案】(1)
(2)答案见解析
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】（1）由题中条件，根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解出即可；
（2）先化简不等式，因式分解后，讨论的范围得到解集.
【详解】（1）根据题意，得方程
的两个根为1 和
，
由根与系数的关系得
，
解之得
（2）由（1）得关于
的不等式
，
即
，因式分解得
．
①当
时，原不等式的解集为
；
②当
时，原不等式的解集为
；
③当
时，原不等式的解集为
；
13．（24-25 高三上·山东淄博·期中）已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
．
(1)求函数
的解析式；
(2)
，解关于
的不等式
．
【答案】(1)
(2)答案见解析.
【知识点】由奇偶性求函数解析式、解含有参数的一元二次不等式、由函数奇偶性解不等
式
【分析】（1）利用奇函数的性质分别求出
和
的解析式即可.
（2）首先证明函数
在
为增函数，从而得到
，在分类讨论求解
不等式即可.
【详解】（1）当
时，因为
是定义在
上的奇函数，所以
.
当
时，
，
，
所以
.
综上
.
（2）任取
，且
，
，
即
，所以
在
为增函数，
又因为
是定义在
上的奇函数，所以
在
为增函数.
所以
，
，
即
.
当
时，
，解得
.
当
时，
，
当
时，
，解得
或
，
当
时，
，解得
，
当
时，
，解得
或
，
当
时，
，解得
，
综上：当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
.
B 相遇高考（模拟）
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，且
的解集为
．
(1)求
和
的值；
(2)若
在
上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、求绝对值不等式中参数值或范围
【分析】（1）根据绝对值不等式的性质即可求解，
（2）将问题转化为
在
上恒成立，即可利用二次函数零点分
布求解.
【详解】（1）由
得
，
易知
，则
，解得
，
由于
的解集为
，则
，解得
．
（2）由（1）知
，由
得
，
得
在
上恒成立，
，故
．
令
，若
在
上恒成立，
则
，即
，解得
或
，
故实数的取值范围为
．
2．（2023·河南郑州·模拟预测）已知关于x 的不等式
对任意实数
x 恒成立.
(1)求满足条件的实数a，b 的所有值；
(2)若
对
恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值、求绝对
值不等式中参数值或范围
【分析】（1）代入得
和
得
，
，联立即可得到答案；
（2）由（1）化简得
，分离参数得
在
上恒成立，
再利用基本不等式即可得到右边最值，即可得到答案.
【详解】（1）当
时,不等式化为
,,
所以
,①
当
时,同理可得
,②
联立①和②，解得
.
而
时,原不等式为
显然恒成立,所以
.
（2）由（1）知
,
所以
,
因为
,所以
,所以
在
上恒成立.
令
,则
.
因为
,
当且仅当
,即
时等号成立,所以
,
所以
,即实数
的取值范围为
.
C 素养提升
1．（2024·陕西榆林·三模）已知
，若当
时，关于
的不等式
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】解正弦不等式、解余弦不等式、二倍角的正弦公式、一元二次不等式在某区间
上的恒成立问题
【分析】令
，易得
的对称轴为
，则
，进而可得出答案.
【详解】令
，
由题意可得
，则
，
又因为
，所以
，
函数
的对称轴为
，
则
，
即
，
即
，结合
，解得
.
故选：A.
2．（2025·广西南宁·模拟预测）设
，我们常用
来表示不超过
的最大整数．如：
．若
，则
，若
是方程
的实数解，则
．
【答案】
或
或
【知识点】解不含参数的一元二次不等式
【分析】由
，及
，可得
，由
可得
，进而
可得
，分类结合
可得.
【详解】若
，则
，故
因为
，故
，
因为
，故
，故
，故
，
若
，则
，又
，故
符合；
若
，则
，故
，又
，不符合
，均舍；
若
，则
，故
，又
，故
符合；
若
，则
，故
，又
，故
符合；
综上，
或
或
．
故答案为：
，
或
或
3．（2025·江苏宿迁·二模）设函数
，其中
．若
对任意的
恒成立，则
．
【答案】
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、高次不等式
【分析】令
，求出方程
、
的根，假设
，结
合穿根法可得出
，进而得出
，分析可知
对任意的
恒成立，可求出
的值，由此可得出
的值.
【详解】因为
，则
，
令
，可得
或
或
，
由于
，则
，
，
令
，
令
可得
或
或
，
由于
，则
，
由
可得
，
若
，取
，
，
，
当
时，
，
，此时，
，
当
时，由穿根法可知，
，矛盾，
所以，
，即
，则
，
所以
，
因为
对任意的
恒成立，
所以
对任意的
恒成立，则
，解得
，
因此，
.
故答案为：
.
4．（2024·福建三明·三模）记
表示k 个元素的有限集，
表示非空数集E 中所有元素的和，若集合
，则
，若
，则m 的最小值为 .
【答案】
21
【知识点】求等差数列前n 项和、一元二次不等式的概念及辨析、集合新定义
【分析】第一空，根据集合新定义可写出
的所有可能情况，即可求得答案；第二空，由
题意求出
，利用等差数列的求和公式列不等式，结合解一元二次不
等式求出m 的范围，即可求得答案.
【详解】当
时，
表示3 个元素的有限集，
由
可知
或
或
或
，
故
；
由题意知
，
故由
可得
，即
，
解得
或
（舍去），
结合
，故m 的最小值为21，
故答案为：
；21
【点睛】关键点睛：本题考查了集合新定义问题，解答本题的关键在于理解题中所给新定
义的含义，明确其内容，进而结合解不等式，即可求解.
